E8 (رياضيات)

قد لا يتوافق استخدام هذه المقالة للروابط الخارجية مع سياسات ويكيبيديا أو إرشاداتها . يرجى تحسين هذه المقالة عن طريق إزالة الروابط الخارجية الزائدة أو غير المناسبة ، وتحويل الروابط المفيدة عند الاقتضاء إلى مراجع في الحواشي السفلية . ( مايو 2024 ) ( تعرف على كيفية ومتى تحذف هذه الرسالة )

Algebraic structure → Group theory Group theory
Basic notions Subgroup Normal subgroup Group action Quotient group (Semi-)direct product Direct sum Free product Wreath product Group homomorphisms kernel image simple finite infinite continuous multiplicative additive cyclic abelian dihedral nilpotent solvable Glossary of group theory List of group theory topics
Finite groups Cyclic group Zn Symmetric group Sn Alternating group An Dihedral group Dn Quaternion group Q Cauchy's theorem Lagrange's theorem Sylow theorems Hall's theorem p-group Elementary abelian group Frobenius group Schur multiplier Classification of finite simple groups cyclic alternating Lie type sporadic
Discrete groups Lattices Integers (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Free group Modular groups PSL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) SL(2, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$) Arithmetic group Lattice Hyperbolic group
Topological and Lie groups Solenoid Circle General linear GL(n) Special linear SL(n) Orthogonal O(n) Euclidean E(n) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentz Poincaré Conformal Diffeomorphism Loop Infinite dimensional Lie group O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Algebraic groups Linear algebraic group Reductive group Abelian variety Elliptic curve
v t e

Lie groups and Lie algebras
Classical groups General linear GL(n) Special linear SL(n) Orthogonal O(n) Special orthogonal SO(n) Unitary U(n) Special unitary SU(n) Symplectic Sp(n)
Simple Lie groups Classical An Bn Cn Dn Exceptional G2 F4 E6 E7 E8
Other Lie groups Circle Lorentz Poincaré Conformal group Diffeomorphism Loop Euclidean
Lie algebras Lie group–Lie algebra correspondence Exponential map Adjoint representation Killing form Index Simple Lie algebra Loop algebra Affine Lie algebra
Semisimple Lie algebra Dynkin diagrams Cartan subalgebra Root system Weyl group Real form Complexification Split Lie algebra Compact Lie algebra
Representation theory Lie group representation Lie algebra representation Representation theory of semisimple Lie algebras Representations of classical Lie groups Theorem of the highest weight Borel–Weil–Bott theorem
Lie groups in physics Particle physics and representation theory Lorentz group representations Poincaré group representations Galilean group representations
Scientists Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glossary Table of Lie groups
v t e

في الرياضيات ، E ₈ هو أي من العديد من مجموعات لي البسيطة الاستثنائية ذات الصلة الوثيقة أو المجموعات الجبرية الخطية أو جبر لي ذات البعد 248؛ يتم استخدام نفس الترميز للشبكة الجذرية المقابلة ، والتي لها الرتبة 8. يأتي  التعيين E _{8 من} تصنيف كارتان-كيلينج لجبر لي البسيط المعقد ، والذي يقع في أربع سلاسل لا نهائية تسمى A _n و B _n و C _n و D _n وخمس حالات استثنائية تسمى G ₂ و F ₄ و E ₆ و E ₇ و E _8. جبر E ₈ هو الأكبر والأكثر تعقيدًا من هذه الحالات الاستثنائية.

المجموعة لي E ₈ لها بعد 248. رتبتها ، والتي هي بعد حلقتها القصوى ، هي ثمانية.

لذلك، فإن متجهات نظام الجذر موجودة في فضاء إقليدي ثماني الأبعاد : وهي موصوفة صراحةً لاحقًا في هذه المقالة. مجموعة ويل E ₈ ، وهي مجموعة تماثلات الحد الأقصى للطور والتي يتم تحريضها بواسطة الاقترانات في المجموعة بأكملها، لها الترتيب 2 ¹⁴  3 ⁵  5 ²  7 = 696 729 600 .

المجموعة المدمجة E ₈ فريدة من نوعها بين مجموعات لاي المدمجة البسيطة حيث أن تمثيلها غير التافه لأصغر بعد هو التمثيل المرافق (للبعد 248) الذي يعمل على جبر لاي E ₈ نفسه؛ وهي أيضًا المجموعة الفريدة التي تحتوي على الخصائص الأربع التالية: مركز تافه، مضغوط، متصل ببساطة، ومترابط ببساطة (جميع الجذور لها نفس الطول).

يوجد جبر كذب E _k لكل عدد صحيح k  ≥ 3. أكبر قيمة لـ k والتي يكون فيها E _k محدود الأبعاد هي k  = 8، أي أن E _k غير محدود الأبعاد لأي k  > 8.

يوجد جبر لاي معقد فريد من نوعه E ₈ ، يتوافق مع مجموعة معقدة ذات بعد معقد 248. يمكن اعتبار مجموعة لاي المعقدة E ₈ ذات البعد المعقد 248 بمثابة مجموعة لاي حقيقية بسيطة ذات بعد حقيقي 496. وهي متصلة ببساطة، ولها مجموعة فرعية مضغوطة قصوى هي الشكل المضغوط (انظر أدناه) لـ E ₈ ، ولها مجموعة شكلية خارجية من الدرجة 2 يتم إنشاؤها بواسطة الاقتران المعقد.

بالإضافة إلى مجموعة لاي المعقدة من النوع E ₈ ، هناك ثلاثة أشكال حقيقية لجبر لاي، ثلاثة أشكال حقيقية للمجموعة ذات المركز التافه (اثنان منها لهما أغطية مزدوجة غير جبرية، مما يعطي شكلين حقيقيين آخرين)، كلها ذات بعد حقيقي 248، على النحو التالي:

• الشكل المضغوط (وهو الشكل المقصود عادةً إذا لم يتم تقديم أي معلومات أخرى)، وهو متصل ببساطة وله مجموعة شكلية خارجية تافهة.
• الشكل المنقسم، EVIII (أو E ₈₍₈₎ )، الذي يحتوي على المجموعة الفرعية المدمجة القصوى Spin(16)/( Z /2 Z )، المجموعة الأساسية من الدرجة 2 (مما يعني أنه يحتوي على غطاء مزدوج ، وهو مجموعة لاي حقيقية متصلة ببساطة ولكنها ليست جبرية، انظر أدناه) وله مجموعة تماثلية خارجية تافهة.
• EIX (أو E ₈₍₋₂₄₎ )، والتي لها مجموعة فرعية مدمجة قصوى E ₇ ×SU(2)/(−1,−1)، وهي مجموعة أساسية من الدرجة 2 (مما يعني مرة أخرى غطاءً مزدوجًا، وهو ليس جبريًا) ولها مجموعة شكلية خارجية تافهة.

للحصول على قائمة كاملة للأشكال الحقيقية لجبر لي البسيط، راجع قائمة مجموعات لي البسيطة .

من خلال أساس شيفالي لجبر لاي، يمكن تعريف E ₈ كمجموعة جبرية خطية على الأعداد الصحيحة، وبالتالي على أي حلقة تبديلية وعلى وجه الخصوص على أي حقل: وهذا يحدد ما يسمى بالشكل المنقسم (يُعرف أحيانًا أيضًا باسم "غير الملتوي") لـ E _8. على حقل مغلق جبريًا، هذا هو الشكل الوحيد؛ ومع ذلك، على الحقول الأخرى، غالبًا ما توجد أشكال أخرى عديدة، أو "التواءات" لـ E ₈ ، والتي يتم تصنيفها في الإطار العام لتجانس جالوا (على حقل مثالي k ) من خلال المجموعة H ¹ ( k ، Aut(E ₈ ))، والتي، نظرًا لأن مخطط دينكين لـ E ₈ (انظر أدناه) ليس له تماثلات ذاتية، تتطابق مع H ¹ ( k ، E ₈ ). ^[1]

على R ، يتطابق المكون المتصل الحقيقي لهوية هذه الأشكال الملتوية جبريًا لـ E ₈ مع مجموعات لاي الحقيقية الثلاث المذكورة أعلاه، ولكن بدقة فيما يتعلق بالمجموعة الأساسية: جميع أشكال E ₈ متصلة ببساطة بمعنى الهندسة الجبرية، مما يعني أنها لا تقبل أي أغطية جبرية غير تافهة؛ وبالتالي فإن أشكال مجموعة لاي الحقيقية غير المدمجة والمتصلة ببساطة لـ E ₈ ليست جبرية ولا تقبل أي تمثيل دقيق ذي أبعاد محدودة.

على الحقول المحدودة، تشير نظرية لانج-شتاينبرج إلى أن H ¹ ( k ,E ₈ ) = 0، مما يعني أن E ₈ ليس لها أشكال ملتوية: انظر أدناه.

تُعطى خصائص التمثيلات ذات الأبعاد المحدودة لجبر لي الحقيقي والمعقد ومجموعات لي بواسطة صيغة خصائص ويل . أبعاد أصغر التمثيلات غير القابلة للاختزال هي (التسلسل A121732 في OEIS ):

1, 248, 3875, 27000, 30380, 147250, 779247, 1763125, 2450240, 4096000, 4881384, 6696000, 26411008, 70680000, 76271625, 791 43000، 146325270، 203205000، 281545875، 301694976، 344452500، 820260000، 1094951000، 2172667860، 2275896000، 2642777280, 2903770000، 3929713760، 4076399250، 4825673125، 6899079264، 8634368000 (مرتين)، 12692520960...

التمثيل المكون من 248 بُعدًا هو التمثيل المرافق . يوجد تمثيلان غير متماثلين غير قابلين للاختزال للبعد 8634368000 (إنه ليس فريدًا؛ ومع ذلك، فإن العدد الصحيح التالي بهذه الخاصية هو 175898504162692612600853299200000 (التسلسل A181746 في OEIS )). التمثيلات الأساسية هي تلك ذات الأبعاد 3875 و6696000 و6899079264 و146325270 و2450240 و30380 و248 و147250 (المقابلة للعقد الثمانية في مخطط Dynkin بالترتيب المختار لمصفوفة Cartan أدناه، أي أن العقد تُقرأ في السلسلة المكونة من سبع عقد أولاً، مع توصيل العقدة الأخيرة بالعقدة الثالثة).

تعتمد معاملات صيغ الأحرف للتمثيلات غير القابلة للاختزال ذات الأبعاد اللانهائية لـ E ₈ على بعض المصفوفات المربعة الكبيرة المكونة من كثيرات الحدود، كثيرات حدود لوستيج-فوجان ، وهي نظيرة لكثيرات حدود كازدان-لوستيج التي قدمها جورج لوستيج وديفيد كازدان (1983) للمجموعات الاختزالية بشكل عام . تعطي القيم عند 1 من كثيرات حدود لوستيج-فوجان معاملات المصفوفات التي تربط التمثيلات القياسية (التي يسهل وصف أحرفها) بالتمثيلات غير القابلة للاختزال.

تم حساب هذه المصفوفات بعد أربع سنوات من التعاون بين مجموعة من 18 عالم رياضيات وعلماء كمبيوتر ، بقيادة جيفري آدامز ، مع قيام فوكو دو كلو بمعظم البرمجة . الحالة الأكثر صعوبة (للمجموعات الاستثنائية) هي الشكل الحقيقي المنقسم لـ E ₈ (انظر أعلاه)، حيث يبلغ حجم أكبر مصفوفة 453060 × 453060. كانت حدود لوستيج-فوجان لجميع المجموعات البسيطة الاستثنائية الأخرى معروفة لبعض الوقت؛ حساب الشكل المنقسم لـ E ₈ أطول بكثير من أي حالة أخرى. تلقى إعلان النتيجة في مارس 2007 اهتمامًا غير عادي من وسائل الإعلام (انظر الروابط الخارجية)، مما أثار دهشة علماء الرياضيات العاملين عليها.

يتم إعطاء تمثيلات مجموعات E _{8 على الحقول المحدودة بواسطة} نظرية Deligne-Lusztig .

يمكن إنشاء (الشكل المضغوط) للمجموعة E ₈ كمجموعة تماثلية لجبر لاي e ₈ المقابل . يحتوي هذا الجبر على جبر فرعي مكون من 120 بعدًا (16) تم إنشاؤه بواسطة J _ij بالإضافة إلى 128 مولدًا جديدًا Q a يتحول إلى سبينور Weyl–Majorana للدوران ( ₁₆ ) . تحدد هذه العبارات المبدلات

${\displaystyle \left[J_{ij},J_{k\ell }\right]=\delta _{jk}J_{i\ell }-\delta _{j\ell }J_{ik}-\delta _{ik}J_{j\ell }+\delta _{i\ell }J_{jk}}$

إلى جانب

${\displaystyle \left[J_{ij},Q_{a}\right]={\frac {1}{4}}\left(\gamma _{i}\gamma _{j}-\gamma _{j}\gamma _{i}\right)_{ab}Q_{b},}$

في حين يتم تعريف المبدلات المتبقية (وليس المبدلات المضادة!) بين مولدات السبينور على أنها

${\displaystyle \left[Q_{a},Q_{b}\right]=\gamma _{ac}^{[i}\gamma _{cb}^{j]}J_{ij}.}$

ومن الممكن بعد ذلك التأكد من استيفاء هوية جاكوبي .

الشكل الحقيقي المدمج لـ E ₈ هو مجموعة القياس المتساوي القياس للفضاء المتماثل الريماني المدمج الاستثنائي EVIII ذي الـ 128 بعدًا (في تصنيف كارتان ). يُعرف بشكل غير رسمي باسم " المستوى الإسقاطي الثماني الأوكتوني " لأنه يمكن بناؤه باستخدام جبر هو حاصل ضرب الموتر للثمانيات مع أنفسهم، ويُعرف أيضًا باسم المستوى الإسقاطي روزنفيلد ، على الرغم من أنه لا يتبع البديهيات المعتادة للمستوى الإسقاطي. يمكن رؤية ذلك بشكل منهجي باستخدام بناء يُعرف باسم المربع السحري ، وذلك بفضل هانز فرويدنثال وجاك تيتس (لاندسبيرج ومانيفيل 2001).

نظام الجذر من الرتبة r هو تكوين محدود معين من المتجهات، تسمى الجذور ، والتي تمتد على فضاء إقليدي ذي أبعاد r وتلبي خصائص هندسية معينة. على وجه الخصوص، يجب أن يكون نظام الجذر ثابتًا تحت الانعكاس من خلال المستوى العمودي على أي جذر.

نظام الجذر E ₈ هو نظام جذر من الرتبة 8 يحتوي على 240 متجه جذر يمتد على R ^8. وهو غير قابل للاختزال بمعنى أنه لا يمكن بناؤه من أنظمة جذرية ذات رتبة أصغر. جميع متجهات الجذر في E ₈ لها نفس الطول. ومن المناسب لعدد من الأغراض تطبيعها بحيث يكون طولها √ 2. هذه المتجهات الـ 240 هي رؤوس متعدد السطوح شبه المنتظم الذي اكتشفه ثورولد جوسيت في عام 1900، والمعروف أحيانًا باسم متعدد السطوح 4 ₂₁ .

في نظام الإحداثيات الزوجية ، يتم إعطاء E ₈ كمجموعة من جميع المتجهات في R ⁸ بطول مربع يساوي 2 بحيث تكون الإحداثيات إما أعدادًا صحيحة أو نصف أعداد صحيحة ومجموع الإحداثيات زوجي.

صراحةً، هناك 112 جذرًا مع إدخالات عددية صحيحة تم الحصول عليها من

${\displaystyle \left(\pm 1,\pm 1,0,0,0,0,0,0\right)\,}$

من خلال أخذ مجموعة عشوائية من العلامات وتبديل عشوائي للإحداثيات ، و128 جذرًا مع إدخالات نصف عدد صحيح تم الحصول عليها من

${\displaystyle \left(\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}},\pm {\tfrac {1}{2}}\right)\,}$

من خلال أخذ عدد زوجي من علامات الطرح (أو على نحو مكافئ، اشتراط أن يكون مجموع كل الإحداثيات الثمانية زوجيًا). يوجد 240 جذرًا في المجموع.

تشكل الجذور الـ 112 ذات الإدخالات الصحيحة نظام جذر D _8. يحتوي نظام الجذر E ₈ أيضًا على نسخة من A ₈ (الذي يحتوي على 72 جذرًا) بالإضافة إلى E ₆ و E ₇ (في الواقع، يتم تعريف الأخيرين عادةً كمجموعات فرعية من E ₈ ).

في نظام الإحداثيات الفردية ، يتم الحصول على E ₈ عن طريق أخذ الجذور في نظام الإحداثيات الزوجية وتغيير إشارة أي إحداثي. الجذور ذات الإدخالات الصحيحة هي نفسها بينما الجذور ذات الإدخالات نصف الصحيحة لها عدد فردي من علامات الطرح بدلاً من عدد زوجي.

مخطط Dynkin لـ E ₈ معطى بواسطة.

يقدم هذا الرسم البياني ملخصًا مرئيًا موجزًا ​​لبنية الجذر. تمثل كل عقدة في هذا الرسم البياني جذرًا بسيطًا. يشير الخط الذي يربط بين جذرين بسيطين إلى أنهما بزاوية 120 درجة مع بعضهما البعض. الجذران البسيطان اللذان لا يربطهما خط متعامدان .

مصفوفة كارتان لنظام الجذر من رتبة r هي مصفوفة r × r يتم اشتقاق مدخلاتها من الجذور البسيطة. على وجه التحديد، مدخلات مصفوفة كارتان يتم تحديدها بواسطة

${\displaystyle A_{ij}=2{\frac {\left(\alpha _{i},\alpha _{j}\right)}{\left(\alpha _{i},\alpha _{i}\right)}}}$

حيث ( , ) هو حاصل الضرب الداخلي الإقليدي و α _i هي الجذور البسيطة. تكون الإدخالات مستقلة عن اختيار الجذور البسيطة (حتى الترتيب).

مصفوفة كارتان لـ E ₈ تُعطى بواسطة

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rr}2&-1&0&0&0&0&0&0\\-1&2&-1&0&0&0&0&0\\0&-1&2&-1&0&0&0&0\\0&0&-1&2&-1&0&0&0\\0&0&0&-1&2&-1&0&-1\\0&0&0&0&-1&2&-1&0\\0&0&0&0&0&-1&2&0\\0&0&0&0&-1&0&0&2\end{array}}\right].}$

محدد هذه المصفوفة يساوي 1 .

مجموعة من الجذور البسيطة لنظام الجذر Φ هي مجموعة من الجذور التي تشكل أساس الفضاء الإقليدي الذي يمتد بواسطة Φ مع الخاصية الخاصة التي مفادها أن كل جذر يحتوي على مكونات فيما يتعلق بهذا الأساس والتي تكون إما كلها غير سلبية أو كلها غير موجبة.

بالنظر إلى مصفوفة كارتان E ₈ (أعلاه) وترتيب عقدة مخطط دينكين :

يتم توفير خيار واحد من الجذور البسيطة من خلال صفوف المصفوفة التالية:

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rr}1&-1&0&0&0&0&0&0\\0&1&-1&0&0&0&0&0\\0&0&1&-1&0&0&0&0\\0&0&0&1&-1&0&0&0\\0&0&0&0&1&-1&0&0\\0&0&0&0&0&1&1&0\\-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{2}}\\0&0&0&0&0&1&-1&0\\\end{array}}\right].}$

باستخدام هذا الترقيم للعقد في مخطط Dynkin، فإن أعلى جذر في نظام الجذر له تسميات Coxeter (2، 3، 4، 5، 6، 4، 2، 3). باستخدام هذا التمثيل للجذور البسيطة، يتم إعطاء الجذر الأدنى بواسطة

${\displaystyle \left[{\begin{array}{rr}-1&0&0&0&0&0&0&1\\\end{array}}\right].}$

الجذر البسيط الوحيد الذي يمكن إضافته إلى الجذر الأدنى للحصول على جذر آخر هو الجذر المقابل للعقدة 1 في هذا التصنيف لرسم داينكين — كما هو متوقع من رسم داينكين الأفيني لـ . يحصي رسم هاس الموجود على اليمين الجذور الـ 120 ذات الارتفاع الموجب بالنسبة لأي اختيار معين من الجذور البسيطة المتسقة مع ترقيم العقد هذا. ${\displaystyle {\tilde {\mathrm {E} }}_{8}}$

لاحظ أن مخطط هاس لا يمثل جبر لاي الكامل، أو حتى نظام الجذر الكامل. يمكن تمثيل الجذور الـ 120 ذات الارتفاع السالب بالنسبة لنفس مجموعة الجذور البسيطة بشكل مناسب بواسطة نسخة ثانية من مخطط هاس مع عكس الأسهم؛ ولكن من الأقل مباشرة ربط هذين المخططين عبر أساس لجبر كارتان الفرعي ثماني الأبعاد. في تدوين عرض مولدات شيفالي وعلاقات سير : بقدر ما يمثل السهم قوس لاي بواسطة المولد المرتبط بجذر بسيط، يجب أن يتوافق كل جذر في طبقة الارتفاع -1 من مخطط هاس المقلوب مع بعض ويمكن أن يكون له سهم واحد فقط لأعلى، متصل بعقدة في طبقة الارتفاع 0 تمثل عنصر جبر كارتان الفرعي المعطى بواسطة . ولكن يجب أن تمثل الأسهم العلوية من طبقة الارتفاع 0 ، حيث يكون (نقل) مصفوفة كارتان. يمكن للمرء أن يرسم أسهمًا متعددة لأعلى من كل منها مرتبطة بكل ما هو غير صفري؛ لكن هذا لا يلتقط الإدخالات الرقمية في مصفوفة كارتان ولا يعكس حقيقة أن كل منها يحتوي فقط على قوس لاي غير صفري بدرجة حرية واحدة في جبر كارتان الفرعي (ولكن ليس نفس درجة الحرية مثل ). ${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle h_{i}=[e_{i},f_{i}]}$${\displaystyle [e_{i},h_{j}]=-a_{ji}e_{i}}$${\displaystyle a_{ji}}$${\displaystyle h_{j}}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle [e_{i},h_{j}]}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle h_{i}}$

الأمر الأكثر جوهرية هو أن هذا التنظيم يعني أن مدى المولدات التي تم تحديدها على أنها "جبر كارتان الفرعي" هو بطريقة ما خاص بطبيعته، عندما تكون أي مجموعة متبادلة من ثمانية من مولدات جبر لاي البالغ عددها 248 (والتي يوجد منها الكثير!) - أو أي ثمانية مشتقات لاي مستقلة خطيًا ومتبادلة على أي متعدد الشعب ببنية E ₈ - قد تخدم نفس الغرض. بمجرد تحديد جبر كارتان الفرعي (أو تعريفه مسبقًا ، كما في حالة الشبكة)، فإن أساس "مولدات كارتان" (من بين مولدات شيفالي) ونظام الجذر هي طريقة مفيدة لوصف البنية بالنسبة لهذا الجبر الفرعي . لكن خريطة نظام الجذر ليست منطقة جبر لاي (ناهيك عن المجموعة!). بالنظر إلى مجموعة من مولدات شيفالي، يمكن تمثيل معظم درجات الحرية في جبر لاي وأقواس لاي المتفرقة الخاصة بها تخطيطيًا على هيئة دوائر وسهام، ولكن هذا ببساطة ينهار في جبر كارتان الفرعي المختار. هذه هي مخاطر التمثيلات المرئية التخطيطية للهياكل الرياضية. ${\displaystyle h_{i}}$${\displaystyle {e_{i}}}$

المجموعة Weyl لـ E ₈ هي من الدرجة 696729600، ويمكن وصفها بأنها O⁺
₈(2): يكون على هيئة 2. G .2 (أي امتداد جذعي بواسطة المجموعة الدورية من الدرجة 2 لامتداد المجموعة الدورية من الدرجة 2 بواسطة المجموعة G ) حيث G هي المجموعة البسيطة الفريدة من الدرجة 174182400 (والتي يمكن وصفها بأنها PSΩ ₈ ⁺ (2)). ^[3]

يشكل الامتداد المتكامل لنظام الجذر E ₈ شبكة في R ⁸ تسمى بشكل طبيعي بشبكة الجذر E _8. هذه الشبكة ملحوظة إلى حد ما لأنها الشبكة الوحيدة (غير التافهة) المتساوية أحادية الوحدة ذات الرتبة الأقل من 16.

يحتوي جبر لاي E ₈ على جميع جبر لاي الاستثنائية بالإضافة إلى العديد من جبر لاي المهمة الأخرى في الرياضيات والفيزياء. يتوافق ارتفاع جبر لاي على الرسم البياني تقريبًا مع مرتبة الجبر. يشير الخط من الجبر إلى جبر أدنى إلى أن الجبر الأدنى هو جبر فرعي للجبر الأعلى.

أظهر شيفالي (1955) أن نقاط المجموعة الجبرية (المنقسمة) E ₈ (انظر أعلاه) على حقل منتهٍ به عناصر q تشكل مجموعة شيفالي منتهية ، تُكتب عادةً E ₈ ( q )، وهي بسيطة لأي q ، ^{[4] [5]} وتشكل إحدى العائلات اللانهائية التي يتناولها تصنيف المجموعات البسيطة المحدودة . يُعطى عدد عناصرها بالصيغة (التسلسل A008868 في OEIS ):

${\displaystyle q^{120}\left(q^{30}-1\right)\left(q^{24}-1\right)\left(q^{20}-1\right)\left(q^{18}-1\right)\left(q^{14}-1\right)\left(q^{12}-1\right)\left(q^{8}-1\right)\left(q^{2}-1\right)}$

الحد الأول في هذا التسلسل، من رتبة E ₈ (2)، أي 337 804 753 143 634 806 261 388 190 614 085 595 079 991 692 242 467 651 576 160 959 909 068 800 000 ≈3.38 × 10 ⁷⁴ ، أكبر بالفعل من حجم مجموعة Monster . هذه المجموعة E ₈ (2) هي آخر مجموعة موصوفة (ولكن بدون جدول الأحرف الخاص بها) في ATLAS of Finite Groups . ^[6]

مضاعف شور لـ E ₈ ( q ) تافه، ومجموعته الخارجية هي مجموعة التماثلات الذاتية للمجال (أي، دورية من الدرجة f إذا q = p ^f ، حيث p هو عدد أولي).

وصف لوستيج (1979) التمثيلات أحادية القدرة للمجموعات المحدودة من النوع E ₈ .

تقع المجموعات الاستثنائية الأصغر E ₇ و E ₆ داخل E _8. في المجموعة المدمجة، كل من E ₆ ×SU(3)/( Z  / 3 Z ) وE ₇ ×SU(2)/(+1,−1) عبارة عن مجموعات فرعية قصوى لـ E ₈ .

يمكن اعتبار التمثيل المرافق ذي الـ 248 بُعدًا لـ E ₈ من حيث تمثيله المقيد لأولى هذه المجموعات الفرعية. يتحول تحت E ₆ ×SU(3) كمجموع تمثيلات حاصل الضرب الموتر ، والتي يمكن تسميتها بزوج من الأبعاد مثل (78,1) + (1,8) + ( 27,3 ) + (27,3 . (نظرًا لأن المجموعة الفرعية القصوى هي في الواقع حاصل ضرب هذه المجموعة بواسطة مجموعة منتهية، يمكن اعتبار هذه التدوينات بدقة على أنها تشير إلى التمثيلات اللانهائية في الصغر (جبر لاي). نظرًا لأنه يمكن وصف التمثيل المرافق بالجذور مع المولدات في جبر كارتان الفرعي ، فقد نختار نظام جذر E ₆ معينًا داخل E ₈ ونحلل تمثيل المجموع بالنسبة إلى هذا E _6. في هذا الوصف،

• (78,1)، نسخة من ، تتكون من 72 جذورًا مع (− 1 ⁄ 2 ،− 1 ⁄ 2 ،− 1 ⁄ 2 )، (0,0,0)، أو ( 1 ⁄ 2 ، 1 ⁄ 2 ، 1 ⁄ 2 ) في الأبعاد الثلاثة الأخيرة، جنبًا إلى جنب مع خمسة مولدات كارتان تتوافق مع الأبعاد الخمسة الأولى ومولد كارتان واحد يتوافق مع مجموع مرجح بالتساوي من آخر ثلاثة مولدات كارتان لنظام E ₈ ؛${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}}$
• (1,8)، نسخة من ، تتكون من ستة جذور مع تبديلات (0,1,−1) في الأبعاد الثلاثة الأخيرة، جنبًا إلى جنب مع مولدين كارتان يتوافقان مع التركيبتين الخاليتين من الأثر لمولدات كارتان الثلاثة الأخيرة لنظام E ₈ ؛${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}$
• ( 27،3 ) يتكون من جميع الجذور ذات التباديل (-1،0،0)، (− 1 ⁄ 2 ، 1 ⁄ 2 ، 1 ⁄ 2 )، أو (0،1،1) في الأبعاد الثلاثة الأخيرة؛ و
• (27، 3 ) يتكون من جميع الجذور ذات التباديل (1،0،0)، ( 1 ⁄ 2 ، - 1 ⁄ 2 ، - 1 ⁄ 2 )، أو (0، -1، -1) في الأبعاد الثلاثة الأخيرة.

التمثيل المرافق ذي الـ 248 بُعدًا لـ E ₈ ، عندما يتم تقييده على نحو مماثل بالمجموعة الفرعية القصوى الثانية، يتحول تحت E ₇ ×SU(2) على النحو التالي: (133,1) + (1,3) + (56,2). يمكننا مرة أخرى رؤية التحلل من خلال النظر إلى الجذور مع المولدات في جبر كارتان الفرعي. في هذا الوصف،

• (133,1)، نسخة من ، تتكون من 126 جذرًا مع (−1,−1)، (− 1 ⁄ 2 ،− 1 ⁄ 2 )، (0,0)، ( 1 ⁄ 2 ، 1 ⁄ 2 )، أو (1,1) في البعدين الأخيرين، إلى جانب ستة مولدات كارتان تتوافق مع الأبعاد الستة الأولى ومولد كارتان واحد يتوافق مع مجموع مرجح بالتساوي من آخر مولدين كارتان لنظام E ₈ ؛${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}}$
• (1,3)، نسخة من ، تتكون من الجذرين (0,0,0,0,0,0,1,−1)، (0,0,0,0,0,0,0,−1,1)، بالإضافة إلى مولد كارتان واحد يتوافق مع التركيبة الخالية من الآثار لمولدي كارتان الأخيرين لنظام E ₈ ؛ و${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$
• (56,2) يتكون من جميع الجذور ذات التباديل (0,-1)، ( 1 ⁄ 2 ، − 1 ⁄ 2 )، أو (1,0) في البعدين الأخيرين.

يتم تقديم الارتباط بين هذين الوصفين من خلال إنشاءات جبر لاي الاستثنائية المتدرجة لج. تيتس وبي إن أليسون . يمكن تجهيز أي تمثيل مكون من 27 بُعدًا لـ E _{6 بعملية ضرب جوردان غير ارتباطية (ولكن} ارتباطية قوى صارمة ) لتشكيل جبر ألبرت (حالة استثنائية مهمة في الإنشاءات الجبرية). يستعيد إنشاء كانتور-كويتشر-تيتس المطبق على جبر ألبرت هذا الجبر المكون من 78 بُعدًا باعتباره جبر البنية المختزل لجبر ألبرت. يشكل هذا ، جنبًا إلى جنب مع التمثيلات 27 و 27 ومشغل الدرجة (عنصر جبر كارتان الفرعي بوزن -1 على 27 و+1 على 27 و0 على 78)، جبر لاي ثلاثي الدرجات. يمكن العثور على شرح كامل لهذا البناء في النصوص القياسية حول جبر جوردان مثل جاكوبسون 1968 أو ماكريمون 2004. ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}}$${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}}$${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}}$

يؤدي بدء إنشاء جبر لاي ثلاثي الدرجات هذا بأي تمثيل معين مكون من 27 بُعدًا، مضمنًا في ، لأي مجموعة فرعية معينة من E _{6 من E 8} إلى إنتاج الجبر الفرعي المقابل . يتوافق التحلل الخاص في E ₇ ×SU(2) الموضح أعلاه مع اختيار 27 المكون من جميع الجذور ذات (1,0,0)، ( 1 ⁄ 2 ،- 1 ⁄ 2 ،- 1 ⁄ 2 )، أو (0،-1،-1) في الأبعاد الثلاثة الأخيرة (بالترتيب)، مع عامل الدرجة الذي له وزن (-1، 1 ⁄ 2 ، 1 ⁄ 2 ) في هذه الأبعاد؛ أو ما يعادل اختيار " 27 " المكون من جميع الجذور ذات (-1,0,0)، (− 1 ⁄ 2 ، 1 ⁄ 2 ، 1 ⁄ 2 )، أو (0,1,1) في الأبعاد الثلاثة الأخيرة (بالترتيب)، مع عامل الدرجة الذي له وزن (1،- 1 ⁄ 2 ،- 1 ⁄ 2 ) في هذه الأبعاد. لاحظ أنه لا يوجد شيء خاص بشأن اختيار الأبعاد هذا - حيث يتم تضمين نظام الجذر ليس مجموعة المحاور الثمانية المستقلة ولكن غير المتعامدة المقابلة للجذور البسيطة، وأي ثلاثة أبعاد ستفي بالغرض - وهناك أيضًا إنشاءات تستخدم مجموعات مكافئة أخرى من الجذور. ما يهم هو أن تكون نواة قوس لاي مع المولد المختار كـ "عامل الدرجة" جبرًا فرعيًا (بالإضافة إلى مركز مرتبط بعامل الدرجة نفسه والمولد المتبقي للجبر الفرعي كارتان)، وليس ، ، ، إلخ.${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}}$${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}}$${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{6}\oplus \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{7}\oplus \mathbb {R} }$${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}\oplus \mathbb {R} }$

(في حالة جبر لاي البسيط، فإن علامة الدرجة لتمثيل 27 مقابل 27 هي مسألة اتفاقية، كما هو الحال مع مقياس الدرجات. ومع ذلك، فإن اختيار -1 كدرجة لتمثيل "المتجه" ذي الأبعاد 27 يتوافق مع امتداد الجبر ذي الدرجات الثلاث إلى درجات موجبة أعلى عبر الجبر الخارجي على تمثيل "المتجه المشترك" 27. وبالتالي فإن تمثيل "المتجه" يكمن، ليس في هذا الجبر الخارجي ذي الدرجات غير السلبية، ولكن في الجبر المتدرج للاشتقاقات على الجبر الخارجي؛ البعد 78 هو الجبر الفرعي من الدرجة 0 (جبر فرعي للاشتقاقات الداخلية بواسطة "أشكال متجهة ذات قيمة 1") لهذا الجبر المتدرج للاشتقاقات. للحصول على تفاصيل حول كيفية عمل هذا الهيكل غير المتماثل بدءًا من جبر عام ذي درجات ثلاث، راجع المراجع في قوس فروليشر-نيجنهاوس . أهمية هذا إن الملاحظة التي توصلنا إليها فيما يتصل بـ E ₈ هي ببساطة أن E ₇ وE ₈ عبارة عن مجموعات خاصة من الهياكل، والتي تتميز بأنها مجموعات/جبريات بسيطة استثنائية، وأن أي إعادة بناء خاصة بها باستخدام تمثيلات لمجموعاتها الفرعية/جبرياتها الفرعية سوف يكون لها امتدادات تتجاوز الحالة المحفزة. إن اختلاف الاتفاقيات الخاصة بالعلامة والمقياس والعلاقة المترافقة في الأدبيات لا يرجع فقط إلى عدم الدقة ولكن أيضًا إلى الاتجاهات التي يسعى المؤلفون من خلالها إلى توسيع نطاق بنائهم. ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}}$

يتم بعد ذلك إعطاء المميز في تحلل E ₇ ×SU(2) أعلاه بواسطة الجبر الفرعي لـ الذي يتبادل مع عامل الدرجة (الذي يقع في الجبر الفرعي كارتان لهذا ). من الجذور الأربعة المتبقية في ، اثنان من الدرجة 1 ⁄ 2 واثنان من الدرجة - 1 ⁄ 2. في الاتفاقية حيث 27 من E ₆ المستخدمة لبناء لها درجة -1 و 27 لها درجة +1، والاثنان الآخران من 27 لهما درجة + 1 ⁄ 2 والاثنان الآخران من 27 لهما درجة - 1 ⁄ 2 ، كما هو واضح من تبديل قيم الجذور الثلاثة الأخيرة في الوصف أعلاه. عند تجميع هذه المولدات 4×(1+27)=112 لتشكيل فضاءات الدرجة + 1 ⁄ 2 و- 1 ⁄ 2 الفرعية لـ (بالنسبة للاختيار الأصلي لمشغل الدرجة ضمن )، يمكن إعطاء كل فضاء فرعي عملية ضرب غير ارتباطية معينة (ولا حتى ارتباطية قوى)، مما ينتج عنه نسختان من جبر براون الهيكلي ذي الـ 56 بُعدًا. يستعيد بناء جبر لاي ذي الدرجات الخمس لأليسون المستند إلى هذا الجبر الهيكلي الأصل . (يختلف تصنيف أليسون ذي الدرجات الخمس عن ما سبق بعامل -2.) يؤدي تجميع هذه المولدات بشكل مختلف، بناءً على أوزانها بالنسبة لمولد كارتان للعمودي على ، إلى فضائين فرعيين ذي 56 بُعدًا يحمل كل منهما التمثيل غير التافه غير القابل للاختزال ذي الأبعاد الأدنى لـ E ₇ . يمكن دمج أي من هذه مع مولد كارتان لتشكيل جبر هايزنبيرج ذي الـ 57 بُعدًا ، وإضافة هذا إلى إنتاج جبر لاي (غير البسيط) E _{7 1/2} الذي وصفه لاندسبيرج ومانيفيل. ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}$${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}}$${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}}$${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}}$${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}}$${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}}$${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{7}}$

من المنظور الذي تلعب فيه فضاء الدرجة -1 المكون من 27 بعدًا ( بالنسبة لاختيار عامل الدرجة) دور التمثيل "المتجه" لـ E ₆ ويلعب 27 ذو الجذور المقابلة له دور التمثيل "المتجه المشترك"، فمن الطبيعي البحث عن تمثيلات "المغزل" في فضاءات الدرجة + 1 ⁄ 2 و- 1 ⁄ 2 الفرعية، أو في بعض التركيبات الأخرى لتمثيلات ( 27،3 ) و(27،3 ) لـ E _{6 ×SU(} 3 )، ومحاولة ربطها بالمغزل الهندسي بمعنى جبر كليفورد كما هو مستخدم في نظرية المجال الكمومي . الاختلافات في هذه الفكرة شائعة في أدبيات الفيزياء. انظر Distler و Garibaldi 2009 لمناقشة العقبات الرياضية أمام بناء نظرية مقياس كيرالية بناءً على E ₈ . إن بنية الجبر الفرعي لكارتان ، إلى جانب القياس التقليدي لعناصر الجبر الفرعي لكارتان، تدعو إلى التوسعات عن طريق القياس الهندسي ولكنها لا تعني بالضرورة علاقة بالهندسة منخفضة الأبعاد أو الفيزياء منخفضة الطاقة. ويمكن قول الشيء نفسه عن الروابط مع جبر جوردان وهايزنبرج، اللذين تتشابك أصولهما التاريخية مع تطور ميكانيكا الكم. ليس كل تمثيل مرئي يذكرنا بغليون التبغ يمكن أن يحتوي على التبغ. ${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}}$${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{8}}$${\displaystyle {\mathfrak {e}}_{6}}$

تم العثور على المجموعات شبه البسيطة المحدودة التي يمكن تضمينها في (الشكل المضغوط لـ) E _{8 بواسطة Griess & Ryba (1999).}

مجموعة ديمبوولف هي مجموعة فرعية من (الشكل المضغوط لـ) E _8. وهي موجودة في مجموعة طومسون المتفرقة ، والتي تعمل على فضاء المتجه الأساسي لمجموعة لي E ₈ ولكنها لا تحافظ على قوس لي. تعمل مجموعة طومسون على تثبيت شبكة وتحافظ على قوس لي لهذه الشبكة mod 3، مما يؤدي إلى تضمين مجموعة طومسون في E ₈ ( F ₃ ).

تظهر على اليمين تضمينات المجموعات الفرعية القصوى لـ E _{8 حتى البعد 248.}

تستخدم مجموعة لاي E _{8 في} الفيزياء النظرية وخاصة في نظرية الأوتار والجاذبية الفائقة . E ₈ ×E ₈ هي مجموعة القياس لأحد النوعين من الأوتار غير المتجانسة وهي واحدة من مجموعتي القياس الخالية من الشذوذ والتي يمكن ربطها بالجاذبية الفائقة N  = 1 في عشرة أبعاد. E ₈ هي مجموعة الازدواجية U للجاذبية الفائقة على شكل ثماني حلقات (في شكلها المنقسم).

إحدى الطرق لدمج النموذج القياسي لفيزياء الجسيمات في نظرية الأوتار غير المتجانسة هي كسر تناظر E ₈ إلى أقصى جبر فرعي لها SU(3)×E ₆ .

في عام 1982، استخدم مايكل فريدمان شبكة E ₈ لبناء مثال لمتعدد شعب طوبولوجي رباعي ، وهو متعدد الشعب E ₈ ، الذي لا يحتوي على بنية ناعمة .

تحاول نظرية كل شيء البسيطة بشكل استثنائي التي ألفها أنتوني جاريت ليزي غير المكتملة وصف جميع التفاعلات الأساسية المعروفة في الفيزياء كجزء من جبر لاي E8. _[ ^{7] [8]}

أفاد R. Coldea وDA Tennant وEM Wheeler وآخرون (2010) بتجربة أظهرت فيها دورانات الإلكترون في بلورة الكوبالت - النيوبيوم ، في ظل ظروف معينة، اثنتين من القمم الثمانية المرتبطة بـ E ₈ والتي تنبأ بها Zamolodchikov (1989). ^{[9] [10]}

اكتشف فيلهلم كيلينج  (1888أ، 1888ب، 1889، 1890) جبر لي المركب E ₈ أثناء تصنيفه لجبر لي البسيط المدمج، على الرغم من أنه لم يثبت وجوده، والذي أظهره لأول مرة إيلي كارتان . قرر كارتان أن جبر لي البسيط المعقد من النوع E ₈ يسمح بثلاثة أشكال حقيقية. كل منها يؤدي إلى مجموعة لي بسيطة ذات بعد 248، واحدة منها بالضبط (كما هو الحال بالنسبة لأي جبر لي بسيط معقد) مدمجة . قدم شيفالي (1955) المجموعات الجبرية وجبر لي من النوع E _{8 على} المجالات الأخرى : على سبيل المثال، في حالة المجالات المحدودة فإنها تؤدي إلى عائلة لا نهائية من المجموعات البسيطة المحدودة من نوع لي. لا تزال E ₈ مجالًا للبحث الأساسي النشط من قبل أطلس مجموعات لي والتمثيلات ، والذي يهدف إلى تحديد التمثيلات الوحدوية لجميع مجموعات لي. ^[11]

• ع _ن

• آدامز، ج. فرانك (1996)، محاضرات حول مجموعات لاي الاستثنائية، محاضرات شيكاغو في الرياضيات، مطبعة جامعة شيكاغو ، رقم ISBN 978-0-226-00526-3السيد 1428422 ​
• بايز، جون سي. (2002)، "المثمنات"، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية ، السلسلة الجديدة، 39 (2): 145-205، arXiv : math/0105155 ، doi :10.1090/S0273-0979-01-00934-X، MR  1886087، S2CID  586512
• شيفالي ، كلود (1955)، “سور بعض المجموعات البسيطة”، مجلة توهوكو الرياضية ، السلسلة الثانية، 7 (1–2): 14–66، دوى : 10.2748/tmj/1178245104 ، ISSN  0040-8735، MR  0073602
• كولديا، ر.؛ تينانت، د.؛ ويلر، إي. إم.؛ وواورزينسكا، إي.؛ برابهاكاران، د.؛ تيلينج، إم.؛ هابيشت، ك.؛ سميبيدل، ب.؛ كيفر، ك. (2010)، "الحرجية الكمومية في سلسلة إيزينج: دليل تجريبي على تماثل E8 الناشئ _" ، ساينس ، 327 (5962): 177-180، أركسيف : 1103.3694 ، رمز Bibcode : 2010Sci...327..177C، doi : 10.1126/science.1180085، PMID  20056884، S2CID  206522808
• جاريبالدي، سكيب (2016)، "E ₈ ، المجموعة الأكثر استثنائية"، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية ، 53 (4): 643-671، arXiv : 1605.01721 ، doi :10.1090/bull/1540، S2CID  15810796
• جريس، روبرت إل.؛ ريبا، إيه جيه إي (1999)، "المجموعات البسيطة المحدودة التي يتم تضمينها إسقاطيًا في مجموعة لي استثنائية يتم تصنيفها!"، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية ، السلسلة الجديدة، 36 (1): 75-93، doi : 10.1090/S0273-0979-99-00771-5 ، MR  1653177
• Killing، Wilhelm (1888a)، “Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen”، Mathematische Annalen ، 31 (2): 252-290، دوى :10.1007 / BF01211904، S2CID  120501356
• Killing، Wilhelm (1888b)، “Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen”، Mathematische Annalen ، 33 (1): 1–48، دوى :10.1007 / BF01444109، S2CID  124198118
• Killing، Wilhelm (1889)، “Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen”، Mathematische Annalen ، 34 (1): 57–122، دوى :10.1007 / BF01446792، S2CID  179177899، أرشفة من النسخة الأصلية بتاريخ 2015-02-21 ، تم استرجاعها عام 2013 -09-12
• Killing، Wilhelm (1890)، “Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen”، Mathematische Annalen ، 36 (2): 161–189، دوى :10.1007 / BF01207837، S2CID  179178061
• لاندسبيرج، جوزيف م.؛ مانيفيل، لوران (2001)، "الهندسة الإسقاطية للمربع السحري لفرويدنتال"، مجلة الجبر ، 239 (2): 477-512، arXiv : math/9908039 ، doi :10.1006/jabr.2000.8697، MR  1832903، S2CID  16320642
• لوستيج، جورج (1979)، "تمثيلات أحادية القدرة لمجموعة شيفالي محدودة من النوع E8"، المجلة الفصلية للرياضيات ، السلسلة الثانية، 30 (3): 315-338، doi :10.1093/qmath/30.3.301، ISSN  0033-5606، MR  0545068
• Lusztig, George ; Vogan, David (1983), "Singularities of closings of K-orbits on flag manifolds", Inventiones Mathematicae , 71 (2), Springer-Verlag : 365–379, Bibcode :1983InMat..71..365L, doi :10.1007/BF01389103, S2CID  120917588
• زامولودشيكوف، أ. ب. (1989)، "تكاملات الحركة ومصفوفة S لنموذج T=T _c Ising (المقياس) مع المجال المغناطيسي"، المجلة الدولية للفيزياء الحديثة أ ، 4 (16): 4235-4248، رمز Bibcode :1989IJMPA...4.4235Z، doi :10.1142/S0217751X8900176X، MR  1017357

• أطلس مجموعات الكذب
• كثيرات حدود كازدان – لوستيج – فوغان لـ E8
• سرد لمشروع حساب متعددات حدود كازدان-لوستيج لـ E8
• المعهد الأمريكي للرياضيات (مارس 2007)، خريطة علماء الرياضيات E8
• مقهى n-Category، تدوينة من مدونة جامعة تكساس بقلم جون بايز على E ₈ .

• تمثيل بياني لنظام الجذر E8.
• قائمة أبعاد التمثيلات غير القابلة للاختزال للشكل المركب لـ E ₈ هي التسلسل A121732 في OEIS .