نقطة في اللانهاية

في الهندسة ، النقطة عند اللانهاية أو النقطة المثالية هي نقطة حدية مثالية عند "نهاية" كل خط.

في حالة المستوى الأفيني (بما في ذلك المستوى الإقليدي )، توجد نقطة مثالية واحدة لكل حزمة من الخطوط المتوازية في المستوى. يؤدي تجاور هذه النقاط إلى إنتاج مستوى إسقاطي ، لا يمكن فيه تمييز أي نقطة، إذا "نسينا" النقاط التي أُضيفت. ينطبق هذا على أي هندسة فوق أي حقل ، وبشكل أعم على أي حلقة قسمة . ^{[ 1 ]}

في الواقع، تُكمل نقطة عند اللانهاية خطًا مستقيمًا ليُصبح منحنى مغلقًا طوبولوجيًا. في الأبعاد الأعلى، تُشكّل جميع النقاط عند اللانهاية فضاءً إسقاطيًا فرعيًا أقل بُعدًا واحدًا من بُعد الفضاء الإسقاطي الكامل الذي تنتمي إليه. يُمكن أيضًا إضافة نقطة عند اللانهاية إلى الخط المركب (الذي يُمكن اعتباره المستوى المركب)، مما يُحوّله إلى سطح مغلق يُعرف بالخط الإسقاطي المركب، C P ¹ ، ويُسمى أيضًا كرة ريمان (عند تعيين الأعداد المركبة لكل نقطة).

في حالة الفضاء الزائدي ، يمتلك كل خط نقطتين مثاليتين متميزتين . هنا، تأخذ مجموعة النقاط المثالية شكل سطح تربيعي .

في الفضاء الأفيني أو الإقليدي ذي الأبعاد الأعلى، تُسمى النقاط عند اللانهاية بالنقاط التي تُضاف إلى الفضاء للحصول على الإكمال الإسقاطي . وتُسمى مجموعة النقاط عند اللانهاية، تبعًا لبُعد الفضاء، إما الخط عند اللانهاية ، أو المستوى عند اللانهاية، أو المستوى الفائق عند اللانهاية ، وفي جميع الحالات فضاءً إسقاطيًا ذا بُعد أقل بواحد. ^{[ 2 ]}

بما أن الفضاء الإسقاطي فوق حقل ما هو تنوع جبري أملس ، فإن الأمر نفسه ينطبق على مجموعة النقاط عند اللانهاية. وبالمثل، إذا كان الحقل الأساسي هو الحقل الحقيقي أو الحقل المركب، فإن مجموعة النقاط عند اللانهاية تكون متعددة الشعب .

في الهندسة الزائدية ، تسمى النقاط عند اللانهاية عادةً بالنقاط المثالية . ^{[ 4 ]} على عكس الهندسة الإقليدية والقطع الناقص ، لكل خط نقطتان عند اللانهاية: بالنظر إلى خط l ونقطة P ليست على l ، فإن الخطوط المتوازية المحددة من اليمين واليسار تتقارب بشكل مقارب إلى نقاط مختلفة عند اللانهاية.

تشكل جميع النقاط عند اللانهاية معًا المطلق كايلي أو حدود المستوى الزائدي .

ينشأ تناظر بين النقاط والخطوط في المستوى الإسقاطي: فكما يحدد زوج من النقاط خطًا، يحدد زوج من الخطوط نقطة. ويؤدي وجود خطوط متوازية إلى تحديد نقطة في اللانهاية تمثل تقاطع هذه الخطوط المتوازية. وقد نشأ هذا التناظر البديهي من دراسة المنظور البياني ، حيث ينشأ الإسقاط المتوازي كإسقاط مركزي مركزه C نقطة في اللانهاية، أو نقطة تصويرية . ^{[ 5 ]} يُطلق على التناظر البديهي بين النقاط والخطوط اسم الازدواجية .

على الرغم من أن النقطة في اللانهاية تُعتبر مساوية لأي نقطة أخرى في المدى الإسقاطي ، إلا أنه في تمثيل النقاط ذات الإحداثيات الإسقاطية ، يُلاحظ تمييز: تُمثل النقاط المحدودة بالرقم 1 في الإحداثي الأخير، بينما تُمثل النقطة في اللانهاية بالرقم 0. يتطلب تمثيل النقاط في اللانهاية إحداثيًا إضافيًا واحدًا يتجاوز ما هو مطلوب لفضاء النقاط المحدودة.

يمكن تعميم هذا البناء على الفضاءات الطوبولوجية . قد توجد تكثيفات مختلفة لفضاء معين، لكن أي فضاء طوبولوجي يقبل امتداد ألكساندروف ، والذي يُسمى أيضًا تكثيف النقطة الواحدة عندما لا يكون الفضاء الأصلي مضغوطًا . الخط الإسقاطي (على أي حقل) هو امتداد ألكساندروف للحقل المقابل. بالتالي، الدائرة هي تكثيف النقطة الواحدة للخط الحقيقي ، والكرة هي تكثيف النقطة الواحدة للمستوى. الفضاءات الإسقاطية P  n ، حيث n  >  1، ليست تكثيفات نقطة واحدة للفضاءات الأفينية المقابلة للسبب المذكور أعلاه في قسم الهندسة  الأفينية ، كما أن إكمال الفضاءات الزائدية بنقاط مثالية ليس تكثيفات نقطة واحدة أيضًا.

• القسمة على صفر
• كرة في اللانهاية
• نقطة المنتصف §  التعميمات
• المنحنيات الجبرية §  خطوط التقارب