قانون نيوتن للتبريد

في دراسة انتقال الحرارة ، يُعد قانون نيوتن للتبريد قانونًا فيزيائيًا ينص على أن معدل فقدان الحرارة من جسم ما يتناسب طرديًا مع الفرق في درجات الحرارة بين الجسم ومحيطه. ويُمكن تعديل هذا القانون ليشمل شرط أن يكون الفرق في درجات الحرارة ضئيلاً وأن تبقى آلية انتقال الحرارة ثابتة. وبذلك، يُعادل هذا القانون القول بأن معامل انتقال الحرارة ، الذي يُحدد العلاقة بين فقدان الحرارة والفرق في درجات الحرارة، ثابت.

في التوصيل الحراري ، يُطبَّق قانون نيوتن عمومًا كنتيجة لقانون فورييه . تعتمد الموصلية الحرارية لمعظم المواد بشكل طفيف على درجة الحرارة، لذا يتحقق شرط ثبات معامل انتقال الحرارة في أغلب الأحيان. في انتقال الحرارة بالحمل ، يُطبَّق قانون نيوتن للتبريد بالهواء القسري أو السوائل المضخوخة، حيث لا تتغير خصائص السائل بشكل كبير مع درجة الحرارة، ولكنه ينطبق تقريبًا فقط على الحمل الحراري الناتج عن الطفو، حيث تزداد سرعة التدفق مع فرق درجة الحرارة. أما في حالة انتقال الحرارة بالإشعاع الحراري ، فلا ينطبق قانون نيوتن للتبريد إلا عند فروق درجات حرارة صغيرة جدًا.

عند التعبير عن قانون نيوتن بدلالة فروق درجات الحرارة، فإنه (مع بعض الافتراضات المبسطة الأخرى، مثل انخفاض عدد بيوت وثبات السعة الحرارية بتغير درجة الحرارة ) ينتج عنه معادلة تفاضلية بسيطة تعبر عن فرق درجة الحرارة كدالة للزمن . ويصف حل هذه المعادلة انخفاضًا أُسّيًا في فرق درجة الحرارة مع مرور الوقت. ويرتبط هذا التضاؤل المميز لفرق درجة الحرارة أيضًا بقانون نيوتن للتبريد.

الخلفية التاريخية

نشر إسحاق نيوتن بحثه عن التبريد دون ذكر اسمه عام 1701 بعنوان "Scala graduum Caloris. Calorum Descriptiones & signa." في مجلة Philosophical Transactions . ^{[ 1 ]} وكان هذا البحث أول صياغة لانتقال الحرارة، ويُعتبر الأساس النظري لانتقال الحرارة بالحمل . ^{[ 2 ]}

لم يصغ نيوتن قانونه بالصيغة المذكورة أعلاه في عام ١٧٠١. بل لاحظ، باستخدام المصطلحات الحالية، بعد بعض العمليات الحسابية، أن معدل تغير درجة حرارة الجسم يتناسب طرديًا مع الفرق في درجات الحرارة بين الجسم ومحيطه. ويعود هذا الشكل النهائي الأبسط للقانون، الذي وضعه نيوتن نفسه، جزئيًا إلى الخلط الذي كان سائدًا في عصره بين مفهومي الحرارة ودرجة الحرارة، واللذين لم يُفصل بينهما تمامًا إلا بعد ذلك بكثير. ^{[ ٣ ]}

في عام 2020، أعاد ماروياما وموريا تجارب نيوتن باستخدام أجهزة حديثة، وطبقا تقنيات حديثة لمعالجة البيانات. ^{[ 4 ]} وعلى وجه الخصوص، أخذ الباحثان في الحسبان الإشعاع الحراري عند درجات الحرارة العالية (كما هو الحال مع المعادن المنصهرة التي استخدمها نيوتن)، كما أخذا في الحسبان تأثيرات الطفو على تدفق الهواء. وبالمقارنة مع بيانات نيوتن الأصلية، خلصا إلى أن قياساته (من عام 1692 إلى عام 1693) كانت "دقيقة للغاية". ^{[ 4 ]}

العلاقة بآلية التبريد

يُقال أحيانًا أن التبريد بالحمل الحراري يخضع لقانون نيوتن للتبريد. عندما يكون معامل انتقال الحرارة مستقلًا، أو شبه مستقل، عن فرق درجة الحرارة بين الجسم والبيئة المحيطة، يُطبَّق قانون نيوتن. ينطبق هذا القانون جيدًا على التبريد بالهواء القسري والتبريد بالسوائل المضخوخة، حيث لا تزداد سرعة المائع مع ازدياد فرق درجة الحرارة. ويُطبَّق قانون نيوتن بدقة أكبر في التبريد بالتوصيل الحراري البحت. مع ذلك، فإن معامل انتقال الحرارة دالة لفرق درجة الحرارة في انتقال الحرارة بالحمل الحراري الطبيعي (المدفوع بقوة الطفو). في هذه الحالة، لا يُعطي قانون نيوتن سوى تقريب للنتيجة عندما يكون فرق درجة الحرارة صغيرًا نسبيًا. وقد أدرك نيوتن نفسه هذا القيد.

تم إجراء تصحيح لقانون نيوتن المتعلق بالحمل الحراري لفروق درجات الحرارة الكبيرة عن طريق تضمين أس، في عام 1817 من قبل دولونج وبيتيت . ^[⁵^] (يشتهر هذان الرجلان بصياغتهما لقانون دولونج-بيتيت المتعلق بالسعة الحرارية النوعية المولية للبلورة).

هناك حالة أخرى لا تخضع لقانون نيوتن وهي انتقال الحرارة الإشعاعي . يُوصف التبريد الإشعاعي بشكل أفضل بقانون ستيفان-بولتزمان، حيث يتناسب معدل انتقال الحرارة طرديًا مع الفرق بين درجتي الحرارة المطلقة للجسم ومحيطه مرفوعتين للأس الرابع.

الصياغة الرياضية

يُجسّد قانون نيوتن، المستخدم في أدبيات انتقال الحرارة، فكرة أن معدل فقدان الحرارة من جسم ما يتناسب طرديًا مع الفرق في درجات الحرارة بين الجسم ومحيطه . وبالنسبة لمعامل انتقال حرارة لا يعتمد على درجة الحرارة، يكون القانون كما يلي:

$q=h\left(T(t)-T_{\text{env}}\right)=h\,\Delta T(t),$ أين

$q$ يمثل التدفق الحراري المنتقل خارج الجسم (وحدة النظام الدولي للوحدات: واط /م² ⁾ ،
$h$ معامل انتقال الحرارة (بافتراض أنه مستقل عن درجة الحرارة T ومتوسط على السطح) (وحدة النظام الدولي للوحدات: واط/(م² ^· كلفن))،
$T$ هي درجة حرارة سطح الجسم (وحدة النظام الدولي للوحدات: كلفن).
$T_{\text{env}}$ هي درجة حرارة البيئة المحيطة؛ أي درجة الحرارة على مسافة مناسبة من السطح (وحدة النظام الدولي للوحدات: كلفن).
$\Delta T(t)=T(t)-T_{\text{env}}$ هي درجة الحرارة المتغيرة مع الزمن في البيئة والجسم (وحدة النظام الدولي للوحدات: كلفن).

في المعاملات العالمية، من خلال تكامل تدفق الحرارة على مساحة السطح، يمكن التعبير عنها أيضًا على النحو التالي:

${\dot {Q}}=\oint _{A}h\left(T(t)-T_{\text{env}}\right)dA=\oint _{A}h\,\Delta T(t)dA,$ أين

${\dot {Q}}$ معدل انتقال الحرارة خارج الجسم (وحدة النظام الدولي للوحدات: واط )، ${\dot {Q}}=\oint _{A}qdA$
$h$ معامل انتقال الحرارة (بافتراض أنه مستقل عن درجة الحرارة T ومتوسط على السطح) (وحدة النظام الدولي للوحدات: واط/(م² ^· كلفن))،
$A$ مساحة سطح نقل الحرارة (وحدة النظام الدولي للوحدات: م² ⁾ ،
$T$ هي درجة حرارة سطح الجسم (وحدة النظام الدولي للوحدات: كلفن).
$T_{\text{env}}$ هي درجة حرارة البيئة المحيطة؛ أي درجة الحرارة على مسافة مناسبة من السطح (وحدة النظام الدولي للوحدات: كلفن).
$\Delta T(t)=T(t)-T_{\text{env}}$ هو فرق درجة الحرارة المتغير مع الزمن بين البيئة والجسم (وحدة النظام الدولي للوحدات: كلفن).

إذا كان معامل انتقال الحرارة وفرق درجة الحرارة منتظمين على طول سطح انتقال الحرارة، فإن الصيغة أعلاه تتبسط إلى:

${\dot {Q}}=hA\left(T(t)-T_{\text{env}}\right)=hA\,\Delta T(t)$ .

يعتمد معامل انتقال الحرارة h على الخصائص الفيزيائية للسائل والظروف الفيزيائية التي يحدث فيها الحمل الحراري. لذلك، يجب اشتقاق أو إيجاد معامل انتقال حرارة واحد قابل للاستخدام (معامل لا يتغير بشكل ملحوظ عبر نطاقات فرق درجات الحرارة التي يتم تغطيتها أثناء التبريد والتسخين) تجريبياً لكل نظام يتم تحليله.

تتوفر الصيغ والمعادلات في العديد من المراجع لحساب معاملات انتقال الحرارة للتكوينات والسوائل النموذجية. في التدفقات الصفائحية، يكون معامل انتقال الحرارة عادةً أصغر منه في التدفقات المضطربة، وذلك لأن التدفقات المضطربة تتميز باختلاط قوي داخل الطبقة الحدية على سطح انتقال الحرارة. ^{[ 6 ]} تجدر الإشارة إلى أن معامل انتقال الحرارة يتغير في النظام عند الانتقال من التدفق الصفائحي إلى التدفق المضطرب.

رقم بيوت

يُعرَّف عدد بيوت، وهو كمية بلا أبعاد، للجسم على النحو التالي:

${\text{Bi}}={\frac {hL_{\rm {C}}}{k_{\rm {b}}}},$ أين

h = معامل الفيلم أو معامل انتقال الحرارة أو معامل انتقال الحرارة بالحمل الحراري،
L _C = الطول المميز ، والذي يُعرَّف عادةً بأنه حجم الجسم مقسومًا على مساحة سطح الجسم، بحيث $L_{\rm {C}}=V_{\text{body}}/A_{\text{surface}}$ ،
k _b = الموصلية الحرارية للجسم.

يمكن فهم الدلالة الفيزيائية لعدد بيوت من خلال تخيل تدفق الحرارة من كرة معدنية ساخنة مغمورة فجأة في سائل إلى السائل المحيط بها. يواجه تدفق الحرارة مقاومتين: الأولى خارج سطح الكرة، والثانية داخل المعدن الصلب (والتي تتأثر بحجم الكرة وتركيبها). نسبة هاتين المقاومتين هي عدد بيوت عديم الأبعاد.

إذا تجاوزت المقاومة الحرارية عند سطح التماس بين المائع والكرة المقاومة الحرارية التي يوفرها باطن الكرة المعدنية، فسيكون عدد بيوت أقل من واحد. في الأنظمة التي يكون فيها عدد بيوت أقل بكثير من واحد، يُفترض أن باطن الكرة يتمتع دائمًا بنفس درجة الحرارة، على الرغم من أن هذه الدرجة قد تتغير نتيجة انتقال الحرارة إلى الكرة من سطحها. المعادلة التي تصف هذا التغير في درجة الحرارة (المتجانسة نسبيًا) داخل الجسم هي المعادلة الأسية البسيطة الموصوفة في قانون نيوتن للتبريد، والمعبر عنها بدلالة فرق درجة الحرارة (انظر أدناه).

في المقابل، قد تكون الكرة المعدنية كبيرة، مما يؤدي إلى زيادة طولها المميز إلى درجة يصبح فيها عدد بيوت أكبر من واحد. في هذه الحالة، تصبح تدرجات درجة الحرارة داخل الكرة مهمة، حتى وإن كانت مادة الكرة موصلة جيدة للحرارة. وبالمثل، إذا كانت الكرة مصنوعة من مادة عازلة حراريًا (ضعيفة التوصيل)، مثل الخشب أو الستايروفوم، فإن المقاومة الداخلية لتدفق الحرارة ستتجاوز تلك الموجودة عند حدود السائل/الكرة، حتى مع كرة أصغر بكثير. في هذه الحالة أيضًا، سيكون عدد بيوت أكبر من واحد.

تشير قيم عدد بيوت الأقل من 0.1 إلى أن التوصيل الحراري داخل الجسم أسرع بكثير من الحمل الحراري بعيدًا عن سطحه، وأن تدرجات درجة الحرارة داخله ضئيلة. وهذا يدل على مدى ملاءمة (أو عدم ملاءمة) بعض طرق حل مسائل انتقال الحرارة العابر. على سبيل المثال، يشير عدد بيوت الأقل من 0.1 عادةً إلى وجود خطأ أقل من 5% عند افتراض نموذج السعة المجمعة لانتقال الحرارة العابر (يُسمى أيضًا تحليل النظام المجمع). ^{[ 7 ]} عادةً، يؤدي هذا النوع من التحليل إلى سلوك تسخين أو تبريد أسي بسيط ("تسخين أو تبريد نيوتوني")، حيث تتناسب الطاقة الداخلية للجسم طرديًا مع درجة حرارته، والتي بدورها تحدد معدل انتقال الحرارة إليه أو منه. وهذا يؤدي إلى معادلة تفاضلية بسيطة من الدرجة الأولى تصف انتقال الحرارة في هذه الأنظمة.

يُصنّف معامل بيوت الأقل من 0.1 المادة بأنها "رقيقة حراريًا"، ويمكن افتراض ثبات درجة الحرارة في جميع أنحاء حجمها. وينطبق العكس أيضًا: فمعامل بيوت الأكبر من 0.1 (مادة "سميكة حراريًا") يشير إلى عدم إمكانية هذا الافتراض، ويتطلب الأمر معادلات أكثر تعقيدًا لانتقال الحرارة "التوصيل الحراري العابر" لوصف مجال درجة الحرارة المتغير مع الزمن وغير المتجانس مكانيًا داخل المادة. وتُشرح الطرق التحليلية لمعالجة هذه المشكلات، والتي قد تكون موجودة للأشكال الهندسية البسيطة والتوصيل الحراري المنتظم للمواد ، في مقال معادلة الحرارة .

التطبيقات

يمكن إيجاد حلول بسيطة للتبريد المؤقت لجسم ما عندما تكون المقاومة الحرارية الداخلية للجسم صغيرة مقارنةً بمقاومة انتقال الحرارة بعيدًا عن سطحه (عن طريق التوصيل أو الحمل الحراري الخارجي)، وهو الشرط الذي يكون فيه عدد بيوت أقل من 0.1 تقريبًا. يسمح هذا الشرط بافتراض وجود درجة حرارة واحدة متجانسة تقريبًا داخل الجسم، تتغير مع الزمن ولكن لا تتغير بتغير الموضع. (وإلا لكان للجسم درجات حرارة مختلفة في أي لحظة). تتغير درجة الحرارة هذه بشكل عام أُسّيًا مع مرور الوقت (انظر أدناه).

يؤدي انخفاض عدد بيوت إلى ما يُعرف بنموذج السعة الحرارية المُجمّعة . في هذا النموذج، تُحسب الطاقة الداخلية (كمية الطاقة الحرارية في الجسم) بافتراض ثبات السعة الحرارية . في هذه الحالة، تكون الطاقة الداخلية للجسم دالة خطية لدرجة حرارته الداخلية.

يفترض حل السعة المجمعة التالي معامل انتقال حرارة ثابت، كما هو الحال في الحمل الحراري القسري. أما في حالة الحمل الحراري الطبيعي، فيمكن حل نموذج السعة المجمعة بمعامل انتقال حرارة يتغير بتغير فرق درجة الحرارة. ^{[ 8 ]}

الاستجابة العابرة من الدرجة الأولى للأجسام ذات السعة المجمعة

جسم يُعامل كجسم ذي سعة مكثفة مجمعة، بطاقة داخلية كلية قدرها $U$ (بالجول)، وتتميز بدرجة حرارة داخلية موحدة، $T(t)$ السعة الحرارية ، $C$ ، من الجسم هو $C=dU/dT$ (بوحدة جول/كلفن)، في حالة المادة غير القابلة للانضغاط. يمكن كتابة الطاقة الداخلية بدلالة درجة حرارة الجسم، والسعة الحرارية (التي تُعتبر مستقلة عن درجة الحرارة)، ودرجة حرارة مرجعية تكون عندها الطاقة الداخلية صفرًا: $U=C(T-T_{\text{ref}})$ .

التمايز $U$ بالنسبة للوقت يعطي: ${\frac {dU}{dt}}=C\,{\frac {dT}{dt}}.$

بتطبيق القانون الأول للديناميكا الحرارية على الجسم المجمع، نحصل على ${\textstyle {\frac {dU}{dt}}=-{\dot {Q}}}$ ، حيث معدل انتقال الحرارة خارج الجسم، ${\dot {Q}}$ يمكن التعبير عن ذلك بقانون نيوتن للتبريد، حيث لا يحدث انتقال للشغل بالنسبة للمادة غير القابلة للانضغاط. وبالتالي، ${\frac {dT(t)}{dt}}=-{\frac {hA}{C}}(T(t)-T_{\text{env}})=-{\frac {1}{\tau }}\ \Delta T(t),$ حيث يكون الثابت الزمني للنظام $\tau =C/(hA)$ السعة الحرارية $C$ يمكن كتابتها بدلالة السعة الحرارية النوعية للجسم ، $c$ (جول/كجم-كلفن)، والكتلة، $m$ (كجم). ثم يكون ثابت الزمن $\tau =mc/(hA)$ .

عندما تكون درجة حرارة البيئة ثابتة مع مرور الوقت، يمكننا تعريف $\Delta T(t)=T(t)-T_{\text{env}}$ تصبح المعادلة ${\frac {dT(t)}{dt}}={\frac {d\Delta T(t)}{dt}}=-{\frac {1}{\tau }}\Delta T(t).$

حل هذه المعادلة التفاضلية، عن طريق التكامل من الشرط الابتدائي، هو $\Delta T(t)=\Delta T(0)\,e^{-t/\tau }.$ أين $\Delta T(0)$ يمثل فرق درجة الحرارة عند الزمن صفر. وبالعودة إلى درجة الحرارة، يكون الحل هو $T(t)=T_{\text{env}}+(T(0)-T_{\text{env}})\,e^{-t/\tau }.$

يتناقص فرق درجة الحرارة بين الجسم والبيئة المحيطة به بشكل أسي كدالة للوقت.

التركيبة القياسية

من خلال التعريف $r=1/\tau =hA/C$ تصبح المعادلة التفاضلية

${\dot {T}}=r\left(T_{\text{env}}-T(t)\right),$ أين

${\dot {T}}$ معدل فقدان الحرارة (وحدة النظام الدولي للوحدات: كلفن/ثانية)،
$T$ هي درجة حرارة سطح الجسم (وحدة النظام الدولي للوحدات: كلفن).
$T_{\text{env}}$ هي درجة حرارة البيئة المحيطة؛ أي درجة الحرارة على مسافة مناسبة من السطح (وحدة النظام الدولي للوحدات: كلفن).
$r$ هو معامل انتقال الحرارة (وحدة النظام الدولي للوحدات: ثانية) $^{-1}$ ).

حل مسألة القيمة الابتدائية باستخدام فصل المتغيرات يعطي

$T(t)=T_{\text{env}}+(T(0)-T_{\text{env}})e^{-rt}.$

انظر أيضاً

مراجع

^ "Scala graduum Caloris. أوصاف السعرات الحرارية وعلاماتها" . المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن . 22 (270): 824–829 . مارس-أبريل 1701. دوى : 10.1098/rstl.1700.0082 . جستور 102813 .
↑ تشنغ، كيه سي؛ فوجي، تي. (1998). "إسحاق نيوتن وانتقال الحرارة" . هندسة انتقال الحرارة . 19 (4): 9-21 . doi : 10.1080/01457639808939932 . ISSN 0145-7632 .
↑ تاريخ قانون نيوتن للتبريد ( مؤرشف بتاريخ 14 يونيو 2015 في أرشيف الإنترنت )
1 2 ماروياما، شيجيناو؛ موريا، شويتشي (2021). "قانون نيوتن للتبريد: متابعة واستكشاف". المجلة الدولية لانتقال الحرارة والكتلة . 164 120544. Bibcode : 2021IJHMT.16420544M . doi : 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2020.120544 .
↑ ويول، ويليام (1866). تاريخ العلوم الاستقرائية من أقدم العصور إلى الوقت الحاضر . ISBN 978-0-598-73959-9.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
↑ لينارد، جون هـ. الرابع؛ لينارد، جون هـ. الخامس (2019). "الطبقات الحدية الصفائحية والمضطربة". كتاب في انتقال الحرارة ( الطبعة الخامسة). مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. الصفحات 271-347 . ISBN 978-0-486-83735-2.{{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )
↑ فرانك إنكروبيرا؛ ثيودور ل. بيرغمان؛ ديفيد ديويت؛ أدريان س. لافين (2007). أساسيات انتقال الحرارة والكتلة (الطبعة السادسة ). جون وايلي وأولاده . الصفحات 260-261 . ISBN 978-0-471-45728-2.
^ لينهارد ، جون هـ. الرابع. لينهارد، جون هـ.، ف (2019). كتاب نقل الحرارة (الطبعة الخامسة ). مينيولا، نيويورك: منشورات دوفر. ص 419 – 420. ISBN 978-0-486-83735-2.{{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )

انظر أيضاً:

دهقاني، ف. 2007، CHNG2801 - عمليات الحفظ والنقل: ملاحظات الدورة، جامعة سيدني، سيدني

روابط خارجية

التوصيل الحراري – موسوعة الموائع الحرارية
قانون نيوتن للتبريد من تأليف جيف براينت استناداً إلى برنامج من إعداد ستيفن وولفرام ، مشروع وولفرام للعروض التوضيحية .
كتاب مدرسي عن انتقال الحرارة، الطبعة الخامسة ، كتاب إلكتروني مجاني.

[1] "Scala graduum Caloris. أوصاف السعرات الحرارية وعلاماتها" . المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن . 22 (270): 824–829 . مارس-أبريل 1701. دوى : 10.1098/rstl.1700.0082 . جستور 102813 .

[:13-2] تشنغ، كيه سي؛ فوجي، تي. (1998). "إسحاق نيوتن وانتقال الحرارة" . هندسة انتقال الحرارة . 19 (4): 9-21 . doi : 10.1080/01457639808939932 . ISSN 0145-7632 .

[3] تاريخ قانون نيوتن للتبريد ( مؤرشف بتاريخ 14 يونيو 2015 في أرشيف الإنترنت )

[Maruyama_and_Moriya_2020-4] 1 2 ماروياما، شيجيناو؛ موريا، شويتشي (2021). "قانون نيوتن للتبريد: متابعة واستكشاف". المجلة الدولية لانتقال الحرارة والكتلة . 164 120544. Bibcode : 2021IJHMT.16420544M . doi : 10.1016/j.ijheatmasstransfer.2020.120544 .

[5] ويول، ويليام (1866). تاريخ العلوم الاستقرائية من أقدم العصور إلى الوقت الحاضر . ISBN 978-0-598-73959-9.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )

[6] لينارد، جون هـ. الرابع؛ لينارد، جون هـ. الخامس (2019). "الطبقات الحدية الصفائحية والمضطربة". كتاب في انتقال الحرارة ( الطبعة الخامسة). مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. الصفحات 271-347 . ISBN 978-0-486-83735-2.{{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )

[7] فرانك إنكروبيرا؛ ثيودور ل. بيرغمان؛ ديفيد ديويت؛ أدريان س. لافين (2007). أساسيات انتقال الحرارة والكتلة (الطبعة السادسة ). جون وايلي وأولاده . الصفحات 260-261 . ISBN 978-0-471-45728-2.

[8] لينهارد ، جون هـ. الرابع. لينهارد، جون هـ.، ف (2019). كتاب نقل الحرارة (الطبعة الخامسة ). مينيولا، نيويورك: منشورات دوفر. ص 419 – 420. ISBN 978-0-486-83735-2.{{cite book}}: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين ( رابط )

[ 1 ]

[ ٣ ]

[ 4 ]

[

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗