نموذج العناصر المجمعة

A useful concept used in heat transfer applications once the condition of steady state heat conduction has been reached, is the representation of thermal transfer by what is known as thermal circuits. A thermal circuit is the representation of the resistance to heat flow in each element of a circuit, as though it were an electrical resistor. The heat transferred is analogous to the electric current and the thermal resistance is analogous to the electrical resistor. The values of the thermal resistance for the different modes of heat transfer are then calculated as the denominators of the developed equations. The thermal resistances of the different modes of heat transfer are used in analyzing combined modes of heat transfer. The lack of "capacitative" elements in the following purely resistive example, means that no section of the circuit is absorbing energy or changing in distribution of temperature. This is equivalent to demanding that a state of steady state heat conduction (or transfer, as in radiation) has already been established.

The equations describing the three heat transfer modes and their thermal resistances in steady state conditions, as discussed previously, are summarized in the table below:

Equations for different heat transfer modes and their thermal resistances.

Transfer Mode	Rate of Heat Transfer	Thermal Resistance
Conduction	${\displaystyle {\dot {Q}}={\frac {T_{1}-T_{2}}{\left({\frac {L}{kA}}\right)}}}$	${\displaystyle {\frac {L}{kA}}}$
Convection	${\displaystyle {\dot {Q}}={\frac {T_{\rm {surf}}-T_{\rm {envr}}}{\left({\frac {1}{h_{\rm {conv}}A_{\rm {surf}}}}\right)}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{h_{\rm {conv}}A_{\rm {surf}}}}}$
Radiation	${\displaystyle {\dot {Q}}={\frac {T_{\rm {surf}}-T_{\rm {surr}}}{\left({\frac {1}{h_{r}A_{\rm {surf}}}}\right)}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{h_{r}A}}}$, where${\displaystyle h_{r}=\epsilon \sigma (T_{\rm {surf}}^{2}+T_{\rm {surr}}^{2})(T_{\rm {surf}}+T_{\rm {surr}})}$

In cases where there is heat transfer through different media (for example, through a composite material), the equivalent resistance is the sum of the resistances of the components that make up the composite. Likely, in cases where there are different heat transfer modes, the total resistance is the sum of the resistances of the different modes. Using the thermal circuit concept, the amount of heat transferred through any medium is the quotient of the temperature change and the total thermal resistance of the medium.

As an example, consider a composite wall of cross-sectional area ${\displaystyle A}$. The composite is made of an ${\displaystyle L_{1}}$ long cement plaster with a thermal coefficient ${\displaystyle k_{1}}$ and ${\displaystyle L_{2}}$ long paper faced fiber glass, with thermal coefficient ${\displaystyle k_{2}}$. The left surface of the wall is at ${\displaystyle T_{i}}$ and exposed to air with a convective coefficient of ${\displaystyle h_{i}}$. The right surface of the wall is at ${\displaystyle T_{o}}$ and exposed to air with convective coefficient ${\displaystyle h_{o}}$.

Using the thermal resistance concept, heat flow through the composite is as follows: $${\displaystyle {\dot {Q}}={\frac {T_{i}-T_{o}}{R_{i}+R_{1}+R_{2}+R_{o}}}={\frac {T_{i}-T_{1}}{R_{i}}}={\frac {T_{i}-T_{2}}{R_{i}+R_{1}}}={\frac {T_{i}-T_{3}}{R_{i}+R_{1}+R_{2}}}={\frac {T_{1}-T_{2}}{R_{1}}}={\frac {T_{3}-T_{o}}{R_{0}}}}$$ where ${\displaystyle R_{i}={\frac {1}{h_{i}A}}}$, ${\displaystyle R_{o}={\frac {1}{h_{o}A}}}$, ${\displaystyle R_{1}={\frac {L_{1}}{k_{1}A}}}$, and ${\displaystyle R_{2}={\frac {L_{2}}{k_{2}A}}}$

Newton's law of cooling is an empirical relationship attributed to English physicist Sir Isaac Newton (1642–1727). This law stated in non-mathematical form is the following:

The rate of heat loss of a body is proportional to the temperature difference between the body and its surroundings.

Or, using symbols: $${\displaystyle {\text{معدل التبريد}}\sim \Delta T}$$

أي جسم ذي درجة حرارة مختلفة عن محيطه سيصل في النهاية إلى درجة حرارة مماثلة. فالجسم الساخن نسبيًا يبرد عندما يُدفئ محيطه، والجسم البارد يسخن بمحيطه. وعند الحديث عن سرعة (أو بطء) تبريد جسم ما، فإننا نتحدث عن معدل التبريد - أي مقدار التغير في درجة حرارته بالدرجات لكل وحدة زمنية.

يعتمد معدل تبريد الجسم على مدى ارتفاع درجة حرارته مقارنةً بمحيطه. فمثلاً، يكون تغير درجة حرارة فطيرة التفاح الساخنة في الدقيقة الواحدة أكبر إذا وُضعت في مُجمد بارد مقارنةً بوضعها على طاولة المطبخ. فعندما تبرد الفطيرة في المُجمد، يزداد الفرق في درجة الحرارة بينها وبين محيطها. في يوم بارد، يفقد المنزل الدافئ حرارته إلى الخارج بمعدل أكبر عندما يكون هناك فرق كبير بين درجة حرارته الداخلية والخارجية. لذا، فإن الحفاظ على درجة حرارة عالية داخل المنزل في يوم بارد أكثر تكلفة من الحفاظ عليها عند درجة حرارة منخفضة. وإذا كان الفرق في درجة الحرارة ضئيلاً، فسيكون معدل التبريد منخفضاً تبعاً لذلك.

كما ينص قانون نيوتن للتبريد، فإن معدل تبريد الجسم - سواء بالتوصيل أو الحمل الحراري أو الإشعاع - يتناسب تقريبًا مع فرق درجة الحرارة ΔT . يسخن الطعام المجمد أسرع في غرفة دافئة منه في غرفة باردة. تجدر الإشارة إلى أن معدل التبريد في يوم بارد قد يزداد بفعل تأثير الحمل الحراري الناتج عن الرياح، وهو ما يُعرف بتأثير برودة الرياح . على سبيل المثال، تعني برودة الرياح التي تصل إلى -20  درجة مئوية أن الحرارة تُفقد بنفس المعدل كما لو كانت درجة الحرارة -20  درجة مئوية بدون رياح.

يصف هذا القانون العديد من الحالات التي يمتلك فيها جسم ما سعة حرارية عالية وموصلية حرارية عالية، ويُغمر فجأة في وسط متجانس ذي موصلية حرارية ضعيفة نسبيًا. وهو مثال على دائرة حرارية تتكون من عنصر مقاوم وعنصر سعوي. ولكي يكون القانون صحيحًا، يجب أن تكون درجات الحرارة في جميع نقاط الجسم متقاربة في كل لحظة، بما في ذلك درجة الحرارة على سطحه. وبالتالي، فإن فرق درجة الحرارة بين الجسم والمحيط لا يعتمد على الجزء المختار من الجسم، لأن جميع أجزاء الجسم لها نفس درجة الحرارة فعليًا. في هذه الحالات، لا تعمل مادة الجسم على "عزل" أجزاء الجسم الأخرى عن تدفق الحرارة، ويتركز كل العزل المهم (أو "المقاومة الحرارية") الذي يتحكم في معدل تدفق الحرارة في منطقة التلامس بين الجسم ومحيطه. وعبر هذا الحد، تقفز قيمة درجة الحرارة بشكل غير متصل.

في مثل هذه الحالات، يمكن أن تنتقل الحرارة من خارج الجسم إلى داخله، عبر الحد العازل، عن طريق الحمل الحراري أو التوصيل أو الانتشار، طالما أن هذا الحد موصل ضعيف نسبيًا للحرارة مقارنةً بداخل الجسم. ولا يُشترط وجود عازل مادي، طالما أن عملية نقل الحرارة عبر الحد "بطيئة" مقارنةً بانتقال الحرارة بالتوصيل داخل الجسم (أو داخل المنطقة المعنية - "الكتلة" الموصوفة أعلاه).

في مثل هذه الحالة، يعمل الجسم كعنصر دائرة "سعوي"، وتعمل مقاومة التلامس الحراري عند الحد الفاصل كمقاوم حراري (وحيد). في الدوائر الكهربائية، يؤدي هذا التركيب إلى شحن أو تفريغ باتجاه جهد الدخل، وفقًا لقانون أسي بسيط مع الزمن. في الدائرة الحرارية، ينتج عن هذا التكوين نفس السلوك في درجة الحرارة: اقتراب درجة حرارة الجسم من درجة حرارة الحمام الحراري بشكل أسي.

يُصاغ قانون نيوتن رياضياً من خلال المعادلة التفاضلية البسيطة من الدرجة الأولى: $${\displaystyle {\frac {dQ}{dt}}=-h\cdot A(T(t)-T_{\text{env}})=-h\cdot A\Delta T(t)}$$ أين

• Q هي الطاقة الحرارية بالجول
• يمثل h معامل انتقال الحرارة بين السطح والسائل
• A هي مساحة سطح الحرارة المنقولة
• T هي درجة حرارة سطح الجسم وداخله (لأنها متماثلة في هذا التقريب).
• T _env هي درجة حرارة البيئة
• ΔT ( t ) = T ( t ) − Tenv _هو التدرج الحراري المتغير مع الزمن بين البيئة والجسم

قد لا يكون وضع معادلات انتقال الحرارة بهذه الصيغة تقريبًا دقيقًا في بعض الأحيان، وذلك تبعًا لنسب الموصلية الحرارية في النظام. إذا لم تكن الفروقات كبيرة، فقد يتطلب صياغة دقيقة لانتقال الحرارة في النظام تحليل تدفق الحرارة استنادًا إلى معادلة انتقال الحرارة (العابرة) في الأوساط غير المتجانسة أو ذات الموصلية الحرارية الضعيفة.

إذا تم التعامل مع الجسم بأكمله كمستودع حراري ذي سعة مجمعة، بمحتوى حراري إجمالي يتناسب مع السعة الحرارية الكلية البسيطة${\displaystyle C}$، و${\displaystyle T}$درجة حرارة الجسم، أو${\displaystyle Q=CT}$من المتوقع أن يشهد النظام انخفاضًا أسيًا مع مرور الوقت في درجة حرارة الجسم.

من تعريف السعة الحرارية${\displaystyle C}$ثم تأتي العلاقة${\displaystyle C=dQ/dT}$. بتفاضل هذه المعادلة بالنسبة للزمن نحصل على المتطابقة (الصحيحة طالما أن درجات الحرارة في الجسم موحدة في أي وقت معين): ${\displaystyle dQ/dt=C(dT/dt)}$يمكن استخدام هذا التعبير لاستبدال${\displaystyle dQ/dt}$في المعادلة الأولى التي تبدأ هذا القسم، أعلاه. ثم، إذا${\displaystyle T(t)}$هل درجة حرارة هذا الجسم في وقت معين هي${\displaystyle t}$، و${\displaystyle T_{\text{env}}}$هي درجة حرارة البيئة المحيطة بالجسم: $${\displaystyle {\frac {dT(t)}{dt}}=-r(T(t)-T_{\text{env}})=-r\Delta T(t)}$$ أين${\displaystyle r=hA/C}$هو ثابت موجب مميز للنظام، ويجب أن يكون بوحدات${\displaystyle s^{-1}}$وبالتالي، يتم التعبير عنه أحيانًا بدلالة ثابت زمني مميز${\displaystyle t_{0}}$مقدم من:${\displaystyle t_{0}=1/r=-\Delta T(t)/(dT(t)/dt)}$وبالتالي، في الأنظمة الحرارية،${\displaystyle t_{0}=C/hA}$( السعة الحرارية الكلية)${\displaystyle C}$يمكن تمثيل خصائص النظام بشكل أكبر من خلال سعته الحرارية النوعية للكتلة${\displaystyle c_{p}}$مضروبًا في كتلته${\displaystyle m}$بحيث يكون الثابت الزمني${\displaystyle t_{0}}$كما هو موضح في${\displaystyle mc_{p}/hA}$).

يُعطي حل هذه المعادلة التفاضلية، باستخدام الطرق القياسية للتكامل واستبدال الشروط الحدية، ما يلي: $${\displaystyle T(t)=T_{\mathrm {env} }+(T(0)-T_{\mathrm {env} })\ e^{-rt}.}$$

لو:

${\displaystyle \Delta T(t)\quad }$يُعرَّف على النحو التالي  :${\displaystyle T(t)-T_{\mathrm {env} }\ ,\quad }$أين${\displaystyle \Delta T(0)\quad }$يمثل فرق درجة الحرارة الأولي عند الزمن 0،

ثم يُكتب الحل النيوتوني على النحو التالي: $${\displaystyle \Delta T(t)=\Delta T(0)\ e^{-rt}=\Delta T(0)\ e^{-t/t_{0}}.}$$

يتضح هذا الحل نفسه على الفور تقريبًا إذا كُتبت المعادلة التفاضلية الأولية بدلالة${\displaystyle \Delta T(t)}$، باعتبارها الدالة الوحيدة التي يجب حلها. $${\displaystyle {\frac {dT(t)}{dt}}={\frac {d\Delta T(t)}{dt}}=-{\frac {1}{t_{0}}}\Delta T(t)}$$