حصري أو

عملية "أو الحصرية " (XOR)، أو "الفصل الحصري" ، أو " التناوب الحصري " ، أو "عدم التكافؤ المنطقي" ، أو " عدم المساواة المنطقية" ، هي عامل منطقي نفيه هو الشرط الثنائي المنطقي . عند إدخال عنصرين، تكون عملية "أو الحصرية" صحيحة إذا وفقط إذا كان العنصران مختلفين (أحدهما صحيح والآخر خاطئ). عند إدخال عدة عناصر، تكون عملية "أو الحصرية" صحيحة إذا وفقط إذا كان عدد العناصر الصحيحة فرديًا . ^{[ 1 ]}

يُطلق عليه اسم "أو الحصرية" لأن معنى "أو" يكون غامضًا عندما يكون كلا المعاملين صحيحين. تستبعد عملية XOR هذه الحالة. من الطرق غير الرسمية لوصف XOR: "أحدهما أو الآخر، ولكن ليس كلاهما"، و"إما أحدهما أو الآخر"، و"أ أو ب، ولكن ليس أ و ب".

يرمز إليه بواسطة عامل البادئة${\displaystyle J}$^{[ 2 ] : 16}وبواسطةعوامل التشغيل الوسطيةXOR( / ˌɛksˈɔːr / أو / ˈksɔːr / ) ،EOR،EXOR ،​​​​​​​${\displaystyle {\dot {\vee }}}$،${\displaystyle {\overline {\vee }}}$،${\displaystyle {\underline {\vee }}}$، ⩛ ،${\displaystyle \oplus }$،${\displaystyle \nleftrightarrow }$،${\displaystyle \not \equiv }$و ^.

جدول الحقيقة لـ${\displaystyle A\nleftrightarrow B}$يُظهر ذلك أنه يُخرج القيمة "صحيح" كلما اختلفت المدخلات:

${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle A\nleftrightarrow B}$
F	F	F
F	تي	تي
تي	F	تي
تي	تي	F

يعني الفصل الحصري أساسًا "إما واحد، وليس كلاهما ولا لا شيء". بعبارة أخرى، تكون العبارة صحيحة إذا وفقط إذا كان أحدهما صحيحًا والآخر خاطئًا. على سبيل المثال، إذا كان هناك حصانان يتسابقان، فسيفوز أحدهما بالسباق، ولكن ليس كلاهما. الفصل الحصري${\displaystyle p\nleftrightarrow q}$، ويرمز إليه أيضًا بـ${\displaystyle p\operatorname {?} q}$أو${\displaystyle Jpq}$، ويمكن التعبير عنها من حيث العطف المنطقي ("و المنطقي").${\displaystyle \land }$، الفصل المنطقي ("أو المنطقي"${\displaystyle \vee }$والنفي (​${\displaystyle \neg }$) كما يلي:

${\displaystyle {\begin{matrix}p\nleftrightarrow q&=&(p\vee q)\land \neg (p\land q)\end{matrix}}}$

الانفصال الحصري${\displaystyle p\nleftrightarrow q}$ويمكن التعبير عنها أيضاً بالطريقة التالية:

${\displaystyle {\begin{matrix}p\nleftrightarrow q&=&(p\land \lnot q)\lor (\lnot p\land q)\end{matrix}}}$

قد يكون هذا التمثيل لـ XOR مفيدًا عند بناء دائرة أو شبكة، لأنه يحتوي على واحد فقط${\displaystyle \lnot }$عملية وعدد قليل من${\displaystyle \land }$و${\displaystyle \lor }$العمليات. يرد أدناه برهان هذه الهوية:

${\displaystyle {\begin{matrix}p\nleftrightarrow q&=&(p\land \lnot q)&\lor &(\lnot p\land q)\\[3pt]&=&((p\land \lnot q)\lor \lnot p)&\land &((p\land \lnot q)\lor q)\\[3pt]&=&((p\lor \lnot p)\land (\lnot q\lor \lnot p))&\land &((p\lor q)\land (\lnot q\lor q))\\[3pt]&=&(\lnot p\lor \lnot q)&\land &(p\lor q)\\[3pt]&=&\lnot (p\land q)&\land &(p\lor q)\end{matrix}}}$

من المفيد أحيانًا الكتابة${\displaystyle p\nleftrightarrow q}$على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{matrix}p\nleftrightarrow q&=&\lnot ((p\land q)\lor (\lnot p\land \lnot q))\end{matrix}}}$

أو:

${\displaystyle {\begin{matrix}p\nleftrightarrow q&=&(p\lor q)\land (\lnot p\lor \lnot q)\end{matrix}}}$

يمكن إثبات هذا التكافؤ من خلال تطبيق قوانين دي مورغان مرتين على السطر الرابع من البرهان أعلاه.

إن "أو الحصرية" تعادل أيضًا نفي الشرط الثنائي المنطقي ، وفقًا لقواعد الاستلزام المادي ( الشرط المادي يعادل فصل نفي مقدمته ونتيجته ) والتكافؤ المادي .

باختصار، لدينا، بالرموز الرياضية والهندسية:

${\displaystyle {\begin{matrix}p\nleftrightarrow q&=&(p\land \lnot q)&\lor &(\lnot p\land q)&=&p{\overline {q}}+{\overline {p}}q\\[3pt]&=&(p\lor q)&\land &(\lnot p\lor \lnot q)&=&(p+q)({\overline {p}}+{\overline {q}})\\[3pt]&=&(p\lor q)&\land &\lnot (p\land q)&=&(p+q)({\overline {pq}})\end{matrix}}}$

بتطبيق روح قوانين دي مورغان ، نحصل على: $${\displaystyle \neg (p\nleftrightarrow q)\equiv \neg p\nleftrightarrow q\equiv p\nleftrightarrow \neg q.}$$

على الرغم من أن المشغلين${\displaystyle \wedge }$( الاقتران ) و${\displaystyle \lor }$تُعدّ ( الفصل ) مفيدة جدًا في الأنظمة المنطقية، فهي تُنشئ بنية أكثر قابلية للتعميم بالطريقة التالية:

الأنظمة${\displaystyle (\{T,F\},\wedge )}$و${\displaystyle (\{T,F\},\lor )}$هي أحاديات ، لكن لا هي زمرة . وهذا للأسف يمنع دمج هذين النظامين في هياكل أكبر، مثل حلقة رياضية .

ومع ذلك، فإن النظام الذي يستخدم الحصري أو${\displaystyle (\{T,F\},\oplus )}$هي مجموعة أبيلية . مجموعة من المؤثرات${\displaystyle \wedge }$و${\displaystyle \oplus }$أكثر من العناصر${\displaystyle \{T,F\}}$ينتج المجال المعروف ذو العنصرين${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$يمكن لهذا الحقل أن يمثل أي منطق يمكن الحصول عليه باستخدام النظام${\displaystyle (\land ,\lor )}$وله ميزة إضافية تتمثل في ترسانة من أدوات التحليل الجبري للحقول.

وبشكل أكثر تحديداً، إذا ربط المرء${\displaystyle F}$مع 0 و${\displaystyle T}$باستخدام 1، يمكن تفسير عملية "و" المنطقية على أنها عملية ضرب على${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$وعملية "XOR" كعملية جمع${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$:

${\displaystyle {\begin{matrix}r=p\land q&\Leftrightarrow &r=p\cdot q{\pmod {2}}\\[3pt]r=p\oplus q&\Leftrightarrow &r=p+q{\pmod {2}}\\\end{matrix}}}$

وصف الدالة المنطقية على أنها متعددة الحدود في${\displaystyle \mathbb {F} _{2}}$^{[ 3 ]} باستخدام هذا الأساس، تسمى الصيغة الجبرية الطبيعية للدالة .

يُفهم الفصل عادةً في اللغات الطبيعية فقط . في اللغة الإنجليزية، يُفهم الفصل "أو" غالبًا بشكل حصري، خاصةً عند استخدامه مع أداة الربط "إما". المثال الإنجليزي أدناه يُفهم عادةً في المحادثات على أنه يعني أن ماري ليست مغنية وشاعرة في آن واحد. ^{[ 4 ] [ 5 ]}

1. ماري مغنية أو شاعرة.

مع ذلك، يمكن فهم الفصل أيضًا على نحو شامل، حتى عند اقترانه بكلمة "إما". على سبيل المثال، يُظهر المثال الأول أدناه أنه يمكن استخدام "إما" بشكل مناسب مع عبارة صريحة تفيد بأن كلا المفصولين صحيحان. أما المثال الثاني فيُظهر أن الاستدلال الحصري يختفي في سياقات الاستلزام التنازلي . فلو فُهم الفصل على أنه حصري في هذا المثال، لكان ذلك سيُبقي احتمال أن بعض الناس قد أكلوا الأرز والفاصوليا معًا واردًا. ^{[ 4 ]}

2. ماري إما مغنية أو شاعرة أو كليهما.

3. لم يأكل أحد الأرز أو الفاصوليا.

دفعت أمثلة كهذه إلى إجراء تحليلات حول استدلال الحصرية باعتباره استدلالًا ضمنيًا حواريًا عمليًا يُحسب بناءً على دلالات شاملة . عادةً ما تكون الاستدلالات الضمنية قابلة للإلغاء ولا تظهر في سياقات الاستلزام التنازلي إذا كان حسابها يعتمد على قاعدة الكمية . مع ذلك، تعامل بعض الباحثين مع الحصرية باعتبارها استلزامًا دلاليًا حقيقيًا، واقترحوا منطقًا غير تقليدي من شأنه أن يُثبت صحتها. ^{[ 4 ]}

يُلاحظ هذا السلوك لكلمة "or" الإنجليزية في لغات أخرى أيضاً. مع ذلك، تحتوي العديد من اللغات على تراكيب انفصالية حصرية تماماً، مثل الفرنسية soit... soit . ^{[ 4 ]}

يختلف الرمز المستخدم للفصل الحصري من مجال تطبيق لآخر، بل ويعتمد على الخصائص التي يتم التركيز عليها في سياق نقاش معين. بالإضافة إلى الاختصار "XOR"، قد يُستخدم أي من الرموز التالية:

• ${\displaystyle +}$استخدمها جورج بول في عام 1847. ^{[ 6 ]} على الرغم من أن بول استخدم${\displaystyle +}$وبالأخص فيما يتعلق بالصفوف الدراسية، فقد نظر أيضاً في القضية التي${\displaystyle x,y}$هي مقترحات في${\displaystyle x+y}$وفي ذلك الوقت${\displaystyle +}$هي أداة ربط. علاوة على ذلك، استخدمها بول حصريًا. على الرغم من أن هذا الاستخدام لا يُظهر العلاقة بين الفصل التضميني (الذي من أجله${\displaystyle \vee }$(يُستخدم بشكل شبه ثابت في الوقت الحاضر) والفصل الحصري، وقد يُسبب أيضًا التباسًا مع استخداماته الأخرى، إلا أن بعض الكتب الدراسية الكلاسيكية والحديثة لا تزال تحتفظ بهذا الاستخدام. ^{[ 7 ] [ 8 ]}
• ${\displaystyle {\overline {\vee }}}$استخدمتها كريستين لاد فرانكلين عام 1883. ^{[ 9 ]} وبالمعنى الدقيق للكلمة، استخدمت لاد${\displaystyle A\operatorname {\overline {\vee }} B}$للتعبير عن "${\displaystyle A}$ليس${\displaystyle B}$"أو "لا"${\displaystyle A}$يكون${\displaystyle B}$، أي، مستخدم${\displaystyle {\overline {\vee }}}$كاستثناءات، بينما ضمنيًا${\displaystyle {\overline {\vee }}}$يحمل معنى الفصل الحصري لأن عنوان المقالة هو "حول جبر المنطق".
• ${\displaystyle \not =}$استخدم إرنست شرودر في عام 1890، ^{[ 10 ] : 307} ، مصطلحًا يدل على نفي التكافؤ ، على الرغم من استخدام${\displaystyle =}$بما أن مفهوم التكافؤ يمكن إرجاعه إلى جورج بول في عام 1847، ^{[ 6 ]} فخلال الأربعين عامًا التي تلت بول، لم يستخدم أتباعه، مثل تشارلز ساندرز بيرس ، وهيو ماكول ، وجوزيبي بيانو، وغيرهم، هذا المصطلح.${\displaystyle \not =}$بمعنى عدم التكافؤ حرفياً، وهو ما قد يكون بسبب إمكانية تعريفه بسهولة من خلال النفي والتكافؤ.
• ${\displaystyle \circ }$استخدمها جوزيبي بيانو في عام 1894: "${\displaystyle a\circ b=a-b\,\cup \,b-a}$اللافتة${\displaystyle \circ }$يقابلها الكلمة اللاتينية aut ؛ العلامة${\displaystyle \cup }$إلى vel ." ^{[ 11 ] : 10} لاحظ أن الكلمة اللاتينية "aut" تعني "أو الحصرية" و"vel" تعني "أو الشاملة"، وأن استخدام بيانو${\displaystyle \cup }$كفصل شامل.
• ${\displaystyle \vee \vee }$تم استخدامه من قبل إزرائيل سولومونوفيتش جرادشتاين (Израиль Соломонович Градстейн) في عام 1936. ^{[ 12 ] : 76}
• ${\displaystyle \oplus }$استخدمه كلود شانون عام 1938. ^{[ 13 ]} استعار شانون الرمز كفصل حصري من إدوارد فيرميلي هنتنغتون عام 1904. ^{[ 14 ]} استعار هنتنغتون الرمز من غوتفريد فيلهلم لايبنتز عام 1890 (التاريخ الأصلي غير معروف على وجه اليقين، ولكن من شبه المؤكد أنه كُتب بعد عام 1685؛ وعام 1890 هو تاريخ النشر). ^{[ 15 ]} بينما استخدم كل من هنتنغتون عام 1904 ولايبنتز عام 1890 الرمز كعملية جبرية. علاوة على ذلك، استخدم هنتنغتون الرمز عام 1904 كفصل شامل (مجموع منطقي) أيضًا، وفي عام 1933 استخدم${\displaystyle +}$كفصل شامل. ^{[ 16 ]}
• ${\displaystyle \not \equiv }$^{[ 17 ]} ، والذي يشير أيضًا إلى نفي التكافؤ ، استخدمه ألونسو تشيرش في عام 1944.
• ${\displaystyle J}$( كعامل بادئة ،${\displaystyle J\phi \psi }$استُخدم هذا المصطلح من قِبل جوزيف ماريا بوتشينسكي عام 1949. ^{[ 2 ] : 16} قد يظن البعض ^{[ 18 ]} خطأً أن يان لوكاسيفيتش هو أول من استخدمه.${\displaystyle J}$فيما يتعلق بالفصل الحصري (يبدو أن هذا الخطأ شائع)، بينما لم يستخدمه لوكاسيفيتش لا في عام 1929 ^{[ 19 ]} ولا في أعمال أخرى. في الواقع، في عام 1949، قدم بوتشينسكي نظامًا للتدوين البولندي يُسمي جميع الروابط الثنائية الستة عشر للمنطق الكلاسيكي، وهو امتداد متوافق لتدوين لوكاسيفيتش في عام 1929، والذي${\displaystyle J}$ظهر مصطلح الفصل الحصري لأول مرة. استخدام بوشينسكي لـ${\displaystyle J}$لأن الفصل الحصري ليس له علاقة بالكلمة البولندية "alternatywa rozłączna" التي تعني "أو الحصري" وهو عرضي انظر الجدول في الصفحة 16 من الكتاب في عام 1949.
• ^تم استخدام علامة الإقحام (caret ) في العديد من لغات البرمجة للدلالة على عامل التشغيل الحصري أو الثنائي، بدءًا من C ^{[ 20 ]} وتشمل أيضًا C++ و C# و D و Java و Perl و Ruby و PHP و Python و Rust .
• الفرق المتناظر بين مجموعتين${\displaystyle S}$و${\displaystyle T}$والتي يمكن تفسيرها على أنها عملية "أو" الحصرية بين عناصرها، وقد تم الإشارة إليها بأشكال مختلفة على النحو التالي:${\displaystyle S\ominus T}$،${\displaystyle S\mathop {\triangledown } T}$، أو${\displaystyle S\mathop {\vartriangle } T}$[ ^{21 ]​}

خاصية التبديل : نعم

${\displaystyle A\oplus B}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$	${\displaystyle B\oplus A}$
	${\displaystyle \Leftrightarrow }$

الترابط : نعم

${\displaystyle ~A}$	${\displaystyle ~~~\oplus ~~~}$	${\displaystyle (B\oplus C)}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$			${\displaystyle (A\oplus B)}$	${\displaystyle ~~~\oplus ~~~}$	${\displaystyle ~C}$
	${\displaystyle ~~~\oplus ~~~}$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$		${\displaystyle ~~~\oplus ~~~}$

خاصية التوزيع :

لا يتم توزيع عملية "أو الحصرية" على أي دالة ثنائية (ولا حتى على نفسها)، ولكن عملية الاقتران المنطقي يتم توزيعها على "أو الحصرية" .${\displaystyle C\land (A\oplus B)=(C\land A)\oplus (C\land B)}$(يشكل الاقتران و الحصري أو عمليات الضرب والجمع لحقل GF (2) ، وكما هو الحال في أي حقل، فإنهما يخضعان لقانون التوزيع.)

خاصية التكرار : لا

${\displaystyle ~A~}$	${\displaystyle ~\oplus ~}$	${\displaystyle ~A~}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$	${\displaystyle ~0~}$	${\displaystyle \nLeftrightarrow }$	${\displaystyle ~A~}$
	${\displaystyle ~\oplus ~}$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$		${\displaystyle \nLeftrightarrow }$

الرتابة : لا

${\displaystyle A\rightarrow B}$	${\displaystyle \nRightarrow }$			${\displaystyle (A\oplus C)}$	${\displaystyle \rightarrow }$	${\displaystyle (B\oplus C)}$
	${\displaystyle \nRightarrow }$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$		${\displaystyle \rightarrow }$

الحفاظ على الحقيقة: لا

عندما تكون جميع المدخلات صحيحة، فإن المخرجات لا تكون صحيحة.

${\displaystyle A\land B}$	${\displaystyle \nRightarrow }$	${\displaystyle A\oplus B}$
	${\displaystyle \nRightarrow }$

الحفاظ على الزيف: نعم

عندما تكون جميع المدخلات خاطئة، تكون المخرجات خاطئة.

${\displaystyle A\oplus B}$	${\displaystyle \Rightarrow }$	${\displaystyle A\lor B}$
	${\displaystyle \Rightarrow }$

طيف والش : (2,0,0,−2)

اللاخطية : 0

الدالة خطية.

الانكماش:

إن الدالة الحصرية أو ذات المدخل المحدد، كدالة للمدخل الآخر، هي دالة انعكاسية أو دالة معكوسة ذاتيًا؛ تطبيقها مرتين يترك المدخل المتغير دون تغيير.

${\displaystyle ~A\oplus B~}$	${\displaystyle ~\oplus ~}$	${\displaystyle ~B~}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$	${\displaystyle ~A~}$
	${\displaystyle ~\oplus ~}$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$

إذا تم استخدام القيم الثنائية للصواب (1) والخطأ (0)، فإن عملية الجمع الحصرية تعمل تمامًا مثل عملية الجمع modulo 2.

ويُطلق عليه أيضًا اسم "ليس سهمًا يمينًا-يسارًا" ( \nleftrightarrow) في لغة ماركداون المستندة إلى LaTeX (${\displaystyle \nleftrightarrow }$). بصرف النظر عن رموز ASCII، يتم ترميز المعامل في U+22BB ⊻ XOR ( & veebar; ) و U+2295 ⊕ CIRCLED PLUS ( & CirclePlus;, & oplus; ) ، وكلاهما في معاملات رياضية كتلية .

• كل ما يتعلق بعملية XOR
• براهين خصائص عملية XOR وتطبيقاتها، CS103: الأسس الرياضية للحوسبة، جامعة ستانفورد