قائمة قواعد الاستدلال

📅 آخر تحديث: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 84 صور
الموسوعة الحرة

هذه قائمة بقواعد الاستدلال ، وهي قوانين منطقية تتعلق بالصيغ الرياضية.

مقدمة

قواعد الاستدلال هي قواعد تحويل نحوية تُستخدم لاستنتاج نتيجة من مقدمة لبناء حجة. يمكن استخدام مجموعة من القواعد لاستنتاج أي نتيجة صحيحة إذا كانت كاملة، بينما لا يمكن استنتاج نتيجة خاطئة إذا كانت سليمة. لا يشترط أن تتضمن مجموعة القواعد السليمة والكاملة جميع القواعد في القائمة التالية، لأن العديد منها زائد عن الحاجة، ويمكن إثباته باستخدام قواعد أخرى.

تسمح قواعد التفريغ بالاستدلال من مشتق فرعي بناءً على افتراض مؤقت. فيما يلي، الترميز

φ⊢ψ{\displaystyle \varphi \vdash \psi }

يشير هذا إلى اشتقاق فرعي من الافتراض المؤقتφ{\displaystyle \varphi }لψ{\displaystyle \psi }.

قواعد حساب القضايا

قواعد النفي

اختزال الإعلان السخيف (أو مقدمة النفي )
φ⊢ψ{\displaystyle \varphi \vdash \psi }
φ⊢¬ψ_{\displaystyle {\underline {\varphi \vdash \lnot \psi }}}
¬φ{\displaystyle \lnot \varphi }
الاختزال إلى العبث (مرتبط بقانون الوسط المرفوع )
¬φ⊢ψ{\displaystyle \lnot \varphi \vdash \psi }
¬φ⊢¬ψ_{\displaystyle {\underline {\lnot \varphi \vdash \lnot \psi }}}
φ{\displaystyle \varphi }
Ex contrastione quodlibet
φ{\displaystyle \varphi }
¬φ_{\displaystyle {\underline {\lnot \varphi }}}
ψ{\displaystyle \psi }

قواعد الشروط

نظرية الاستنتاج (أو التقديم الشرطي )
φ⊢ψ_{\displaystyle {\underline {\varphi \vdash \psi }}}
φ→ψ{\displaystyle \varphi \rightarrow \psi }
Modus ponens (نوع من الحذف المشروط )
φ→ψ{\displaystyle \varphi \rightarrow \psi }
φ_{\displaystyle {\underline {\varphi \quad \quad \quad }}}
ψ{\displaystyle \psi }
Modus tollens (نوع من أنواع الاستبعاد المشروط )
φ→ψ{\displaystyle \varphi \rightarrow \psi }
¬ψ_{\displaystyle {\underline {\lnot \psi \quad \quad \quad }}}
¬φ{\displaystyle \lnot \varphi }

قواعد حروف العطف

ملحق (أو مقدمة حرف العطف )
φ{\displaystyle \varphi }
ψ  _{\displaystyle {\underline {\psi \quad \quad \\ }}}
φ∧ψ{\displaystyle \varphi \land \psi }
التبسيط (أو حذف العطف )
φ∧ψ_{\displaystyle {\underline {\varphi \land \psi }}}
φ{\displaystyle \varphi }
φ∧ψ_{\displaystyle {\underline {\varphi \land \psi }}}
ψ{\displaystyle \psi }

قواعد الفصل

إضافة (أو مقدمة فصل )
φ  _{\displaystyle {\underline {\varphi \quad \quad \ \ }}}
φ∨ψ{\displaystyle \varphi \lor \psi }
ψ  _{\displaystyle {\underline {\psi \quad \quad \\ }}}
φ∨ψ{\displaystyle \varphi \lor \psi }
تحليل الحالات (أو البرهان بالحالات أو الحجة بالحالات أو حذف الفصل المنطقي )
φ→χ{\displaystyle \varphi \rightarrow \chi }
ψ→χ{\displaystyle \psi \rightarrow \chi }
φ∨ψ_{\displaystyle {\underline {\varphi \lor \psi }}}
χ{\displaystyle \chi }
القياس المنطقي المنفصل
φ∨ψ{\displaystyle \varphi \lor \psi }
¬φ_{\displaystyle {\underline {\lnot \varphi \quad \quad }}}
ψ{\displaystyle \psi }
φ∨ψ{\displaystyle \varphi \lor \psi }
¬ψ_{\displaystyle {\underline {\lnot \psi \quad \quad }}}
φ{\displaystyle \varphi }
معضلة البناء
φ→χ{\displaystyle \varphi \rightarrow \chi }
ψ→ξ{\displaystyle \psi \rightarrow \xi }
φ∨ψ_{\displaystyle {\underline {\varphi \lor \psi }}}
χ∨ξ{\displaystyle \chi \lor \xi }

قواعد العبارات الشرطية الثنائية

مقدمة مشروطة ثنائية
φ→ψ{\displaystyle \varphi \rightarrow \psi }
ψ→φ_{\displaystyle {\underline {\psi \rightarrow \varphi }}}
φ↔ψ{\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }
الاستبعاد المشروط الثنائي
φ↔ψ{\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }
φ_{\displaystyle {\underline {\varphi \quad \quad }}}
ψ{\displaystyle \psi }
φ↔ψ{\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }
ψ_{\displaystyle {\underline {\psi \quad \quad }}}
φ{\displaystyle \varphi }
φ↔ψ{\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }
¬φ_{\displaystyle {\underline {\lnot \varphi \quad \quad }}}
¬ψ{\displaystyle \lnot \psi }
φ↔ψ{\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }
¬ψ_{\displaystyle {\underline {\lnot \psi \quad \quad }}}
¬φ{\displaystyle \lnot \varphi }
φ↔ψ{\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }
ψ∨φ_{\displaystyle {\underline {\psi \lor \varphi }}}
ψ∧φ{\displaystyle \psi \land \varphi }
φ↔ψ{\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi }
¬ψ∨¬φ_{\displaystyle {\underline {\lnot \psi \lor \lnot \varphi }}}
¬ψ∧¬φ{\displaystyle \lnot \psi \land \lnot \varphi }

قواعد حساب التفاضل والتكامل الكلاسيكي

في القواعد التالية،φ(β/α){\displaystyle \varphi (\beta /\alpha )}يشبه تمامًاφ{\displaystyle \varphi }باستثناء امتلاك المصطلحβ{\displaystyle \beta }أينماφ{\displaystyle \varphi }يحتوي على المتغير الحرα{\displaystyle \alpha }.

التعميم الشامل (أو التقديم الشامل )
φ(β/α)_{\displaystyle {\underline {\varphi {(\beta /\alpha )}}}}
∀αφ{\displaystyle \forall \alpha \,\varphi }

القيد 1: β{\displaystyle \beta }هو متغير لا يظهر فيφ{\displaystyle \varphi } القيد الثاني : β{\displaystyle \beta }لم يتم ذكره في أي فرضية أو افتراضات لم يتم التحقق منها.

التجسيد الشامل (أو الإزالة الشاملة )
∀αφ{\displaystyle \forall \alpha \,\varphi }
φ(β/α)¯{\displaystyle {\overline {\varphi {(\beta /\alpha )}}}}

التقييد: لا يُسمح بحدوث أي شيء بشكل حرα{\displaystyle \alpha }فيφ{\displaystyle \varphi }يندرج ضمن نطاق أداة التحديد الكمي التي تحدد كمية متغير يحدث فيβ{\displaystyle \beta }.

التعميم الوجودي (أو المقدمة الوجودية )
φ(β/α)_{\displaystyle {\underline {\varphi (\beta /\alpha )}}}
∃αφ{\displaystyle \exists \alpha \,\varphi }

التقييد: لا يُسمح بحدوث أي شيء بشكل حرα{\displaystyle \alpha }فيφ{\displaystyle \varphi }يندرج ضمن نطاق أداة التحديد الكمي التي تحدد كمية متغير يحدث فيβ{\displaystyle \beta }.

التجسيد الوجودي (أو الإزالة الوجودية )
∃αφ{\displaystyle \exists \alpha \,\varphi }
φ(β/α)⊢ψ_{\displaystyle {\underline {\varphi (\beta /\alpha )\vdash \psi }}}
ψ{\displaystyle \psi }

القيد 1: β{\displaystyle \beta }هو متغير لا يظهر فيφ{\displaystyle \varphi }القيد الثاني : لا يوجد أي حدوث، سواء كان حراً أو مقيداً، لـβ{\displaystyle \beta }فيψ{\displaystyle \psi } القيد الثالث : β{\displaystyle \beta }لم يتم ذكره في أي فرضية أو افتراضات لم يتم التحقق منها.

قواعد المنطق البنيوي الفرعي

فيما يلي حالات خاصة من التعميم الشامل والإزالة الوجودية؛ تحدث هذه الحالات في المنطق البنيوي الفرعي، مثل المنطق الخطي .

قاعدة التضعيف (أو رتابة الاستلزام ) (المعروفة أيضًا باسم نظرية عدم الاستنساخ )
α⊢β{\displaystyle \alpha \vdash \beta }
α،α⊢β¯{\displaystyle {\overline {\alpha ,\alpha \vdash \beta }}}
قاعدة الانكماش (أو خاصية التكرار في الاستلزام ) (المعروفة أيضًا باسم نظرية عدم الحذف )
α،α،γ⊢β_{\displaystyle {\underline {\alpha ,\alpha ,\gamma \vdash \beta }}}
α،γ⊢β{\displaystyle \alpha ,\gamma \vdash \beta }

جدول: قواعد الاستدلال

يمكن تلخيص القواعد المذكورة أعلاه في الجدول التالي. [ 1 ] يوضح عمود " التكرار " كيفية تفسير ترميز قاعدة معينة.

قواعد الاستدلالتكرار الكلاماسم
صص→q∴q¯{\displaystyle {\begin{aligned}p\\p\rightarrow q\\\therefore {\overline {q\quad \quad \quad }}\\\end{aligned}}}(ص∧(ص→q))→q{\displaystyle (p\wedge (p\rightarrow q))\rightarrow q}Modus ponens
¬qص→q∴¬ص¯{\displaystyle {\begin{aligned}\neg q\\p\rightarrow q\\\therefore {\overline {\neg p\quad \quad \quad }}\\\end{aligned}}}(¬q∧(ص→q))→¬ص{\displaystyle (\neg q\wedge (p\rightarrow q))\rightarrow \neg p}Modus tollens
ص→qq→ر∴ص→ر¯{\displaystyle {\begin{aligned}p\rightarrow q\\q\rightarrow r\\\therefore {\overline {p\rightarrow r}}\\\end{aligned}}}((ص→q)∧(q→ر))→(ص→ر){\displaystyle ((p\rightarrow q)\wedge (q\rightarrow r))\rightarrow (p\rightarrow r)}القياس المنطقي الافتراضي
ص→q∴ص→(ص∧q)¯{\displaystyle {\begin{aligned}p\rightarrow q\\\therefore {\overline {p\rightarrow (p\wedge q)}}\\\end{aligned}}}(ص→q)→(ص→(ص∧q)){\displaystyle (p\rightarrow q)\rightarrow (p\rightarrow (p\wedge q))}امتصاص
صq∴ص∧q¯{\displaystyle {\begin{aligned}p\\q\\\therefore {\overline {p\wedge q}}\\\end{aligned}}}((ص)∧(q))→(ص∧q){\displaystyle ((p)\wedge (q))\rightarrow (p\wedge q)}مقدمة حرف العطف
ص∧q∴ص¯{\displaystyle {\begin{aligned}p\wedge q\\\therefore {\overline {p\quad \quad \quad }}\\\end{aligned}}}(ص∧q)→ص{\displaystyle (p\wedge q)\rightarrow p}حذف الاقتران
ص∴ص∨q¯{\displaystyle {\begin{aligned}p\\\therefore {\overline {p\vee q}}\\\end{aligned}}}ص→(ص∨q){\displaystyle p\rightarrow (p\vee q)}مقدمة الفصل
ص→qر→qص∨ر∴q¯{\displaystyle {\begin{aligned}p\rightarrow q\\r\rightarrow q\\p\vee r\\\therefore {\overline {q\quad \quad \quad }}\\\end{aligned}}}((ص→q)∧(ر→q)∧(ص∨ر))→q{\displaystyle ((p\rightarrow q)\wedge (r\rightarrow q)\wedge (p\vee r))\rightarrow q}إزالة الانفصال
ص∨q¬ص∴q¯{\displaystyle {\begin{aligned}p\vee q\\\neg p\\\therefore {\overline {q\quad \quad \quad }}\\\end{aligned}}}((ص∨q)∧¬ص)→q{\displaystyle ((p\vee q)\wedge \neg p)\rightarrow q}القياس المنطقي المنفصل
ص∨ص∴ص¯{\displaystyle {\begin{aligned}p\vee p\\\therefore {\overline {p\quad \quad \quad }}\\\end{aligned}}}(ص∨ص)→ص{\displaystyle (p\vee p)\rightarrow p}التبسيط الانفصالي
ص∨q¬ص∨ر∴q∨ر¯{\displaystyle {\begin{aligned}p\vee q\\\neg p\vee r\\\therefore {\overline {q\vee r}}\\\end{aligned}}}((ص∨q)∧(¬ص∨ر))→(q∨ر){\displaystyle ((p\vee q)\wedge (\neg p\vee r))\rightarrow (q\vee r)}دقة
ص→qq→ص∴ص↔q¯{\displaystyle {\begin{aligned}p\rightarrow q\\q\rightarrow p\\\therefore {\overline {p\leftrightarrow q}}\\\end{aligned}}}((ص→q)∧(q→ص))→(ص↔q){\displaystyle ((p\rightarrow q)\wedge (q\rightarrow p))\rightarrow (p\leftrightarrow q)}مقدمة مشروطة ثنائية

تستخدم جميع القواعد عوامل المنطق الأساسية. ويُعرض جدول كامل لـ "عوامل المنطق" في جدول الحقيقة ، الذي يُقدم تعريفات لجميع دوال الحقيقة الممكنة (16) لمتغيرين منطقيين ( p ، q ):

صq 0  1  2  3  4  5  6  7  8  9 101112131415
تيتيFFFFFFFFتيتيتيتيتيتيتيتي
تيFFFFFتيتيتيتيFFFFتيتيتيتي
FتيFFتيتيFFتيتيFFتيتيFFتيتي
FFFتيFتيFتيFتيFتيFتيFتيFتي

حيث T = صحيح و F = خطأ، والأعمدة هي عوامل التشغيل المنطقية :

يمكن استخدام كل عامل منطقي في تأكيد حول المتغيرات والعمليات، مما يُظهر قاعدة أساسية للاستدلال. أمثلة:

  • يُظهر عامل العمود 14 (OR) قاعدة الجمع : عندما p = T (تختار الفرضية أول سطرين من الجدول)، نرى (في العمود 14) أن p ∨ q = T.
    يمكننا أن نرى أيضاً أنه، مع نفس الفرضية، توجد استنتاجات أخرى صحيحة: الأعمدة 12 و14 و15 هي T.
  • يوضح عامل العمود الثامن (AND) قاعدة التبسيط : عندما يكون p ∧ q =T (السطر الأول من الجدول)، نرى أن p =T.
    وبناءً على هذه الفرضية، نستنتج أيضًا أن q =T، و p ∨ q =T، وما إلى ذلك كما هو موضح في الأعمدة من 9 إلى 15.
  • يُظهر عامل العمود الحادي عشر (IF/THEN) قاعدة القياس المنطقي (Modus ponens ): عندما يكون p → q = T و p = T، فإن سطرًا واحدًا فقط من جدول الحقيقة (السطر الأول) يُحقق هذين الشرطين. في هذا السطر، تكون q صحيحة أيضًا. لذلك، كلما كان p → q صحيحًا و p صحيحًا، يجب أن تكون q صحيحة أيضًا.

تستخدم الآلات والأشخاص المدربون تدريباً جيداً هذا النهج القائم على النظر إلى الجدول لإجراء استنتاجات أساسية، وللتحقق مما إذا كان من الممكن الحصول على استنتاجات أخرى (لنفس المقدمات).

المثال 1

لنفترض الافتراضات التالية: "إذا أمطرت اليوم، فلن نذهب في رحلة بالقارب اليوم. وإذا لم نذهب في رحلة بالقارب اليوم، فسنذهب في رحلة بالقارب غدًا. لذلك (الرمز الرياضي لـ "لذلك" هو∴{\displaystyle \therefore }إذا أمطرت اليوم، فسنذهب في رحلة بالقارب غدًا. وللاستفادة من قواعد الاستدلال في الجدول أعلاه، نفرض ما يلي:ص{\displaystyle p}لنفترض العبارة التالية: "إذا أمطرت اليوم"،q{\displaystyle q}قل "لن نذهب في رحلة بالقارب اليوم" ودعر{\displaystyle r}لنفترض أننا سنذهب في رحلة بالقارب غدًا. عندها يكون هذا الاستدلال على الشكل التالي:

ص→qq→ر∴ص→ر¯{\displaystyle {\begin{aligned}p\rightarrow q\\q\rightarrow r\\\therefore {\overline {p\rightarrow r}}\\\end{aligned}}}

المثال 2

لنفترض مجموعة أكثر تعقيدًا من الافتراضات: "الجو ليس مشمسًا اليوم، والجو أبرد من الأمس". "سنذهب للسباحة فقط إذا كان الجو مشمسًا"، "إذا لم نذهب للسباحة، فسنقيم حفلة شواء"، و"إذا أقمنا حفلة شواء، فسنعود إلى المنزل عند غروب الشمس" تؤدي إلى النتيجة "سنعود إلى المنزل عند غروب الشمس". البرهان باستخدام قواعد الاستدلال: ليكنص{\displaystyle p}لنفترض العبارة التالية: "الجو مشمس اليوم".q{\displaystyle q}العبارة "الجو أبرد من أمس".ر{\displaystyle r}الاقتراح "سنذهب للسباحة"،s{\displaystyle s}الاقتراح "سنقيم حفلة شواء"، وت{\displaystyle t}الافتراض "سنكون في المنزل عند غروب الشمس". ثم تصبح الفرضيات¬ص∧q،ر→ص،¬ر→s{\displaystyle \neg p\wedge q,r\rightarrow p,\neg r\rightarrow s}وs→ت{\displaystyle s\rightarrow t}باستخدام حدسنا، نفترض أن النتيجة قد تكونت{\displaystyle t}باستخدام جدول قواعد الاستدلال، يمكننا إثبات التخمين بسهولة:

خطوةسبب
1.¬ص∧q{\displaystyle \neg p\wedge q}فرضية
2.¬ص{\displaystyle \neg p}التبسيط باستخدام الخطوة 1
3.ر→ص{\displaystyle r\rightarrow p}فرضية
4.¬ر{\displaystyle \neg r}Modus tollens باستخدام الخطوتين 2 و 3
5.¬ر→s{\displaystyle \neg r\rightarrow s}فرضية
6.s{\displaystyle s}Modus ponens باستخدام الخطوتين 4 و 5
7.s→ت{\displaystyle s\rightarrow t}فرضية
8.ت{\displaystyle t}Modus ponens باستخدام الخطوتين 6 و7

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ كينيث هـ. روزن: الرياضيات المتقطعة وتطبيقاتها ، الطبعة الخامسة، ص 58.