ندفة ثلج كوتش

📅 آخر تحديث: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٦ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 59 صور
الموسوعة الحرة
ندفة ثلج كوخ في نسختها السابعة
النماذج الأربعة الأولى من ندفة ثلج كوخ
التكرارات السبعة الأولى في الرسوم المتحركة
تكبير رأس منحنى كوخ
قد يؤدي تكبير نقطة ليست رأسًا إلى دوران المنحنى.
كوتش مضاد للندفة الثلجية
التكرارات الأربعة الأولى
التكرار السادس

ندفة كوخ الثلجية (المعروفة أيضًا باسم منحنى كوخ ، أو نجمة كوخ ، أو جزيرة كوخ [ 1 ] [ 2 ]) هي منحنى كسري ، وواحدة من أوائل الأشكال الكسرية التي تم وصفها. وهي تستند إلى منحنى كوخ، الذي ظهر في ورقة بحثية عام 1904 بعنوان "حول منحنى متصل بدون مماسات، يمكن إنشاؤه من الهندسة الأولية" [ 3 ] من قبل عالم الرياضيات السويدي هيلج فون كوخ .

يمكن بناء ندفة ثلج كوخ بشكل تكراري، في سلسلة من المراحل. المرحلة الأولى عبارة عن مثلث متساوي الأضلاع، وتتشكل كل مرحلة لاحقة بإضافة انحناءات خارجية إلى كل جانب من جوانب المرحلة السابقة، مما يؤدي إلى تكوين مثلثات متساوية الأضلاع أصغر. تتقارب المساحات المحصورة بين المراحل المتتالية في بناء ندفة الثلج لتشكل مثلثًا متساوي الأضلاع أصغر.85{\displaystyle {\tfrac {8}{5}}}تبلغ مساحة ندفة الثلج ضعف مساحة المثلث الأصلي، بينما تتزايد محيطات المراحل المتتالية بلا حدود. ونتيجة لذلك، فإن ندفة الثلج تحيط بمساحة محدودة، لكن محيطها لا نهائي .

تم تصميم ندفة كوخ الثلجية كمثال على منحنى متصل يستحيل فيه رسم خط مماس لأي نقطة. على عكس دالة فايرشتراس السابقة التي كان برهانها تحليليًا بحتًا، صُممت ندفة كوخ الثلجية بحيث يمكن تمثيلها هندسيًا في ذلك الوقت، ما يسمح بإدراك هذه الخاصية أيضًا من خلال الحدس البسيط. [ 3 ]

الأصل والتاريخ

في مقالته التي نُشرت عام 1904، يطبق فون كوخ هذا البناء التكراري على قطعة مستقيمة ، فيحصل على المنحنى الذي يشكل13{\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}من حدود ندفة كوخ الثلجية. مع ذلك، لا تظهر ندفة الثلج كاملةً في المقالة الأصلية المنشورة عام ١٩٠٤، [ ٣ ] ولا في المذكرة الموسعة المنشورة عام ١٩٠٦. [ ٤ ] قد يُعزى ظهور ندفة كوخ الثلجية كمنحنى مغلق إلى عالم الرياضيات الأمريكي إدوارد كاسنر . [ ٥ ] [ ٦ ]

بناء

يمكن إنشاء ندفة الثلج لكوخ عن طريق البدء بمثلث متساوي الأضلاع ، ثم تغيير كل قطعة مستقيمة بشكل متكرر على النحو التالي:

  1. قسّم القطعة المستقيمة إلى ثلاثة أجزاء متساوية الطول.
  2. ارسم مثلثًا متساوي الأضلاع تكون قاعدته هي القطعة الوسطى من الخطوة 1 ويتجه للخارج.
  3. قم بإزالة القطعة المستقيمة التي تمثل قاعدة المثلث من الخطوة 2.

تُنتج المرحلة الأولى من هذه العملية مخططًا لشكل سداسي .

تُمثل ندفة كوخ الثلجية الحدّ الذي يتم الوصول إليه عند اتباع الخطوات المذكورة أعلاه إلى ما لا نهاية. ويُبنى منحنى كوخ، الذي وصفه هيلج فون كوخ في الأصل ، باستخدام ضلع واحد فقط من أضلاع المثلث الأصلي الثلاثة. وبعبارة أخرى، تتكون ندفة كوخ الثلجية من ثلاثة منحنيات كوخ.

يمكن إنشاء تمثيل لسطح مستوٍ اسميًا باستخدام منحنى كوخ، وذلك عن طريق تقسيم كل خط بشكل متكرر في نمط سن المنشار من القطع بزاوية معينة. [ 7 ]

ملكيات

محيط ندفة ثلج كوخ

طول قوس ندفة كوخ الثلجية لانهائي. ولإثبات ذلك، نلاحظ أن كل تكرار للإنشاء هو تقريب مضلعي للمنحنى. وبالتالي، يكفي إثبات أن محيطات التكرارات غير محدودة.

محيط ندفة الثلج بعدن{\displaystyle n}التكرارات، من حيث طول الضلعs{\displaystyle s}من المثلث الأصلي، هو

3s⋅(43)ن،{\displaystyle 3s\cdot {\left({\frac {4}{3}}\right)}^{n}\,,}

والتي تتباعد إلى ما لا نهاية.

مساحة ندفة ثلج كوخ

المساحة الإجمالية لندفة الثلج بعدن{\displaystyle n}التكرارات هي، من حيث المساحة الأصليةأ{\displaystyle A}من المثلث الأصلي، هي المتسلسلة الهندسية

أ(1+34∑ك=1ن(49)ك)=أ15(8-3(49)ن).{\displaystyle A\left(1+{\frac {3}{4}}\sum _{k=1}^{n}\left({\frac {4}{9}}\right)^{k}\right)=A\,{\frac {1}{5}}\left(8-3\left({\frac {4}{9}}\right)^{n}\right)\,.}

باعتبار الحدن{\displaystyle n}عندما تقترب من اللانهاية، تكون مساحة ندفة ثلج كوخ85{\displaystyle {\tfrac {8}{5}}}من مساحة المثلث الأصلي. معبر عنها بدلالة طول الضلعs{\displaystyle s}من المثلث الأصلي، هذا هو: [ 8 ]2s235.{\displaystyle {\frac {2s^{2}{\sqrt {3}}}{5}}.}

صلب الثورة

حجم المجسم الناتج عن دوران ندفة ثلج كوخ حول محور تناظر المثلث متساوي الأضلاع الذي طول ضلعه وحدة واحدة هو113135π.{\displaystyle {\frac {11{\sqrt {3}}}{135}}\pi .}[ 9 ]

خصائص أخرى

تتميز ندفة ثلج كوخ بقدرتها على التكاثر الذاتي، حيث تحيط ست نسخ أصغر منها بنسخة أكبر في المركز. ولذلك، فهي عبارة عن بلاطة غير قابلة للتكرار من النوع 7 (انظر بلاطة التكرار لمزيد من التفاصيل).

بُعد هاوسدورف لمنحنى كوخ هود=ln⁡4ln⁡3≈1.26186{\displaystyle d={\tfrac {\ln 4}{\ln 3}}\approx 1.26186}وهذا أكبر من خط مستقيم (=1{\displaystyle =1}) ولكن أقل من منحنى بيانو الذي يملأ الفراغ (=2{\displaystyle =2}).

مقياس هاوسدورف لمنحنى كوخS{\displaystyle S}يرضي0.032<حد(S)<0.6{\displaystyle 0.032<{\mathcal {H}}^{d}(S)<0.6}لكن قيمتها الدقيقة غير معروفة. ويُفترض أن0.528<حد(S)<0.590{\displaystyle 0.528<{\mathcal {H}}^{d}(S)<0.590}[ 10 ]​

من المستحيل رسم خط مماس لأي نقطة من نقاط المنحنى.

التمثيل كمنحنى دي رام

ينشأ منحنى كوخ كحالة خاصة من منحنى دي رام . منحنيات دي رام هي تحويلات من فضاء كانتور إلى المستوى، وعادةً ما تُرتّب لتشكيل منحنى متصل. كل نقطة على منحنى دي رام المتصل تُقابل عددًا حقيقيًا في الفترة [0، 1]. أما بالنسبة لمنحنى كوخ، فإن رؤوس ندفة الثلج تُقابل الأعداد النسبية الثنائية : حيث يمكن تمييز كل رأس بعدد نسبي ثنائي فريد.

تقسيم المستوى إلى فسيفساء

التبليط باستخدام حجمين من ندفة ثلج كوخ

من الممكن تقسيم السطح المستوي إلى فسيفساء باستخدام نسخ من رقاقات ثلج كوخ بأحجام مختلفة. مع ذلك، لا يمكن تحقيق هذا التقسيم باستخدام رقاقات ثلج من حجم واحد فقط. بما أن كل رقاقة ثلج كوخ في الفسيفساء يمكن تقسيمها إلى سبع رقاقات ثلج أصغر من حجمين مختلفين، فمن الممكن أيضًا إيجاد فسيفساء تستخدم أكثر من حجمين في آن واحد. [ 11 ] يمكن استخدام رقاقات ثلج كوخ ونقائل ثلج كوخ المتماثلة الحجم لتقسيم السطح المستوي إلى فسيفساء.

تسلسل ثو-مورس ورسومات السلحفاة

الرسم البياني للسلحفاة هو المنحنى الناتج عند برمجة آلة ذاتية الحركة بتسلسل معين. إذا تم استخدام عناصر تسلسل ثو-مورس لاختيار حالات البرنامج:

  • لوت(ن)=0{\displaystyle t(n)=0}، تقدم بمقدار وحدة واحدة،
  • لوت(ن)=1{\displaystyle t(n)=1}قم بتدويرها عكس اتجاه عقارب الساعة بزاويةπ3{\displaystyle {\tfrac {\pi }{3}}}الراديان أو 60 درجة،

يتقارب المنحنى الناتج إلى منحنى ندفة الثلج لكوخ.

التمثيل كنظام ليندنماير

يمكن التعبير عن منحنى كوخ بواسطة نظام إعادة الكتابة التالي ( نظام ليندنماير ):

الحرف  : F
الثوابت  : +، −
البديهية  : F
قواعد الإنتاج  : F → F+F--F+F

هنا، F تعني "التقدم للأمام"، و- تعني "الانعطاف يمينًا 60 درجة"، و + تعني "الانعطاف يسارًا 60 درجة".

لإنشاء ندفة ثلج كوخ، يمكن للمرء استخدام F--F--F (مثلث متساوي الأضلاع) كمسلمة.

أشكال مختلفة من منحنى كوخ

وبناءً على مفهوم فون كوخ، تم تصميم العديد من المتغيرات لمنحنى كوخ، مع الأخذ في الاعتبار الزوايا القائمة ( التربيعية )، والزوايا الأخرى ( سيزارو )، والدوائر والمجسمات متعددة الأوجه وامتداداتها إلى أبعاد أعلى (الرقاقة الكروية ومكعب كوخ، على التوالي).

المتغير ( البعد ، الزاوية )توضيحبناء
≤1D، زاوية 60-90 درجة كسورية سيزارو (85 درجة)يُعدّ شكل سيزارو الكسري نوعًا من أشكال منحنى كوخ بزاوية تتراوح بين 60° و90°. وتُمثّل هذه الأشكال الأربعة الأولى من ندفة ثلج سيزارو المضادة (أربعة منحنيات بزاوية 60° مُرتبة في مربع بزاوية 90°).
≈1.46D، زاوية 90 درجة منحنى تربيعي من النوع 1 التكراران الأولان
1.5D، زاوية 90 درجة منحنى تربيعي من النوع الثانيسجق مينكوفسكي [ 12 ] أول دورتين. بُعده الكسري يساوي 32{\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}وهي تقع بالضبط في منتصف المسافة بين البعد 1 والبعد 2. لذلك يتم اختيارها غالبًا عند دراسة الخصائص الفيزيائية للأجسام الكسورية غير الصحيحة.
≤2D، زاوية 90 درجة التكرار الثالثجزيرة مينكوفسكي: أربعة منحنيات تربيعية من النوع الثاني مرتبة على شكل مربع
≈1.37D، زاوية 90 درجة رقاقة تربيعية أربع منحنيات تربيعية من النوع الأول مرتبة في مضلع: أول تكرارين. تُعرف باسم " سجق مينكوفسكي "، [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] ويساوي بُعدها الكسريln⁡3ln⁡5=1.36521{\displaystyle {\tfrac {\ln 3}{\ln {\sqrt {5}}}}=1.36521}[ 16 ]​
≤2D، زاوية 90 درجة مضاد للتقشر من الدرجة الثانيةمنحنى مضاد للغرز المتقاطعة ، النوع الأول من رقائق التربيع، مع توجيه المنحنيات إلى الداخل بدلاً من الخارج ( كسر فيسيك )
≈1.49D، زاوية 90 درجة التقاطع التربيعيشكل آخر. بُعده الكسري يساويln⁡3.33ln⁡5=1.49{\displaystyle {\frac {\ln 3.33}{\ln {\sqrt {5}}}}=1.49}.
≤2D، زاوية 90 درجة الجزيرة التربيعية [ 17 ] منحنى تربيعي، التكرارات 0 و1 و2؛ بُعدln⁡18ln⁡6≈1.61{\displaystyle {\tfrac {\ln 18}{\ln 6}}\approx 1.61}
≤2D، زاوية 60 درجة سطح فون كوخ أول ثلاث تكرارات لامتداد طبيعي لمنحنى كوخ في بعدين.
≤2D، زاوية 90 درجة التكرارات الأولى (المكعب الأزرق)، والثانية (بالإضافة إلى المكعبات الخضراء)، والثالثة (بالإضافة إلى المكعبات الصفراء)، والرابعة (بالإضافة إلى المكعبات الشفافة) للكسرية التربيعية ثلاثية الأبعاد من نوع كوخ 1امتداد لمنحنى النوع الأول التربيعي. يوضح الرسم التوضيحي على اليسار الشكل الكسري بعد التكرار الثاني. سطح تربيعي متحرك
≤3D، أي منحنى كوخ ثلاثي الأبعادشكلٌ كسري ثلاثي الأبعاد مُنشأ من منحنيات كوخ. يُمكن اعتبار هذا الشكل امتدادًا ثلاثي الأبعاد للمنحنى، تمامًا كما يُمكن اعتبار هرم سيربينسكي وإسفنجة مينجر امتدادًا لمثلث سيربينسكي وسجادة سيربينسكي . يستخدم هذا الشكل من المنحنى زوايا 85 درجة.
≤2D، زاوية 90 درجة تسلسل يوضح متغير كوخ المربع الواحد
أول أربع تكرارات (n = 0، 1، 2، 3) لمتغير كوخ المربع الواحد؛ بُعد هاوسدورف D = log 5 / log 3 ≈ 1.465.

يمكن استخدام المربعات لتوليد منحنيات كسورية مماثلة. بدءًا بمربع وحدة وإضافة مربع إلى كل ضلع في كل تكرار، يكون بُعده ثلث أبعاد المربعات في التكرار السابق، يمكن إثبات أن كلًا من طول المحيط والمساحة الكلية يتحددان بمتتاليات هندسية. تتقارب متتالية المساحة إلى2{\displaystyle 2}بينما يتباعد محيط الشكل إلى ما لا نهاية، كما هو الحال في ندفة ثلج كوخ، لدينا مساحة محدودة محاطة بمنحنى كسري لانهائي. [ 18 ] [ 19 ] تملأ المساحة الناتجة مربعًا له نفس مركز المربع الأصلي، ولكن مساحته ضعف مساحة المربع الأصلي، ويتم تدويره بزاويةπ4{\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}}الراديان، حيث يلامس المحيط نفسه ولكنه لا يتداخل معه أبدًا.

المساحة الإجمالية المغطاة فين{\displaystyle n}التكرار رقم 1 هو: أن=15+45∑ك=0ن(59)كأعطِليمن→∞أن=2،{\displaystyle A_{n}={\frac {1}{5}}+{\frac {4}{5}}\sum _{k=0}^{n}\left({\frac {5}{9}}\right)^{k}\quad {\mbox{giving}}\quad \lim _{n\rightarrow \infty }A_{n}=2\,,}

بينما يبلغ الطول الإجمالي للمحيط: Pن=4(53)نأ،{\displaystyle P_{n}=4\left({\frac {5}{3}}\right)^{n}a\,,} والتي تقترب من اللانهاية عندمان{\displaystyle n}يزداد.

التوظيف الوظيفي

رسم بياني لدالة كوخ

بالإضافة إلى المنحنى، تُظهر ورقة هيلج فون كوخ، التي وضعت منحنى كوخ، شكلاً مختلفاً من المنحنى كمثال على دالة متصلة في كل مكان وغير قابلة للتفاضل في أي مكان ، والتي كان من الممكن تمثيلها هندسياً في ذلك الوقت. انطلاقاً من الخط المستقيم الأساسي، المُمثَّل بـ AB، يمكن رسم الرسم البياني بتطبيق ما يلي بشكل متكرر على كل قطعة مستقيمة:

  • قسّم القطعة المستقيمة ( XY ) إلى ثلاثة أجزاء متساوية الطول، مقسمة بالنقطتين C و E.
  • ارسم خطًا DM ، حيث M هي نقطة المنتصف للقطعة المستقيمة CE ، ويكون DM عموديًا على القاعدة الأصلية للقطعة المستقيمة AB ، ويكون طولهجهـ32{\displaystyle {\frac {CE{\sqrt {3}}}{2}}}.
  • ارسم الخطين CD و DE وامسح الخطين CE و DM .

يمكن إثبات أن كل نقطة من نقاط AB تتقارب إلى ارتفاع واحد. إذاy=ϕ(x){\displaystyle y=\phi (x)}يُعرَّف بأنه المسافة بين تلك النقطة والقاعدة الأولية، ثمϕ(x){\displaystyle \phi (x)}[ 3 ] الدالة متصلة في كل مكان وغير قابلة للتفاضل في أي مكان.

التطبيقات

نظرًا لأن ندفة كوخ الثلجية لها مساحة محدودة ولكن حدودها لا نهائية الطول، فإنها تُعد نموذجًا للتصاميم التي تتطلب أقصى محيط أو طول سطح ضمن مساحة محدودة. في هندسة الهوائيات ، يؤدي دمج تصميم فركتالي من نوع كوخ إلى زيادة محيط المادة التي تنقل أو تستقبل الإشعاع الكهرومغناطيسي ، مما يسمح ببناء هوائيات صغيرة الحجم مناسبة لتصميمات الدوائر المحدودة أو المعقدة . [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] في الهندسة الصوتية ، تم اختبار سطح فوقي صوتي مستوحى من ندفة كوخ الثلجية لنشر الصوت واسع النطاق في مقصورات السيارات. [ 23 ] كما تم تطبيق هندسة ندفة كوخ الثلجية لتحسين أداء نقل الحرارة في المبادلات الحرارية ذات الأنابيب المزدوجة . [ 24 ]

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ أديسون، بول س. (1997). الفراكتلات والفوضى: دورة مصورة . معهد الفيزياء. ص  19. ISBN 0-7503-0400-6.
  2. ↑ لاويرير، هانز (1991). الفراكتلات: أشكال هندسية متكررة بلا نهاية . ترجمة صوفيا جيل-هوفشتات. مطبعة جامعة برينستون. ص 36. ISBN  0-691-02445-6أطلق ماندلبروت على هذه الجزيرة اسم جزيرة كوخ.
  3. 1 2 3 4 فون كوخ، هيلج (24 نوفمبر 1904). "Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une Construction Géométrique élémentaire" . Arkiv för matematik, astronom och fysik (بالفرنسية). 1 : 681– 702. ج اف ام 35.0387.02 . تم الاسترجاع 29 أبريل 2026 – عبر مكتبة الجامعة المركزية في ياش. 
  4. ^ هيلج فون كوخ (1906). "طريقة هندسية أساسية لدراسة بعض الأسئلة في نظرية المستويات الدائرية" . اكتا ماثيماتيكا (باللغة الفرنسية). 30 : 145 – 174. دوى : 10.1007 / BF02418570 . ISSN 0001-5962 . 
  5. ↑ ديميشيل، يان (13 سبتمبر 2024). "من اخترع منحنى فون كوخ الثلجي؟" . المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 131 (8): 662-668 . arXiv : 2308.15093 . doi : 10.1080/00029890.2024.2363737 . ISSN 0002-9890 . 
  6. ↑ كاسنر، إدوارد؛ نيومان، جيمس ر. (2001). الرياضيات والخيال . مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-41703-5.
  7. ^ ألونسو ماروكين، ف. هوانغ، ب. هناور، د.؛ فلوريس جونسون، إي؛ بروست، ج. غان، Y.؛ شين، ل. (2015). “الاحتكاك الساكن بين الأسطح الكسورية الصلبة” (PDF) . المراجعة البدنية ه . 92 (3) 032405. بيب كود : 2015PhRvE..92c2405A . دوى : 10.1103/PhysRevE.92.032405 . اتش دي ال : 2123/13835 . بميد 26465480 . — دراسة الأسطح الكسورية باستخدام منحنيات كوخ.
  8. ↑ "ندفة ثلج كوخ" . ecademy.agnesscott.edu .
  9. ↑ مكارتني، مارك (16 أبريل 2020). "مساحة مركز ثقل وحجم دوران منحنى كوخ" . المجلة الدولية للتعليم الرياضي في العلوم والتكنولوجيا . 52 (5): 782-786 . doi : 10.1080/0020739X.2020.1747649 . ISSN 0020-739X . S2CID 218810213 .  
  10. ↑ جيا، باوغو (1 يونيو 2007). "حدود مقياس هاوسدورف لمنحنى كوخ". الرياضيات التطبيقية والحساب . 190 (1): 559-565 . doi : 10.1016/j.amc.2007.01.046 .
  11. ↑ بيرنز ، إيدان (1994). "التبليطات الكسورية". المجلة الرياضية . 78 (482): 193-196 . doi : 10.2307/3618577 . JSTOR 3618577. S2CID 126185324 .  .
  12. ↑ بول س. أديسون، الفراكتلات والفوضى: دورة مصورة ، ص 19، دار نشر سي آر سي، 1997، رقم ISBN 0849384435.
  13. ^ وايسستين، اريك دبليو (1999). " سجق مينكوفسكي "، archive.lib.msu.edu . تم الوصول إليه: 21 سبتمبر 2019.
  14. ↑ بامفيلوس، باريس. " سجق مينكوفسكي "، user.math.uoc.gr/~pamfilos/ . تاريخ الوصول: 21 سبتمبر 2019.
  15. ^ وايسستين ، إريك دبليو. “سجق مينكوفسكي” . عالم الرياضيات . تم الاسترجاع في 22 سبتمبر 2019 .
  16. ↑ ماندلبروت، ب.ب. (1983). الهندسة الكسورية للطبيعة ، ص 48. نيويورك: دبليو إتش فريمان. رقم ISBN 9780716711865ورد ذكره في: وايسشتاين، إريك و. "سجق مينكوفسكي" . ماث وورلد . تم الاطلاع عليه بتاريخ 22 سبتمبر 2019 ..
  17. ↑ أبيغنانزي، ريتشارد؛ محرر. (2006). مدخل إلى الهندسة الكسورية . أيقونة. ISBN 978-1840467-13-0.
  18. ↑ ماروتا، ب. (2026). "إطار عمل لمعاملات القياس للمحيط والمساحة في الأشكال الكسورية المستوية ذاتية التشابه". مجلة علوم المرحلة الثانوية : 281-283 . arXiv : 2605.19128 . doi : 10.64336/001c.162173 . S2CID 288239512 . 
  19. ↑ عرضها جيمس ماكدونالد في محاضرة عامة بجامعة الملك عبد الله للعلوم والتقنية (كاوست) بتاريخ 27 يناير 2013. "كاوست | الأكاديميون | برنامج الإثراء الشتوي" . مؤرشفة من الأصل بتاريخ 12 يناير 2013. تم الاطلاع عليها بتاريخ 29 يناير 2013 .تم الاطلاع عليه بتاريخ 29 يناير 2013.
  20. ↑ تشوكيكر، يوغيش كومار؛ بيهيرا، سانتانو كومار (2017). "هوائي كوخ ذو تردد قابل لإعادة التشكيل واسع النطاق على شكل ندفة ثلجية" . مجلة IET للموجات الدقيقة والهوائيات والانتشار . 11 (2): 203-208 . doi : 10.1049/iet-map.2016.0238 . ISSN 1751-8725 . 
  21. ↑ ساهارش، إس بي؛ فيسواسوم، سانوج؛ كومار، سانثوش ك. (2020). تصميم وتحليل مصفوفة هوائيات كوخ سنوفليف فراكتالية . المؤتمر الدولي الرابع حول I-SMAC (إنترنت الأشياء في الشبكات الاجتماعية، والهواتف المحمولة، والتحليلات، والحوسبة السحابية) (I-SMAC). الصفحات 194-197 . doi : 10.1109/I-SMAC49090.2020.9243518 . 
  22. ^ بالاسيوس، أورلاندو إف جي. دياز فارغاس، ريكاردو إي؛ بيريز، خورخي ه. إيرازو، سيجوندو قبل الميلاد (2016). هوائي فركتالي S-band Koch لـ CubeSats . 2016 آي إي إي أندسكون. أريكيبا، بيرو. الصفحات من 1 إلى 4. دوى : 10.1109/ANDESCON.2016.7836227 . 
  23. ^ لي تشي هان. شيه، لونغ شيانغ؛ جاو، شينخوا؛ هوانغ، ويتشون. شو، يوتشونغ؛ يانغ، جين؛ لو، مينغ هوي؛ تشونغ ، شو (2025/11/14). "سطح صوتي مستوحى من ندفة الثلج من Koch لنشر الصوت عريض النطاق في أنظمة مكبرات الصوت الخاصة بالسيارات" . مجلة الفيزياء التطبيقية . 138 (18). دوى : 10.1063/5.0277003 . ISSN 0021-8979 . 
  24. ↑ غوميز، أنطون (2017). الأداء الحراري لمبادل حراري ذي أنبوب مزدوج بتصميم كوخ سنوفليف فراكتالي (رسالة ماجستير). ستيتسبورو، جورجيا، الولايات المتحدة: جامعة جورجيا الجنوبية . تاريخ الاسترجاع: 18 نوفمبر 2025 .