العطف المنطقي

في المنطق والرياضيات واللغويات ، و (​​${\displaystyle \wedge }$) هو عامل الربط المنطقي أو الربط المنطقي . وعادةً ما يتم تمثيل الرابط المنطقي لهذا العامل على النحو التالي:${\displaystyle \wedge }$^{[ 1 ]} أو${\displaystyle \&}$أو${\displaystyle K}$(بادئة) أو${\displaystyle \times }$أو${\displaystyle \cdot }$^{[ 2 ]} الذي فيه${\displaystyle \wedge }$وهو الأكثر حداثة والأكثر استخداماً على نطاق واسع.

تكون العبارة "و" لمجموعة من المعاملات صحيحة إذا وفقط إذا كانت جميع معاملاتها صحيحة، أي${\displaystyle A\land B}$يكون صحيحاً إذا وفقط إذا${\displaystyle A}$صحيح و${\displaystyle B}$هذا صحيح.

المعامل في العطف هو العطف . ^{[ 3 ]}

وبعيداً عن المنطق، يشير مصطلح "الاقتران" أيضاً إلى مفاهيم مماثلة في مجالات أخرى:

• في اللغة الطبيعية ، دلالة التعبيرات مثل الإنجليزية " و "؛
• في لغات البرمجة ، الدائرة القصيرة وبنية التحكم ؛
• في نظرية المجموعات ، التقاطع .
• في نظرية الشبكة ، الاقتران المنطقي ( أكبر حد أدنى ).

ويُشار إليه عادةً بمعامل وسطي: في الرياضيات والمنطق، يُشار إليه بـ "وتد".${\displaystyle \wedge }$(Unicode U+2227 ∧ LOGICAL AND ), ^{[ 1 ]}${\displaystyle \&}$أو${\displaystyle \times }$في مجال الإلكترونيات،${\displaystyle \cdot }$وفي لغات البرمجة &، أو . في تدوين جان لوكاسيفيتش البادئ للمنطق ، يكون المعامل هو&&and${\displaystyle K}$, ل koniunkcja البولندية . ^{[ 4 ]}

في الرياضيات، اقتران عدد عشوائي من العناصر${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$يمكن الإشارة إليها كعملية ثنائية متكررة باستخدام "وتد كبير" ⋀ (Unicode U+22C0 ⋀ N-ARY LOGICAL AND ): ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \bigwedge _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}\wedge a_{2}\wedge \ldots a_{n-1}\wedge a_{n}}$

في المنطق الكلاسيكي ، الاقتران المنطقي هو عملية تُجرى على قيمتين منطقيتين ، عادةً قيمتي قضيتين ، وتُنتج قيمة صحيحة إذا وفقط إذا (وتُعرف أيضًا بـ iff) كانت كلتا القيمتين صحيحتين. ^{[ 2 ] [ 1 ]}

الهوية العطفية صحيحة، أي أن تطبيق عملية "و" على تعبير مع القيمة "صحيح" لن يغير قيمة التعبير. وتماشياً مع مفهوم الحقيقة الفارغة ، عندما يُعرَّف العطف كعامل أو دالة ذات عدد معاملات عشوائي ، فإن العطف الفارغ (تطبيق عملية "و" على مجموعة معاملات فارغة) يُعرَّف غالباً بأنه ينتج عنه القيمة "صحيح".

جدول الحقيقة

جدول الحقيقة لـ${\displaystyle A\land B}$: ^{[ 1 ] [ 2 ]}

${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle A\land B}$
F	F	F
F	تي	F
تي	F	F
تي	تي	تي

مُحددة من قبل مشغلين آخرين

في الأنظمة التي لا يكون فيها الربط المنطقي بدائيًا، يمكن تعريفه على النحو التالي ^{[ 6 ]}

${\displaystyle A\land B=\neg (A\to \neg B)}$

يمكن التحقق من ذلك باستخدام جدول الحقيقة التالي (قارن بين العمودين الأخيرين):

${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle \neg B}$	${\displaystyle A\rightarrow \neg B}$	${\displaystyle \neg (A\rightarrow \neg B)}$	${\displaystyle A\land B}$
F	F	تي	تي	F	F
F	تي	F	تي	F	F
تي	F	تي	تي	F	F
تي	تي	F	F	تي	تي

أو

${\displaystyle A\land B=\neg (\neg A\lor \neg B).}$

يمكن التحقق من ذلك باستخدام جدول الحقيقة التالي (قارن بين العمودين الأخيرين):

${\displaystyle A}$	${\displaystyle B}$	${\displaystyle \neg A}$	${\displaystyle \neg B}$	${\displaystyle \neg A\lor \neg B}$	${\displaystyle \neg (\neg A\lor \neg B)}$	${\displaystyle A\land B}$
F	F	تي	تي	تي	F	F
F	تي	تي	F	تي	F	F
تي	F	F	تي	تي	F	F
تي	تي	F	F	F	تي	تي

كقاعدة من قواعد الاستدلال، يُعدّ إدخال العطف شكلاً بسيطاً وصحيحاً من أشكال الحجة الكلاسيكية . ويتكون هذا الشكل من مقدمتين.${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$وبشكل بديهي، يسمح ذلك باستنتاج اقترانهما.

${\displaystyle A}$،

${\displaystyle B}$.

لذلك، أ و ب .

أو في تدوين عامل التشغيل المنطقي ، حيث${\displaystyle \vdash }$ يعبر عن إمكانية الإثبات:

${\displaystyle \vdash A,}$

${\displaystyle \vdash B}$

${\displaystyle \vdash A\land B}$

فيما يلي مثال على حجة تتناسب مع شكل مقدمة العطف :

بوب يحب التفاح.

بوب يحب البرتقال.

لذلك، بوب يحب التفاح وبوب يحب البرتقال.

يُعد حذف العطف شكلاً آخر من أشكال الحجة البسيطة والصحيحة كلاسيكياً . وبشكل بديهي، يسمح هذا الشكل بالاستدلال من أي عطف لأي من عنصري ذلك العطف.

${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$.

لذلك،${\displaystyle A}$.

...أو بدلاً من ذلك،

${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$.

لذلك،${\displaystyle B}$.

باستخدام تدوين المعامل المنطقي :

${\displaystyle \vdash A\land B}$

${\displaystyle \vdash A}$

...أو بدلاً من ذلك،

${\displaystyle \vdash A\land B}$

${\displaystyle \vdash B}$

التبادلية : نعم

${\displaystyle A\land B}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$	${\displaystyle B\land A}$
	${\displaystyle \Leftrightarrow }$

الترابط : نعم ^{[ 7 ]}

${\displaystyle ~A}$	${\displaystyle ~~~\land ~~~}$	${\displaystyle (B\land C)}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$			${\displaystyle (A\land B)}$	${\displaystyle ~~~\land ~~~}$	${\displaystyle ~C}$
	${\displaystyle ~~~\land ~~~}$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$		${\displaystyle ~~~\land ~~~}$

خاصية التوزيع : مع عمليات متنوعة، وخاصة مع أو

${\displaystyle ~A}$	${\displaystyle \land }$	${\displaystyle (ب\لور ج)}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$			${\displaystyle (A\land B)}$	${\displaystyle \lor }$	${\displaystyle (A\land C)}$
	${\displaystyle \land }$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$		${\displaystyle \lor }$

آحرون

مع حصرية أو : ${\displaystyle ~A}$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle (B\oplus C)}$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle (A\land B)}$ ${\displaystyle \oplus }$ ${\displaystyle (A\land C)}$ ${\displaystyle \land }$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$         ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle \oplus }$ مع عدم وجود دلالة مادية : ${\displaystyle ~A}$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle (B\nrightarrow C)}$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle (A\land B)}$ ${\displaystyle \nrightarrow }$ ${\displaystyle (A\land C)}$ ${\displaystyle \land }$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$         ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle \nrightarrow }$ مع نفسه: ${\displaystyle ~A}$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle (B\land C)}$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle (A\land B)}$ ${\displaystyle \land }$ ${\displaystyle (A\land C)}$ ${\displaystyle \land }$     ${\displaystyle \Leftrightarrow }$         ${\displaystyle \Leftrightarrow }$     ${\displaystyle \land }$

خاصية التكرار : نعم

${\displaystyle ~A~}$	${\displaystyle ~\land ~}$	${\displaystyle ~A~}$	${\displaystyle \Leftrightarrow }$	${\displaystyle A~}$
	${\displaystyle ~\land ~}$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$

الرتابة : نعم

${\displaystyle A\rightarrow B}$	${\displaystyle \Rightarrow }$			${\displaystyle (A\land C)}$	${\displaystyle \rightarrow }$	${\displaystyle (B\land C)}$
	${\displaystyle \Rightarrow }$		${\displaystyle \Leftrightarrow }$		${\displaystyle \rightarrow }$

الحفاظ على الحقيقة: نعم. عندما تكون جميع المدخلات صحيحة، تكون المخرجات صحيحة.

${\displaystyle A\land B}$	${\displaystyle \Rightarrow }$	${\displaystyle A\land B}$
	${\displaystyle \Rightarrow }$
		(سيتم اختباره)

الحفاظ على الزيف: نعم. عندما تكون جميع المدخلات خاطئة، تكون المخرجات خاطئة.

${\displaystyle A\land B}$	${\displaystyle \Rightarrow }$	${\displaystyle A\lor B}$
	${\displaystyle \Rightarrow }$
(سيتم اختباره)

طيف والش : (1، -1، -1، 1)

اللاخطية : 1 (الدالة منحنية )

إذا تم استخدام القيم الثنائية للصواب (1) والخطأ (0)، فإن الربط المنطقي يعمل تمامًا مثل الضرب الحسابي العادي .

في برمجة الحاسوب عالية المستوى والإلكترونيات الرقمية ، يُعبَّر عن الربط المنطقي عادةً بمعامل وسطي، غالبًا ككلمة مفتاحية مثل " AND"، أو عملية ضرب جبري، أو رمز العطف (& ) &(يُضاعف أحيانًا كما في &&). كما توفر العديد من اللغات هياكل تحكم مختصرة تُقابل الربط المنطقي.

يُستخدم الربط المنطقي غالبًا في العمليات الثنائية، حيث 0يُقابل الحرف "أ" القيمة "خطأ" والحرف " 1ب" القيمة "صواب":

• 0 AND 0 = , 0
• 0 AND 1 = , 0
• 1 AND 0 = , 0
• 1 AND 1 = . 1

يمكن تطبيق هذه العملية أيضًا على كلمتين ثنائيتين تُعتبران سلسلتين من البتات متساويتين في الطول، وذلك بإجراء عملية AND المنطقية لكل زوج من البتات في المواضع المتناظرة. على سبيل المثال:

• 11000110 AND 10100011 = . 10000010

يمكن استخدام هذا لتحديد جزء من سلسلة بتات باستخدام قناع بتات . على سبيل المثال، يستخرج الرمز = البت الرابع من سلسلة بتات مكونة من 8 بتات.10011101 AND 00001000  00001000

في شبكات الحاسوب ، تُستخدم أقنعة البت لاستخلاص عنوان الشبكة لشبكة فرعية داخل شبكة موجودة من عنوان IP معين ، عن طريق إجراء عملية AND بين عنوان IP وقناع الشبكة الفرعية .

ANDيُستخدم حرف العطف المنطقي " " أيضًا في عمليات SQL لتكوين استعلامات قواعد البيانات .

تربط علاقة كاري -هوارد بين الاقتران المنطقي وأنواع المنتجات .

يتم تعريف انتماء عنصر ما إلى مجموعة تقاطع في نظرية المجموعات من خلال الاقتران المنطقي:${\displaystyle x\in A\cap B}$إذا وفقط إذا${\displaystyle (x\in A)\wedge (x\in B)}$من خلال هذه المراسلة، يشترك التقاطع النظري للمجموعات في العديد من الخصائص مع الاقتران المنطقي ، مثل التجميعية والتبديلية والتكرار .

كما هو الحال مع المفاهيم الأخرى التي تم صياغتها في المنطق الرياضي، فإن الرابط المنطقي " و" مرتبط بالرابط النحوي " و " في اللغات الطبيعية، ولكنه ليس هو نفسه.

للكلمة الإنجليزية "and" خصائص لا تُعبّر عنها حروف العطف المنطقية. فعلى سبيل المثال، قد تُشير "and" أحيانًا إلى ترتيب بمعنى "ثم". فعبارة "تزوجا وأنجبا طفلًا" في اللغة الدارجة تعني أن الزواج سبق إنجاب الطفل.

يمكن أن تشير كلمة "و" أيضًا إلى تقسيم شيء ما إلى أجزاء، كما في "العلم الأمريكي أحمر وأبيض وأزرق". هنا، لا يُقصد أن العلم أحمر وأبيض وأزرق في آن واحد ، بل أن كل لون هو جزء من العلم.

• "الاقتران" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• وولفرام ماث وورلد: الاقتران
• "جدول خصائص وحقائق عبارات AND" . مؤرشف من الأصل في 6 مايو 2017.