حلقة الهوية متعددة الحدود

في نظرية الحلقات ، وهي فرع من فروع الرياضيات ، تُسمى الحلقة R حلقة هوية متعددة الحدود إذا وُجد، لبعض N > 0، عنصر P ≠ 0 من الجبر الحر Z ⟨ X ₁ , X ₂ , ..., X _N ⟩ ، على حلقة الأعداد الصحيحة في N متغير X ₁ , X ₂ , ..., X _N بحيث

${\displaystyle P(r_{1},r_{2},\ldots ,r_{N})=0}$

لجميع المجموعات N - tuples r ₁ ، r ₂ ، ... ، r _N المأخوذة من R .

بالمعنى الدقيق، تُعتبر _{المتغيرات} Xᵢ هنا "متغيرات غير تبادلية"، ولذا فإن مصطلح "هوية متعددة الحدود" يُعدّ تحريفًا طفيفًا للمصطلح ، إذ أن "متعددة الحدود" هنا تُشير إلى ما يُعرف عادةً بـ"متعددة الحدود غير التبادلية". ويُستخدم اختصار PI-ring بشكل شائع. وبشكل أعم، يُمكن استخدام الجبر الحر على أي حلقة S ، وهو ما يُعطي مفهوم جبر PI .

إذا تم تعريف درجة متعددة الحدود P بالطريقة المعتادة، فإن متعددة الحدود P تسمى أحادية إذا كان أحد حدودها ذات الدرجة الأعلى على الأقل له معامل يساوي 1.

كل حلقة تبديلية هي حلقة PI، تحقق متطابقة كثير الحدود XY − YX = 0. لذلك، تُعتبر حلقات PI عادةً تعميمات قريبة للحلقات التبديلية . إذا كانت للحلقة خاصية p لا تساوي الصفر، فإنها تحقق متطابقة كثير الحدود pX = 0. لاستبعاد هذه الأمثلة، يُعرَّف أحيانًا أن حلقات PI يجب أن تحقق متطابقة كثير حدود أحادية . ^{[ 1 ]}

• على سبيل المثال، إذا كانت R حلقة تبديلية، فهي حلقة PI: وهذا صحيح مع

${\displaystyle P(X_{1},X_{2})=X_{1}X_{2}-X_{2}X_{1}=0~}$

• حلقة المصفوفات من الرتبة 2 × 2 فوق حلقة تبديلية تحقق متطابقة هول

${\displaystyle (xy-yx)^{2}z=z(xy-yx)^{2}}$

تم استخدام هذه الهوية من قبل م. هول ( 1943 ) ، ولكن تم العثور عليها في وقت سابق من قبل فاغنر ( 1937 ) .  

• يلعب المتطابق القياسي s _{_N} ، ذو الطول N ، دورًا رئيسيًا في النظرية، وهو يُعمم المثال المُعطى للحلقات التبديلية ( N = 2). وهو مُشتق من صيغة لايبنتز للمحددات.

${\displaystyle \det(A)=\sum _{\sigma \in S_{N}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod _{i=1}^{N}a_{i,\sigma (i)}}$

عن طريق استبدال كل ناتج في الحد المجموع بناتج X _i بالترتيب المحدد بواسطة التبديل σ. بعبارة أخرى، يتم جمع كل ترتيب من الترتيبات N !، ويكون المعامل 1 أو -1 وفقًا للإشارة .

${\displaystyle s_{N}(X_{1},\ldots ,X_{N})=\sum _{\sigma \in S_{N}}\operatorname {sgn}(\sigma )X_{\sigma (1)}\dotsm X_{\sigma (N)}=0~}$

حلقة المصفوفات من الرتبة m × m فوق أي حلقة تبديلية تحقق متطابقة قياسية: تنص نظرية أميتسور-ليفيتزكي على أنها تحقق s _{2 m} . درجة هذه المتطابقة مثالية لأن حلقة المصفوفات لا يمكنها تحقيق أي متعددة حدود أحادية من درجة أقل من 2 m . 

• بفرض حقل k ذي خاصية صفرية، ولتكن R هي الجبر الخارجي على فضاء متجهي لانهائي قابل للعد ذي أساس e1، e2، e3 ، ... عندئذٍ ، _يتم توليد _R بواسطة _عناصر هذا الأساس و

e _i e _j = − e _j e _i .

لا تحقق هذه الحلقة الشرط s _N لأي قيمة لـ N ، وبالتالي لا يمكن تضمينها في أي حلقة مصفوفات. في الواقع ، s _N ( e ₁ , e ₂ ,..., e _N ) = N ! e ₁ e ₂ ... e _N ≠ 0. من ناحية أخرى، هي حلقة PI لأنها تحقق الشرط [[ x , y ], z ] := xyz − yxz − zxy + zyx = 0. يكفي التحقق من ذلك بالنسبة للحدود الأحادية في e _i . الآن، الحد الأحادي ذو الدرجة الزوجية يتبادل مع كل عنصر. لذلك، إذا كان x أو y حدًا أحاديًا من الدرجة الزوجية، فإن [ x , y ] := xy − yx = 0. أما إذا كان كلاهما من الدرجة الفردية ، فإن [ x , y ] = xy − yx = 2. xy له درجة زوجية، وبالتالي فهو يتبادل مع z ، أي [[ x , y ], z ] = 0.                                 

• أي حلقة فرعية أو صورة متماثلة لحلقة PI هي حلقة PI.
• إن حاصل الضرب المباشر المحدود لحلقات باي هو حلقة باي.
• إن الناتج المباشر لحلقات PI، الذي يحقق نفس الهوية، هو حلقة PI.
• يمكن دائماً افتراض أن المتطابقة التي تحققها حلقة PI هي متعددة الخطية .
• إذا كانت الحلقة مولدة بشكل منتهٍ بواسطة n عنصرًا كوحدة نمطية على مركزها ، فإنها تحقق كل متعددة حدود خطية متناوبة من الدرجة الأكبر من n . وعلى وجه الخصوص، فإنها تحقق s _N لـ N  > n، وبالتالي فهي حلقة PI. 
• إذا كانت R و S حلقتين من نوع PI، فإن حاصل ضربهما الموتري على الأعداد الصحيحة،${\displaystyle R\otimes _{\mathbb {Z} }S}$، وهو أيضاً حلقة باي.
• إذا كانت R حلقة PI، فإن حلقة المصفوفات n × n ذات المعاملات في R هي كذلك .

من بين الحلقات غير التبادلية، تحقق حلقات PI حدسية كوث . تحقق جبر PI الأفيني فوق حقل حدسية كوروش ، ونظرية نولستيلينساتز، وخاصية السلسلة للمثاليات الأولية .

إذا كانت R حلقة PI و K حلقة جزئية من مركزها بحيث تكون R متكاملة على K، فإن خاصيتي الصعود والهبوط للمثاليّات الأولية في R و K ​​تتحققان. كذلك تتحقق خاصية التداخل (إذا كان p مثالًا أوليًا في K ، فإنه يوجد مثال أولي P في R بحيث${\displaystyle p}$الحد الأدنى فوق${\displaystyle P\cap K}$) وخاصية عدم المقارنة (إذا كان P و Q مثاليين أوليين في R و${\displaystyle P\subset Q}$ثم${\displaystyle P\cap K\subset Q\cap K}$) راضون.

إذا كانت F  := Z ⟨ X ₁ , X ₂ , ..., X _N ⟩ هي الجبر الحر في N متغيرًا، و R هي حلقة PI تحقق متعددة الحدود P في N متغيرًا، فإن P تقع في نواة أي تشاكل 

${\displaystyle \tau }$F​${\displaystyle \rightarrow }$ر .

يُطلق على النظام المثالي I من F اسم النظام المثالي T إذا${\displaystyle f(I)\subset I}$لكل تشاكل داخلي f من F.

بالنظر إلى حلقة PI، R ، فإن مجموعة جميع متطابقات كثيرات الحدود التي تحققها تُعدّ مثالية ، بل وأكثر من ذلك، فهي مثالية T. وعلى العكس، إذا كانت I مثالية T في F ، فإن F / I تُشكّل حلقة PI تحقق جميع المتطابقات في I. يُفترض أن I تحتوي على كثيرات حدود أحادية عندما يُشترط أن تحقق حلقات PI متطابقات كثيرات الحدود الأحادية.

• نظرية بوسنر
• متعددة الحدود المركزية

• لاتيشيف، ف. ن. (2001) [1994]، "جبر باي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر إي إم إس
• فورمانيك، إي. (2001) [1994]، "نظرية أميتسور-ليفيتزكي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
• المتطابقات متعددة الحدود في نظرية الحلقات ، لويس هالي روين، دار النشر الأكاديمية، 1980، رقم ISBN 978-0-12-599850-5
• حلقات الهوية متعددة الحدود ، فيسلين س. درينسكي، إدوارد فورمانيك، بيركهاوزر، 2004، رقم ISBN 978-3-7643-7126-5
• المتطابقات متعددة الحدود والأساليب التقاربية ، أ. جيامبرونو، ميخائيل زايسيف، مكتبة AMS، 2005، ISBN 978-0-8218-3829-7
• الجوانب الحسابية لهويات كثيرات الحدود ، أليكسي كانيل-بيلوف، لويس هالي روين، إيه كيه بيترز المحدودة، 2005، رقم ISBN 978-1-56881-163-5

• فورمانيك، إدوارد (1991). متطابقات وثوابت كثيرات الحدود للمصفوفات من الرتبة n × n . سلسلة المؤتمرات الإقليمية في الرياضيات. المجلد 78. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الأمريكية للرياضيات . ISBN  0-8218-0730-7. Zbl 0714.16001 . 
• كانيل-بيلوف، أليكسي؛ روين، لويس هالي (2005). الجوانب الحسابية لهويات كثيرات الحدود . مذكرات بحثية في الرياضيات. المجلد  9. ويليسلي، ماساتشوستس: إيه كيه بيترز. ISBN 1-56881-163-2. Zbl 1076.16018 . 

• جبر الهوية متعددة الحدود في PlanetMath .
• الهوية القياسية في بلانيت ماث .
• T-ideal في PlanetMath .