بيير لويس ليونز

تناولت أعمال ليونز الأولى التحليل الوظيفي لفضاءات هيلبرت . وكانت مقالته الأولى المنشورة، عام ١٩٧٧، إسهامًا في الأدبيات الواسعة حول تقارب بعض الخوارزميات التكرارية إلى نقاط ثابتة لخريطة ذاتية غير متوسعة معطاة لمجموعة فرعية محدبة مغلقة من فضاء هيلبرت. ^{[L77] [ 10 ]} وبالتعاون مع مشرف أطروحته حاييم بريزيس ، قدم ليونز نتائج جديدة حول المؤثرات الرتيبة القصوى في فضاء هيلبرت، مُثبتًا بذلك إحدى أولى نتائج التقارب لخوارزمية النقطة التقريبية لبرنارد مارتينيه و ر. تيريل روكافيلر . [ ^{BL78] [ 11 ]} ومنذ ذلك الحين، أُجريت تعديلات وتحسينات عديدة على هذه النتائج. ^{[ 12 ]}

اقترح ليونز، بالتعاون مع برتراند ميرسييه، خوارزمية "التقسيم الأمامي-الخلفي" لإيجاد صفر مجموع مؤثرين رتيبين أقصى. ^[LM79] يمكن اعتبار خوارزميتهم نسخة مجردة من خوارزميتي دوغلاس-راشفورد وبيسمان-راشفورد العدديتين المعروفتين لحساب حلول المعادلات التفاضلية الجزئية المكافئة . كان لخوارزميتي ليونز-ميرسييه وبرهان تقاربهما تأثير بالغ في أدبيات نظرية المؤثرات وتطبيقاتها في التحليل العددي . وقد درس غريغوري باستي طريقة مماثلة في الوقت نفسه. ^{[ 13 ] [ 11 ]}

بدأت الدراسة الرياضية لمعادلة شرودنغر-نيوتن في الحالة المستقرة ، والتي تُعرف أيضًا بمعادلة شوكارد ، في مقالٍ رائدٍ لإليوت ليب . ^{[ 14 ]} وقد استُلهمت هذه الدراسة من فيزياء البلازما عبر تقنية تقريبية قياسية في الكيمياء الكمومية . بيّن ليونز أنه يُمكن تطبيق أساليب قياسية مثل نظرية ممر الجبل ، بالإضافة إلى بعض الأعمال التقنية لوالتر شتراوس ، لإثبات أن معادلة شرودنغر-نيوتن المعممة في الحالة المستقرة، ذات التعميم المتناظر شعاعيًا للجهد التثاقلي، قابلةٌ بالضرورة للحل بواسطة دالة متناظرة شعاعيًا. ^[L80]

المعادلة التفاضلية الجزئية

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{1}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{n}^{2}}}=f(u)}$

حظيت هذه المعادلة باهتمام كبير في الأدبيات الرياضية. ويركز عمل ليونز المكثف عليها على وجود حلول متناظرة دورانيًا، بالإضافة إلى تقديرات ووجود حلول لمسائل القيم الحدية من أنواع مختلفة. ^[L82a] وسعياً لدراسة الحلول في جميع أنحاء الفضاء الإقليدي ، حيث لا تنطبق نظرية التراص القياسية، وضع ليونز عددًا من نتائج التراص للدوال المتناظرة. ^[L82b] وبالتعاون مع هنري بيرستيكي ولامبرتوس بيليتييه ، استخدم ليونز طرق التصويب القياسية للمعادلات التفاضلية العادية لدراسة وجود حلول متناظرة دورانيًا بشكل مباشر. ^[BLP81] ومع ذلك، تم الحصول على نتائج أدق بعد ذلك بعامين من قبل بيرستيكي وليونز باستخدام الطرق التباينية. فقد اعتبروا حلول المعادلة بمثابة إعادة قياس لنقاط دنيا لمسألة تحسين مقيدة، استنادًا إلى طاقة ديريشليه المعدلة . وباستخدام تناظر شوارتز، توجد متتالية دنيا لمسألة التحسين، تتكون من دوال موجبة ومتناظرة دورانيًا. وبذلك تمكنوا من إثبات وجود قيمة دنيا متناظرة دورانيًا وغير سالبة. ^[BL83a] وباستخدام أساليب النقطة الحرجة التي وضعها فيليكس براودر وبول رابينوفيتز وآخرون، أثبت بيرستيكي وليونز أيضًا وجود عدد لا نهائي من الحلول المتناظرة شعاعيًا (ليست موجبة دائمًا) للمعادلة التفاضلية الجزئية. [ ^BL83b] كما بحثت ماريا إستيبان وليونز عدم وجود حلول في عدد من المجالات غير المحدودة ذات بيانات حدودية من نوع ديريشليه. ^[EL82] وتتمثل أداتهم الأساسية في متطابقة من نوع بوهوزاييف، كما أعاد بيرستيكي وليونز صياغتها سابقًا. ^[BL83a] وقد أظهروا أنه يمكن استخدام هذه المتطابقات بفعالية مع نظرية الاستمرار الفريد لناخمان أرونسزاجن للحصول على تفاهتها في ظل بعض الشروط العامة. ^{[ 15 ]} تم التوصل إلى تقديرات "مسبقة" مهمة للحلول بواسطة ليونز بالتعاون مع دجيرو غيديس دي فيغيريدو وروجر نوسباوم . ^[FLN82]

في سياقات أعم، قدّم ليونز "مبدأ التركيز والتراص"، الذي يُحدد متى قد تفشل متواليات الدوال المُصغّرة في التقارب اللاحق. تناول عمله الأول حالة عدم التغير تحت الإزاحة، مع تطبيقات على العديد من مسائل الرياضيات التطبيقية ، بما في ذلك معادلة شوكارد. ^[L84a] كما تمكّن من توسيع أجزاء من عمله مع بيرستيكي لتشمل حالات لا يوجد فيها أي تناظر دوراني. ^[L84b] وباستخدام أساليب عباس بحري الطوبولوجية ونظرية الحد الأدنى والحد الأقصى، استطاع بحري وليونز إثبات نتائج التعددية لهذه المسائل. ^[BL88] كما نظر ليونز في مسألة عدم التغير تحت التمدد، مع تطبيقات طبيعية لتحسين الدوال من أجل متباينات وظيفية غير متغيرة تحت التمدد مثل متباينة سوبوليف . ^[L85a] وقد تمكّن من تطبيق أساليبه لإعطاء منظور جديد للأعمال السابقة حول المسائل الهندسية مثل مسألة يامابي والخرائط التوافقية . ^[L85b] بالتعاون مع تيري كازيناف، طبق ليونز نتائج تركيزه وتراصه لإثبات استقرار المدارات لبعض الحلول المتناظرة لمعادلات شرودنغر غير الخطية التي تقبل تفسيرات تباينية وحلولاً تحافظ على الطاقة. ^[CL82]

في عام ١٩٨٨، درس فرانسوا غولس ، وليونز، وبينوا بيرثام ، وريمي سنتيس معادلة النقل ، وهي معادلة تفاضلية جزئية خطية من الدرجة الأولى. ^[GLPS88] بيّنوا أنه إذا تم اختيار معاملات الدرجة الأولى عشوائيًا وفقًا لتوزيع احتمالي معين ، فإن قيم الدالة المقابلة تتوزع بانتظام مُحسَّن عن التوزيع الاحتمالي الأصلي. وقد وُسِّعت هذه النتائج لاحقًا بواسطة دي بيرنا، وليونز، وماير. ^[DLM91] من الناحية الفيزيائية، تُعرف هذه النتائج باسم "مُسلّمات متوسط ​​السرعة "، وهي تُشير إلى أن الكميات القابلة للرصد على المستوى العياني تتمتع بسلاسة أكبر مما تُشير إليه قواعدها المجهرية بشكل مباشر. ووفقًا لسيدريك فيلاني ، فإنه من غير المعروف ما إذا كان من الممكن استخدام التمثيل الصريح لحلول معادلة النقل لاستنتاج هذه الخصائص. ^{[ ١٦ ]}

تتناول نظرية بيكارد-ليندلوف الكلاسيكية المنحنيات التكاملية لحقول المتجهات المتصلة ليبشيتز . ومن خلال اعتبار المنحنيات التكاملية منحنيات مميزة لمعادلة نقل متعددة الأبعاد، بدأ ليونز ورونالد ديبرنا دراسة أوسع للمنحنيات التكاملية لحقول متجهات سوبوليف . ^[DL89a] وقد وُسِّعت نتائج ديبرنا وليونز المتعلقة بمعادلة النقل لاحقًا بواسطة لويجي أمبروسيو لتشمل حالة التباين المحدود ، وبواسطة أليسيو فيغالي لتشمل سياق العمليات العشوائية . ^{[ 17 ]}

تمكن ديبرنا وليونز من إثبات الوجود الشامل لحلول معادلة بولتزمان . ^[DL89b] لاحقًا، وباستخدام أساليب مؤثرات التكامل الفورييه ، وضع ليونز تقديرات لمؤثر تصادم بولتزمان، وبالتالي توصل إلى نتائج تتعلق بتراص حلول معادلة بولتزمان. ^[L94] كتطبيق خاص لنظرية التراص الخاصة به، استطاع أن يُظهر أن الحلول تتقارب تباعًا عند زمن لانهائي إلى توزيعات ماكسويل. ^{[ 16 ]} كما توصل ديبرنا وليونز إلى نتيجة مماثلة لمعادلات ماكسويل-فلاسوف . ^{[DL89c] [ 18 ]}

قدّم مايكل كراندال وليونز مفهوم حلول اللزوجة ، وهو نوع من الحلول المعممة لمعادلات هاميلتون-جاكوبي . ويكتسب تعريفهما أهمية بالغة لقدرتهما على وضع نظرية حسن التحديد في هذا السياق المعمم. ^[CL83] وقد طُوّرت النظرية الأساسية لحلول اللزوجة بالتعاون مع لورانس إيفانز . ^[CEL84] باستخدام كمية الحد الأدنى والحد الأقصى، درس ليونز وجان ميشيل لاسري تنعيم الدوال على فضاء هيلبرت مع الحفاظ على الظواهر التحليلية. ^[LL86] وتُطبّق تقريباتهما بشكل طبيعي على معادلات هاميلتون-جاكوبي، من خلال تنظيم الحلول الفرعية أو الفائقة. وباستخدام هذه التقنيات، وسّع كراندال وليونز تحليلهما لمعادلات هاميلتون-جاكوبي ليشمل الحالة اللانهائية الأبعاد، مُثبتين مبدأ المقارنة ونظرية التفرد المقابلة. ^[CL85]

قام كراندال وليونز بدراسة التحليل العددي لحلول اللزوجة الخاصة بهما، وأثبتا نتائج التقارب لكل من مخطط الفروق المحدودة واللزوجة الاصطناعية . ^[CL84]

إن مبدأ المقارنة الذي يقوم عليه مفهوم كراندال وليونز لحل اللزوجة يجعل تعريفهم قابلاً للتطبيق بشكل طبيعي على المعادلات التفاضلية الجزئية الإهليلجية من الرتبة الثانية ، وذلك بالنظر إلى مبدأ القيمة القصوى . ^{[ 19 ] [IL90]} وقد أصبحت المقالة الاستقصائية التي كتبها كراندال وإيشي وليونز حول حلول اللزوجة لمثل هذه المعادلات مرجعًا أساسيًا. ^[CIL92]

ساهم ليونز، بالتعاون مع جان ميشيل لاسري، في تطوير نظرية الألعاب ذات المجال المتوسط . ^[LL07]