بديهية مارتن

في مجال نظرية المجموعات الرياضية ، تُعدّ بديهية مارتن ، التي وضعها دونالد أ. مارتن وروبرت م. سولوفاي ، ^{[ 1 ]} عبارة مستقلة عن البديهيات المعتادة لنظرية المجموعات ZFC . وهي مستنتجة ضمنيًا من فرضية الاستمرارية ، لكنها متسقة مع ZFC ونفي فرضية الاستمرارية.

بشكل غير رسمي، يقول إن جميع الأعداد الأصلية الأقل من عدد عناصر المتصل ،${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$، تتصرف بشكل مشابه تقريبًا${\displaystyle \aleph _{0}}$يمكن فهم الحدس الكامن وراء ذلك من خلال دراسة برهان مبرهنة راسيوا-سيكورسكي . وهي مبدأ يُستخدم للتحكم في بعض حجج الإجبار .

بالنسبة للعدد الأصلي${\displaystyle \kappa }$، عرّف العبارة التالية:

MA( κ )

لأي ترتيب جزئي P يحقق شرط السلسلة القابلة للعد (يشار إليه فيما يلي بـ ccc) وأي مجموعة D  = { D _i } _{i ∈ I} من المجموعات الفرعية الكثيفة من P بحيث | D|  ≤ κ ، يوجد مرشح F على P بحيث يكون F ∩ D _i غير فارغ لكل D _i ∈ D.     

في هذا السياق، تُسمى المجموعة D كثيفة إذا كان لكل عنصر من عناصر P حد أدنى في D. ولتطبيق مبدأ التوافق الجزئي، فإن السلسلة المضادة هي مجموعة جزئية A من P بحيث يكون أي عنصرين مختلفين من A غير متوافقين (يُقال إن عنصرين متوافقان إذا وُجد عنصر مشترك أسفل كليهما في الترتيب الجزئي). ويختلف هذا عن مفهوم السلسلة المضادة في سياق الأشجار ، على سبيل المثال .

MA(ℵ ₀ ) قابلة للإثبات في ZFC ومعروفة باسم ليمّة راسيوا-سيكورسكي .

العبارة MA(2 ^{ℵ ₀} ) خاطئة: [0,  1] فضاء هاوسدورف متراص قابل للفصل ، وبالتالي فإن ( P ، مجموعة المجموعات الجزئية المفتوحة تحت التضمين، هي) ccc. لكن لننظر الآن إلى مجموعتين من المجموعات الكثيفة في P بحجم 𝔠 : لا يوجد عنصر x ∈ [0, 1] معزول ، وبالتالي يُعرّف كل x المجموعة الجزئية الكثيفة { S | x ∉ S }. ويُعرّف كل r ∈ [0, 1] المجموعة الجزئية الكثيفة { S | diam( S ) < r }. المجموعتان مجتمعتان أيضًا بحجم 𝔠، ويجب على أي مرشح يحقق كلتيهما أن يتجنب جميع نقاط [0, 1] في آنٍ واحد مع احتواءه على مجموعات ذات قطر صغير كيفيًا. لكن أي مرشح F يحتوي على مجموعات ذات قطر صغير كيفيًا يجب أن يحتوي على نقطة في ⋂ F بسبب التراص. (انظر أيضًا § الأشكال المكافئة لـ MA(κ) ).                  

إذن، فإن مسلمة مارتن هي أن MA(${\displaystyle \kappa }$) يحمل لكل${\displaystyle \kappa }$والتي يمكن أن تفعل ذلك:

مسلمة مارتن (MA)

ماجستير (${\displaystyle \kappa }$) يحمل لكل${\displaystyle \kappa <{\mathfrak {c}}}$.

العبارات التالية تعادل MA( κ ):

• إذا كان X فضاءً طوبولوجيًا هاوسدورفيًا متراصًا يحقق شرط ccc، فإن X ليس اتحادًا لـ${\displaystyle \kappa }$أو عدد أقل من المجموعات الفرعية غير الكثيفة في أي مكان .
• إذا كانت P مجموعة جزئية مرتبة تصاعديًا غير فارغة ccc و Y هي مجموعة من المجموعات الجزئية النهائية المشتركة لـ P مع |Y|  ≤ κ، فهناك مجموعة موجهة تصاعديًا A بحيث تلتقي A بكل عنصر من عناصر Y. 
• ليكن A جبرًا بوليانيًا غير صفري من نوع ccc، وليكن F مجموعة من المجموعات الجزئية من A حيث |F|  ≤ κ . عندئذٍ يوجد تشاكل بولياني φ: A → Z /2 Z بحيث أنه لكل X ∈ F ، يوجد إما a ∈ X بحيث φ( a ) = 1 أو يوجد حد أعلى b ∈ X بحيث φ( b ) = 0.              

تتضمن بديهية مارتن عدداً من النتائج التوافقية والتحليلية والطوبولوجية الأخرى المثيرة للاهتمام :

• اتحاد κ أو أقل من المجموعات الصفرية في مقياس بوريل عديم الذرات ذي سيجما-محدود على فضاء بولندي هو اتحاد صفري. وعلى وجه الخصوص، فإن اتحاد κ أو أقل من المجموعات الجزئية من R ذات مقياس ليبيغ 0 له أيضًا مقياس ليبيغ 0.
• الفضاء الهاوسدورفي المضغوط X الذي يكون فيه |X|  <  2 ^κ مضغوطًا تسلسليًا ، أي أن كل متتالية لها متتالية فرعية متقاربة.
• لا يوجد مرشح فائق غير رئيسي على N له قاعدة عددية أقل من κ .
• وبالمثل، بالنسبة لأي x  ∈  β N \ N لدينا 𝜒( x )  ≥ κ ، حيث 𝜒 هو خاصية x ، وبالتالي 𝜒(β N ) ≥ κ .   
• MA(ℵ ₁ ) يعني أن حاصل ضرب الفضاءات الطوبولوجية ccc هو ccc (وهذا بدوره يعني عدم وجود خطوط سوسلين ).
• MA  +  ¬CH يعني وجود مجموعة وايتهيد غير حرة؛ استخدم شيلاه هذا لإظهار أن مشكلة وايتهيد مستقلة عن ZFC.

يمكن اعتبار بديهية مارتن تعميمًا لنظرية باير للفئات : إذا تحققت فرضية الاستمرارية، فإن أحد الأشكال المكافئة لبديهية مارتن المذكورة أعلاه هو ببساطة نظرية باير للفئات مقيدة بالفضاءات المدمجة ccc (يكون الفضاء الطوبولوجي ccc إذا لم يكن لديه مجموعة غير قابلة للعد ومنفصلة مثنى مثنى من المجموعات المفتوحة). ^{[ 2 ]}

تُعرف العديد من البديهيات الأخرى المصممة على غرار بديهية مارتن باسم بديهيات الإجبار . وتشمل هذه البديهية بديهية الإجبار الصحيحة وقيمة مارتن القصوى ، وكلاهما يستلزم بديهية مارتن.