معادلة إيكونال

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 95 صور
الموسوعة الحرة

معادلة إيكونال (من اليونانية εἰκών، صورة [ 1 ] [ 2 ] ) هي معادلة تفاضلية جزئية غير خطية من الدرجة الأولى يتم مواجهتها في مشاكل انتشار الموجات .

معادلة إيكونال الكلاسيكية في البصريات الهندسية هي معادلة تفاضلية على الشكل التالي:

أينx{\displaystyle x}يقع في مجموعة فرعية مفتوحة منRن{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}،ن(x){\displaystyle n(x)}هي دالة موجبة، ∇{\displaystyle \nabla } يرمز إلى التدرج ، و|⋅|{\displaystyle |\cdot |}هي المعيار الإقليدي . الدالةن{\displaystyle n}يُعطى الأمر ويبحث المرء عن حلولu{\displaystyle u}في سياق البصريات الهندسية ، الدالةن{\displaystyle n}هو معامل انكسار الوسط.

وبشكل أعم، فإن معادلة إيكونال هي معادلة على الشكل التالي:

أينح{\displaystyle H}هي وظيفة من2ن{\displaystyle 2n}المتغيرات. هنا الدالةح{\displaystyle H}يُعطى، و u{\displaystyle u}هذا هو الحل. إذاح(x،y)=|y|-ن(x){\displaystyle H(x,y)=|y|-n(x)}، عندئذ تصبح المعادلة ( 2 ) هي ( 1 ).

تنشأ معادلات إيكونال بشكل طبيعي في طريقة WKB [ 3 ] ودراسة معادلات ماكسويل . [ 4 ] توفر معادلات إيكونال صلة بين البصريات الفيزيائية (الموجية) والبصريات الهندسية (الشعاعية) .

إحدى الخوارزميات الحسابية السريعة لتقريب حل معادلة إيكونال هي طريقة المسير السريع .

تاريخ

استُخدم مصطلح "إيكونال" لأول مرة في سياق البصريات الهندسية من قبل هاينريش برونز . [ 5 ] ومع ذلك، فإن المعادلة الفعلية تظهر في وقت سابق في العمل الرائد لويليام روان هاميلتون في مجال البصريات الهندسية . [ 6 ]

التفسير المادي

مشاكل أقصر مسار متصلة

لنفترض أنΩأوميغاهي مجموعة مفتوحة ذات حدود ناعمة مناسبة∂Ω{\displaystyle \partial \Omega }حل معادلة الإيكونال

|∇u(x)|=1و(x) ل x∈Ω⊂Rن،{\displaystyle \left|\nabla u(x)\right|={\frac {1}{f(x)}}{\text{ for }}x\in \Omega \subset \mathbb {R} ^{n},}
u(x)=q(x) ل x∈∂Ω{\displaystyle u(x)=q(x){\text{ for }}x\in \partial \Omega }

يمكن تفسير ذلك على أنه الحد الأدنى من الوقت اللازم للسفر منx{\displaystyle x}ل∂Ω{\displaystyle \partial \Omega }، أينو:Ω¯→(0،+∞){\displaystyle f:{\bar {\Omega }}\to (0,+\infty )}هي سرعة السفر، وq:∂Ω→[0،+∞){\displaystyle q:\partial \Omega \to [0,+\infty )}هي عقوبة وقت الخروج. (بدلاً من ذلك، يمكن صياغة ذلك على أنه الحد الأدنى لتكلفة الخروج عن طريق جعل الجانب الأيمنج(x)/و(x){\displaystyle C(x)/f(x)}وq{\displaystyle q}(غرامة تكلفة الخروج.)

في الحالة الخاصة عندماو=1{\displaystyle f=1}، يعطي الحل المسافة الموقعة من ∂Ω{\displaystyle \partial \Omega }[ 7 ]​

بافتراض أن∇u(x){\displaystyle \nabla u(x)}إذا كان موجودًا في جميع النقاط، فمن السهل إثبات ذلك.u(x){\displaystyle u(x)}يتوافق ذلك مع مسألة التحكم الأمثل زمنيًا باستخدام مبدأ بلمان الأمثلية وتوسيع تايلور. [ 8 ] لسوء الحظ، ليس من المضمون أن∇u(x){\displaystyle \nabla u(x)}توجد هذه الظاهرة في جميع النقاط، وتتطلب تقنيات أكثر تطوراً لإثبات ذلك. وقد أدى هذا إلى تطوير حلول اللزوجة في ثمانينيات القرن الماضي على يد بيير لويس ليونز ومايكل جي. كراندال ، [ 9 ] وحصل ليونز على ميدالية فيلدز لإسهاماته.

الجهد الكهرومغناطيسي

يرتبط المعنى الفيزيائي لمعادلة إيكونال بالصيغة

هـ=-∇V،{\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla V,}

أينهـ{\displaystyle \mathbf {E} }هي شدة المجال الكهربائي ، وV{\displaystyle V}يمثل الجهد الكهربائي . توجد معادلة مماثلة لجهد السرعة في تدفق الموائع ودرجة الحرارة في انتقال الحرارة. المعنى الفيزيائي لهذه المعادلة في المثال الكهرومغناطيسي هو أن أي شحنة في المنطقة تُدفع لتتحرك بزاوية قائمة على خطوط الجهد الثابت، وعلى طول خطوط القوة التي يحددها مجال متجه المجال الكهربائي وإشارة الشحنة.

يرتبط علم البصريات الهندسية والكهرومغناطيسية من خلال حقيقة أن معادلة الإيكونال تُعطي صيغة كهرومغناطيسية ثانية بنفس شكل معادلة الجهد المذكورة أعلاه، حيث استُبدل خط الجهد الثابت بخط الطور الثابت، واستُبدلت خطوط القوة بمتجهات عمودية تخرج من خط الطور الثابت بزوايا قائمة. يُعطى مقدار هذه المتجهات العمودية بالجذر التربيعي للنفاذية النسبية. يُمكن اعتبار خط الطور الثابت حافة إحدى الموجات الضوئية المتقدمة ( جبهة الموجة ). أما المتجهات العمودية فهي الأشعة التي يسلكها الضوء في علم البصريات الهندسية.

الخوارزميات الحسابية

طُوِّرت العديد من الخوارزميات السريعة والفعّالة لحل معادلة إيكونال منذ تسعينيات القرن الماضي. تستفيد الكثير من هذه الخوارزميات من خوارزميات طُوِّرت سابقًا لحل مسائل أقصر مسار على الرسوم البيانية ذات أطوال الحواف غير السالبة. [ 10 ] تستفيد هذه الخوارزميات من السببية التي يوفرها التفسير الفيزيائي، وعادةً ما تُقسِّم المجال باستخدام شبكة [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] أو شبكة منتظمة [ 15 ] [ 16 ] ، ثم تحسب الحل عند كل نقطة مُقسَّمة. وقد قدّم كيميل وسيثيان حلول معادلة إيكونال على الأسطح المثلثية في عام 1998. [ 11 ] [ 12 ]

كانت طريقة المسير السريع لسيثيان (FMM) [ 15 ] [ 16 ] أول خوارزمية "سريعة وفعالة" تم ابتكارها لحل معادلة إيكونال. يصف الوصف الأصلي المجال بشكل منفصلΩ⊂Rن{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}في شبكة منتظمة و"يسير" الحل من القيم "المعروفة" إلى المناطق غير المكتشفة، مما يعكس بدقة منطق خوارزمية ديكسترا . إذاΩ{\displaystyle \Omega }يتم تقسيمها إلى أجزاء ولهام{\displaystyle M}إذا كانت نقاط الشبكة، فإن التعقيد الحسابي هويا(مسجل⁡م){\displaystyle O(M\log M)}حيثسجل{\displaystyle \log }يُشتق المصطلح من استخدام الكومة (عادةً ما تكون ثنائية). يمكن إدخال عدد من التعديلات على طريقة FMM نظرًا لتصنيفها كطريقة لتحديد التصنيفات. بالإضافة إلى ذلك، تم تعميم FMM للعمل على الشبكات العامة التي تُجزّئ المجال. [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]

يمكن أيضًا استخدام طرق تصحيح التصنيفات، مثل خوارزمية بيلمان-فورد، لحل معادلة إيكونال المتقطعة، مع إمكانية إجراء تعديلات عديدة (مثل "التصنيفات الصغيرة أولًا" [ 10 ] [ 17 ] أو "التصنيفات الكبيرة أخيرًا" [ 10 ] [ 18 ] ). كما طُوّرت طرق ذات طابورين [ 19 ] ، وهي في الأساس نسخة من خوارزمية بيلمان-فورد، باستثناء استخدام طابورين مع عتبة لتحديد الطابور الذي يجب تخصيص نقطة الشبكة له بناءً على المعلومات المحلية.

تُعدّ خوارزميات المسح، مثل طريقة المسح السريع (FSM) [ 20 ] ، فعّالة للغاية في حلّ معادلات إيكونال عندما لا تُغيّر منحنيات الخصائص المقابلة اتجاهها كثيرًا. [ 10 ] تُصحّح هذه الخوارزميات التسميات، لكنها لا تستخدم طابورًا أو كومة، بل تُحدّد ترتيبات مختلفة لنقاط الشبكة المراد تحديثها، وتُكرّر هذه الترتيبات حتى الوصول إلى التقارب. وقد أُدخلت بعض التحسينات، مثل "قفل" نقاط الشبكة [ 19 ] أثناء المسح إذا لم تتلقَّ تحديثًا، ولكن في الشبكات عالية الدقة والفضاءات ذات الأبعاد الأعلى، لا يزال هناك عبء كبير بسبب الاضطرار إلى المرور عبر كل نقطة شبكة. وقد طُرحت طرق متوازية تُحاول تقسيم المجال وإجراء المسح على كل مجموعة فرعية مُقسّمة. يُقسّم تطبيق Zhao المتوازي المجال إلىن{\displaystyle n}[ 21 ] يقوم تطبيق Detrixhe المتوازي بتقسيم المجال أيضًا، ولكنه يُوازي كل مسح فردي بحيث تكون المعالجات مسؤولة عن تحديث نقاط الشبكة في(ن-1){\displaystyle (n-1)}[ 22 ] مستوى فائق الأبعاد حتى يتم مسح المجال بأكمله بالكامل.

كما طُرحت أساليب هجينة تستفيد من كفاءة طريقة FMM وبساطة طريقة FSM. فعلى سبيل المثال، تقوم طريقة خلايا الكومة (HCM) بتقسيم المجال إلى خلايا، وتُجري عملية FMM على مجال الخلية، وفي كل مرة يتم فيها تحديث "خلية"، تُجرى عملية FSM على مجال نقطة الشبكة المحلية الواقعة داخل تلك الخلية. [ 10 ] كما طُوّرت نسخة متوازية من طريقة خلايا الكومة. [ 23 ]

التقريب العددي

لتبسيط الأمر، افترض أنΩ{\displaystyle \Omega }يتم تقسيمها إلى شبكة منتظمة ذات مسافاتحx{\displaystyle h_{x}}وحy{\displaystyle h_{y}}في الاتجاهين x و y على التوالي.

تقريب ثنائي الأبعاد على شبكة ديكارتية

افترض أن نقطة الشبكةxأناج{\displaystyle x_{ij}}له قيمةيوأناج=يو(xأناج)≈u(xأناج){\displaystyle U_{ij}=U(x_{ij})\approx u(x_{ij})}. مخطط من الدرجة الأولى لتقريب المشتقات الجزئية هو

الأعلى(دأناج-xيو،-دأناج+xيو،0)2+الأعلى(دأناج-yيو،-دأناج+yيو،0)2 = 1وأناج2{\displaystyle \max \left(D_{ij}^{-x}U,-D_{ij}^{+x}U,0\right)^{2}+\max \left(D_{ij}^{-y}U,-D_{ij}^{+y}U,0\right)^{2}\ =\ {\frac {1}{f_{ij}^{2}}}}

أين

ux(xأناج)≈دأناج±xيو=يوأنا±1،ج-يوأناج±حx و uy(xأناج)≈دأناج±yيو=يوأنا،ج±1-يوأناج±حy.{\displaystyle u_{x}(x_{ij})\approx D_{ij}^{\pm x}U={\frac {U_{i\pm 1,j}-U_{ij}}{\pm h_{x}}}\quad {\text{ and }}\quad u_{y}(x_{ij})\approx D_{ij}^{\pm y}U={\frac {U_{i,j\pm 1}-U_{ij}}{\pm h_{y}}}.}

نظراً للخصائص المتسقة والرتيبة والسببية لهذا التقطيع [ 10 ]، فمن السهل إثبات أنه إذايوX=مين(يوأنا-1،ج،يوأنا+1،ج){\displaystyle U_{X}=\min(U_{i-1,j},U_{i+1,j})}ويوY=مين(يوأنا،ج-1،يوأنا،ج+1){\displaystyle U_{Y}=\min(U_{i,j-1},U_{i,j+1})}و|يوX/حx-يوY/حy|≤1/وأناج{\displaystyle |U_{X}/h_{x}-U_{Y}/h_{y}|\leq 1/f_{ij}}ثم

(يوأناج-يوXحx)2+(يوأناج-يوYحy)2=1وأناج2{\displaystyle \left({\frac {U_{ij}-U_{X}}{h_{x}}}\right)^{2}+\left({\frac {U_{ij}-U_{Y}}{h_{y}}}\right)^{2}={\frac {1}{f_{ij}^{2}}}}

والتي يمكن حلها كمعادلة تربيعية. في الحالة الحدية لـحx=حy=ح{\displaystyle h_{x}=h_{y}=h}، وهذا يختزل إلى

يوأناج=يوX+يوY2+12(يوX+يوY)2-2(يوX2+يوY2-ح2وأناج2).{\displaystyle U_{ij}={\frac {U_{X}+U_{Y}}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {(U_{X}+U_{Y})^{2}-2\left(U_{X}^{2}+U_{Y}^{2}-{\frac {h^{2}}{f_{ij}^{2}}}\right)}}.}

سيظل هذا الحل موجودًا طالما|يوX-يوY|≤2ح/وأناج{\displaystyle |U_{X}-U_{Y}|\leq {\sqrt {2}}h/f_{ij}}راضٍ وأكبر من كليهما،يوX{\displaystyle U_{X}}ويوY{\displaystyle U_{Y}}طالما|يوX-يوY|≤ح/وأناج{\displaystyle |U_{X}-U_{Y}|\leq h/f_{ij}}.

لو|يوX/حx-يوY/حy|≥1/وأناج{\displaystyle |U_{X}/h_{x}-U_{Y}/h_{y}|\geq 1/f_{ij}}، يجب إجراء تحديث ذي أبعاد أقل بافتراض أن أحد المشتقات الجزئية هو0{\displaystyle 0}:

يوأناج=مين(يوX+حxوأناج،يوY+حyوأناج).{\displaystyle U_{ij}=\min \left(U_{X}+{\frac {h_{x}}{f_{ij}}},U_{Y}+{\frac {h_{y}}{f_{ij}}}\right).}

تقريب متعدد الأبعاد على شبكة ديكارتية

افترض أن نقطة الشبكةx{\displaystyle x}له قيمةيو=يو(x)≈u(x){\displaystyle U=U(x)\approx u(x)}تكرار نفس الخطوات كما فين=2{\displaystyle n=2}في هذه الحالة، يمكننا استخدام مخطط من الدرجة الأولى لتقريب المشتقات الجزئية. لنفترضيوأنا{\displaystyle U_{i}}ليكن الحد الأدنى لقيم الجيران في±هـأنا{\displaystyle \pm \mathbf {e} _{i}}الاتجاهات، أينهـأنا{\displaystyle \mathbf {e} _{i}}هو متجه أساس وحدة قياسي . التقريب هو

∑ج=1ن(يو-يوجح)2 = 1وأنا2.{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\left({\frac {U-U_{j}}{h}}\right)^{2}\ =\ {\frac {1}{f_{i}^{2}}}.}

حل هذه المعادلة التربيعية لـيو{\displaystyle U}ينتج عنه:

يو=1ن∑ج=1نيوج+1ن(∑ج=1نيوج)2-ن(∑ج=1نيوج2-ح2وأنا2).{\displaystyle U={\frac {1}{n}}\sum _{j=1}^{n}U_{j}+{\frac {1}{n}}{\sqrt {\left(\sum _{j=1}^{n}U_{j}\right)^{2}-n\left(\sum _{j=1}^{n}U_{j}^{2}-{\frac {h^{2}}{f_{i}^{2}}}\right)}}.}

إذا كان المميز في الجذر التربيعي سالبًا، فيجب إجراء تحديث ذي أبعاد أقل (أي أن أحد المشتقات الجزئية يكون0{\displaystyle 0}).

لون=2{\displaystyle n=2}ثم قم بإجراء التحديث أحادي البعد

يو=حوأنا+مينج=1،...،نيوج.{\displaystyle U={\frac {h}{f_{i}}}+\min _{j=1,\ldots ,n}U_{j}.}

لون≥3{\displaystyle n\geq 3}ثم قم بتنفيذن-1{\displaystyle n-1}تحديث الأبعاد باستخدام القيم{يو1،...،يون}∖{يوأنا}{\displaystyle \{U_{1},\ldots ,U_{n}\}\setminus \{U_{i}\}}لكلأنا=1،...،ن{\displaystyle i=1,\ldots ,n}واختر الأصغر.

الوصف الرياضي

معادلة إيكونال هي إحدى المعادلات من الشكل التالي:

ح(x،∇u(x))=0{\displaystyle H(x,\nabla u(x))=0}
u(0،x′)=u0(x′)، ل x=(x1،x′){\displaystyle u(0,x')=u_{0}(x'),{\text{ for }}x=(x_{1},x')}

الطائرةx=(0،x′){\displaystyle x=(0,x')}يمكن اعتبارها الحالة الأولية ، من خلال التفكير فيx1{\displaystyle x_{1}}مثلت.{\displaystyle t.} يمكننا أيضًا حل المعادلة على مجموعة فرعية من هذا المستوى، أو على سطح منحني، مع إجراء تعديلات واضحة.

تظهر معادلة إيكونال في البصريات الهندسية ، وهي طريقة لدراسة حلول معادلة الموجة.ج2|∇xu|2=|∂تu|2{\displaystyle c^{2}|\nabla _{x}u|^{2}=|\partial _{t}u|^{2}}، أينج(x){\displaystyle c(x)}وu(x،ت){\displaystyle u(x,t)}في البصريات الهندسية، تصف معادلة إيكونال جبهات طور الموجات. في ظل فرضيات معقولة حول البيانات الأولية، تقبل معادلة إيكونال حلاً محلياً، لكن لا يمكن إيجاد حل شامل سلس (مثل حل لجميع الأزمنة في حالة البصريات الهندسية). والسبب هو احتمال ظهور الكاوستيكات ، ما يعني في حالة البصريات الهندسية تقاطع جبهات الموجات.

يمكننا حل معادلة إيكونال باستخدام طريقة الخصائص. يجب فرض فرضية "عدم وجود خصائص".∂ص1ح(x،ص)≠0{\displaystyle \partial _{p_{1}}H(x,p)\neq 0}على طول السطح الفائق الأوليx=(0،x′){\displaystyle x=(0,x')}، حيث H  = H ( x , p ) و p = ( p 1 ,..., p n ) هو المتغير الذي يتم استبداله بـ ∇ u . هنا x = ( x 1 ,..., x n ) = ( t , x ′ ).       

أولاً، حل المشكلةح(x،ξ(x))=0{\displaystyle H(x,\xi (x))=0}،ξ(x)=∇u(x)،x∈ح{\displaystyle \xi (x)=\nabla u(x),x\in H}ويتم ذلك عن طريق تحديد المنحنيات (وقيمها).ξ{\displaystyle \xi }(على تلك المنحنيات) كما

x˙(s)=∇ξح(x(s)،ξ(s))،ξ˙(s)=-∇xح(x(s)،ξ(s)).{\displaystyle {\dot {x}}(s)=\nabla _{\xi }H(x(s),\xi (s)),\;\;\;\;{\dot {\xi }}(s)=-\nabla _{x}H(x(s),\xi (s)).}
x(0)=x0،ξ(x(0))=∇u(x(0)).{\displaystyle x(0)=x_{0},\;\;\;\;\xi (x(0))=\nabla u(x(0)).} لاحظ أنه حتى قبل أن نتوصل إلى حلu{\displaystyle u}نحن نعلم∇u(x){\displaystyle \nabla u(x)}لx=(0،x′){\displaystyle x=(0,x')}بسبب معادلتنا لـح{\displaystyle H}.

أن هذه المعادلات لها حل في فترة معينة0≤s<s1{\displaystyle 0\leq s<s_{1}}وينتج ذلك من نظريات المعادلات التفاضلية العادية القياسية (باستخدام فرضية عدم الخصائص). وتملأ هذه المنحنيات مجموعة مفتوحة حول المستوى.x=(0،x′){\displaystyle x=(0,x')}وبالتالي، تحدد المنحنيات قيمةξ{\displaystyle \xi }في مجموعة مفتوحة حول مستوانا الأولي. وبمجرد تعريفها على هذا النحو، يسهل رؤية ذلك باستخدام قاعدة السلسلة.∂sح(x(s)،ξ(s))=0{\displaystyle \partial _{s}H(x(s),\xi (s))=0}وبالتاليح=0{\displaystyle H=0}على طول هذه المنحنيات.

نريد حلناu{\displaystyle u}لإرضاء∇u=ξ{\displaystyle \nabla u=\xi }أو بتعبير أدق، لكلs{\displaystyle s}،(∇u)(x(s))=ξ(x(s)).{\displaystyle (\nabla u)(x(s))=\xi (x(s)).} بافتراض للحظة أن هذا ممكن، لأي حلu(x){\displaystyle u(x)}يجب أن يكون لدينا

ددsu(x(s))=∇u(x(s))⋅x˙(s)=ξ⋅∂ح∂ξ،{\displaystyle {\frac {d}{ds}}u(x(s))=\nabla u(x(s))\cdot {\dot {x}}(s)=\xi \cdot {\frac {\partial H}{\partial \xi }},}

وبالتالي

u(x(ت))=u(x(0))+∫0تξ(x(s))⋅x˙(s)دs.{\displaystyle u(x(t))=u(x(0))+\int _{0}^{t}\xi (x(s))\cdot {\dot {x}}(s)\,ds.}

وبعبارة أخرى، الحلu{\displaystyle u}سيتم تحديدها في جوار المستوى الابتدائي بواسطة معادلة صريحة. ومع ذلك، نظرًا لاختلاف المساراتx(ت){\displaystyle x(t)}قد تتقاطع النقاط الأولية المختلفة، وقد يصبح الحل متعدد القيم، وعند هذه النقطة نكون قد طورنا الدوال الكاوية. ولدينا أيضًا (حتى قبل إثبات ذلك)u{\displaystyle u}(حل)

ξ(x(ت))=ξ(x(0))-∫0ت∇xح(x(s)،ξ(x(s)))دs.{\displaystyle \xi (x(t))=\xi (x(0))-\int _{0}^{t}\nabla _{x}H(x(s),\xi (x(s)))\,ds.}

يبقى أن نثبت ذلكξ{\displaystyle \xi }، الذي حددناه في جوار مستوانا الأولي، هو تدرج دالة ماu{\displaystyle u}سيترتب على ذلك إذا أثبتنا أن حقل المتجهاتξ{\displaystyle \xi }خالٍ من التجعيد. انظر إلى الحد الأول في تعريفξ{\displaystyle \xi }هذا الفصل الدراسي،ξ(x(0))=∇u(x(0)){\displaystyle \xi (x(0))=\nabla u(x(0))}وهو خالٍ من الدوران لأنه تدرج دالة. أما بالنسبة للحد الآخر، فنلاحظ

∂2∂xك∂xجح=∂2∂xج∂xكح.{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{k}\,\partial x_{j}}}H={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{j}\,\partial x_{k}}}H.}

والنتيجة تلي ذلك.

التطبيقات

البصريات، وعلم المحيطات، وميكانيكا الكم

يمكن تلخيص أوجه التشابه بين مجالات البصريات وعلم المحيطات [ 24 ] وميكانيكا الكم في الجدول التالي. يُظهر الصف الأول معادلات الموجة الكاملة من البصريات وعلم المحيطات وميكانيكا الكم، وتحديدًا معادلة هيلمهولتز ، والمعادلة التفاضلية الجزئية التي تحكم ارتفاع سطح البحر.η{\displaystyle \eta }ومعادلة شرودنغر على التوالي.

الصف الثاني هو تقريب WKB من الدرجة الأولى ، أي تغير السعة المتغير ببطء، والمعادلات التي تم الحصول عليها هي معادلة إيكونال للبصريات وعلم المحيطات ومعادلة هاميلتون جاكوبي.

نِطَاقبصرياتعلم المحيطاتميكانيكا الكم
معادلة الموجة الكاملة∇2ψ-1ج2(x)∂2ψ∂ت2=0{\displaystyle \nabla ^{2}\psi -{\frac {1}{c^{2}(x)}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial t^{2}}}=0}∂2η∂x2=ز∂∂x(ح∂η∂x){\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\eta }{\partial x^{2}}}=g{\frac {\partial }{\partial x}}\left(h{\frac {\partial \eta }{\partial x}}\right)}أناℏ∂تψ=ح^ψ{\displaystyle i\hbar \,\partial _{t}\psi ={\hat {H}}\psi }
معادلة إيكونال|∇S(x)|2=ن2(x){\displaystyle |\nabla S(x)|^{2}=n^{2}(x)}∂تS+ω(x،∇S)=0{\displaystyle \partial _{t}S+\omega (x,\nabla S)=0}∂تS+ح(x،∇S،ت)=0{\displaystyle \partial _{t}S+H(x,\nabla S,t)=0}

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ قاموس أكسفورد الإنجليزي. الطبعة الثانية. ١٩٨٩. قاموس أكسفورد الإنجليزي على الإنترنت. مطبعة جامعة أكسفورد. ٤ أبريل ٢٠٠٠ http://dictionary.oed.com/cgi/entry/00292404
  2. ↑ إيفانز، إل سي. المعادلات التفاضلية الجزئية . نصوص الجمعية الأمريكية للرياضيات للدراسات العليا في الرياضيات. المجلد  19. ص  93.
  3. ↑ ديماسي، مويز؛ سيستراند، يوهانس (1999). السلوك التقاربي الطيفي في الحد شبه الكلاسيكي . سلسلة محاضرات جمعية لندن الرياضية 268. مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-66544-2.
  4. ↑ راوخ، جيفري (2012)، المعادلات التفاضلية الجزئية الزائدية والبصريات الهندسية ، دراسات عليا في الرياضيات، 133، الجمعية الرياضية الأمريكية، رمز Bibcode : 2012hpde.book.....R ، ISBN 978-0-8218-7291-8
  5. ^ برونز، هاينريش (1895). داس إيكونال . إس هيرزل.
  6. ↑ هاميلتون، ويليام روان (1828). "نظرية أنظمة الأشعة" . معاملات الأكاديمية الملكية الأيرلندية . 15 : 69-174 .
  7. ↑ ساكاي، تاكاشي. "حول المشعبات الريمانية التي تقبل دالة يكون تدرجها ذا معيار ثابت." مجلة كوداي الرياضية 19.1 (1996): 39-51.
  8. ↑ كلاوسون، ز.؛ تشاكون، أ.؛ فلاديميرسكي، أ. (2014). "تقييد المجال السببي لمعادلات إيكونال". مجلة SIAM للحوسبة العلمية . 36 (5): A2478– A2505. arXiv : 1309.2884 . Bibcode : 2014SJSC...36A2478C . doi : 10.1137/130936531 . S2CID 17226196 . 
  9. ↑ باردي، م.؛ كابوزو-دولسيتا، إ. (1997). التحكم الأمثل وحلول اللزوجة لمعادلات هاميلتون-جاكوبي-بيلمان . بوسطن: بيركهاوزر. ISBN 0-8176-3640-4.
  10. 1 2 3 4 5 6 تشاكون، أ.؛ فلاديميرسكي، أ. (2012). "طرق سريعة ثنائية المقياس لمعادلات الإيكونال". مجلة SIAM للحوسبة العلمية . 34 (2): A547– A578. arXiv : 1110.6220 . Bibcode : 2012SJSC...34A.547C . doi : 10.1137/10080909X . S2CID 6404391 . 
  11. 1 2 3 كيميل، ر.؛ سيثيان، ج. أ. (1998). "حساب المسارات الجيوديسية على المشعبات" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم . 95 ( 15): 8431-8435 . Bibcode : 1998PNAS...95.8431K . doi : 10.1073/pnas.95.15.8431 . PMC 21092. PMID 9671694 .  
  12. 1 2 3 برونشتاين، أ.م.؛ برونشتاين، م.م.؛ كيميل، ر. (2007). "حساب خرائط المسافة الموزونة على مشعبات ثلاثية الأبعاد بارامترية". مجلة الفيزياء الحاسوبية . 225 (1): 771-784 . Bibcode : 2007JCoPh.225..771B . doi : 10.1016/j.jcp.2007.01.009 .
  13. 1 2 سيثيان، جيه إيه؛ فلاديميرسكي، أ. (2000). "طرق سريعة لمعادلات إيكونال ومعادلات هاميلتون-جاكوبي ذات الصلة على الشبكات غير المنتظمة" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم في الولايات المتحدة الأمريكية . 97 (11): 5699-5703 . Bibcode : 2000PNAS...97.5699S . doi : 10.1073/pnas.090060097 . PMC 18495. PMID 10811874 .  
  14. 1 2 ييرشوف، د.س.؛ لافال، س.م. (2012). "خوارزميات ديكسترا التبسيطية وخوارزمية A*: من الرسوم البيانية إلى الفضاءات المتصلة". الروبوتات المتقدمة . 26 (17): 2065-2085 . doi : 10.1080/01691864.2012.729559 . S2CID 17573584 . 
  15. 1 2 سيثيان، جيه إيه (1996). "طريقة مجموعة المستوى السريع للجبهات المتقدمة بشكل رتيب" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم . 93 (4): 1591-1595 . Bibcode : 1996PNAS...93.1591S . doi : 10.1073 / pnas.93.4.1591 . PMC 39986. PMID 11607632 .  
  16. 1 2 تسيتسيكليس، جيه إن (1995). "خوارزميات فعالة للمسارات المثلى عالميًا". معاملات IEEE للتحكم الآلي . 40 (9): 1528-1538 . doi : 10.1109/9.412624 . hdl : 1721.1/3340 .
  17. ↑ بيرتسيكاس، د.ب. (1993). "خوارزمية بسيطة وسريعة لتصحيح التسميات لأقصر المسارات". الشبكات . 23 (8): 703-709 . doi : 10.1002/net.3230230808 . hdl : 1721.1/3256 .
  18. ↑ بيرتسيكاس، د.ب.؛ غيريرو، ف.؛ موسمانو، ر. (1996). "طرق تصحيح التسميات غير المتزامنة المتوازية لأقصر المسارات". مجلة نظرية التطبيقات الأمثلية . 88 (2): 297-320 . doi : 10.1007/BF02192173 . hdl : 1721.1/3390 . S2CID 13172492 . 
  19. باك ، س.؛ ماكلولين، ج.؛ رينزي، د. (2010). "بعض التحسينات على طريقة المسح السريع". مجلة SIAM للحوسبة العلمية . 32 (5): 2853-2874 . Bibcode : 2010SJSC...32.2853B . doi : 10.1137/090749645 .
  20. ↑ تشاو، هـ. (2004). "طريقة مسح سريعة لمعادلات إيكونال" . الرياضيات الحاسوبية 74 (250): 603-627 . doi : 10.1090/S0025-5718-04-01678-3 .
  21. ↑ تشاو، هـ. (2007). "التنفيذات المتوازية لطريقة المسح السريع". مجلة الرياضيات الحاسوبية 25 (4): 421-429 . JSTOR 43693378 . 
  22. ↑ ديتريكس، م.؛ جيبو، ف.؛ مين، س. (2013). "طريقة مسح سريعة متوازية لمعادلة إيكونال". مجلة الفيزياء الحاسوبية . 237 : 46-55 . Bibcode : 2013JCoPh.237...46D . doi : 10.1016/j.jcp.2012.11.042 .
  23. ↑ تشاكون، أ.؛ فلاديميرسكي، أ. (2015). "طريقة متوازية ثنائية المقياس لمعادلات إيكونال". مجلة SIAM للحوسبة العلمية . 37 (1): A156– A180. arXiv : 1306.4743 . Bibcode : 2015SJSC...37A.156C . doi : 10.1137/12088197X .
  24. ↑ فيدرسن، فالك (4 مارس 2019). "الأمواج في المحيط: المعالجة الخطية" (ملف PDF) . معهد سكريبس لعلوم المحيطات، جامعة كاليفورنيا سان دييغو . تم الاطلاع عليه بتاريخ 27 مارس 2019 .

للمزيد من القراءة

  • باريس، د. ت.؛ هيرد، ف. ك. (1969). النظرية الكهرومغناطيسية الأساسية . ماكجرو هيل. ص 383-385 . ISBN  0-07-048470-8.
  • أرنولد، في. آي. (2004). محاضرات في المعادلات التفاضلية الجزئية (  الطبعة الثانية). سبرينغر. الصفحات 2-3 . ISBN  3-540-40448-1.