البنية النووية

يصف نموذج التكتل النواة بأنها مجموعة شبيهة بالجزيء من مجموعات البروتونات والنيوترونات (مثل جسيمات ألفا ) مع وجود نيوترون تكافؤ واحد أو أكثر يشغل مدارات جزيئية. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

يُعدّ نموذج القطرة السائلة أحد أوائل نماذج بنية النواة، وقد اقترحه كارل فريدريش فون فايتسكر عام 1935. ^{[ 5 ]} يصف هذا النموذج النواة بأنها سائل شبه كلاسيكي يتكون من نيوترونات وبروتونات ، مع قوة تنافر كهروستاتيكية داخلية تتناسب مع عدد البروتونات. وتتجلى الطبيعة الكمومية لهذه الجسيمات من خلال مبدأ استبعاد باولي ، الذي ينص على أنه لا يمكن أن يكون نيوكليونان من النوع نفسه في الحالة نفسها . وبالتالي، فإن هذا السائل هو في الواقع ما يُعرف بسائل فيرمي . في هذا النموذج، تكون طاقة ربط النواة مع${\displaystyle Z}$البروتونات و${\displaystyle N}$يُعطى عدد النيوترونات بواسطة

${\displaystyle E_{B}=a_{V}A-a_{S}A^{2/3}-a_{C}{\frac {Z^{2}}{A^{1/3}}}-a_{A}{\frac {(NZ)^{2}}{A}}-\delta (A,Z)}$

أين${\displaystyle A=Z+N}$يمثل العدد الإجمالي للنيوكليونات ( العدد الكتلي ). وتتناسب الحدود مع${\displaystyle A}$و${\displaystyle A^{2/3}}$يمثل حجم وطاقة سطح قطرة السائل، وهو المصطلح المتناسب مع${\displaystyle Z^{2}}$يمثل الطاقة الكهروستاتيكية، وهو مصطلح يتناسب مع${\displaystyle (NZ)^{2}}$يمثل مبدأ استبعاد باولي والحد الأخير${\displaystyle \delta (A,Z)}$يمثل هذا الحدّ معامل الاقتران، الذي يخفض الطاقة عند وجود عدد زوجي من البروتونات أو النيوترونات. المعاملات${\displaystyle a_{V},a_{S},a_{C},a_{A}}$ويمكن تقدير قوة معامل الاقتران نظرياً، أو مطابقتها مع البيانات. هذا النموذج البسيط يعيد إنتاج السمات الرئيسية لطاقة ربط النوى.

لا يزال افتراض النواة كقطرة من سائل فيرمي مستخدمًا على نطاق واسع في شكل نموذج القطرة ذي المدى المحدود (FRDM)، نظرًا لإمكانية إعادة إنتاج طاقة الربط النووي بشكل جيد على المخطط بأكمله، مع الدقة اللازمة للتنبؤات بالنوى غير المعروفة. ^{[ 6 ]}

يُعدّ مصطلح "نموذج الغلاف" غامضًا لأنه يشير إلى عنصرين مختلفين. فقد استُخدم سابقًا لوصف وجود أغلفة النيوكليونات وفقًا لنهج أقرب إلى ما يُعرف الآن بنظرية المجال المتوسط . أما اليوم، فيشير إلى صيغة رياضية مماثلة لصيغة تفاعل التكوين المستخدمة في الكيمياء الكمومية .

تم وضع بعض الفرضيات الأساسية من أجل إعطاء إطار مفاهيمي دقيق لنموذج القشرة:

• النواة الذرية هي نظام كمي مكون من n جسم.
• إن الحركة الداخلية للنيوكليونات داخل النواة غير نسبية، ويخضع سلوكها لمعادلة شرودنغر .
• تعتبر النيوكليونات نقاطية الشكل، بدون أي بنية داخلية.

تتلخص العملية العامة المستخدمة في حسابات نموذج الغلاف النووي فيما يلي: أولًا، يتم تعريف هاميلتوني للنواة. عادةً، ولأغراض عملية حسابية، لا يُؤخذ في الاعتبار في هذا التعريف سوى حدود التفاعل الأحادي والثنائي. يُعد التفاعل نظرية فعّالة ، إذ يحتوي على معاملات حرة يجب مطابقتها مع البيانات التجريبية.

تتمثل الخطوة التالية في تحديد أساس لحالات الجسيمات المفردة، أي مجموعة من الدوال الموجية التي تصف جميع حالات النيوكليونات الممكنة. في أغلب الأحيان، يُستخلص هذا الأساس من خلال حساب هارتري-فوك . باستخدام هذه المجموعة من حالات الجسيمات المفردة، تُبنى محددات سلاتر ، أي الدوال الموجية لـ Z متغيرات بروتون أو N متغيرات نيوترون، وهي نواتج مضادة للتناظر لدوال موجية للجسيمات المفردة (مضادة للتناظر بمعنى أنه عند تبديل المتغيرات لأي زوج من النيوكليونات، تتغير إشارة الدالة الموجية فقط).

من حيث المبدأ، يكون عدد الحالات الكمومية المتاحة لنيوكليون واحد عند طاقة محددة محدودًا، ولنقل n . يجب أن يكون عدد النيوكليونات في النواة أصغر من عدد الحالات المتاحة، وإلا فلن تستطيع النواة استيعاب جميع نيوكليوناتها. بالتالي، توجد عدة طرق لاختيار Z (أو N ) حالة من بين n حالة ممكنة. في الرياضيات التوافقية ، يُمثل عدد خيارات Z من بين n معامل ذات الحدين C ^Z _n . إذا كان n أكبر بكثير من Z (أو N )، فإن هذا العدد يزداد تقريبًا مثل n ^Z. عمليًا، يصبح هذا العدد كبيرًا جدًا لدرجة أن أي عملية حسابية تصبح مستحيلة عندما يكون A = N + Z أكبر من 8.

لتجاوز هذه الصعوبة، يُقسّم فضاء حالات الجسيمات المفردة الممكنة إلى فضاء النواة وفضاء التكافؤ، قياسًا على الكيمياء (انظر إلكترون النواة وإلكترون التكافؤ ). النواة هي مجموعة من الجسيمات المفردة التي يُفترض أنها غير نشطة، بمعنى أنها حالات الطاقة الأدنى ذات الارتباط الجيد، ولا حاجة لإعادة النظر في وضعها. لا تظهر هذه الجسيمات في محددات سلاتر، على عكس الحالات في فضاء التكافؤ، وهو فضاء جميع حالات الجسيمات المفردة غير الموجودة في النواة ، ولكن يُمكن أخذها في الاعتبار عند اختيار بنية دالة الموجة ( Z- ) N -body. تُحدد مجموعة جميع محددات سلاتر الممكنة في فضاء التكافؤ أساسًا لحالات ( Z- ) N -body.

تتمثل الخطوة الأخيرة في حساب مصفوفة الهاميلتوني ضمن هذا الأساس، ثم تحويلها إلى مصفوفة قطرية. وعلى الرغم من انخفاض بُعد الأساس نتيجةً لتثبيت النواة، فإن المصفوفات المراد تحويلها إلى مصفوفة قطرية تصل بسهولة إلى أبعاد من رتبة 10⁹ ^، مما يستلزم استخدام تقنيات قطرية محددة.

تُظهر حسابات نموذج القشرة عموماً توافقاً ممتازاً مع البيانات التجريبية. إلا أنها تعتمد بشدة على عاملين رئيسيين:

• طريقة تقسيم فضاء الجسيمات المفردة إلى نواة وتكافؤ.
• التفاعل الفعال بين النيوكليونات.

يُظهر التفاعل بين النيوكليونات ، وهو نتيجة للتفاعلات القوية ويربط النيوكليونات داخل النواة، سلوكًا فريدًا يتمثل في امتلاكه مدى محدودًا: فهو يتلاشى عندما تصبح المسافة بين نيوكليونين كبيرة جدًا؛ ويكون جاذبًا في المدى المتوسط، ودافعًا في المدى القصير جدًا. ترتبط هذه الخاصية الأخيرة بمبدأ استبعاد باولي الذي ينص على أنه لا يمكن أن يكون فرميونان (النيوكليونات هي فرميونات) في نفس الحالة الكمومية. ينتج عن ذلك مسار حر متوسط ​​كبير جدًا متوقع للنيوكليون داخل النواة. ^{[ 9 ]}

تتلخص الفكرة الرئيسية لمنهج الجسيمات المستقلة في أن النيوكليون يتحرك داخل بئر جهد معين (يبقيه مرتبطًا بالنواة) بشكل مستقل عن النيوكليونات الأخرى. وهذا يعني استبدال مسألة الأجسام المتعددة ( N جسيمًا تتفاعل فيما بينها) بمسألة الأجسام المفردة (N جسيمًا ). ويُعد هذا التبسيط الجوهري للمسألة حجر الزاوية في نظريات المجال المتوسط. وتُستخدم هذه النظريات على نطاق واسع في الفيزياء الذرية ، حيث تتحرك الإلكترونات في مجال متوسط ​​ناتج عن النواة المركزية وسحابة الإلكترونات نفسها.

يُحقق نموذج الجسيمات المستقلة ونظريات المجال المتوسط ​​(وسنرى لاحقًا وجود عدة صيغ مختلفة منها) نجاحًا كبيرًا في وصف خصائص النواة انطلاقًا من تفاعل فعّال أو جهد فعّال، ولذا فهي تُشكل جزءًا أساسيًا من نظرية النواة الذرية. وتجدر الإشارة أيضًا إلى أنها تتميز بمرونة كافية، حيث يسهل توسيع النموذج لإدخال تأثيرات مثل اقتران النوى، أو الحركات الجماعية للنيوكليون كالدوران أو الاهتزاز ، وذلك بإضافة حدود الطاقة المناسبة في الصيغة. وهذا يعني أن المجال المتوسط، في العديد من التمثيلات، ليس سوى نقطة انطلاق لوصف أكثر شمولًا يُدخل ارتباطات تُعيد إنتاج خصائص مثل الإثارات الجماعية وانتقال النيوكليونات. ^{[ 10 ] [ 11 ]}

يُعزى جزء كبير من الصعوبات العملية التي تواجه نظريات المجال المتوسط ​​إلى تعريف (أو حساب) جهد المجال المتوسط ​​نفسه. ويمكن التمييز بشكل عام بين منهجين:

• يُعدّ المنهج الظاهريّ طريقةً لتحديد معلمات الجهد النوويّ باستخدام دالة رياضية مناسبة. تاريخيًا، طُبّق هذا الإجراء بنجاح كبير على يد سفين غوستا نيلسون ، الذي استخدم كمُجهد مُذبذب توافقيّ (مُشوّه) . وتعتمد أحدث طرق تحديد المعلمات على دوالّ أكثر واقعية، تُراعي تجارب التشتت بدقة أكبر، على سبيل المثال. ومن أبرز هذه الدوالّ مُكْمِن وودز -ساكسون .
• يهدف منهج هارتري-فوك، أو المنهج المتسق ذاتيًا، إلى استنتاج الجهد النووي رياضيًا من تفاعل فعال بين النيوكليونات. تتضمن هذه التقنية حل معادلة شرودنغر بطريقة تكرارية، بدءًا من دالة موجية افتراضية وتحسينها حسابيًا، نظرًا لاعتماد الجهد فيها على الدوال الموجية المراد تحديدها. تُكتب هذه الدوال الموجية على شكل محددات سلاتر .

في حالة مناهج هارتري-فوك، لا تكمن المشكلة في إيجاد الدالة الرياضية التي تصف الجهد النووي على أفضل وجه، بل في إيجاد الدالة التي تصف تفاعل النيوكليون-نيوكليون على أفضل وجه. في الواقع، على عكس الفيزياء الذرية حيث يكون التفاعل معروفًا (وهو تفاعل كولوم )، فإن تفاعل النيوكليون-نيوكليون داخل النواة غير معروف تحليليًا.

هناك سببان رئيسيان لهذه الحقيقة. أولًا، يعمل التفاعل القوي أساسًا بين الكواركات المكونة للنيوكليونات. يُعد تفاعل النيوكليون-نيوكليون في الفراغ مجرد نتيجة لتفاعل الكوارك-كوارك. في حين أن الأخير مفهوم جيدًا في إطار النموذج القياسي عند الطاقات العالية، إلا أنه أكثر تعقيدًا عند الطاقات المنخفضة بسبب الحصر اللوني والحرية التقاربية . وبالتالي، لا توجد حتى الآن نظرية أساسية تسمح باستنتاج تفاعل النيوكليون-نيوكليون من تفاعل الكوارك-كوارك. علاوة على ذلك، حتى لو تم حل هذه المشكلة، سيظل هناك فرق كبير بين الحالة المثالية (والأبسط من الناحية المفاهيمية) لنيوكليونين يتفاعلان في الفراغ، وحالة تفاعل هذين النيوكليونين في المادة النووية. وللمضي قدمًا، كان من الضروري ابتكار مفهوم التفاعل الفعال . هذا الأخير هو في الأساس دالة رياضية ذات عدة معلمات اختيارية، يتم ضبطها لتتوافق مع البيانات التجريبية.

معظم التفاعلات الحديثة ذات مدى صفري، لذا فهي لا تؤثر إلا عندما يكون النيوكليونان متلامسين، كما قدمها توني سكيرم . ^{[ 12 ]} في ورقة بحثية رائدة ^{[ 13 ]} لدومينيك فوثيرين وديفيد إم. برينك، تم إثبات أن قوة سكيرم، التي تعتمد على الكثافة، يمكنها محاكاة الخصائص الأساسية لنوى الذرات. ومن التفاعلات الأخرى الشائعة الاستخدام قوة غوغني ذات المدى المحدود. ^{[ 14 ]}

في منهج هارتري-فوك لمسألة الأجسام المتعددة ، تبدأ العملية بهاملتوني يحتوي على n حدًا للطاقة الحركية ، بالإضافة إلى حدود طاقة كامنة. وكما ذُكر سابقًا، تنص إحدى فرضيات نظرية المجال المتوسط ​​على أنه يجب أخذ تفاعل الجسمين فقط في الاعتبار. يُمثل حد الطاقة الكامنة في الهاميلتوني جميع تفاعلات الجسمين الممكنة في مجموعة n من الفرميونات . وهذه هي الفرضية الأولى.

تتمثل الخطوة الثانية في افتراض إمكانية كتابة دالة الموجة للنظام على شكل محدد سلاتر لمدارات الدوران أحادية الجسيم . هذا البيان هو الترجمة الرياضية لنموذج الجسيمات المستقلة. وهذه هي الفرضية الثانية.

يبقى الآن تحديد مكونات محدد سلاتر، أي الدوال الموجية الفردية للنيوكليونات. ولتحقيق هذه الغاية، يُفترض أن الدالة الموجية الكلية (محدد سلاتر) تحقق أدنى طاقة ممكنة. هذه هي الفرضية الثالثة.

من الناحية التقنية، يعني هذا أنه يجب حساب القيمة المتوسطة لهاملتونيان الجسمين (المعروف) على محدد سلاتر (المجهول)، مع افتراض أن تغيره الرياضي يساوي صفرًا. يؤدي هذا إلى مجموعة من المعادلات حيث تكون المجاهيل هي الدوال الموجية الفردية: معادلات هارتري-فوك. حل هذه المعادلات يعطي الدوال الموجية ومستويات الطاقة الفردية للنيوكليونات، وبالتالي الطاقة الكلية للنواة ودالتها الموجية.

يشرح هذا العرض الموجز لطريقة هارتري-فوك سبب تسميتها أيضًا بالنهج التبايني . في بداية الحساب، تُعتبر الطاقة الكلية "دالة للدوال الموجية الفردية" (ما يُسمى بالدالة الوظيفية)، ويتم بعد ذلك ضبط جميع العمليات لتحسين اختيار هذه الدوال الموجية بحيث تصل الدالة الوظيفية إلى أدنى قيمة لها - يُفضل أن تكون مطلقة وليست محلية فقط. وللتوضيح، تجدر الإشارة إلى أن الطاقة هي دالة للكثافة ، المُعرّفة بأنها مجموع مربعات الدوال الموجية الفردية. تُستخدم طريقة هارتري-فوك أيضًا في الفيزياء الذرية وفيزياء المادة المكثفة تحت مسمى نظرية الكثافة الوظيفية (DFT).

لا يمكن حل معادلات هارتري-فوك إلا بطريقة تكرارية، لأنها في الواقع معادلة شرودنغر يعتمد فيها الجهد على الكثافة ، أي تحديدًا على الدوال الموجية المراد تحديدها. عمليًا، تبدأ الخوارزمية بمجموعة من الدوال الموجية الفردية المعقولة (عادةً الدوال الذاتية لمذبذب توافقي ). تسمح هذه الدوال بحساب الكثافة، ومن ثم جهد هارتري-فوك. بعد ذلك، تُحل معادلة شرودنغر من جديد، وهكذا. يتوقف الحساب - أي يتحقق التقارب - عندما يكون الفرق بين الدوال الموجية، أو مستويات الطاقة، لتكرارين متتاليين أقل من قيمة ثابتة. عندئذٍ، يُحدد جهد المجال المتوسط ​​بالكامل، وتتحول معادلات هارتري-فوك إلى معادلات شرودنغر قياسية. يُطلق على الهاميلتوني المقابل حينها اسم هاميلتوني هارتري-فوك.

بدأت النماذج النسبية للنواة في سبعينيات القرن العشرين مع أعمال جون ديرك واليكا في مجال الديناميكا الهادروديناميكية الكمومية ، ثم جرى تطويرها وتحسينها في أواخر ثمانينيات القرن العشرين على يد بي. رينغ وزملاؤه. وتنطلق هذه المناهج من نظرية الحقل الكمومي النسبية . في هذا السياق، تحدث تفاعلات النيوكليونات عبر تبادل جسيمات افتراضية تُسمى الميزونات . وتتلخص الفكرة، في الخطوة الأولى، في بناء لاغرانجي يحتوي على حدود التفاعل هذه. ثانيًا، بتطبيق مبدأ الفعل الأدنى ، نحصل على مجموعة من معادلات الحركة. تخضع الجسيمات الحقيقية (النيوكليونات هنا) لمعادلة ديراك ، بينما تخضع الجسيمات الافتراضية (الميزونات هنا) لمعادلات كلاين-غوردون .

نظراً لطبيعة التفاعل القوي غير الاضطرابية ، ولأن الشكل الدقيق للجهد الكامن لهذا التفاعل بين مجموعات النيوكليونات غير معروف بدقة، فإن استخدام هذا النهج في حالة النوى الذرية يتطلب تقريبات جذرية. ويتمثل التبسيط الرئيسي في استبدال جميع حدود المجال (وهي مؤثرات بالمعنى الرياضي) في المعادلات بقيمها المتوسطة (وهي دوال ). وبهذه الطريقة، نحصل على نظام من المعادلات التكاملية التفاضلية المترابطة ، والتي يمكن حلها عددياً، إن لم يكن تحليلياً.

نموذج البوزونات المتفاعلة (IBM) هو نموذج في الفيزياء النووية تُمثَّل فيه النيوكليونات على شكل أزواج، حيث يعمل كل زوج كجسيم بوزوني، ذي لف مغزلي صحيح يساوي 0 أو 2 أو 4. وهذا يُسهِّل إجراء الحسابات على النوى الأكبر حجمًا. يوجد عدة فروع لهذا النموذج؛ ففي أحدها (IBM-1) يُمكن تجميع جميع أنواع النيوكليونات في أزواج، بينما في فروع أخرى (مثل IBM-2) يُؤخذ البروتونات والنيوترونات في أزواج بشكل منفصل.

يُعدّ التناظر أحد المحاور الأساسية في الفيزياء . فالتفاعل بين النيوكليونات، وجميع التفاعلات الفعّالة المستخدمة عمليًا، لها تناظرات معينة. وهي ثابتة تحت تأثير الإزاحة (تغيير الإطار المرجعي دون تغيير الاتجاهات)، أو الدوران (تدوير الإطار المرجعي حول محور ما)، أو التكافؤ (تغيير اتجاه المحاور)، بمعنى أن التفاعل لا يتغير تحت أي من هذه العمليات. مع ذلك، في منهج هارتري-فوك، قد تظهر حلول غير ثابتة تحت هذا التناظر. ويُطلق على هذه الحالة اسم كسر التناظر التلقائي .

يمكن تفسير هذه الانكسارات التلقائية للتناظر نوعيًا على النحو التالي: في نظرية المجال المتوسط، تُوصف النواة كمجموعة من الجسيمات المستقلة. تُهمل معظم الارتباطات الإضافية بين النيوكليونات التي لا تدخل في المجال المتوسط. مع ذلك، يمكن أن تظهر هذه الارتباطات نتيجةً لكسر تناظر هاميلتوني المجال المتوسط، وهو كسر تقريبي فقط. إذا كسرت الكثافة المستخدمة لبدء تكرارات عملية هارتري-فوك تناظرات معينة، فقد يكسر هاميلتوني هارتري-فوك النهائي هذه التناظرات، إذا كان من المفيد الحفاظ على كسرها من وجهة نظر الطاقة الكلية.

قد يتقارب الحل أيضًا نحو حل متناظر. على أي حال، إذا كسر الحل النهائي التناظر، كالتناظر الدوراني مثلاً، بحيث تبدو النواة بيضاوية الشكل لا كروية، فإن جميع التكوينات المستنتجة من هذه النواة المشوهة عن طريق الدوران تُعد حلولًا جيدة لمسألة هارتري-فوك. وتكون الحالة الأرضية للنواة حينها متحللة .

وتحدث ظاهرة مماثلة مع الاقتران النووي، مما ينتهك حفظ عدد الباريونات (انظر أدناه).

يُعدّ اقتران النوى أحد أكثر التوسعات شيوعًا في نظرية المجال المتوسط. فالنوى التي تحتوي على عدد زوجي من النيوكليونات تكون أكثر ترابطًا بشكل منهجي من تلك التي تحتوي على عدد فردي. وهذا يعني أن كل نيوكليون يرتبط بآخر لتكوين زوج، وبالتالي لا يمكن وصف النظام بأنه جسيمات مستقلة تخضع لمجال متوسط ​​مشترك. عندما تحتوي النواة على عدد زوجي من البروتونات والنيوترونات، يجد كل منها شريكًا. ولإثارة مثل هذا النظام، يجب استخدام طاقة كافية على الأقل لكسر الزوج. وعلى العكس من ذلك، في حالة وجود عدد فردي من البروتونات أو النيوترونات، يوجد نيوكليون غير مزدوج، يحتاج إلى طاقة أقل لإثارته.

تُشابه هذه الظاهرة إلى حد كبير ظاهرة الموصلية الفائقة من النوع الأول في فيزياء المواد الصلبة. وقد طُرح أول وصف نظري للاقتران النووي في أواخر خمسينيات القرن العشرين على يد آجي بور ، وبن موتيلسون ، وديفيد باينز (مما ساهم في حصول بور وموتيلسون على جائزة نوبل في الفيزياء عام 1975). ^{[ 15 ]} وكان هذا الوصف قريبًا من نظرية BCS لباردين، وكوبر، وشريفر، التي تُفسر الموصلية الفائقة في المعادن. نظريًا، تتحد ظاهرة الاقتران، كما تصفها نظرية BCS، مع نظرية المجال المتوسط: إذ تخضع النيوكليونات لكل من جهد المجال المتوسط ​​وتفاعل الاقتران.

تُعدّ طريقة هارتري -فوك-بوغوليوبوف (HFB) منهجًا أكثر تطورًا، ^{[ 16 ]} إذ تُمكّن من دراسة تفاعلات الاقتران والمجال المتوسط ​​على قدم المساواة. وتُعتبر HFB الآن المعيار الفعلي في معالجة المجال المتوسط ​​للأنظمة النووية.

تتميز طرق المجال المتوسط ​​بحساب الخصائص النووية من خلال كسر التناظر الصريح . فحساب المجال المتوسط ​​باستخدام الطرق المتسقة ذاتيًا (مثل هارتري-فوك) يكسر التناظر الدوراني، كما أن حساب خاصية الاقتران يكسر عدد الجسيمات.

تم تطوير العديد من التقنيات لاستعادة التناظر عن طريق الإسقاط على أعداد كمومية جيدة. ^{[ 17 ]}

تُعدّ طرق المجال المتوسط ​​(مع الأخذ في الاعتبار استعادة التناظر) تقريبًا جيدًا للحالة الأرضية للنظام، حتى مع افتراض وجود نظام من الجسيمات المستقلة. وتأخذ التصحيحات ذات الرتبة الأعلى في الاعتبار تفاعل الجسيمات فيما بينها عن طريق الترابط. ويمكن إدخال هذه الترابطات مع مراعاة اقتران درجات حرية الجسيمات المستقلة، والإثارة الجماعية منخفضة الطاقة للأنظمة التي تحتوي على عدد زوجي من البروتونات والنيوترونات.

وبهذه الطريقة، يمكن إعادة إنتاج الحالات المثارة عن طريق تقريب الطور العشوائي (RPA)، كما يمكن في النهاية حساب التصحيحات للحالة الأرضية بشكل متسق (على سبيل المثال عن طريق نظرية المجال النووي ^{[ 11 ]} ).

• جيمس م. كورك؛ النشاط الإشعاعي والجسم النووي ، دونود (1949).

• لوك فالنتين؛ العالم دون الذري – الكواركات المركزية النووية ، هيرمان (1986).
• لوك فالنتين؛ Noyaux et Particules – Modèles et Symétries ، هيرمان (1997).
• ديفيد هاليداي؛ الفيزياء النووية التمهيدية ، وايلي وأولاده (1957).
• كينيث كرين؛ الفيزياء النووية التمهيدية ، وايلي وأولاده (1987).
• كارلوس بيرتولاني؛ الفيزياء النووية باختصار ، مطبعة جامعة برينستون (2007).

• بيتر إي. هودجسون ؛ التفاعلات النووية والبنية النووية . مطبعة جامعة أكسفورد (1971).
• إيرفينغ كابلان؛ الفيزياء النووية ، سلسلة أديسون-ويسلي في العلوم والهندسة النووية، أديسون-ويسلي (1956). الطبعة الثانية (1962).
• أ. بور و ب. موتيلسون؛ البنية النووية ، المجلد الثاني، بنيامين (1969-1975). المجلد 1  : حركة الجسيمات المفردة ; المجلد الثاني  : التشوهات النووية . Réédité par World Scientific Publishing Company (1998)، ISBN 981-02-3197-0.
• ب. رينغ وب. شوك؛ ​​مسألة الأجسام النووية المتعددة ، دار نشر سبرينغر (1980)، رقم ISBN 3-540-21206-X
• أ. دي شاليت وهـ. فيشباخ؛ الفيزياء النووية النظرية ، مجلدان، جون وايلي وأولاده (1974). المجلد 1: البنية النووية ؛ المجلد 2: التفاعلات النووية ، ISBN 0-471-20385-8