معادلة مونج

قام مونج بدراسة الحالة التي تكون فيها F خطية في المشتقات:$${\displaystyle A^{0}(u,q)+\sum _{i=0}^{n}A^{i}(u,q)\partial _{q^{i}}u=0}$$أين${\displaystyle A^{0:n}}$هي وظائف${\displaystyle u,q}$تُسمى هذه الحالة معادلة تفاضلية جزئية شبه خطية من الدرجة الأولى . عندما${\displaystyle A^{1},\dots ,A^{n}}$لا تعتمد على${\displaystyle u}$إنها معادلة تفاضلية جزئية شبه خطية من الدرجة الأولى .

لنفترض رسمًا بيانيًا لسطح حل في${\displaystyle \mathbb {R} \times M}$المماس للرسم البياني عند نقطة ثابتة${\displaystyle u,q}$له معادلات$${\displaystyle a_{0}du+a_{i}dq^{i}=0}$$حيث تحقق المعاملات ذات القيم الحقيقية${\displaystyle A^{\mu }a_{\mu }=0}$هذه معادلة خطية ، ومجموعة جميع الحلول${\displaystyle \{a_{\mu }:a_{\mu }A^{\mu }=0\}}$شكّل فضاءً فرعياً ذا بُعد مشترك 1 في الفضاء المماسي المشترك${\displaystyle T_{(u,q)}^{*}(\mathbb {R} \times M)}$.

وبشكل مزدوج، المبيد لـ${\displaystyle \{a_{\mu }:a_{\mu }A^{\mu }=0\}}$هو فضاء فرعي ذو بُعد واحد في الفضاء المماسي${\displaystyle T_{(u,q)}(\mathbb {R} \times M)}$ويُطلق عليه محور مونج . ويمتد بواسطة المتجه المميز${\displaystyle A^{0}\partial _{u}+A^{i}\partial _{q^{i}}}$أي رسم بياني للحل يمر بالنقطة${\displaystyle u,q}$يجب أن يحتوي بالضرورة على المتجه المميز.

وبذلك نحصل على حقل المتجهات المميز للمعادلة في${\displaystyle \mathbb {R} \times M}$بإجراء التكامل على المجال، نحصل على تليف من${\displaystyle \mathbb {R} \times M}$إلى${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$عائلة منحنيات أحادية البعد ذات معلمات. هذه هي المنحنيات المميزة للمعادلة. بما أن حل هذه المنحنيات المميزة لا يتطلب سوى تكامل معادلة تفاضلية عادية ، يُقال إنها "مختزلة إلى تكاملات" أو " قابلة للتكامل ".

يجب تحويل أي رسم بياني للحل إلى منحنيات مميزة. وعلى العكس من ذلك، أي${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}}$تُشكل مجموعة فرعية مُعَلمة من المنحنيات المميزة رسمًا بيانيًا للحل، ويمكن الحصول عليها عن طريق أخذ أي سطح أملس ذي بُعد مشترك 2${\displaystyle S\subset \mathbb {R} \times M}$وبأخذ اتحاد جميع المنحنيات المميزة التي تمر بهذا السطح. يمثل هذا السطح شرط كوشي الحدودي للمعادلة. وهناك بعض الاستثناءات:

• الكاوستيك : إذا لم تتحقق افتراضات نظرية بيكارد-ليندلوف ، فقد تتقارب منحنيات مميزة مختلفة إلى نفس النقطة أو تتباعد عنها، أي أن هذه المنحنيات حلول شاذة . يصبح مخطط الحل الذي يحتوي على منحنى حل شاذ غير محدد بعد النقطة الشاذة. قد تنهار خصائص متعددة إلى خاصية واحدة ( موجة صدمية )، وقد تتباعد خاصية واحدة إلى خصائص متعددة ( تخلخل ).
• إذا كان السطح${\displaystyle S}$إذا لم يكن شرط حدود كوشي الذي يشفر ذلك متعامدًا مع حقل المتجهات المميز، فإن السطح الذي تم مسحه بواسطة${\displaystyle S}$سيحتوي على منحنيات حل مكررة، وبالتالي يفقد بُعدًا واحدًا على الأقل. الشرط الذي يجعل حدود كوشي متعامدة مع حقل المتجهات المميز هو شرط الرتبة غير المميزة .
• لو${\displaystyle (A^{1},\dots ,A^{n})=0}$عند نقطة ما على المنحنى المميز، سيتحرك المنحنى عموديًا بشكل مباشر، مما يعني أن السطح الذي يحتوي على مثل هذا المنحنى، حتى لو كان أملسًا ومحددًا جيدًا، لن يكون بعد الآن رسمًا بيانيًا لدالة قابلة للتفاضل من النوع${\displaystyle M\to \mathbb {R} }$هذه حالة تفرد ذات زمن محدود . وهذا يتوافق مع تحول المعادلة التفاضلية الأصلية إلى${\displaystyle A^{0}(u,q)=0}$.

الشريط المميز هو سماكة متناهية الصغر لمنحنى مميز، يتم إنشاؤه كشريحة من سطح الحل الذي تم الحصول عليه من سطح شرط ابتدائي متناهي الصغر ذي بُعد مشترك 2${\displaystyle \delta S\subset T_{(u,q)}(\mathbb {R} \times M)}$وهو متعامد مع حقل المتجهات المميز عند تلك النقطة. وبصورة مكافئة، يمكن فهمه على أنه المسار في فضاء الجبهات الموجية المتناهية الصغر (المويجات).${\displaystyle \mathbb {R} \times T^{*}M}$من هذا المنظور، مجموعة المعادلات$${\displaystyle A^{0}(u,q)+A^{i}(u,q)p_{i}=0,\quad du-p_{i}dq^{i}=0}$$هي معادلة موجية. سطح الحل${\displaystyle u}$يتم تحليلها إلى عائلة (n-1) من جبهات الموجة متناهية الصغر ذات الأبعاد التي تنتشر بشكل مستقل وفقًا لمعادلة الموجة. ^{[ 1 ]}

عندما لا تكون الحالة شبه خطية، تظل المشكلة هي إيجاد شرائح مميزة من$${\displaystyle F(u,q,p)=0,\quad du-p_{i}dq^{i}=0}$$عرّف الشكل 1${\displaystyle \alpha =du-p_{i}dq^{i}}$الحالة${\displaystyle \alpha =0}$يُعرّف بنية اتصال على مشعب الموجات الصغيرة ذي الأبعاد (2n+1).${\displaystyle \mathbb {R} \times T^{*}M}$، مكتوبة على النحو التالي${\displaystyle (\mathbb {R} \times T^{*}M,\alpha )}$، ويُطلق عليه اسم مشعب النفث الأحادي ، بينما الحالة${\displaystyle F(u,q,p)=0}$يُعرّف سطحًا فائقًا . تكمن المشكلة في إيجاد سطح فرعي ذي بُعد n يكون مماسًا لبنية التماس مع البقاء ضمن السطح الفرعي ذي البُعد 2n${\displaystyle S:=F^{-1}(0)}$بمعنى آخر، يتعلق الأمر بإيجاد فضاءات فرعية ليجندرية في${\displaystyle S}$أي دالة قابلة للتفاضل${\displaystyle u:M\to \mathbb {R} }$يرفع بشكل فريد إلى مشعب فرعي ليجندرياني، وعلى العكس من ذلك، فإن أي مشعب فرعي ليجندرياني ليس عموديًا في أي مكان هو رفع فريد${\displaystyle u:M\to \mathbb {R} }$تم الحصول عليها عن طريق أخذ خريطة الإسقاط${\displaystyle \mathbb {R} \times T^{*}M\to \mathbb {R} \times M}$(أي عن طريق النسيان)${\displaystyle p}$).

لهذا حل قياسي في هندسة التلامس . ابدأ بمتشعب التلامس ذي الأبعاد (2n+1).${\displaystyle (\mathbb {R} \times T^{*}M,\alpha )}$، وعرّف الشكل 2${\displaystyle \omega =d\alpha }$وحقل ريب المتجهي${\displaystyle R:=\partial _{u}}$تمثل الشرائط المميزة المنحنيات التكاملية لحقل المتجهات ثنائي الخصائص .${\displaystyle X_{F}}$تحقيق معادلات هاميلتونيان التلامس : ^{[ 2 ]}$${\displaystyle \alpha (X_{F})=F,\quad \omega (X_{F},\cdot )=dF-(RF)\alpha }$$المنحنيات التكاملية لحقل متجه ثنائي الخصائص هي المنحنيات ثنائية الخصائص ، وهي مسارات ترسمها الشرائح المميزة. في الإحداثيات،$${\displaystyle X_{F}=(X_{F,u},X_{F,q},X_{F,p})=(p\cdot \partial _{p}F,\partial _{p}F,-\partial _{q}F-(\partial _{u}F)p)}$$أي مشعب فرعي ليجندريان في${\displaystyle S}$يتحول إلى ألياف${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}}$عائلة من المنحنيات ثنائية الخصائص. على العكس من ذلك، بالنظر إلى أي${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}}$- مشعب فرعي ذو معلمات في${\displaystyle S}$ذلك متعامد مع${\displaystyle X_{F}}$، ويمتد إلى فضاء فرعي ليجندري في${\displaystyle S}$عن طريق أخذ اتحاد جميع المنحنيات ثنائية الخصائص التي تمر من خلالها.

شرط كوشي الحدودي هو${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}}$- مشعب فرعي ذو معلمات في${\displaystyle \mathbb {R} \times M}$:$${\displaystyle (s^{1},\dots ,s^{n-1})\mapsto (u_{0}(s),q_{0}^{1}(s),\dots ,q_{0}^{n}(s))}$$يتم الحصول على الحل برفعه إلى${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}}$- مشعب فرعي ذو معلمات في${\displaystyle \mathbb {R} \times M}$:$${\displaystyle (s^{1},\dots ,s^{n-1})\mapsto (u_{0}(s),q_{0}^{1}(s),\dots ,q_{0}^{n}(s),p_{0,1}(s),\dots ,p_{0,n-1}(s))}$$ذلك يرضي$${\displaystyle F(u_{0}(s),q_{0}(s),p_{0}(s))=0,\quad \partial _{s^{k}}u_{0}-\sum _{i=1}^{n}p_{i}\partial _{s^{k}}q_{0}^{i}=0,\quad k=1,\dots ,n-1}$$الحل موجود وفريد ​​من نوعه، مع بعض الاستثناءات:

• إذا لم يكن شرط الحدود متعامدًا مع${\displaystyle X_{F}}$ثم يخالف ذلك شرط الرتبة غير المميزة. في هذه الحالة، تفشل المعادلة في تحديد كيفية رفع شرط الحدود.
• إذا حدث ذلك في وقت ما${\displaystyle (u,q,p)\in S}$السطح يكون مماساً لـ${\displaystyle \ker \alpha }$، ثم${\displaystyle X_{F}(u,q,p)=0}$مما يشير إلى أن المعادلة تفشل في تحديد كيفية انتشار الجبهة الموجية المتناهية الصغر إلى ما بعد هذه النقطة.

حلّ مونج المعادلة باستخدام بناء هندسي يُسمى مخروط مونج . لنفترض جميع أسطح الحلول التي تمر بنقطة ثابتة.${\displaystyle (u,q)\in \mathbb {R} \times M}$سطح غلافها مخروطي الشكل ذو قمة${\displaystyle (u,q)}$هذا هو مخروط مونج عند هذه النقطة. بافتراض شرط حدودي لكوشي محدد بواسطة${\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}}$مشعب فرعي ذو أبعاد في${\displaystyle \mathbb {R} \times M}$سطح الحل هو الامتداد المماس لجميع المخاريط في جميع المواقع. بعبارة أخرى، يتم إنشاء سطح الحل بأخذ فرع من غلاف المخاريط.

تكون نقاط التقاطع بين المخاريط وسطح الحل مماسة للمنحنيات المميزة، وترتفع إلى منحنيات ثنائية مميزة في${\displaystyle \mathbb {R} \times T^{*}M}$عندما يتم استيفاء شرط الرتبة غير المميزة، فإن غلاف المخاريط يحتوي على عدد محدود من الفروع فقط، وبالتالي لا يوجد سوى عدد محدود من أسطح الحلول.

في الحالة الخاصة للمعادلة شبه الخطية، يتحول المخروط إلى خط واحد، وهو محور مونج.

بلغة هندسة التماس، كل نقطة${\displaystyle (u,q)\in \mathbb {R} \times M}$ترتفع إلى جبهة موجية متناهية الصغر${\displaystyle (u,q,p)\in \mathbb {R} \times T^{*}M}$الحالة${\displaystyle F(u,q,p)=0}$يحد من خيارات${\displaystyle p}$إلى مجموعة جزئية ذات أبعاد (n-1) . لأي مجموعة جزئية من هذا القبيل${\displaystyle p}$ينتج المنحنى ثنائي الخصائص مسارًا محتملاً لجبهة الموجة${\displaystyle s\mapsto (u(s),q(s),p(s))}$، والذي يُسقط على متجه مماس${\displaystyle (du/ds,dq/ds)\in \mathbb {R} \times T_{q}M}$. مجموعة الأعداد التي تمتد بواسطة جميع متجهات المماس هذه هي مخروط مونج عند هذه النقطة.

عندما لا تتغير ديناميكيات النظام بفعل مجموعة ما ، يمكن إزالة هذا التناظر بأخذ خارج قسمة فعل المجموعة. وهذا ما يُعرف باختزال التناظر.

إذا احتوت زمرة التناظر للمعادلة على زمرة لي تبديلية ذات 3 أبعاد، فيمكن تحويلها إلى الشكل التالي:${\displaystyle F(\partial _{q^{1}}u,\partial _{q^{2}}u)=0}$في هذه الحالة، تكون مخاريط مونج متطابقة في جميع أنحاء${\displaystyle (u,q^{1},q^{2})}$في الفضاء. لذلك، فإن حركة الجسيم على طول منحنى مميز تكون متماثلة في كل مكان، ويمكن اختزالها ببساطة. في الديناميكية المختزلة، يبقى الجسيم في مكانه، والديناميكية الوحيدة غير التافهة هي زخمه.${\displaystyle (\partial _{q^{1}}u,\partial _{q^{2}}u)}$، وهو ما يظل ثابتًا بمرور الوقت. وتختزل الديناميكيات إلى حالة سكون على دائرة.

إذا احتوت زمرة التناظر للمعادلة على زمرة لي تبديلية ذات بعدين، فإنه يمكن تحويلها إلى معادلة على الصورة التالية:${\displaystyle F(u,\partial _{q^{1}}u,\partial _{q^{2}}u)=0}$في هذه الحالة، تكون مخاريط مونج متطابقة في جميع أنحاء${\displaystyle (q^{1},q^{2})}$مستوى، ويختلف على${\displaystyle u}$لذلك، فإن الديناميكية الوحيدة غير التافهة لجسيم على طول منحنى مميز هي التفاعل بين ارتفاعه${\displaystyle u}$والزخم${\displaystyle (\partial _{q^{1}}u,\partial _{q^{2}}u)}$. وتختزل الديناميكيات إلى تدفق على أسطوانة.

متى${\displaystyle n=1}$المعادلة$${\displaystyle F(u,q^{1},\partial _{q^{1}}u)=0}$$يتحول إلى معادلة تفاضلية عادية لدالة من النوع${\displaystyle u:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$وفي كل نقطة${\displaystyle (u,q^{1})}$يتكون مخروط مونج من خطوط مستقيمة تمر بالنقطة ذات ميول${\displaystyle k}$مُرضٍ${\displaystyle F(u,q^{1},k)=0}$يبقى منحنى الحل مماساً لكل مخروط من مخروطات مونج.

متى${\displaystyle n=2}$، عند كل نقطة${\displaystyle (u,q^{1},q^{2})}$المعادلة$${\displaystyle F(u,q^{1},q^{2},\partial _{q^{1}}u,\partial _{q^{2}}u)=0}$$ينتج ذلك مشعبًا أحادي البعد من الخيارات الممكنة لـ${\displaystyle (\partial _{q^{1}}u,\partial _{q^{2}}u)}$بشكل عام، يبدو التشعب كاتحاد لعدة منحنيات مغلقة قابلة للتفاضل. ينتج كل منحنى قابل للتفاضل مجموعة من المستويات، والتي بدورها تنتج مخروطًا كغلاف لها. اتحاد كل هذه المخاريط هو مخروط مونج.

أبسط معادلة غير خطية تمامًا هي معادلة إيكونال . وهي تأخذ الشكل التالي:

${\displaystyle |\nabla u|^{2}=1,}$

بحيث تُعطى الدالة F بالصيغة التالية

${\displaystyle F(x,y,u,u_{x},u_{y})=u_{x}^{2}+u_{y}^{2}-1.}$

يتكون المخروط المزدوج من شكل واحد${\displaystyle adx+bdy+cdz}$مُرضٍ

${\displaystyle a^{2}+b^{2}-c^{2}=0.}$

هذا يُعرّف مخروطًا دائريًا. المخروط المزدوج المحدب للدائرة هو دائرة، وبالتالي فإن مخروط مونج عند كل نقطة هو مخروط دائري.

وهذا يعمم على معادلة إيكونال للجيوديسيات في مشعب ريماني ، وبشكل أكثر عمومية مشعب فينسلر .