المتجهات (الرياضيات والفيزياء)

في الرياضيات والفيزياء والهندسة ، يُعرف المتجه الإقليدي ، أو ببساطة المتجه (ويُسمى أحيانًا المتجه الهندسي ^{[ 1 ]} أو المتجه المكاني ^{[ 2 ]} )، بأنه شكل هندسي له مقدار (أو طول ) واتجاه . يمكن جمع المتجهات الإقليدية وتغيير مقياسها لتكوين فضاء متجهي . الكمية المتجهة هي كمية فيزيائية ذات قيم متجهة ، تشمل وحدات القياس وربما مجالًا ، وتُصاغ على شكل قطعة مستقيمة موجهة . غالبًا ما يُصوَّر المتجه بيانيًا على شكل سهم يصل بين نقطة بداية A ونقطة نهاية B ، ^{[ 3 ]} ويُرمز له بـ${\textstyle {\stackrel {\longrightarrow }{AB}}.}$

المتجه هو ما يُستخدم لنقل النقطة أ إلى النقطة ب ؛ وكلمة " vector " اللاتينية تعني "حامل". ^{[ 4 ]} وقد استخدمه علماء الفلك في القرن الثامن عشر لأول مرة أثناء دراستهم لدوران الكواكب حول الشمس. ^{[ 5 ]} مقدار المتجه هو المسافة بين النقطتين، بينما يشير اتجاهه إلى اتجاه الإزاحة من أ إلى ب . توجد نظائر قريبة للمتجهات في العديد من العمليات الجبرية على الأعداد الحقيقية ، مثل الجمع والطرح والضرب والنفي ، ^{[ 6 ]} وهي عمليات تخضع لقوانين الجبر المعروفة: التبديلية ، والتجميعية ، والتوزيعية . تُؤهل هذه العمليات والقوانين المرتبطة بها المتجهات الإقليدية لتكون مثالًا على المفهوم الأكثر عمومية للمتجهات ، والذي يُعرَّف ببساطة على أنه عناصر في فضاء متجهي .

تلعب المتجهات دورًا هامًا في الفيزياء : إذ يمكن وصف سرعة وتسارع جسم متحرك، والقوى المؤثرة عليه، باستخدام المتجهات. ^{[ 7 ]} ويمكن اعتبار العديد من الكميات الفيزيائية الأخرى متجهات. ورغم أن معظمها لا يمثل مسافات (باستثناء، على سبيل المثال، الموضع أو الإزاحة )، إلا أنه يمكن تمثيل مقدارها واتجاهها بطول واتجاه سهم. ويعتمد التمثيل الرياضي للمتجه الفيزيائي على نظام الإحداثيات المستخدم لوصفه. وتتحول الكائنات الرياضية الأخرى الشبيهة بالمتجهات، والتي تصف الكميات الفيزيائية ، مثل المتجهات الزائفة والموترات ، بطريقة مماثلة عند تغيير نظام الإحداثيات. ^{[ 8 ]}

في العلوم الطبيعية ، الكمية المتجهة (وتُعرف أيضًا بالكمية الفيزيائية المتجهة، أو المتجه الفيزيائي، أو ببساطة المتجه) هي كمية فيزيائية ذات قيمة متجهة . ^{[ 9 ] [ 10 ]} وعادةً ما تُصاغ كحاصل ضرب وحدة قياس في قيمة عددية متجهة ( بدون وحدة )، وغالبًا ما تكون متجهًا إقليديًا له مقدار واتجاه . على سبيل المثال، يمكن التعبير عن متجه الموضع في الفضاء الفيزيائي بثلاث إحداثيات ديكارتية بوحدة المتر في النظام الدولي للوحدات .

في الفيزياء والهندسة ، وخاصة في الميكانيكا ، قد يمتلك المتجه الفيزيائي بنية إضافية مقارنةً بالمتجه الهندسي. ^{[ 11 ]} يُعرَّف المتجه المقيد بأنه مزيج من كمية متجهة عادية ونقطة تأثير . [ ^{9 ] [ 12 ] تُصاغ} كميات المتجهات المقيدة على شكل قطعة مستقيمة موجهة ، بنقطة بداية محددة بالإضافة إلى مقدار واتجاه المتجه الرئيسي. ^{[ 9 ] [ 11 ]} على سبيل المثال، للقوة المؤثرة على المستوى الإقليدي مركبتان ديكارتيتان بوحدة نيوتن (تصفان مقدار واتجاه القوة) ومتجه موضع ثنائي الأبعاد مصاحب بوحدة المتر (يصف نقطة تأثير القوة)، ليصبح المجموع أربعة أرقام على المستوى (وستة في الفضاء). ^{[ 13 ] [ 14 ] [ 12 ]} مثال أبسط على المتجه المقيد هو متجه الإزاحة من نقطة بداية إلى نقطة نهاية. في هذه الحالة، يكون المتجه المقيد زوجًا مرتبًا من النقاط في نفس فضاء الموضع، حيث تتطابق جميع الإحداثيات في بُعدها ووحدتها (الطول والمتر). ^{[ 15 ] [ 16 ]} أما المتجه المنزلق فهو عبارة عن مزيج من كمية متجهة عادية وخط تطبيق أو خط عمل ، يمكن من خلاله تحريك الكمية المتجهة (دون دوران). بينما المتجه الحر هو كمية متجهة ذات نقطة أو منطقة تطبيق غير محددة؛ ويمكن تحريكه بحرية دون أي تبعات؛ ويُعد متجه الإزاحة مثالًا نموذجيًا على المتجه الحر.

إلى جانب مفهوم الوحدات والنطاق، قد تختلف الكميات المتجهة الفيزيائية عن المتجهات الإقليدية من حيث المقياس . على سبيل المثال، يمكن تمثيل حدث في الزمكان كمتجه موضع رباعي الأبعاد ، بوحدة مشتقة متماسكة هي المتر: فهو يتضمن متجه موضع إقليدي ومكونًا زمنيًا ، t ⋅ c ₀ (يتضمن سرعة الضوء ). في هذه الحالة، يُعتمد مقياس مينكوفسكي بدلًا من المقياس الإقليدي .

الكميات المتجهة هي تعميم للكميات العددية ، ويمكن تعميمها أكثر لتصبح كميات موترية . ^{[ 16 ]} يمكن ترتيب المتجهات الفردية في تسلسل زمني ( سلسلة زمنية )، مثل متجهات الموضع التي تُجزّئ مسارًا . كما يمكن أن ينتج المتجه من تقييم دالة متجهة مستمرة عند لحظة معينة (مثل معادلة البندول ). في العلوم الطبيعية، يشمل مصطلح "الكمية المتجهة" أيضًا الحقول المتجهة المعرفة على منطقة ثنائية أو ثلاثية الأبعاد من الفضاء، مثل سرعة الرياح فوق سطح الأرض. وتُعتبر المتجهات الزائفة والمتجهات الثنائية أيضًا من الكميات المتجهة الفيزيائية.

في الرياضيات ، الفضاء المتجهي (ويُسمى أيضًا الفضاء الخطي) هو مجموعة عناصرها، والتي تُسمى غالبًا بالمتجهات ، يمكن جمعها وضربها (أو ضربها) بأعداد تُسمى الأعداد القياسية . يجب أن تُحقق عمليتا جمع المتجهات وضرب الأعداد القياسية شروطًا معينة، تُسمى بديهيات المتجهات . الفضاءات المتجهة الحقيقية والفضاءات المتجهة المركبة هما نوعان من الفضاءات المتجهة يعتمدان على نوعين مختلفين من الأعداد القياسية: الأعداد الحقيقية والأعداد المركبة . وبشكل أعم، يمكن أن تكون الأعداد القياسية عناصر من أي حقل .

تُعمّم الفضاءات المتجهة المتجهات الإقليدية ، مما يسمح بنمذجة الكميات الفيزيائية (مثل القوى والسرعة ) التي لا تمتلك مقدارًا فحسب ، بل اتجاهًا أيضًا . يُعدّ مفهوم الفضاءات المتجهة أساسيًا في الجبر الخطي ، إلى جانب مفهوم المصفوفات ، الذي يُتيح إجراء العمليات الحسابية في الفضاءات المتجهة. وهذا يُوفّر طريقةً مُوجزة وشاملة لمعالجة ودراسة أنظمة المعادلات الخطية .

تتميز الفضاءات المتجهة ببعدها ، الذي يُحدد، بشكل عام، عدد الاتجاهات المستقلة في الفضاء. هذا يعني أنه بالنسبة لفضاءين متجهين على حقل مُعطى ولهما نفس البعد، فإن الخصائص التي تعتمد فقط على بنية الفضاء المتجه تكون متطابقة تمامًا (أي أن الفضاءين المتجهين متماثلان ). يكون الفضاء المتجه محدود البعد إذا كان بعده عددًا طبيعيًا . وإلا، فهو غير محدود البعد ، ويكون بعده عددًا أصليًا غير محدود . تظهر الفضاءات المتجهة محدودة البعد بشكل طبيعي في الهندسة والمجالات ذات الصلة. أما الفضاءات المتجهة غير محدودة البعد فتظهر في العديد من فروع الرياضيات. على سبيل المثال، حلقات كثيرات الحدود هي فضاءات متجهة غير محدودة البعد قابلة للعد ، والعديد من فضاءات الدوال يكون عدد عناصرها هو عدد عناصر المتصل كبعد.

تتمتع العديد من الفضاءات المتجهة التي تُدرس في الرياضيات ببنى أخرى أيضًا . وينطبق هذا على الجبر ، الذي يشمل امتدادات الحقول ، وحلقات كثيرات الحدود، والجبر الترابطي ، وجبر لي . وينطبق هذا أيضًا على الفضاءات المتجهة الطوبولوجية ، التي تشمل فضاءات الدوال، وفضاءات الجداء الداخلي ، والفضاءات المعيارية ، وفضاءات هيلبرت ، وفضاءات باناخ .