مبدأ هاس

الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُعرف مبدأ هيلموت هاس المحلي -العالمي ، أو مبدأ هاس ، بأنه إمكانية إيجاد حل صحيح لمعادلة ما باستخدام نظرية الباقي الصينية لتجميع الحلول بتردد قوى كل عدد أولي مختلف . ويتم ذلك بفحص المعادلة في مجموعتي الأعداد النسبية : الأعداد الحقيقية والأعداد p -adic . وينص إصدار أكثر رسمية من مبدأ هاس على أن أنواعًا معينة من المعادلات لها حل نسبي إذا وفقط إذا كان لها حل في مجموعتي الأعداد الحقيقية والأعداد p - adic لكل عدد أولي p .

حدس

إذا كانت لدينا معادلة متعددة الحدود ذات معاملات نسبية، وكان لها حل نسبي، فإن هذا الحل ينتج عنه أيضًا حل حقيقي وحل p -adic، لأن الأعداد النسبية مضمنة في الأعداد الحقيقية و p -adic: الحل الشامل ينتج عنه حلول محلية عند كل عدد أولي. يسأل مبدأ هاس متى يمكن عكس العملية، أو بالأحرى، يسأل ما هو العائق: متى يمكن تجميع الحلول على الأعداد الحقيقية و p -adic للحصول على حل على الأعداد النسبية؟ متى يمكن ضم الحلول المحلية لتكوين حل شامل؟

يمكن طرح هذا السؤال بالنسبة لحلقات أو حقول أخرى : الأعداد الصحيحة، على سبيل المثال، أو حقول الأعداد . بالنسبة لحقول الأعداد، بدلاً من الأعداد الحقيقية والأعداد p -adics، يتم استخدام تضمينات معقدة وص{\displaystyle {\mathfrak {p}}}-adics، من أجل المثل العلياص{\displaystyle {\mathfrak {p}}}في حلقة الأعداد الصحيحة للحقل .

نماذج تمثل 0

الأشكال التربيعية

تنص نظرية هاس -مينكوفسكي على أن مبدأ المحلي-العالمي ينطبق على مسألة تمثيل الصفر بصيغ تربيعية على الأعداد النسبية (وهي نتيجة مينكوفسكي )؛ وبشكل أعم على أي حقل عددي (كما أثبت هاس)، عند استخدام جميع الشروط الضرورية المناسبة للحقل المحلي . وتنص نظرية هاس حول الامتدادات الدورية على أن مبدأ المحلي-العالمي ينطبق على شرط كون الامتداد الدوري للحقول العددية معيارًا نسبيًا .

الأشكال المكعبة

يُظهر مثالٌ مضادٌّ من إرنست س . سيلمر أن نظرية هاس-مينكوفسكي لا يمكن تعميمها على الأشكال من الدرجة 3: فالمعادلة التكعيبية 3x³ + 4y³ + 5z³ = 0 لها حلٌّ في الأعداد الحقيقية ، وفي جميع الحقول p-adic، ولكن ليس لها حلٌّ غير تافه تكون فيه x و y و z أعدادًا نسبية. [ 1 ]      

أثبت روجر هيث براون [ 2 ] أن كل شكل تكعيبي على الأعداد الصحيحة في 14 متغيرًا على الأقل يمثل الصفر، محسّنًا بذلك نتائج دافنبورت السابقة . [ 3 ] وبما أن كل شكل تكعيبي على الأعداد p-adic بعشرة متغيرات على الأقل يمثل الصفر، [ 2 ] فإن مبدأ المحلي-العالمي ينطبق بشكل بديهي على الأشكال التكعيبية على الأعداد النسبية في 14 متغيرًا على الأقل.

بالاقتصار على الأشكال غير المنفردة، يمكن تحقيق نتائج أفضل: فقد أثبت هيث-براون أن كل شكل تكعيبي غير منفرد على الأعداد النسبية في 10 متغيرات على الأقل يُمثل الصفر، [ 4 ] مُثبتًا بذلك مبدأ هاس لهذه الفئة من الأشكال. من المعروف أن نتيجة هيث-براون هي الأفضل بمعنى وجود أشكال تكعيبية غير منفردة على الأعداد النسبية في 9 متغيرات لا تُمثل الصفر. [ 5 ] مع ذلك، بيّن هولي أن مبدأ هاس ينطبق على تمثيل الصفر بأشكال تكعيبية غير منفردة على الأعداد النسبية في 9 متغيرات على الأقل. [ 6 ] استخدم كل من دافنبورت وهيث-براون وهولي طريقة دائرة هاردي-ليتلوود في براهينهم. وفقًا لفكرة مانين ، يمكن ربط العوائق التي تحول دون تطبيق مبدأ هاس على الأشكال التكعيبية بنظرية زمرة براور . هذا هو عائق براور-مانين ، الذي يفسر تمامًا فشل مبدأ هاس لبعض فئات التنوع. ومع ذلك، فقد أظهر سكوروبوغاتوف أن عائق براور-مانين لا يمكنه تفسير جميع حالات فشل مبدأ هاس. [ 7 ]

أشكال الدرجة الأعلى

تُظهر الأمثلة المضادة التي قدمها فوجيوارا وسودو أن نظرية هاس-مينكوفسكي لا يمكن تعميمها على أشكال من الدرجة 10 n + 5، حيث n عدد صحيح غير سالب. [ 8 ]

من ناحية أخرى، تُظهر نظرية بيرش أنه إذا كان d أي عدد طبيعي فردي، فإن هناك عددًا N ( d ) بحيث يمثل أي شكل من الدرجة d في أكثر من N ( d ) متغيرًا 0: مبدأ هاس صحيح بشكل بديهي.

نظرية ألبرت-براور-هاس-نويثر

تُثبت نظرية ألبرت-براور-هاس-نوثر مبدأً محليًا-عالميًا لتقسيم جبر بسيط مركزي A على حقل عددي جبري K. وتنص على أنه إذا تم تقسيم A على كل إكمال K v ، فإنه يكون متماثلًا مع جبر المصفوفات على K.

مبدأ هاس للمجموعات الجبرية

ينص مبدأ هاس للمجموعات الجبرية على أنه إذا كانت G مجموعة جبرية بسيطة الاتصال معرفة على الحقل العام k، فإن التطبيق

ح1(ك،جي)→∏sح1(كs،جي){\displaystyle H^{1}(k,G)\rightarrow \prod _{s}H^{1}(k_{s},G)}

إن مجموعات التماثل لغالوا هي حقنية، حيث يكون الضرب على جميع الأماكن s من k .

إن مبدأ هاس للمجموعات المتعامدة يرتبط ارتباطًا وثيقًا بمبدأ هاس للأشكال التربيعية المقابلة.

قام كنيسر (1966) وآخرون بالتحقق من مبدأ هاس من خلال براهين حالة بحالة لكل مجموعة. وكانت الحالة الأخيرة هي المجموعة E8 ، والتي لم يكملها تشيرنوسوف (1989) إلا بعد سنوات عديدة من الحالات الأخرى.

تم استخدام مبدأ هاس للمجموعات الجبرية في إثباتات حدسية ويل لأعداد تاماغاوا ونظرية التقريب القوي .

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ إرنست س. سيلمر (1951). "المعادلة الديوفانتية ax³ + by³ + cz³ = 0"       . مجلة أكتا ماتيماتيكا . 85 : 203-362 . doi : 10.1007 / BF02395746 .
  2. 1 2 د. ر. هيث-براون (2007). "الأشكال التكعيبية في 14 متغيرًا". Invent. Math . 170 (1): 199–230 . Bibcode : 2007InMat.170..199H . doi : 10.1007/s00222-007-0062-1 . S2CID 16600794 . 
  3. ↑ هـ. دافنبورت (1963). "الأشكال التكعيبية في ستة عشر متغيرًا". وقائع الجمعية الملكية أ . 272 ​​(1350): 285-303 . Bibcode : 1963RSPSA.272..285D . doi : 10.1098/rspa.1963.0054 . S2CID 122443854 . 
  4. ↑ د. ر. هيث-براون (1983). "الأشكال التكعيبية في عشرة متغيرات". وقائع الجمعية الرياضية بلندن . 47 (2): 225-257 . doi : 10.1112/plms/s3-47.2.225 .
  5. ↑ إل جيه مورديل (1937). "ملاحظة حول المعادلات غير المحددة في عدة متغيرات". مجلة الجمعية الرياضية بلندن . 12 (2): 127-129 . doi : 10.1112/jlms/s1-12.1.127 .
  6. ^ سي هولي (1988). “على أشكال مكعبة غير عادية”. مجلة für die reine und angewandte الرياضيات . 386 : 32 – 98.
  7. ↑ أليكسي ن. سكوروبوغاتوف (1999). "ما وراء عائق مانين". مجلة الرياضيات . 135 (2): 399-424 . arXiv : alg-geom/9711006 . Bibcode : 1999InMat.135..399S . doi : 10.1007/s002220050291 . S2CID 14285244 . 
  8. ↑ م. فوجيوارا ؛ م. سودو (1976). "بعض أشكال الدرجة الفردية التي لا ينطبق عليها مبدأ هاس" . مجلة المحيط الهادئ للرياضيات . 67 (1): 161-169 . doi : 10.2140/pjm.1976.67.161 .

مراجع