مصفوفة مانين

لا تسمح المصفوفات ذات العناصر غير التبادلية العامة بإنشاء محدد طبيعي بقيم تنتمي إلى حلقة أساسية، وبالتالي لا تنطبق عليها نظريات الجبر الخطي الأساسية. توجد عدة تعديلات لنظرية المحددات، منها: محدد ديودونيه الذي يأخذ قيمًا في التبادلية K ^* /[ K ^* , K ^* ] للمجموعة الضربية K ^* للحلقة الأساسية K ؛ ونظرية شبه المحددات . إلا أن التشابه بين هذه المحددات والمحددات التبادلية ليس تامًا. من جهة أخرى، إذا نظرنا إلى فئات محددة من المصفوفات ذات العناصر غير التبادلية، فسنجد أمثلة يمكن فيها تعريف المحدد وإثبات نظريات الجبر الخطي المشابهة جدًا لنظائرها التبادلية. تشمل هذه الأمثلة: المجموعات الكمومية ومحدد q؛ مصفوفة كابيلي ومحدد كابيلي ؛ المصفوفات الفائقة ومصفوفة بيريزينيان .

مصفوفات مانين هي فئة عامة وطبيعية من المصفوفات ذات العناصر غير التبادلية بالضرورة والتي تسمح بالتعريف الطبيعي للمحدد وتعميمات لنظريات الجبر الخطي.

المصفوفة M من الرتبة n × m ، عناصرها M _{_ij} على حلقة R (ليست بالضرورة تبديلية)، تُسمى مصفوفة مانين إذا كانت جميع عناصر أي عمود فيها قابلة للتبديل، وإذا كان لكل i ، j ، k ، l، يتحقق الشرط التالي: [ M _{_ij} , M_{_kl} ] = [ M _{_kj} , M_il ]. هنا، [ a , b ] يرمز إلى ( ab - ba ) مُبدِّل a و b . ^{[ 3 ]}  

يمكن فهم التعريف بشكل أفضل من خلال الصيغ التالية. تُسمى المصفوفة المستطيلة M مصفوفة مانين إذا كانت لأي مصفوفة فرعية 2×2، تتكون من الصفوف i و k ، والأعمدة j و l :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &M_{ij}&\cdots &M_{il}&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &M_{kj}&\cdots &M_{kl}&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &a&\cdots &b&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &c&\cdots &d&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \end{pmatrix}}}$

تتحقق علاقات التبادل التالية

${\displaystyle ac=ca,~~~bd=db,~~~{\text{(entries in the same column commute) }}}$

${\displaystyle ad-da=cb-bc,~~~{\text{(cross commutation relation)}}.}$

فيما يلي بعض الأمثلة على ظهور خاصية مانين في مسائل بسيطة وطبيعية تتعلق بالمصفوفات من الرتبة 2×2. الفكرة العامة هي: النظر في حقائق معروفة في الجبر الخطي، ودراسة كيفية تخفيف فرضية التبادلية لعناصر المصفوفة بحيث تبقى النتائج صحيحة. والجواب هو: إذا وفقط إذا كانت M مصفوفة مانين. ^{[ 3 ]} ويمكن إثبات جميع الملاحظات بسهولة في سطر واحد.

لنفترض مصفوفة 2×2 ${\displaystyle M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}.}$

_{الملاحظة 1.} التفاعل على مستوى. لنعتبر حلقة كثيرات الحدود C [ x1 , x2 ] ، ولنفترض أن عناصر المصفوفة a ، b ، c ، d تتبادل مع x1 _و x2 _. عرّف y1 و y2 _{كما يلي :}

${\displaystyle {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}.}$

ثم يتبادل y ₁ و y ₂ فيما بينهما إذا وفقط إذا كانت M مصفوفة مانين.

دليل:

${\displaystyle [y_{1},y_{2}]=[ax_{1}+bx_{2},cx_{1}+dx_{2}]=[a,c]x_{1}^{2}+[b,d]x_{2}^{2}+([a,d]+[b,c])x_{1}x_{2}.}$

بافتراض أن هذا يساوي صفرًا، نحصل على علاقات مانين.

_{الملاحظة 2.} التفاعل على مستوى فائق. لنعتبر جبر غراسمان C [ ψ₁ , ψ₂ ] _، ولنفترض أن عناصر المصفوفة a و b و c و d تتبادل مع ψ₁ _و ψ₂ . عرّف φ₁ و _φ₂ كما _{يلي :}

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\phi _{1},~\phi _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\psi _{1},~\psi _{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}.}$

ثم φ ₁ ، φ ₂ هي متغيرات غراسمان (أي مضادة للتبادل فيما بينها و φ _i ² =0) إذا وفقط إذا كانت M مصفوفة مانين.

تنطبق الملاحظتان 1 و2 على مصفوفات مانين العامة من الرتبة n × m . وهما توضحان منهج مانين الأصلي كما هو موضح أدناه (ينبغي اعتبار المصفوفات العادية تشاكلات لحلقات كثيرات الحدود، بينما مصفوفات مانين هي تشاكلات غير تبادلية أكثر عمومية). تجدر الإشارة إلى أن مولدات جبر كثيرات الحدود تُعرض كمتجهات عمودية، بينما يُعرض جبر غراسمان كمتجهات صفية، ويمكن تعميم ذلك على أي زوج من جبر كوزول الثنائي ومصفوفات مانين العامة المرتبطة به.

الملاحظة الثالثة: قاعدة كرامر . تُعطى المصفوفة العكسية بالصيغة القياسية.

${\displaystyle M^{-1}={\frac {1}{ad-cb}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}}$

إذا وفقط إذا كانت M مصفوفة مانين.

دليل:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}da-bc&db-bd\\-ca+ac&-cb+ad\end{pmatrix}}={\text{if and only if }}M{\text{ is a Manin matrix}}={\begin{pmatrix}ad-cb&0\\0&ad-cb\end{pmatrix}}.}$

الملاحظة الرابعة: نظرية كايلي-هاميلتون . المساواة

${\displaystyle M^{2}-(a+d)M+(ad-cb)1_{2\times 2}=0}$

يتحقق ذلك إذا وفقط إذا كانت M مصفوفة مانين.

الملاحظة الخامسة: خاصية ضرب المحددات.

det ^column ( MN ) = det ^column ( M )det( N ) يتحقق لجميع المصفوفات ذات القيم المركبة N إذا وفقط إذا كانت M مصفوفة مانين.

حيث يتم تعريف ^عمود det للمصفوفة 2×2 على أنه ad  − cb ، أي أن العناصر من العمود الأول ( a ، c ) تأتي أولاً في المنتجات. 

وفقًا لمنهج يو مانين، يمكن ربط أي جبر بجبر ثنائي معين من "التناظرات غير التبادلية (أي التشاكلات الداخلية)". وبشكل أعم، يمكن ربط زوج من الجبر A و B بجبر " التشاكلات غير التبادلية" بينهما . ترتبط هذه الأفكار بشكل طبيعي بمفاهيم الهندسة غير التبادلية . تُعد مصفوفات مانين المذكورة هنا أمثلة على هذا البناء العام المطبق على جبر كثيرات الحدود C [ x1 _, ... , xn _] .

يهتم مجال الهندسة بالفضاءات، بينما يهتم مجال الجبر بالجبر. والجسر بين هذين المجالين هو ربط كل فضاء بجبر الدوال عليه، وهو ما يُعرف بالجبر التبادلي . يمكن التعبير عن العديد من مفاهيم الهندسة بلغة الجبر والعكس صحيح.

يمكن النظر إلى فكرة التناظر G للفضاء V على أنها تأثير G على V ، أي وجود دالة G×V → V. ويمكن ترجمة هذه الفكرة جبريًا إلى وجود تماثل Fun(G).${\displaystyle \otimes }$Fun(V) <- Fun(V) (كما هو معتاد، تسير التطبيقات بين الدوال والفضاءات في اتجاهين متعاكسين). كذلك، يمكن تركيب التطبيقات من فضاء إلى نفسه (فهي تُشكل شبه زمرة )، وبالتالي فإن الكائن الثنائي Fun(G) هو جبر ثنائي .

وأخيرًا، يمكن للمرء أن يأخذ هاتين الخاصيتين كأساسين ويقدم تعريفًا جبريًا بحتًا لـ "التناظر" والذي يمكن تطبيقه على أي جبر (ليس بالضرورة تبديليًا):

التعريف. جبر التناظرات غير التبادلية (التشاكلات الداخلية) لجبر ما A هو جبر ثنائي End(A) ، بحيث توجد تشاكلات تسمى الفاعلية المشتركة :

${\displaystyle coaction:~~End(A)\otimes A\leftarrow A,}$

وهو ما يتوافق مع عملية الضرب المشترك بطريقة طبيعية. وأخيرًا، يُشترط أن يحقق End(A) العلاقات التي تنبع مما سبق فقط ، دون أي علاقات أخرى، أي أنه جبر ثنائي تفاعلي شامل لـ A.

ينبغي اعتبار التفاعل المشترك بمثابة ثنائي للفعل G× V -> V ، ولذلك يُسمى تفاعلًا مشتركًا . إن توافق خريطة الضرب المشترك مع خريطة التفاعل المشترك هو ثنائي لـ g(hv) = (gh)v . ويمكن كتابة هذا التوافق بسهولة.

من الحقائق المفاجئة نوعًا ما أن هذا البناء المطبق على جبر كثيرات الحدود C [ x ₁ , ..., x _n ] لن يعطي الجبر المعتاد للمصفوفات Mat _n (بشكل أدق جبر الدوال عليه)، بل جبرًا غير تبادلي أكبر بكثير لمصفوفات Manin (بشكل أدق الجبر الناتج عن العناصر M _ij) . وبشكل أدق، فإن الافتراضات البسيطة التالية صحيحة.

الفرضية . لنفترض جبر كثيرات الحدود Pol = C [ x ₁ , ..., x _n ] والمصفوفة M التي عناصرها تنتمي إلى جبر ما EndPol .${\displaystyle y_{i}=\sum _{k}M_{ik}\otimes x_{k}\in EndPol\otimes Pol}$تتبادل فيما بينها إذا وفقط إذا كانت M مصفوفة مانين.

نتيجة. الخريطة${\displaystyle x_{i}\mapsto y_{i}=\sum _{k}M_{ik}\otimes x_{k}}$هل التماثل من Pol إلى EndPol هو تماثل من Pol إلى EndPol${\displaystyle \otimes }$بول . إنه يُعرّف التعاون.

في الواقع، لضمان أن الخريطة هي تماثل، فإن الشيء الوحيد الذي نحتاج إلى التحقق منه هو أن y _i يتبادلان فيما بينهما.

الفرضية : عرّف خريطة الضرب المشترك بالصيغة التالية${\displaystyle \Delta (M_{ij})=\sum _{l}M_{il}\otimes M_{lj}}$. إذن فهو ترابطي ومتوافق مع التفاعل المشترك على جبر كثير الحدود المحدد في الاقتراح السابق.

تُشير المقولتان السابقتان إلى أن الجبر المُوَلَّد بواسطة عناصر مصفوفة مانين هو جبر ثنائي يتفاعل مع جبر كثيرات الحدود. وإذا لم تُفرض علاقات أخرى، نحصل على جبر التشاكلات الداخلية غير التبادلية لجبر كثيرات الحدود.

• أي مصفوفة تحتوي على عناصر تبادلية هي مصفوفة مانين.
• أي مصفوفة تتبادل عناصرها من صفوف مختلفة فيما بينها (تسمى هذه المصفوفات أحيانًا مصفوفات كارتييه - فواتا ) هي مصفوفة مانين.
• أي مصفوفة فرعية من مصفوفة مانين هي مصفوفة مانين.
• يمكن تبديل الصفوف والأعمدة في مصفوفة مانين، وستكون النتيجة مصفوفة مانين أيضًا. كما يمكن إضافة صف أو عمود مضروبًا في العنصر المركزي إلى صف أو عمود آخر، وستكون النتيجة مصفوفة مانين مرة أخرى. أي أنه يمكن إجراء تحويلات أولية مع اشتراط أن يكون المضاعف هو العنصر المركزي.
• لنفترض مصفوفتين من مصفوفات مانين M و N بحيث تكون جميع عناصرهما قابلة للتبديل، فإن المجموع M+N وحاصل الضرب MN سيكونان أيضًا مصفوفات مانين.
• إذا كانت المصفوفة M والمصفوفة المنقولة في آن واحد M ^t مصفوفات مانين، فإن جميع عناصر M تتبادل مع بعضها البعض.
• حقائق غير قابلة للتحقيق: M ^k ليست مصفوفة مانين بشكل عام (باستثناء k = -1 التي تمت مناقشتها أدناه)؛ لا det( M )، ولا Tr( M ) مركزية في الجبر الذي تولده M _ij بشكل عام (في هذا الصدد، تختلف مصفوفات مانين عن المجموعات الكمومية)؛ det( e ^M ) ≠ e ^{Tr( M )} ؛ log(det( M )) ≠ Tr(log( M )).
• لنعتبر جبر كثيرات الحدود C [ x _ij ] ونرمز إليه بـ${\displaystyle \partial _{ij}}$عوامل التفاضل بالنسبة إلى

x _ij ، شكّل المصفوفات X و D بالعناصر المناظرة. ضع في اعتبارك أيضًا المتغير z والمؤثر التفاضلي المناظر له.${\displaystyle \partial _{z}}$فيما يلي مثال على مصفوفة مانين التي تعتبر مهمة لهويات كابيلي :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}zId&D^{t}\\X&\partial _{z}Id\end{pmatrix}}.}$

يمكن للمرء استبدال X و D بأي مصفوفات تحقق عناصرها العلاقة التالية: X _ij D _kl - D _kl X _ij = δ _ik δ _kl ، وينطبق الشيء نفسه على z ومشتقها.

إن حساب محدد هذه المصفوفة بطريقتين: مباشرة وعن طريق صيغة مكمل شور يعطي أساسًا هوية كابيلي وتعميمها (انظر القسم 4.3.1، ^{[ 4 ]} استنادًا إلى [ ^{5 ] )} .

يمكن تعريف محدد مصفوفة مانين بالصيغة القياسية، مع اشتراط أن تأتي العناصر من الأعمدة الأولى أولاً في الناتج.

تنطبق العديد من قواعد الجبر الخطي على مصفوفات مانين حتى عندما لا تكون R تبديلية. على وجه الخصوص، يمكن تعريف المحدد بالطريقة القياسية باستخدام التباديل ، وهو يحقق قاعدة كرامر . ^{[ 3 ]} تنطبق نظرية ماكماهون الرئيسية على مصفوفات مانين، بل وعلى تعميماتها (الفوقية)، (q)، وما شابهها.

الفرضية. قاعدة كرامر (انظر ^{[ 2 ]} أو القسم 4.1. ^{[ 3 ]} ) يمكن تعريف معكوس مصفوفة مانين M بالصيغة القياسية: ${\displaystyle M^{-1}={\frac {1}{{\det }^{col}(M)}}M^{adj},}$ حيث M ^adj هي المصفوفة المرافقة المعطاة بالصيغة القياسية - العنصر (i,j) هو المحدد العمودي للمصفوفة (n − 1) × (n − 1) الناتجة عن حذف الصف j والعمود i من M والضرب في (-1) ^i+j .

الفرق الوحيد مع الحالة التبادلية هو أنه يجب الانتباه إلى أن جميع المحددات يتم حسابها كمحددات عمودية، كما أن المصفوفة المرافقة تقع على اليمين، بينما المعكوس التبادلي لمحدد M يقع على اليسار، أي بسبب عدم التبادلية يكون الترتيب مهمًا.

الفرضية: المعكوس هو أيضًا مصفوفة مانين. (انظر القسم 4.3 ^{[ 3 ]} ) إذا افترضنا وجود معكوس ثنائي الجانب لمصفوفة مانين M ، فإنها ستكون أيضًا مصفوفة مانين. علاوة على ذلك، det(M ⁻¹ ) = (det(M)) ⁻¹ .

هذا الاقتراح ليس تافهاً إلى حد ما، فهو يستلزم النتيجة التي توصل إليها إنريكيز-روبتسوف وبابلون-تالون في نظرية الأنظمة الكمومية المتكاملة (انظر القسم 4.2.1 ^{[ 4 ]} ).

الفرضية. نظرية كايلي-هاميلتون (انظر القسم 7.1. ^{[ 3 ]} )

${\displaystyle det^{column}(t-M)|_{t=M}^{right~substitute}=0,~~i.e.~~\sum _{i=0...n}(-1)^{i}\sigma _{i}M^{n-i}=0.}$

حيث σ _i هي معاملات متعددة الحدود المميزة ${\displaystyle det^{column}(t-M)=\sum _{i=0...n}(-1)^{i}\sigma _{i}t^{n-i}}$.

الفرضية. متطابقات نيوتن (انظر القسم 7.2.1. ^{[ 3 ]} ) ${\displaystyle \forall k\geq 0:-(-1)^{k}k\sigma _{k}=\sum _{i=0...k-1}\sigma _{i}Tr(M^{k-i})}$

حيث σ _i هي معاملات متعددة الحدود المميزة ${\displaystyle det^{column}(t-M)=\sum _{i=0...n}(-1)^{i}\sigma _{i}t^{n-i}}$، وبحسب الاصطلاح σ _i =0، لـ i>n ، حيث n هو حجم المصفوفة M.

الفرضية. المحدد باستخدام مكمل شور (انظر القسم 5.2 ^{[ 3 ]} ). بافتراض أن المصفوفة الكتلية أدناه هي مصفوفة مانين وأن المعكوسات ثنائية الجانب M ⁻¹ و A ⁻¹ و D ⁻¹ موجودة، فإن

${\displaystyle det^{column}{\begin{pmatrix}A&B\\C&d\\\end{pmatrix}}=det^{column}(A)det^{column}(D-CA^{-1}B)=det^{column}(D)det^{column}(A-BD^{-1}C).}$

علاوة على ذلك، يكمل شور${\displaystyle (D-CA^{-1}B),(A-BD^{-1}C)}$ هي مصفوفات مانين.

الفرضية. نظرية ماكماهون الرئيسية

^{[ 6 ]}

تُقدّم متطابقة كابيلي من القرن التاسع عشر أحد الأمثلة الأولى لمحددات المصفوفات ذات العناصر غير التبادلية. وتُضفي مصفوفات مانين منظورًا جديدًا على هذا الموضوع الكلاسيكي. يرتبط هذا المثال بجبر لي gl _n، ويُعدّ نموذجًا أوليًا لتطبيقات أكثر تعقيدًا لجبر لي الحلقي لأنظمة gl _n ، ويانغيان، والأنظمة التكاملية.

لنفترض أن E _{_ij} مصفوفتان تحتويان على 1 في الموضع ( i,j ) وأصفار في باقي المواضع. كوّن مصفوفة E_ij بعناصر E _{_ij} في الموضع ( i,j ). هذه مصفوفة عناصرها تنتمي إلى حلقة المصفوفات Mat_{_n} . ليست هذه مصفوفة مانين، ولكن هناك تعديلات تُحوّلها إلى مصفوفة مانين كما هو موضح أدناه.

نُعرّف متغيرًا رسميًا z يتبادل مع E _{_ij}، حيث d/dz هو مُعامل التفاضل بالنسبة إلى z . الشرط الوحيد المُستخدم هو أن مُبدِّل هذه المُعاملات يساوي 1.

الملاحظة. المصفوفة${\displaystyle d/dzId-E/z}$هي مصفوفة مانين.

هنا، Id هي مصفوفة الوحدة .

مثال 2 × 2: ${\displaystyle M={\begin{pmatrix}d/dz-E_{11}/z&-E_{12}/z\\-E_{21}/z&d/z-E_{22}/z\end{pmatrix}}.}$

من المفيد التحقق من شرط تبادلية الأعمدة: ${\displaystyle [d/dz-E_{11}/z,-E_{21}/z]=[d/dz,-E_{21}/z]+[-E_{11}/z,-E_{21}/z]=E_{21}/z^{2}-E_{21}/z^{2}=0}$.

الملاحظة. المصفوفة${\displaystyle exp(-d/dz)(Id+E/z)}$هي مصفوفة مانين.

الشرط الوحيد المطلوب من E_{_ij} لهذه الملاحظات هو أن تحقق علاقات التبادل [ E _{_ij} , E _{_kl} ] = δ _{_jk} E _{_il} - δ _{_li} E_{_kj} . لذا، تكون الملاحظات صحيحة إذا كانت E _{_ij} مولدات للجبر الشامل لجبر لي gl_{_n} ، أو صوره في أي تمثيل. على سبيل المثال، يمكن للمرء أن يأخذ

${\displaystyle E_{ij}=x_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}};~~~~~E_{ij}=\sum _{a=1}^{n}x_{ia}{\frac {\partial }{\partial x_{ja}}};~~~~E_{ij}=\psi _{i}{\frac {\partial }{\partial \psi _{j}}}.}$

هنا ψ هي متغيرات غراسمان .

ملاحظة.${\displaystyle z^{n-1}det^{col}(d/dz-E/z)=det^{col}(zd/dz-E-diag(n-1,n-2,...,1,0))}$

في الطرف الأيمن من هذه المساواة، نجد محدد كابيلي (أو بالأحرى متعددة حدود كابيلي المميزة )، بينما في الطرف الأيسر نجد مصفوفة مانين مع محددها الطبيعي. لذا، تُضفي مصفوفات مانين منظورًا جديدًا على محدد كابيلي. علاوة على ذلك، يمكن استنتاج متطابقة كابيلي وتعميمها باستخدام تقنيات مصفوفات مانين. كما أنها تُسهّل إثبات أن هذا التعبير ينتمي إلى مركز الجبر الشامل U(gl _n )، وهو أمر ليس بالهين. في الواقع، يكفي التحقق من الثبات بالنسبة لتأثير المجموعة GL _n عن طريق الاقتران.${\displaystyle det^{col}(d/dz-gEg^{-1}/z)=det^{col}(g(d/dz-E/z)g^{-1})=det(g)det^{col}(d/dz-E/z)det(g^{-1})=det^{col}(d/dz-E/z)}$إذن، الخاصية الوحيدة المستخدمة هنا هي ذلك.${\displaystyle det(gM)=det(Mg)=det(M)det(g)}$وهذا صحيح بالنسبة لأي مصفوفة مانين M وأي مصفوفة g ذات عناصر مركزية (مثل العناصر العددية).

ملاحظة. ليكن T(z) مصفوفة مولدة لـ Yangian لـ gl _n . عندئذٍ، تكون المصفوفة exp(-d/dz) T(z) مصفوفة مانين.

يمكن تعريف المحدد الكمي لنظرية يانغيان على النحو التالي: exp (nd/dz) det ^column (exp(-d/dz) T(z)) . لاحظ أنه يمكن حذف exp(-d/dz) ، لذا فإن التعبير لا يعتمد عليه. وبالتالي، فإن للمحدد في نظرية يانغيان تفسيرًا طبيعيًا عبر مصفوفات مانين.

من أجل الأنظمة التكاملية الكمومية، من المهم بناء جبر فرعي تبادلي في يانغيان. من المعروف أن التعبيرات Tr(T ^k (z)) في الحد الكلاسيكي تولد جبرًا فرعيًا تبادليًا من نوع بواسون. وقد تم اقتراح التكميم الصحيح لهذه التعبيرات لأول مرة باستخدام متطابقات نيوتن لمصفوفات مانين.

الفرضية: معاملات Tr(T(z+k-1)T(z+k-2)...T(z)) لجميع قيم k تتبادل فيما بينها. وهي تُولّد جبرًا فرعيًا تبادليًا في يانغيان. وهو نفس الجبر الفرعي الذي تُولّده معاملات ^عمود المحدد متعدد الحدود المميز (1-exp(-d/dz) T(z)) .

(يُطلق على الجبر الفرعي أحيانًا اسم الجبر الفرعي Bethe، لأن فرضية Bethe هي طريقة لإيجاد أزواجها الثمانية المشتركة.)

اقترح مانين بناءً عامًا لـ"التناظرات غير التبادلية" في المرجع ^{[ 1 ]،} ونوقشت الحالة الخاصة التي تُسمى مصفوفات مانين في المرجع ^{[ 2 ]،} حيث تم توضيح بعض الخصائص الأساسية. وكان الدافع الرئيسي لهذه الأعمال هو إعادة النظر في المجموعات الكمومية. يمكن تعريف المصفوفات الكمومية Fun _q ( GL _n ) بأنها مصفوفات يكون فيها كل من T و T ^t مصفوفات q-مانين (أي أنها تناظرات غير تبادلية لكثيرات الحدود التبادلية q x _i x _j = qx _j x _{i )} . بعد أعمال مانين الأصلية، لم يُنشر سوى عدد قليل من الأبحاث حول مصفوفات مانين حتى عام 2003. ولكن في حوالي هذا التاريخ وبعده، ظهرت مصفوفات مانين في عدة مجالات غير مترابطة تمامًا: ^{[ 6 ]} حيث تم الحصول على تعميم غير تبادلي لهوية ماكماهون الرئيسية، والتي استُخدمت في نظرية العقد ؛ [4 ^] كما تم العثور على تطبيقات لها في الأنظمة الكمومية التكاملية، وجبر لي في ^{[ 5} ]؛ [7] وظهرت تعميمات لهوية كابيلي تتضمن مصفوفات مانين في ^{[ 8 ]} . وقد تم تطوير التوجهات المقترحة في هذه الأبحاث بشكل أكبر.