متطابقات نيوتن

لتكن x1 _، ... ، xn متغيرات، نرمز لـ k ≥ ₁ بـ pk ( x1 _، ... ، xn _{) إلى} مجموع القوى k :

${\displaystyle p_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k}=x_{1}^{k}+\cdots +x_{n}^{k},}$

وبالنسبة لـ k ≥ 0، نرمز بـ e _k ( x ₁ , ..., x _n ) إلى متعددة الحدود المتناظرة الأولية (أي مجموع جميع نواتج الضرب المختلفة لـ k متغيرات مختلفة)، لذلك

$\begin{aligned}e_{0}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=1,\\e_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n},\\e_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=\sum _{1\leq i<j\leq n}x_{i}x_{j},\\&\;\;\vdots \\e_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=x_{1}x_{2}\cdots x_{n},\\e_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=0,\quad \text{لـ}}\ k>n.\\\end{aligned}}}$

ويمكن صياغة متطابقات نيوتن على النحو التالي:

${\displaystyle ke_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{k}(-1)^{i-1}e_{ki}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

صحيح لجميع قيم k ≥ 1 ، حيث يكون حجم الطرف الأيسر صفرًا لـ k > n .

وبشكل ملموس، نحصل على القيم القليلة الأولى لـ k :

$\begin{aligned}e_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=p_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\\2e_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=e_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})-p_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n}),\\3e_{3}(x_{1},\ldots ,x_{n})&=e_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n}) ,x_{n})-e_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{2}(x_{1},\ldots ,x_{n})+p_{3}(x_{1},\ldots ,x_{n}).\end{aligned}}}$

لا يعتمد شكل هذه المعادلات وصحتها على عدد المتغيرات n (على الرغم من أن النقطة التي يصبح عندها الطرف الأيسر صفرًا تعتمد عليه، أي بعد المتطابقة رقم n )، مما يجعل من الممكن صياغتها كمتطابقات في حلقة الدوال المتناظرة . في تلك الحلقة يكون لدينا

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}&=p_{1},\\2e_{2}&=e_{1}p_{1}-p_{2}=p_{1}^{2}-p_{2},\\3e_{3}&=e_{2}p_{1}-e_{1}p_{2}+p_{3}={\tfrac {1}{2}}p_{1}^{3}-{\tfrac {3}{2}}p_{1}p_{2}+p_{3},\\4e_{4}&=e_{3}p_{1}-e_{2}p_{2}+e_{1}p_{3}-p_{4}={\tfrac {1}{6}}p_{1}^{4}-p_{1}^{2}p_{2}+{\tfrac {4}{3}}p_{1}p_{3}+{\tfrac {1}{2}}p_{2}^{2}-p_{4},\\\end{aligned}}}$

وهكذا دواليك؛ هنا لا تصبح الأطراف اليسرى صفرًا أبدًا. تسمح هذه المعادلات بالتعبير عن e _{_i} بدلالة p_{_k} بشكل متكرر ؛ وللتمكن من عكس العملية، يمكن إعادة كتابتها على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{align}p_{1}&=e_{1},\\p_{2}&=e_{1}p_{1}-2e_{2}=e_{1}^ {2}-2e_{2},\\p_{3}&=e_{1}p_{2}-e_{2}p_{1}+3e_{3}=e_{1}^{3}-3e_{ 1}e_{2}+3e_{3},\\p_{4}&=e_{1}p_{3}-e_{2}p_{2}+e_{3}p_{1}-4e_{4} =e_{1}^{4}-4e_{1}^{2}e_{2}+4e_{1}e_{3}+2e_{2}^{2}-4e_{4},\\&{}\ \ \vdots \end{aligned}}}$

بشكل عام، لدينا

${\displaystyle p_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=(-1)^{k-1}ke_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})+\sum _{i=1}^{k-1}(-1)^{k-1+i}e_{ki}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

صالحة لجميع قيم n ≥ k ≥ 1 .

كذلك، يمتلك المرء

${\displaystyle p_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=kn}^{k-1}(-1)^{k-1+i}e_{ki}(x_{1},\ldots ,x_{n})p_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n}),}$

لكل k > n ≥ 1 .

يمكن توسيع متعددة الحدود ذات الجذور x _{i على النحو التالي}

${\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}e_{k}x^{nk},}$

حيث المعاملات${\displaystyle e_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$هي كثيرات الحدود المتناظرة المعرفة أعلاه. بمعلومية مجموع قوى الجذور

${\displaystyle p_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{k},}$

معاملات متعددة الحدود ذات الجذور${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$يمكن التعبير عنها بشكل متكرر بدلالة مجاميع القوى كما يلي:

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{0}&=1,\\[4pt]-e_{1}&=-p_{1},\\[4pt]e_{2}&={\frac {1}{2}}(e_{1}p_{1}-p_{2}),\\[4pt]-e_{3}&=-{\frac {1}{3}}(e_{2}p_{1}-e_{1}p_{2}+p_{3}),\\[4pt]e_{4}&={\frac {1}{4}}(e_{3}p_{1}-e_{2}p_{2}+e_{1}p_{3}-p_{4}),\\&{}\ \ \vdots \end{aligned}}}$

إن صياغة كثيرات الحدود بهذه الطريقة مفيدة في استخدام طريقة Delves و Lyness ^{[ 1 ]} لإيجاد أصفار الدالة التحليلية.

عندما تكون متعددة الحدود أعلاه هي متعددة الحدود المميزة لمصفوفة${\displaystyle \mathbf {A} }$(خاصة عندما${\displaystyle \mathbf {A} }$(هي المصفوفة المرافقة لكثير الحدود)، الجذور${\displaystyle x_{i}}$هي القيم الذاتية للمصفوفة، محسوبة بتعددها الجبري. لأي عدد صحيح موجب${\displaystyle k}$، المصفوفة${\displaystyle \mathbf {A} ^{k}}$لها قيم ذاتية هي القوى${\displaystyle x_{i}^{k}}$وكل قيمة ذاتية${\displaystyle x_{i}}$ل${\displaystyle \mathbf {A} }$تساهم تعددية قيمها الذاتية في تعددية قيمها الذاتية${\displaystyle x_{i}^{k}}$ل${\displaystyle \mathbf {A} ^{k}}$ثم معاملات متعددة الحدود المميزة لـ${\displaystyle \mathbf {A} ^{k}}$يتم تحديدها بواسطة كثيرات الحدود المتناظرة الأولية في تلك القوى${\displaystyle x_{i}^{k}}$وعلى وجه الخصوص، مجموع${\displaystyle x_{i}^{k}}$، وهو${\displaystyle k}$مجموع القوى السالبة${\displaystyle p_{k}}$من جذور متعددة الحدود المميزة لـ${\displaystyle \mathbf {A} }$، ويُعطى من خلال أثره :

$${\displaystyle p_{k}=\operatorname {tr} (\mathbf {A} ^{k})\,.}$$

تُشير متطابقات نيوتن الآن إلى آثار القوى${\displaystyle \mathbf {A} ^{k}}$إلى معاملات متعددة الحدود المميزة لـ${\displaystyle \mathbf {A} }$باستخدامها بشكل عكسي للتعبير عن كثيرات الحدود المتناظرة الأولية بدلالة مجاميع القوى، يمكن استخدامها لإيجاد كثيرة الحدود المميزة عن طريق حساب القوى فقط.${\displaystyle \mathbf {A} ^{k}}$وآثارها.

تتطلب هذه العملية الحسابية حساب آثار قوى المصفوفة${\displaystyle \mathbf {A} ^{k}}$وحل نظام معادلات مثلثية. يمكن إنجاز كليهما ضمن فئة التعقيد NC (حيث يمكن حل النظام المثلثي باستخدام أسلوب فرق تسد). لذا، يمكن حساب متعددة الحدود المميزة للمصفوفة ضمن فئة NC. وبحسب نظرية كايلي-هاميلتون ، فإن كل مصفوفة تحقق متعددة حدودها المميزة، ويسمح تحويل بسيط بإيجاد المصفوفة المرافقة ضمن فئة NC.

يؤدي إعادة ترتيب العمليات الحسابية إلى شكل فعال إلى خوارزمية فاديف-ليفرير (1840)، ويُعزى تطبيقها المتوازي السريع إلى ل. تشانكي (1976). ومن عيوبها أنها تتطلب القسمة على أعداد صحيحة، لذا يجب أن تكون خاصية الحقل صفرًا بشكل عام.

بالنسبة لقيمة معينة لـ n ، تُشكّل كثيرات الحدود المتناظرة الأولية e _{_k} ( x _₁ , ..., x_{_n} ) حيث k = 1, ..., n أساسًا جبريًا لفضاء كثيرات الحدود المتناظرة في x _₁ , ... , x_{_n} : كل تعبير كثير الحدود في x_{_i} ثابت تحت جميع تباديل تلك المتغيرات يُعطى بتعبير كثير حدود في تلك كثيرات الحدود المتناظرة الأولية، وهذا التعبير فريد حتى تكافؤ تعبيرات كثيرات الحدود. هذه حقيقة عامة تُعرف باسم النظرية الأساسية لكثيرات الحدود المتناظرة ، وتُقدّم متطابقات نيوتن صيغًا صريحة في حالة كثيرات الحدود المتناظرة لمجموع القوى. عند تطبيقها على كثير الحدود أحادي المعامل${\textstyle t^{n}+\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}a_{k}t^{n-k}}$باعتبار جميع المعاملات a _{_k} معاملات حرة، فهذا يعني أنه يمكن التعبير عن أي تعبير متعدد الحدود متناظر S ( x _₁ , ..., x_{_n} ) بدلالة جذوره كتعبير متعدد الحدود P ( a _₁ , ..., a_{_n} ) بدلالة معاملاته فقط، أي دون الحاجة إلى معرفة الجذور. وتستند هذه الحقيقة أيضًا إلى اعتبارات عامة في نظرية غالوا (حيث يُنظر إلى a _{_k} كعناصر في حقل أساسي بجذور في حقل امتداد، وتُبدّل زمرة غالوا هذه العناصر وفقًا لزمرة التناظر الكاملة، والحقل الثابت تحت جميع عناصر زمرة غالوا هو الحقل الأساسي).

تسمح متطابقات نيوتن أيضًا بالتعبير عن كثيرات الحدود المتناظرة الأولية بدلالة كثيرات الحدود المتناظرة لمجموع القوى، مما يدل على أنه يمكن التعبير عن أي كثيرة حدود متناظرة بدلالة مجاميع القوى. في الواقع، تشكل أول n مجاميع قوى أساسًا جبريًا لفضاء كثيرات الحدود المتناظرة.

إذا رمزنا بـ h _k إلى متعددة الحدود المتناظرة المتجانسة الكاملة (أي مجموع جميع أحاديات الحدود من الدرجة k )، فإن متعددات حدود مجموع القوى تحقق أيضًا متطابقات مشابهة لمتطابقات نيوتن، ولكنها لا تتضمن أي إشارات سالبة. وعند التعبير عنها كمتطابقات في حلقة الدوال المتناظرة ، فإنها تُقرأ كما يلي: 

${\displaystyle kh_{k}=\sum _{i=1}^{k}h_{k-i}p_{i},}$

صحيح لجميع قيم n ≥ k ≥ 1. على عكس متطابقات نيوتن، لا تصبح الأطراف اليسرى صفرًا عند قيم k الكبيرة ، وتحتوي الأطراف اليمنى على عدد متزايد من الحدود غير الصفرية. بالنسبة للقيم القليلة الأولى لـ k ، يكون لدينا 

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=p_{1},\\2h_{2}&=h_{1}p_{1}+p_{2},\\3h_{3}&=h_{2}p_{1}+h_{1}p_{2}+p_{3}.\\\end{aligned}}}$

_{كما ذُكر، يمكن استخدام متطابقات نيوتن للتعبير بشكل تكراري عن} كثيرات الحدود المتناظرة الأولية بدلالة مجاميع القوى. ويتطلب ذلك إدخال مقامات صحيحة، لذا يمكن القيام بذلك في الحلقة ΛQ للدوال المتناظرة ذات المعاملات النسبية.

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}&=p_{1},\\e_{2}&=\textstyle {\frac {1}{2}}p_{1}^{2}-{\frac {1}{2}}p_{2}&&=\textstyle {\frac {1}{2}}(p_{1}^{2}-p_{2}),\\e_{3}&=\textstyle {\frac {1}{6}}p_{1}^{3}-{\frac {1}{2}}p_{1}p_{2}+{\frac {1}{3}}p_{3}&&=\textstyle {\frac {1}{6}}(p_{1}^{3}-3p_{1}p_{2}+2p_{3}),\\e_{4}&=\textstyle {\frac {1}{24}}p_{1}^{4}-{\frac {1}{4}}p_{1}^{2}p_{2}+{\frac {1}{8}}p_{2}^{2}+{\frac {1}{3}}p_{1}p_{3}-{\frac {1}{4}}p_{4}&&=\textstyle {\frac {1}{24}}(p_{1}^{4}-6p_{1}^{2}p_{2}+3p_{2}^{2}+8p_{1}p_{3}-6p_{4}),\\&~~\vdots \\e_{n}&=(-1)^{n}\sum _{m_{1}+2m_{2}+\cdots +nm_{n}=n \atop m_{1}\geq 0,\ldots ,m_{n}\geq 0}\prod _{i=1}^{n}{\frac {(-p_{i})^{m_{i}}}{m_{i}!\,i^{m_{i}}}}\\\end{aligned}}}$

وهكذا دواليك. ^{[ 2 ]} يمكن التعبير عن الصيغة العامة بسهولة على النحو التالي

${\displaystyle e_{k}={\frac {(-1)^{k}}{k!}}B_{k}(-p_{1},-1!\,p_{2},-2!\,p_{3},\ldots ,-(k-1)!\,p_{k}),}$

حيث يمثل B _n متعددة حدود بيل الأسية الكاملة . ويؤدي هذا التعبير أيضًا إلى المتطابقة التالية للدوال المولدة:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }e_{k}\,t^{k}=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}p_{k}\,t^{k}\right).}$

عند تطبيقها على كثير الحدود أحادي المعامل، تعبر هذه الصيغ عن المعاملات بدلالة مجموع قوى الجذور: استبدل كل e _i بـ a _i وكل p _k بـ s _k .

يمكن تطوير العلاقات المماثلة التي تتضمن كثيرات الحدود المتماثلة المتجانسة الكاملة بشكل مماثل، مما يعطي معادلات

${\displaystyle {\begin{aligned}h_{1}&=p_{1},\\h_{2}&=\textstyle {\frac {1}{2}}p_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}p_{2}&&=\textstyle {\frac {1}{2}}(p_{1}^{2}+p_{2}),\\h_{3}&=\textstyle {\frac {1}{6}}p_{1}^{3}+{\frac {1}{2}}p_{1}p_{2}+{\frac {1}{3}}p_{3}&&=\textstyle {\frac {1}{6}}(p_{1}^{3}+3p_{1}p_{2}+2p_{3}),\\h_{4}&=\textstyle {\frac {1}{24}}p_{1}^{4}+{\frac {1}{4}}p_{1}^{2}p_{2}+{\frac {1}{8}}p_{2}^{2}+{\frac {1}{3}}p_{1}p_{3}+{\frac {1}{4}}p_{4}&&=\textstyle {\frac {1}{24}}(p_{1}^{4}+6p_{1}^{2}p_{2}+3p_{2}^{2}+8p_{1}p_{3}+6p_{4}),\\&~~\vdots \\h_{k}&=\sum _{m_{1}+2m_{2}+\cdots +km_{k}=k \atop m_{1}\geq 0,\ldots ,m_{k}\geq 0}\prod _{i=1}^{k}{\frac {p_{i}^{m_{i}}}{m_{i}!\,i^{m_{i}}}}\end{aligned}}}$

وهكذا دواليك، حيث لا توجد سوى علامات الجمع. من حيث متعددة حدود بيل الكاملة،

${\displaystyle h_{k}={\frac {1}{k!}}B_{k}(p_{1},0!\,p_{2},1!\,p_{3},\ldots ,(k-1)!\,p_{k}).}$

تُطابق هذه التعبيرات تمامًا كثيرات حدود مؤشر الدورة للمجموعات المتناظرة ، إذا فُسِّرت مجاميع القوى pᵢ على أنها _{غير محددة} : معامل التعبير عن hᵏ لأي حد أحادي ^{_{p₁m₁p₂m₂}} ... plmₖ يساوي نسبة جميع تباديل _k التي لها _m₁ ^نقطة ثابتة، _{و m₂} ^دورة بطول 2، ...، و _{ml دورة} بطول ^_l . ويمكن ^_كتابة هذا المعامل صراحةً على النحو التالي ^: ${\displaystyle 1/N}$أين${\textstyle N=\prod _{i=1}^{l}(m_{i}!\,i^{m_{i}})}$يمثل N عدد التباديل التي تتبادل مع أي تبديل معطى π من نوع الدورة المحدد. تتشابه معاملات الدوال المتناظرة الأولية في قيمتها المطلقة، ولكن إشارتها تساوي إشارة π ، وهي (−1 ^{) m² + _{m⁴ +} ...}  

ويمكن إثبات ذلك من خلال النظر في الخطوة الاستقرائية التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}mf(m;m_{1},\ldots ,m_{n})&=f(m-1;m_{1}-1,\ldots ,m_{n})+\cdots +f(m-n;m_{1},\ldots ,m_{n}-1)\\m_{1}\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{m_{i}}m_{i}!}}+\cdots +nm_{n}\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{m_{i}}m_{i}!}}&=m\prod _{i=1}^{n}{\frac {1}{i^{m_{i}}m_{i}!}}\end{aligned}}}$

قياسًا على اشتقاق الدالة المولدة لـ${\displaystyle e_{n}}$ويمكننا أيضاً الحصول على الدالة المولدة لـ${\displaystyle h_{n}}$، من حيث مجاميع القوى، كما يلي:

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }h_{k}\,t^{k}=\exp \left(\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {p_{k}}{k}}\,t^{k}\right).}$

وبالتالي فإن هذه الدالة المولدة هي الدالة الأسية البليثية لـ${\displaystyle p_{1}t=(x_{1}+\cdots +x_{n})t}$.

يمكن أيضًا استخدام متطابقات نيوتن للتعبير عن مجاميع القوى بدلالة كثيرات الحدود المتناظرة الأولية، وهو ما لا يُدخل المقامات:

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}&=e_{1},\\p_{2}&=e_{1}^{2}-2e_{2},\\p_{3}&=e_{1}^{3}-3e_{2}e_{1}+3e_{3},\\p_{4}&=e_{1}^{4}-4e_{2}e_{1}^{2}+4e_{3}e_{1}+2e_{2}^{2}-4e_{4},\\p_{5}&=e_{1}^{5}-5e_{2}e_{1}^{3}+5e_{3}e_{1}^{2}+5e_{2}^{2}e_{1}-5e_{4}e_{1}-5e_{3}e_{2}+5e_{5},\\p_{6}&=e_{1}^{6}-6e_{2}e_{1}^{4}+6e_{3}e_{1}^{3}+9e_{2}^{2}e_{1}^{2}-6e_{4}e_{1}^{2}-12e_{3}e_{2}e_{1}+6e_{5}e_{1}-2e_{2}^{3}+3e_{3}^{2}+6e_{4}e_{2}-6e_{6}.\end{aligned}}}$

تم الحصول على الصيغ الأربع الأولى بواسطة ألبرت جيرارد في عام 1629 (أي قبل نيوتن). ^{[ 3 ]}

الصيغة العامة (لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة m ) هي:

${\displaystyle p_{m}=(-1)^{m}m\sum _{r_{1}+2r_{2}+\cdots +mr_{m}=m \atop r_{1}\geq 0,\ldots ,r_{m}\geq 0}{\frac {(r_{1}+r_{2}+\cdots +r_{m}-1)!}{r_{1}!\,r_{2}!\cdots r_{m}!}}\prod _{i=1}^{m}(-e_{i})^{r_{i}}.}$

يمكن التعبير عن ذلك بسهولة باستخدام كثيرات حدود بيل العادية كما يلي:

${\displaystyle p_{m}=(-1)^{m}m\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}{\hat {B}}_{m,k}(-e_{1},\ldots ,-e_{m-k+1}),}$

أو بشكل مكافئ كدالة مولدة : ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}p_{k}{\frac {t^{k}}{k}}&=\ln \left(1+e_{1}t+e_{2}t^{2}+e_{3}t^{3}+\cdots \right)\\&=e_{1}t-{\frac {1}{2}}\left(e_{1}^{2}-2e_{2}\right)t^{2}+{\frac {1}{3}}\left(e_{1}^{3}-3e_{1}e_{2}+3e_{3}\right)t^{3}+\cdots ,\end{aligned}}}$

وهو ما يشبه دالة توليد الأسية لكثير الحدود بيل الواردة في القسم الفرعي السابق .

يمكن إثبات صيغة الجمع المتعدد المذكورة أعلاه من خلال النظر في خطوة الاستقراء التالية:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(m;\;r_{1},\ldots ,r_{n})={}&f(m-1;\;r_{1}-1,\cdots ,r_{n})+\cdots +f(m-n;\;r_{1},\ldots ,r_{n}-1)\\[8pt]={}&{\frac {1}{(r_{1}-1)!\cdots r_{n}!}}(m-1)(r_{1}+\cdots +r_{n}-2)!+\cdots \\&\cdots +{\frac {1}{r_{1}!\cdots (r_{n}-1)!}}(m-n)(r_{1}+\cdots +r_{n}-2)!\\[8pt]={}&{\frac {1}{r_{1}!\cdots r_{n}!}}\left[r_{1}(m-1)+\cdots +r_{n}(m-n)\right]\left[r_{1}+\cdots +r_{n}-2\right]!\\[8pt]={}&{\frac {1}{r_{1}!\cdots r_{n}!}}\left[m(r_{1}+\cdots +r_{n})-m\right]\left[r_{1}+\cdots +r_{n}-2\right]!\\[8pt]={}&{\frac {m(r_{1}+\cdots +r_{n}-1)!}{r_{1}!\cdots r_{n}!}}\end{aligned}}}$

وأخيرًا، يمكن استخدام المتطابقات المتغيرة التي تتضمن كثيرات الحدود المتماثلة المتجانسة الكاملة للتعبير عن مجاميع القوى بدلالة هذه الكثيرات:

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}&=+h_{1},\\p_{2}&=-h_{1}^{2}+2h_{2},\\p_{3}&=+h_{1}^{3}-3h_{2}h_{1}+3h_{3},\\p_{4}&=-h_{1}^{4}+4h_{2}h_{1}^{2}-4h_{3}h_{1}-2h_{2}^{2}+4h_{4},\\p_{5}&=+h_{1}^{5}-5h_{2}h_{1}^{3}+5h_{2}^{2}h_{1}+5h_{3}h_{1}^{2}-5h_{3}h_{2}-5h_{4}h_{1}+5h_{5},\\p_{6}&=-h_{1}^{6}+6h_{2}h_{1}^{4}-9h_{2}^{2}h_{1}^{2}-6h_{3}h_{1}^{3}+2h_{2}^{3}+12h_{3}h_{2}h_{1}+6h_{4}h_{1}^{2}-3h_{3}^{2}-6h_{4}h_{2}-6h_{1}h_{5}+6h_{6},\\\end{aligned}}}$

وهكذا دواليك. وبصرف النظر عن استبدال كل e _i بالـ h _i المقابل له ، فإن التغيير الوحيد مقارنةً بمجموعة المتطابقات السابقة يكمن في إشارات الحدود، والتي تعتمد في هذه الحالة فقط على عدد العوامل الموجودة: إشارة الحد الأحادي${\textstyle \prod _{i=1}^{l}h_{i}^{m_{i}}}$هي −(−1) ^{m ₁ + m ₂ + m ₃ +...} . وينطبق الوصف المذكور أعلاه للقيمة المطلقة للمعاملات هنا أيضاً.

الصيغة العامة (لجميع الأعداد الصحيحة غير السالبة m ) هي:

${\displaystyle p_{m}=-\sum _{r_{1}+2r_{2}+\cdots +mr_{m}=m \atop r_{1}\geq 0,\ldots ,r_{m}\geq 0}{\frac {m(r_{1}+r_{2}+\cdots +r_{m}-1)!}{r_{1}!\,r_{2}!\cdots r_{m}!}}\prod _{i=1}^{m}(-h_{i})^{r_{i}}}$

يمكن الحصول على صيغ صريحة للتعبيرات المذكورة أعلاه في صورة محددات، وذلك باعتبار أول n من متطابقات نيوتن (أو نظائرها لكثيرات الحدود المتجانسة الكاملة) كمعادلات خطية تكون فيها الدوال المتناظرة الأولية معلومة ومجاميع القوى مجهولة (أو العكس)، ثم تطبيق قاعدة كرامر لإيجاد حل للمجهول الأخير. على سبيل المثال، بأخذ متطابقات نيوتن في الصورة

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}&=1p_{1},\\2e_{2}&=e_{1}p_{1}-1p_{2},\\3e_{3}&=e_{2}p_{1}-e_{1}p_{2}+1p_{3},\\&\,\,\,\vdots \\ne_{n}&=e_{n-1}p_{1}-e_{n-2}p_{2}+\cdots +(-1)^{n}e_{1}p_{n-1}+(-1)^{n-1}p_{n}\end{aligned}}}$

نحن نعتبر${\displaystyle p_{1},-p_{2},p_{3},\ldots ,(-1)^{n}p_{n-1}}$و${\displaystyle p_{n}}$كمجهولات، ثم حل لإيجاد القيمة النهائية، مما يعطي

${\displaystyle {\begin{aligned}(-1)^{n-1}p_{n}={}&{\begin{vmatrix}1&0&\cdots &&e_{1}\\e_{1}&1&0&\cdots &2e_{2}\\e_{2}&e_{1}&1&&3e_{3}\\\vdots &&\ddots &\ddots &\vdots \\e_{n-1}&\cdots &e_{2}&e_{1}&ne_{n}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1&0&\cdots &\\e_{1}&1&0&\cdots \\e_{2}&e_{1}&1&\\\vdots &&\ddots &\ddots \\e_{n-1}&\cdots &e_{2}&e_{1}&1\end{vmatrix}}^{-1}\\[7pt]p_{n}={(-1)^{n-1}}&{\begin{vmatrix}1&0&\cdots &&e_{1}\\e_{1}&1&0&\cdots &2e_{2}\\e_{2}&e_{1}&1&&3e_{3}\\\vdots &&\ddots &\ddots &\vdots \\e_{n-1}&\cdots &e_{2}&e_{1}&ne_{n}\end{vmatrix}}\\[7pt]={}&{\begin{vmatrix}e_{1}&1&0&\cdots \\2e_{2}&e_{1}&1&0&\cdots \\3e_{3}&e_{2}&e_{1}&1\\\vdots &&&\ddots &\ddots \\ne_{n}&e_{n-1}&\cdots &&e_{1}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}$

حل لـ${\displaystyle e_{n}}$بدلاً من أجل${\displaystyle p_{n}}$وهي مشابهة، مثل الحسابات المماثلة لكثيرات الحدود المتجانسة المتناظرة الكاملة؛ في كل حالة تكون التفاصيل أكثر تعقيدًا بقليل من النتائج النهائية، وهي (ماكدونالد 1979، ص  20):

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{n}={\frac {1}{n!}}&{\begin{vmatrix}p_{1}&1&0&\cdots \\p_{2}&p_{1}&2&0&\cdots \\\vdots &&\ddots &\ddots \\p_{n-1}&p_{n-2}&\cdots &p_{1}&n-1\\p_{n}&p_{n-1}&\cdots &p_{2}&p_{1}\end{vmatrix}}\\[7pt]p_{n}=(-1)^{n-1}&{\begin{vmatrix}h_{1}&1&0&\cdots \\2h_{2}&h_{1}&1&0&\cdots \\3h_{3}&h_{2}&h_{1}&1\\\vdots &&&\ddots &\ddots \\nh_{n}&h_{n-1}&\cdots &&h_{1}\end{vmatrix}}\\[7pt]h_{n}={\frac {1}{n!}}&{\begin{vmatrix}p_{1}&-1&0&\cdots \\p_{2}&p_{1}&-2&0&\cdots \\\vdots &&\ddots &\ddots \\p_{n-1}&p_{n-2}&\cdots &p_{1}&1-n\\p_{n}&p_{n-1}&\cdots &p_{2}&p_{1}\end{vmatrix}}.\end{aligned}}}$

لاحظ أن استخدام المحددات يجعل صيغة لـ${\displaystyle h_{n}}$يحتوي على علامات ناقص إضافية مقارنة بعلامة واحدة لـ${\displaystyle e_{n}}$بينما يكون الوضع معاكساً بالنسبة للصيغة الموسعة المذكورة سابقاً. وكما ذُكر في (ليتلوود 1950، ص  84)، يمكن بدلاً من ذلك الحصول على الصيغة لـ${\displaystyle h_{n}}$بأخذ العنصر الدائم للمصفوفة لـ${\displaystyle e_{n}}$بدلاً من المحدد، وبشكل أكثر عمومية يمكن الحصول على تعبير لأي متعدد حدود شور عن طريق أخذ المصفوفة الداخلية المقابلة لهذه المصفوفة.

يمكننا إظهار العلاقات بين e _k و p _k و h _k من خلال الدوال المولدة$${\displaystyle {\begin{aligned}E(t)&=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}e_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})t^{k}=\prod _{j=1}^{n}(1-x_{j}t)\\P(t)&=\sum _{k=1}^{\infty }p_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})t^{k}=\sum _{j=1}^{n}\left(x_{j}t+(x_{j}t)^{2}+\ldots \right)=\sum _{j=1}^{n}{\frac {x_{j}t}{1-x_{j}t}}\\H(t)&=\sum _{k=0}^{\infty }h_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})t^{k}=\prod _{j=1}^{n}\left(1+x_{j}t+(x_{j}t)^{2}+\ldots \right)=\prod _{j=1}^{n}{\frac {1}{1-x_{j}t}}\,.\end{aligned}}}$$

يُصاغ الاشتقاق التالي، الوارد أساسًا في (ميد، 1992)، في حلقة الدوال المتناظرة للتوضيح (جميع المتطابقات مستقلة عن عدد المتغيرات). لنثبت قيمة k > 0 ، ونُعرّف الدالة المتناظرة r_{_k} ( i ) حيث 2 ≤ i ≤ k على أنها مجموع جميع أحاديات الحدود المختلفة من الدرجة k الناتجة عن ضرب متغير واحد مرفوعًا للأس i في k − i من المتغيرات الأخرى المختلفة (وهي دالة أحادية الحدود المتناظرة mγ حيث _γ دالة على شكل خطاف ( i , 1, 1, ..., 1)) . على وجه الخصوص ، r _{_k} ( k ) = p_{_k} ؛ بالنسبة لـ r_{_k} (1)، فإن الوصف يُعادل وصف e _{_k} ، ولكن تم استبعاد هذه الحالة لأن أحاديات الحدود هنا لا تحتوي على أي متغير مميز. يمكن التعبير عن جميع نواتج الضرب p_{_i} e _{_{k - i}} بدلالة r_{_k} ( j ) ، مع كون الحالة الأولى والأخيرة خاصتين نوعًا ما. 

${\displaystyle p_{i}e_{k-i}=r_{k}(i)+r_{k}(i+1)\quad {\text{for }}1<i<k}$

بما أن كل حاصل ضرب للحدود على اليسار التي تتضمن متغيرات مختلفة يُساهم في rk ( i ) ، بينما تلك _التي يظهر فيها المتغير من pᵢ بالفعل بين متغيرات الحد من _eᵏ⁻ᵢ تُساهم _في rk ( i + 1) ، وجميع الحدود على اليمين تُحسب بهذه الطريقة مرة واحدة فقط. بالنسبة لـ _i = k ، _نضرب في e₀ = 1 _، مما يُعطي بشكل _بديهي

${\displaystyle p_{k}e_{0}=p_{k}=r_{k}(k).}$

وأخيرًا، يُعطي حاصل ضرب p ₁ e _{k −1} لـ i = 1 مساهمات في r _k ( i + 1) = r _k (2) كما هو الحال بالنسبة للقيم الأخرى i < k ، لكن المساهمات المتبقية تُنتج k مرة لكل حد من حدود e _k ، نظرًا لأن أيًا من المتغيرات قد يأتي من العامل p ₁ ؛ وبالتالي

${\displaystyle p_{1}e_{k-1}=ke_{k}+r_{k}(2).}$

يتم الآن الحصول على متطابقة نيوتن رقم k عن طريق أخذ المجموع المتناوب لهذه المعادلات، والتي يتم فيها إلغاء جميع الحدود من الشكل r _k ( i ) .

قدم دورون زيلبرجر برهانًا توافقيًا قصيرًا لهويات نيوتن في عام 1984. ^{[ 5 ]}