معادلة هاجن-بوازوي

في ديناميكا الموائع ، تُعرف معادلة هاجن- بوازوي ، أو قانون بوازوي ، أو معادلة بوازوي ، بأنها قانون فيزيائي يُحدد انخفاض الضغط في مائع غير قابل للانضغاط ونيوتوني يتدفق في تدفق صفائحي عبر أنبوب أسطواني طويل ذي مقطع عرضي ثابت. ويمكن تطبيقها بنجاح على تدفق الهواء في المسالك الهوائية للرئتين ، أو التدفق عبر قشة شرب أو إبرة تحت الجلد . وقد اشتقها تجريبياً بشكل مستقل كل من جان ليونارد ماري بوازوي عام 1838 ^[¹^] وغوتليف هاينريش لودفيج هاجن ^[²^] ، ونُشرت بواسطة هاجن عام 1839 ^[¹^] ، ثم بواسطة بوازوي في عامي 1840-1841 و1846 ^[¹^]. أما التبرير النظري لقانون بوازوي فقد قدمه جورج ستوكس عام 1845 ^[³^].

تفترض المعادلة أن المائع غير قابل للانضغاط ونيوتوني ؛ وأن التدفق يكون انسيابيًا عبر أنبوب ذي مقطع عرضي دائري ثابت أطول بكثير من قطره؛ وأنه لا يوجد تسارع للمائع داخل الأنبوب. عند تجاوز السرعات وأقطار الأنابيب حدًا معينًا، لا يكون تدفق المائع انسيابيًا بل مضطربًا ، مما يؤدي إلى انخفاضات ضغط أكبر مما تحسبه معادلة هاجن-بوازوي.

تصف معادلة بوازوي انخفاض الضغط الناتج عن لزوجة السائل؛ وقد تحدث أنواع أخرى من انخفاض الضغط في السائل (انظر عرضًا توضيحيًا هنا). ^{[ 4 ]} على سبيل المثال، يتضمن الضغط اللازم لدفع سائل لزج عكس الجاذبية كلاً من الضغط المطلوب في قانون بوازوي والضغط المطلوب في معادلة برنولي ، بحيث يكون الضغط في أي نقطة من التدفق أكبر من الصفر (وإلا لما حدث تدفق).

مثال آخر هو عندما يتدفق الدم في ممر ضيق ، ستكون سرعته أكبر منها في ممر أوسع (بسبب استمرارية معدل التدفق الحجمي )، وسيكون ضغطه أقل منه في ممر أوسع ^{[ 4 ]} (بسبب معادلة برنولي). مع ذلك، ستؤدي لزوجة الدم إلى انخفاض إضافي في الضغط على طول اتجاه التدفق، وهو ما يتناسب مع المسافة المقطوعة ^{[ 4 ]} (وفقًا لقانون بوازوي). يساهم كلا التأثيرين في الانخفاض الفعلي للضغط.

معادلة

في تدوين حركية الموائع القياسي: ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}^{[ 7 ]}

\Delta p={\frac {8\mu LQ}{\pi R^{4}}}={\frac {8\pi \mu LQ}{A^{2}}},

أين

Δp

هو فرق الضغط بين الطرفين

،

L

هو طول الأنبوب،

μ

هي اللزوجة الديناميكية ،

Q

هو معدل التدفق الحجمي ،

R

هو نصف قطر الأنبوب،

A

هي مساحة المقطع العرضي للأنبوب.

لا تنطبق المعادلة بالقرب من مدخل الأنبوب. ^{[ 8 ]}^{: 3}

تفشل المعادلة في حالة اللزوجة المنخفضة، أو الأنابيب العريضة و/أو القصيرة. قد تؤدي اللزوجة المنخفضة أو الأنابيب العريضة إلى تدفق مضطرب، مما يستدعي استخدام نماذج أكثر تعقيدًا، مثل معادلة دارسي-وايزباخ . يجب أن تكون نسبة طول الأنبوب إلى نصف قطره أكبر من 1/48 من عدد رينولدز حتى يكون قانون هاجن-بوازوي صالحًا. ^{[ 9 ]} إذا كان الأنبوب قصيرًا جدًا، فقد تؤدي معادلة هاجن-بوازوي إلى معدلات تدفق عالية بشكل غير منطقي؛ ويُحدّ التدفق بمبدأ برنولي ، وفي ظل ظروف أقل تقييدًا، بـ

\begin{aligned}\Delta p=\frac {1}{2}}\rho {\overline {v}}_{\text{max}}^{2}&=\frac {1}{2}}\rho \left(\frac {Q_{\text{max}}}{\pi R^{2}}}\right)^{2}\\\Rightarrow \quad Q_{\max }{}&=\pi R^{2}{\sqrt {\frac {2\Delta p}{\rho }}},\end{aligned}}}

لأنه من المستحيل أن يكون هناك ضغط سلبي (مطلق) (لا يجب الخلط بينه وبين ضغط القياس ) في تدفق غير قابل للانضغاط.

العلاقة بمعادلة دارسي-وايزباخ

عادةً، لا يقتصر تدفق هاجن-بوازوي على العلاقة المذكورة أعلاه لانخفاض الضغط فحسب، بل يشمل أيضًا الحل الكامل لملف تعريف التدفق الصفائحي، وهو شكل مكافئ. مع ذلك، يمكن تعميم نتيجة انخفاض الضغط على التدفق المضطرب باستنتاج لزوجة اضطراب فعّالة في حالة التدفق المضطرب، على الرغم من أن ملف تعريف التدفق في التدفق المضطرب ليس مكافئًا بالمعنى الدقيق للكلمة. في كلتا الحالتين، سواء كان التدفق صفائحيًا أو مضطربًا، يرتبط انخفاض الضغط بالإجهاد عند الجدار، والذي يحدد ما يُسمى بمعامل الاحتكاك. يمكن تحديد إجهاد الجدار ظاهريًا باستخدام معادلة دارسي-وايزباخ في مجال الهيدروليكا ، بمعلومية علاقة معامل الاحتكاك بدلالة عدد رينولدز. في حالة التدفق الصفائحي، بالنسبة لمقطع عرضي دائري:

\Lambda ={\frac {64}{\mathrm {Re} }},\quad \mathrm {Re} ={\frac {\rho vd}{\mu }},

حيث $Re$ هو عدد رينولدز ، $وρ$ هي كثافة المائع، و $v$ هي متوسط سرعة التدفق، والتي تساوي نصف أقصى سرعة تدفق في حالة التدفق الصفائحي. من المفيد تعريف عدد رينولدز بدلالة متوسط سرعة التدفق، لأن هذه الكمية تظل محددة بدقة حتى في حالة التدفق المضطرب، بينما قد لا تكون أقصى سرعة تدفق محددة بدقة، أو قد يصعب استنتاجها على أي حال. بهذا الشكل، يُقارب القانون معامل احتكاك دارسي ، ومعامل فقد الطاقة (الضغط) ، ومعامل فقد الاحتكاك ، أو معامل دارسي (الاحتكاك) $Λ$ في التدفق الصفائحي عند السرعات المنخفضة جدًا في الأنابيب الأسطوانية. وقد تم الاشتقاق النظري لشكل مختلف قليلاً من القانون بشكل مستقل من قبل ويدمان في عام 1856، ونيومان وإي. هاجنباخ في عامي 1858 (1859، 1860). كان هاجنباخ أول من أطلق على هذا القانون اسم قانون بويزوي.

يُعد القانون مهمًا جدًا أيضًا في علم جريان الدم وديناميكا الدم ، وكلاهما من مجالات علم وظائف الأعضاء . ^{[ 10 ]}

تم توسيع قانون بوازوي لاحقًا في عام 1891 ليشمل التدفق المضطرب بواسطة إل. آر. ويلبرفورس، استنادًا إلى عمل هاجنباخ.

الاشتقاق

يمكن اشتقاق معادلة هاجن-بوازوي من معادلات نافيير-ستوكس . يُعرف التدفق الصفائحي عبر أنبوب ذي مقطع عرضي منتظم (دائري) بتدفق هاجن-بوازوي. ويمكن اشتقاق المعادلات التي تحكم تدفق هاجن-بوازوي مباشرةً من معادلات نافيير-ستوكس للزخم في إحداثيات أسطوانية ثلاثية الأبعاد $(r ، θ ، x)$ بافتراض مجموعة الافتراضات التالية:

التدفق ثابت ( $⁠ \partial... / \partial t ⁠ = 0$ ).
المكونات الشعاعية والسمتية لسرعة السائل تساوي صفرًا ( $u r = u θ = 0$ ).
التدفق متناظر محوريًا ( $⁠$ $\partial...$ $/$ $\partial$ $θ$ $⁠$ $= 0$ ).
$يكون$ التدفق متطوراً بالكامل ( $\partialux$ $/$ $\partialx$ $=$ $0$ $) . ومع ذلك، يمكن إثبات ذلك هنا من خلال$ $قانون$ حفظ الكتلة، والافتراضات المذكورة أعلاه $.$

$عندئذٍ ،$ تتحقق معادلة الزاوية في معادلات الزخم ومعادلة الاستمرارية بشكل $متطابق. وتُختزل معادلة الزخم القطري إلى \partialp/$ $\partialr$ $=$ $0$ $،$ $أي$ أن $الضغط$ p $دالة$ في الإحداثي المحوري $x$ فقط. وللاختصار، استخدم $u$ بدلاً من $u_{x}$ تُختزل معادلة الزخم المحوري إلى

{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)={\frac {1}{\mu }}{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}

حيث $μ$ هي اللزوجة الديناميكية للسائل. في المعادلة أعلاه، الطرف الأيسر دالة لـ $r$ فقط ، والطرف الأيمن دالة لـ $x$ فقط ، مما يعني أن كلا الطرفين يجب أن يكونا ثابتًا واحدًا. حساب هذا الثابت بسيط. إذا اعتبرنا طول الأنبوب $L$ ، ورمزنا لفرق الضغط بين طرفي الأنبوب بـ $Δp$ $($ الضغط العالي ناقص الضغط المنخفض)، فإن الثابت هو ببساطة

-{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}={\frac {\Delta p}{L}}=G

معرفة بحيث تكون $G$ موجبة. الحل هو

u=-{\frac {Gr^{2}}{4\mu }}+c_{1}\ln r+c_{2}

بما أن قيمة $u$ يجب أن تكون محدودة عند $r = 0$ ، $فإن c₁$ $= 0. ويتطلب$ شرط عدم الانزلاق عند جدار الأنبوب أن تكون $u = 0$ عند $r = R$ (نصف قطر الأنبوب)، مما ينتج عنه $c₂ = ⁠ GR² / 4μ ⁠ . وبالتالي ،$ نحصل في النهاية على شكل $منحنى$ السرعة المكافئ التالي :

u={\frac {G}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right).

تحدث أقصى سرعة عند محور الأنبوب ( $r = 0$ )، $u max = ⁠ GR 2 / 4 μ ⁠$ . ويمكن الحصول على متوسط السرعة عن طريق التكامل على المقطع العرضي للأنبوب .

{u} _ {\mathrm {avg}}={\frac {1}{\pi R^{2}}}\int _{0}^{R}2\pi ru\mathrm {d} r={\tfrac {1}{2}}{u} _ {\mathrm {max} }.

الكمية التي يسهل قياسها في التجارب هي معدل التدفق الحجمي $Q = π R² u avg$ . وبإعادة ترتيب هذه المعادلة نحصل على معادلة هاجن-بوازوي $.$

\Delta p={\frac {8\mu QL}{\pi R^{4}}}.

اشتقاق مفصل يبدأ مباشرة من المبادئ الأولى

على الرغم من أن طريقة اشتقاق معادلة هاجن-بوازوي البديلة أطول من استخدام معادلات نافيير-ستوكس مباشرة، إلا أنها كما يلي.

تدفق السائل عبر أنبوب

لنفترض أن السائل يتدفق بشكل صفائحي . يُشير التدفق الصفائحي في أنبوب دائري إلى وجود طبقات دائرية (صفائح) من السائل، لكل منها سرعة محددة فقط بمسافتها القطرية من مركز الأنبوب. ولنفترض أيضًا أن المركز يتحرك بأقصى سرعة بينما يكون السائل الملامس لجدران الأنبوب ساكنًا (بسبب شرط عدم الانزلاق ).

لمعرفة حركة السائل، يجب معرفة جميع القوى المؤثرة على كل طبقة:

قوة الضغط التي تدفع السائل عبر الأنبوب هي التغير في الضغط مضروبًا في المساحة: $F = - A Δ p$ . هذه القوة في اتجاه حركة السائل. تأتي الإشارة السالبة من التعريف التقليدي لـ $Δ p = p end - p top < 0$ .
ستؤدي تأثيرات اللزوجة إلى سحب الطبقة الأسرع مباشرة إلى مركز الأنبوب.
ستؤدي تأثيرات اللزوجة إلى سحب الطبقة الأبطأ مباشرة إلى جدران الأنبوب.

اللزوجة

سائلان يتحركان متجاورين في اتجاه المحور $السيني$ . السائل العلوي يتحرك بسرعة أكبر، وسيُسحب في الاتجاه السالب بواسطة السائل السفلي، بينما سيُسحب السائل السفلي في الاتجاه الموجب بواسطة السائل العلوي.

عندما تتحرك طبقتان من السائل المتلامس بسرعات مختلفة، تنشأ بينهما قوة قص . تتناسب هذه القوة طرديًا مع مساحة التلامس $A$ ، وتدرج السرعة العمودي على اتجاه التدفق $Δvx$ $/$ $Δy$ $، وثابت التناسب (اللزوجة$ $)$ $،$ وتُعطى بالعلاقة $التالية$ $:$

F_{\text{viscosity, top}}=-\mu A{\frac {\Delta v_{x}}{\Delta y}}.

الإشارة السالبة موجودة لأننا نهتم بالسائل الأسرع حركةً (أعلى الشكل)، والذي يتباطأ بفعل السائل الأبطأ (أسفل الشكل). وبحسب قانون نيوتن الثالث للحركة ، فإن القوة المؤثرة على السائل الأبطأ تساوي وتعاكس (بدون إشارة سالبة) القوة المؤثرة على السائل الأسرع. تفترض هذه المعادلة أن مساحة التلامس كبيرة جدًا بحيث يمكننا تجاهل أي تأثيرات من الحواف، وأن السوائل تتصرف كسوائل نيوتونية .

صفيحة أسرع

لنفترض أننا نحسب القوة المؤثرة على الصفيحة ذات نصف القطر $r$ . من المعادلة أعلاه، نحتاج إلى معرفة مساحة التلامس وتدرج السرعة . تخيل الصفيحة كحلقة نصف قطرها $r$ ، وسماكتها $dr$ ، وطولها $Δx$ . مساحة التلامس بين الصفيحة والصفيحة الأسرع هي ببساطة مساحة سطح الأسطوانة: $A = 2πr²Δx .$ لا نعرف الصيغة الدقيقة لسرعة السائل داخل الأنبوب بعد، لكننا نعلم (من افتراضنا أعلاه) أنها تعتمد على نصف القطر. لذلك، فإن تدرج السرعة هو تغير $السرعة$ بالنسبة لتغير نصف القطر عند تقاطع هاتين الصفيحتين. يقع هذا التقاطع عند نصف قطر $r$ $.$ لذا، بالنظر إلى أن هذه القوة ستكون موجبة بالنسبة لحركة السائل (لكن مشتقة السرعة سالبة)، تصبح الصيغة النهائية للمعادلة كما يلي:

F_{\text{viscosity, fast}}=-2\pi r\mu \,\Delta x\,\left.{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} r}}\right|_{r}

حيث يشير الخط العمودي والرمز السفلي $r$ الذي يلي المشتقة إلى أنه يجب أخذها عند نصف قطر $r$ .

الصفيحة الأبطأ

لننتقل الآن إلى إيجاد قوة السحب الناتجة عن الصفيحة الأبطأ. نحتاج إلى حساب القيم نفسها التي استخدمناها لحساب قوة السحب الناتجة عن الصفيحة الأسرع. في هذه الحالة، تقع مساحة التلامس عند $r + dr بدلاً$ من $r$ . يجب أن نتذكر أيضاً أن هذه القوة تعاكس اتجاه حركة السائل، وبالتالي ستكون سالبة (وأن مشتقة السرعة سالبة).

F_{\text{اللزوجة، البطيئة}}=2\pi (r+\mathrm {d} r)\mu \,\Delta x\left.{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} r}}\right|_{r+\mathrm {d} r}

وضع كل شيء معًا

لإيجاد حل لتدفق طبقة انسيابية عبر أنبوب، نحتاج إلى افتراض أخير. لا يوجد تسارع للسائل في الأنبوب، وبحسب قانون نيوتن الأول ، لا توجد قوة محصلة. إذا لم تكن هناك قوة محصلة، فيمكننا جمع كل القوى معًا لنحصل على صفر.

0=F_{\text{pressure}}+F_{\text{viscosity, fast}}+F_{\text{viscosity, slow}}

أو

0=-\Delta p2\pi r\,\mathrm {d} r-2\pi r\mu \,\Delta x\left.{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} r}}\right|_{r}+2\pi (r+\mathrm {d} r)\mu \,\Delta x\,\left.{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} r}}\right\vert _{r+\mathrm {d} r}.

أولاً، لجعل كل شيء يحدث في نفس النقطة، استخدم الحدين الأولين من متسلسلة تايلور لتوسيع تدرج السرعة:

\begin{displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} r}}\right|_{r+\mathrm {d} r}=\left.{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} r}}\right|_{r}+\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}v}{\mathrm {d} r^{2}}}\right|_{r}\,\mathrm {d} r.}

هذا التعبير صالح لجميع الصفائح. يتم تجميع الحدود المتشابهة وحذف الخط العمودي لأن جميع المشتقات تفترض عند نصف القطر $r$ .

0=-\Delta p2\pi r\,\mathrm {d} r+2\pi \mu \,\mathrm {d} r\,\Delta x{\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} r}}+2\pi r\mu \,\mathrm {d} r\,\Delta x{\frac {\mathrm {d} ^ {2} v}{\mathrm {d} r^{2}}}+2\pi \mu (\mathrm {d} r)^{2}\,\Delta x{\frac {\mathrm {d} ^{2}v}{\mathrm {d} r^{2}}}.

وأخيرًا، ضع هذا التعبير في شكل معادلة تفاضلية ، مع حذف الحد التربيعي في $dr$ .

{\frac {1} {\mu}} {\frac {\Delta p} {\Delta x}} = {\frac {\mathrm {d} ^ {2}v} {\mathrm {d} r ^ {2}}} + {\frac {1} {r}} {\frac {\mathrm {d} v} {\mathrm {d} r}}

المعادلة أعلاه هي نفسها المعادلة التي تم الحصول عليها من معادلات نافيير-ستوكس، والاشتقاق من هنا فصاعدًا يتبع كما كان من قبل.

بدء تدفق بويزوي في أنبوب

عند تطبيق تدرج ضغط ثابت $G = - ⁠ d p / d x ⁠$ بين طرفي أنبوب طويل، فإن التدفق لا يتخذ شكل بوازوي مباشرةً، بل يتطور بمرور الوقت ويصل إلى شكل بوازوي عند حالة الاستقرار. وتُختزل معادلات نافيير-ستوكس إلى

{\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {G}{\rho }}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)

مع الشروط الابتدائية والحدودية،

u(r,0)=0,\quad u(R,t)=0.

يُعطى توزيع السرعة بواسطة

u(r,t)={\frac {G}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right)-{\frac {2GR^{2}}{\mu }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\lambda _{n}^{3}}}{\frac {J_{0}(\lambda _{n}r/R)}{J_{1}(\lambda _{n})}}e^{-\lambda _{n}^{2}\nu t/R^{2}},\quad J_{0}\left(\lambda _{n}\right)=0

حيث $J₀ (λₙr / R)$ هي دالة بيسل من النوع الأول من الرتبة الصفرية، و $λₙ$ $هي$ الجذور الموجبة لهذه الدالة، و $J₁$ $($ $λₙ$ $)$ $هي$ $دالة$ بيسل من النوع الأول $من$ $الرتبة$ $الأولى$ . وعندما $t \to \infty$ $،$ $يتم$ استعادة حل بوازوي. ^{[ 11 ]}

تدفق بويزوي في مقطع حلقي

إذا كان $R1$ $هو$ نصف قطر الأسطوانة الداخلية و $R2$ هو نصف قطر الأسطوانة الخارجية، مع تدرج ضغط ثابت مطبق بين الطرفين $G = - ⁠ d p / d x ⁠$ $، فإن$ توزيع السرعة وتدفق الحجم عبر الأنبوب الحلقي هما

{\begin{aligned}u(r)&={\frac {G}{4\mu }}\left(R_{1}^{2}-r^{2}\right)+{\frac {G}{4\mu }}\left(R_{2}^{2}-R_{1}^{2}\right){\frac {\ln(r/R_{1})}{\ln(R_{2}/R_{1})}},\\[6pt]Q&={\frac {G\pi }{8\mu }}\left[R_{2}^{4}-R_{1}^{4}-{\frac {\left(R_{2}^{2}-R_{1}^{2}\right)^{2}}{\ln(R_{2}/R_{1})}}\right].\end{aligned}}

عندما $R 2 = R$ و $R 1$ تقترب من الصفر، يتم استعادة المشكلة الأصلية. ^{[ 12 ]}

تدفق بويزوي في أنبوب مع تدرج ضغط متذبذب

يُستخدم تدفق السوائل عبر الأنابيب مع تدرج ضغط متذبذب في دراسة تدفق الدم عبر الشرايين الكبيرة. ^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}^{[ 15 ]}^{[ 16 ]} ويُعطى تدرج الضغط المفروض بالعلاقة التالية:

{\frac {\partial p}{\partial x}}=-G-\alpha \cos \omega t-\beta \sin \omega t

حيث $G$ و $α$ و $β$ ثوابت، و $ω$ هو التردد. يُعطى حقل السرعة بالعلاقة التالية:

u(r,t)={\frac {G}{4\mu }}\left(R^{2}-r^{2}\right)+[\alpha F_{2}+\beta (F_{1}-1)]{\frac {\cos \omega t}{\rho \omega }}+[\beta F_{2}-\alpha (F_{1}-1)]{\frac {\sin \omega t}{\rho \omega }}

أين

{\begin{aligned}F_{1}(kr)&={\frac {\mathrm {ber} (kr)\mathrm {ber} (kR)+\mathrm {bei} (kr)\mathrm {bei} (kR)}{\mathrm {ber} ^{2}(kR)+\mathrm {bei} ^{2}(kR)}},\\[6pt]F_{2}(kr)&={\frac {\mathrm {ber} (kr)\mathrm {bei} (kR)-\mathrm {bei} (kr)\mathrm {ber} (kR)}{\mathrm {ber} ^{2}(kR)+\mathrm {bei} ^{2}(kR)}},\end{aligned}}

حيث أن $ber$ و $bei$ هما دالتا كلفن و $k 2 = ⁠ ρω / μ ⁠$ .

تدفق طائرة بويزوي

يُعرف تدفق بويزوي المستوي بأنه التدفق الذي ينشأ بين لوحين متوازيين لانهائيي الطول، يفصل بينهما مسافة $h،$ مع تطبيق تدرج ضغط ثابت $G = - ⁠ d p / d x ⁠$ في اتجاه التدفق. ويكون التدفق أحادي الاتجاه بشكل أساسي نظرًا للطول اللانهائي. وتُختزل معادلات نافيير-ستوكس إلى

{\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} y^{2}}}=-{\frac {G}{\mu }}

مع وجود سطح مانع للانزلاق على كلا الجدارين

u(0)=0,\quad u(h)=0

وبالتالي، فإن توزيع السرعة ومعدل التدفق الحجمي لكل وحدة طول هما

u(y)={\frac {G}{2\mu }}y(h-y),\quad Q={\frac {Gh^{3}}{12\mu }}.

يتدفق بويزوي عبر بعض المقاطع العرضية غير الدائرية

استنتج جوزيف بوسينسك منحنى السرعة ومعدل التدفق الحجمي عام 1868 للقنوات المستطيلة والأنابيب ذات المقطع العرضي المثلثي متساوي الأضلاع، وكذلك للأنابيب ذات المقطع العرضي الإهليلجي. ^{[ 17 ]} واستنتج جوزيف براودمان نفس المنحنى للمثلثات متساوية الساقين عام 1914. ^{[ 18 ]} ليكن $G = - ⁠ d p / d x ⁠$ هو تدرج الضغط الثابت المؤثر في اتجاه موازٍ للحركة.

السرعة ومعدل التدفق الحجمي في قناة مستطيلة ارتفاعها $0 \leq y \leq h$ وعرضها $0 \leq z \leq l$ هما

{\begin{aligned}u(y,z)&={\frac {G}{2\mu }}y(h-y)-{\frac {4Gh^{2}}{\mu \pi ^{3}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n-1)^{3}}}{\frac {\sinh(\beta _{n}z)+\sinh[\beta _{n}(l-z)]}{\sinh(\beta _{n}l)}}\sin(\beta _{n}y),\quad \beta _{n}={\frac {(2n-1)\pi }{h}},\\[6pt]Q&={\frac {Gh^{3}l}{12\mu }}-{\frac {16Gh^{4}}{\pi ^{5}\mu }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n-1)^{5}}}{\frac {\cosh(\beta _{n}l)-1}{\sinh(\beta _{n}l)}}.\end{aligned}}

سرعة التدفق ومعدل تدفق الحجم لأنبوب ذي مقطع عرضي مثلث متساوي $الأضلاع$ $طول$ $ضلعه$ $2h$ $/$ $\sqrt3$ $هما$

{\begin{aligned}u(y,z)&=-{\frac {G}{4\mu h}}(y-h)\left(y^{2}-3z^{2}\right),\\[6pt]Q&={\frac {Gh^{4}}{60{\sqrt {3}}\mu }}.\end{aligned}}

السرعة ومعدل تدفق الحجم في المثلث القائم الزاوية متساوي الساقين $y = π$ ، $y \pm z = 0$ هما

{\begin{aligned}u(y,z)&={\frac {G}{2\mu }}(y+z)(\pi -y)-{\frac {G}{\pi \mu }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\beta _{n}^{3}\sinh(2\pi \beta _{n})}}\left\{\sinh[\beta _{n}(2\pi -y+z)]\sin[\beta _{n}(y+z)]-\sinh[\beta _{n}(y+z)]\sin[\beta _{n}(y-z)]\right\},\quad \beta _{n}=n+{\tfrac {1}{2}},\\[6pt]Q&={\frac {G\pi ^{4}}{12\mu }}-{\frac {G}{2\pi \mu }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{\beta _{n}^{5}}}\left[\coth(2\pi \beta _{n})+\csc(2\pi \beta _{n})\right].\end{aligned}}

توزيع السرعة للأنابيب ذات المقطع العرضي الإهليلجي مع المحاور النصفية $a$ و $b$ هو ^{[ 11 ]}

{\begin{aligned}u(y,z)&={\frac {G}{2\mu \left({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}\right)}}\left(1-{\frac {y^{2}}{a^{2}}}-{\frac {z^{2}}{b^{2}}}\right),\\[6pt]Q&={\frac {\pi Ga^{3}b^{3}}{4\mu \left(a^{2}+b^{2}\right)}}.\end{aligned}}

هنا، عندما يكون $a = b$ ، يُستعاد تدفق بويزوي لأنبوب دائري، وعندما يؤول $a إلى اللانهاية$ ، يُستعاد تدفق بويزوي المستوي . كما تتوفر حلول أكثر وضوحًا بمقاطع عرضية مثل المقاطع الحلزونية، والمقاطع التي تأخذ شكل دائرة مشقوقة تتبع نصف دائرة، والمقاطع الحلقية بين أشكال بيضاوية متماثلة البؤرة، والمقاطع الحلقية بين دوائر غير متحدة المركز، كما استعرضها راتيب بيركر . ^{[ 19 ]}^{[ 20 ]}

تدفق بويزوي عبر مقطع عرضي عشوائي

يخضع التدفق عبر مقطع عرضي عشوائي $u (y, z)$ للشرط $u = 0$ على الجدران. وتُختزل المعادلة الحاكمة إلى ^{[ 21 ]}

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}=-{\frac {G}{\mu }}.

إذا أدخلنا متغيرًا تابعًا جديدًا على النحو التالي:

U=u+{\frac {G}{4\mu }}\left(y^{2}+z^{2}\right),

عندها يسهل ملاحظة أن المسألة تختزل إلى مسألة تكامل معادلة لابلاس

{\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}=0

استيفاء الشرط

U={\frac {G}{4\mu }}\left(y^{2}+z^{2}\right)

على الحائط.

معادلة بوازوي للغاز المثالي متساوي الحرارة

بالنسبة لسائل قابل للانضغاط في أنبوب، لا يكون معدل التدفق الحجمي $Q (x)$ والسرعة المحورية ثابتين على طول الأنبوب، بينما يكون معدل التدفق الكتلي ثابتًا على طول الأنبوب. يُعبر عن معدل التدفق الحجمي عادةً عند ضغط المخرج. عند انضغاط السائل أو تمدده، يُبذل شغل ويُسخن السائل أو يُبرد. هذا يعني أن معدل التدفق يعتمد على انتقال الحرارة من وإلى السائل. بالنسبة للغاز المثالي في الحالة متساوية الحرارة ، حيث يُسمح لدرجة حرارة السائل بالوصول إلى حالة التوازن مع محيطه، يمكن اشتقاق علاقة تقريبية لانخفاض الضغط. ^{[ 22 ]} باستخدام معادلة حالة الغاز المثالي لعملية درجة حرارة ثابتة (أي، $p/\rho$ (ثابت) وحفظ معدل تدفق الكتلة (أي، ${\dot {m}}=\rho Q$ $إذا كانت قيمة ثابتًا$ $،$ فيمكن الحصول على العلاقة $Qp = Q1p1 = Q2p2 . وعلى امتداد جزء قصير$ من الأنبوب، يمكن افتراض أن الغاز المتدفق عبر الأنبوب غير قابل للانضغاط، وبالتالي يمكن تطبيق قانون بوازوي محليًا $.$

-{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}={\frac {8\mu Q}{\pi R^{4}}}={\frac {8\mu Q_{2}p_{2}}{\pi pR^{4}}}\quad \Rightarrow \quad -p{\frac {\mathrm {d} p}{\mathrm {d} x}}={\frac {8\mu Q_{2}p_{2}}{\pi R^{4}}}.

افترضنا هنا أن تدرج الضغط المحلي ليس كبيرًا لدرجة لا تؤثر على الانضغاطية. ورغم تجاهلنا محليًا لتأثيرات تغير الضغط الناتج عن تغير الكثافة، إلا أن هذه التأثيرات تُؤخذ في الحسبان على مسافات طويلة. وبما أن $μ$ مستقل عن الضغط، يمكن تكامل المعادلة أعلاه على طول $L$ للحصول على

p_{1}^{2}-p_{2}^{2}={\frac {16\mu LQ_{2}p_{2}}{\pi R^{4}}}.

وبالتالي، يُعطى معدل التدفق الحجمي عند مخرج الأنبوب بالعلاقة التالية:

Q_{2}={\frac {\pi R^{4}}{16\mu L}}\left({\frac {p_{1}^{2}-p_{2}^{2}}{p_{2}}}\right)={\frac {\pi R^{4}\left(p_{1}-p_{2}\right)}{8\mu L}}{\frac {\left(p_{1}+p_{2}\right)}{2p_{2}}}.

يمكن اعتبار هذه المعادلة بمثابة قانون بوازوي مع عامل تصحيح إضافي $⁠$ $p$ $1$ $+$ $p$ $2$ $/$ $2$ $p$ $2$ $⁠$ يعبر عن متوسط الضغط بالنسبة لضغط المخرج.

تشبيه الدوائر الكهربائية

كان يُفهم الكهرباء في الأصل على أنها نوع من السوائل. ولا يزال هذا التشبيه الهيدروليكي مفيدًا من الناحية المفاهيمية لفهم الدوائر الكهربائية. ^{[ 23 ]} يُستخدم هذا التشبيه أيضًا لدراسة استجابة التردد للشبكات الميكانيكية السائلة باستخدام أدوات الدوائر، وفي هذه الحالة تُسمى شبكة السائل دائرة $هيدروليكية$ . يتوافق قانون بوازوي مع قانون أوم للدوائر الكهربائية، $V = IR .$ $بما أن$ $محصلة$ القوة المؤثرة على السائل تساوي $ΔF = S Δp$ ، حيث $S = πr² ،$ أي $ΔF =$ $πr²$ $ΔP$ $،$ فإنه من قانون بوازوي، $يتبين$ $أن$

\Delta F={\frac {8\mu LQ}{r^{2}}}

.

بالنسبة للدوائر الكهربائية، لنفترض أن $n$ هو تركيز الجسيمات المشحونة الحرة (بوحدة م⁻³ ⁾ ، ولنفترض أن $q *$ هي شحنة كل جسيم (بوحدة كولوم ). (بالنسبة للإلكترونات، $q * = e = 1.6 \times 10⁻¹⁹ كولوم$ .) إذن $،$ $nQ$ هو عدد الجسيمات في الحجم $Q$ ، و $nQq *$ هي شحنتها الكلية. هذه هي الشحنة التي تتدفق عبر المقطع العرضي لكل وحدة زمنية، أيالتيار I. $لذلك$ ، $I = nQq *$ . وبالتالي، $Q = I / nq * ، و$

\Delta F={\frac {8\mu LI}{nr^{2}q^{*}}}.

لكن $ΔF = Eq ،$ حيث $q$ هي الشحنة الكلية في حجم الأنبوب. حجم الأنبوب يساوي $πr²L ، لذا$ $فإن عدد الجسيمات$ $المشحونة في هذا$ $الحجم$ يساوي $nπr²L$ $،$ وشحنتها الكلية هي $q$ $=$ $nπr²Lq$ $*$ $.$ $وبما$ $أن$ الجهد $V$ = $EL$ $،$ $فإنه$ $يترتب$ $على$ ذلك

V={\frac {8\mu LI}{n^{2}\pi r^{4}\left(q^{*}\right)^{2}}}.

$هذا هو قانون$ أوم بالضبط، حيث تُوصف المقاومة $R = V / I بالصيغة$

R={\frac {8\mu L}{n^{2}\pi r^{4}\left(q^{*}\right)^{2}}}

.

يستنتج من ذلك أن المقاومة $R$ تتناسب طرديًا مع طول المقاومة $L ، وهذا صحيح. ومع ذلك، يستنتج أيضًا أن المقاومة$ $R$ تتناسب عكسيًا مع القوة الرابعة لنصف القطر $r$ ، أي أن المقاومة $R$ تتناسب عكسيًا مع القوة الثانية لمساحة المقطع العرضي $S = πr² للمقاومة ،$ وهو ما يختلف عن الصيغة الكهربائية. العلاقة الكهربائية للمقاومة هي

R={\frac {\rho L}{S}},

حيث $ρ$ هي المقاومة النوعية؛ أي أن المقاومة $R$ تتناسب عكسيًا مع مساحة المقطع العرضي $S$ للمقاوم. ^{[ 24 ]} والسبب في اختلاف صيغة المقاومة $R$ في قانون بوازوي هو الفرق بين تدفق المائع والتيار الكهربائي. غاز الإلكترونات غير لزج ، لذا فإن سرعته لا تعتمد على المسافة إلى جدران الموصل. تنشأ المقاومة من التفاعل بين الإلكترونات المتدفقة وذرات الموصل. لذلك، فإن قانون بوازوي والتشبيه الهيدروليكي مفيدان فقط ضمن حدود معينة عند تطبيقهما على الكهرباء. يوضح كل من قانون أوم وقانون بوازوي ظواهر النقل .

التطبيقات الطبية – الوصول الوريدي وتوصيل السوائل

تُعدّ معادلة هاجن-بوازوي مفيدةً في تحديد مقاومة الأوعية الدموية ، وبالتالي معدل تدفق السوائل الوريدية ، الذي يمكن تحقيقه باستخدام أحجام مختلفة من القنيات الطرفية والمركزية . تنصّ المعادلة على أن معدل التدفق يتناسب طرديًا مع نصف القطر مرفوعًا للأس الرابع، ما يعني أن زيادة طفيفة في القطر الداخلي للقنية تُؤدي إلى زيادة ملحوظة في معدل تدفق السوائل الوريدية. يُقاس نصف قطر القنيات الوريدية عادةً بوحدة "المقياس"، وهي تتناسب عكسيًا مع نصف القطر. تتوفر القنيات الوريدية الطرفية عادةً بأحجام (من الأكبر إلى الأصغر): 14G، 16G، 18G، 20G، 22G، 26G. على سبيل المثال، بافتراض تساوي أطوال القنيات، يكون تدفق قنية 14G أكبر بمقدار 1.73 مرة من تدفق قنية 16G، وأكبر بمقدار 4.16 مرة من تدفق قنية 20G. كما ينص على أن معدل التدفق يتناسب عكسيًا مع الطول، ما يعني أن الأنابيب الأطول تتميز بمعدلات تدفق أقل. من المهم تذكر ذلك، ففي حالات الطوارئ، يفضل العديد من الأطباء استخدام قسطرات أقصر وأكبر حجمًا مقارنةً بالقسطرات الأطول والأضيق. وعلى الرغم من أن هذا الأمر أقل أهمية سريريًا، إلا أنه يمكن استخدام زيادة التغير في الضغط ( $∆p$ $)$ - مثل ضغط كيس السائل، أو عصره، أو رفعه (مقارنةً بمستوى القنية) - لتسريع معدل التدفق. ومن المفيد أيضًا فهم أن السوائل اللزجة تتدفق ببطء (كما في نقل الدم ). ويمكن أيضًا فهم توصيل السوائل، مثل المضادات الحيوية أو المسكنات، بواسطة مضخة مطاطية باستخدام نموذج تدفق بويزوي.

انظر أيضاً

المراجع المذكورة

1 2 3 سوتيرا، سالفاتور ب.؛ سكالاك، ريتشارد (1993). "تاريخ قانون بوازوي". المراجعة السنوية لميكانيكا الموائع . 25 : 1-19 . Bibcode : 1993AnRFM..25....1S . doi : 10.1146/annurev.fl.25.010193.000245 .
^ زابو، استفان (1979). Geschichte der mechanischen Prinzipien und ihrer wichtigsten Anwendungen . بازل: دار بيركهاوزر.
↑ ستوكس، جي جي (1845). "حول نظريات الاحتكاك الداخلي للسوائل المتحركة، وتوازن وحركة المواد الصلبة المرنة". معاملات الجمعية الفلسفية في كامبريدج . 8 : 287-341 .
1 2 3 "الضغط" . hyperphysics.phy-astr.gsu.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 15-12-2019 .
↑ كيربي، بي جيه (2010). ميكانيكا الموائع على المستويين الميكروي والنانوي: النقل في الأجهزة الميكروفلويدية . نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-11903-0. OCLC 665837940 .
↑ بروس، هـ. (2007). الموائع الدقيقة النظرية .
↑ فيتزنر، ج. (1976). "بوازوي وقانونه" ( ملف PDF) . التخدير . 31 (2): 273-275 . doi : 10.1111/j.1365-2044.1976.tb11804.x . PMID 779509. S2CID 40607063. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 10 أغسطس 2017.
↑ فوغل، ستيفن (1981). الحياة في السوائل المتحركة: البيولوجيا الفيزيائية للتدفق . دار نشر بي دبليو إس كينت. رقم ISBN 0-87150-749-8.
↑ tec-science (2020-04-02). "تحليل الطاقة لقانون هاجن-بوازوي" . tec-science . تم الاسترجاع في 2020-05-07 .
↑ محددات مقاومة الأوعية الدموية .
1 2 باتشيلور، جورج كيث (2000). "مقدمة في ديناميكا الموائع" . مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-521-66396-0.
↑ روزنهيد، لويس، محرر. (1963). طبقات الحدود الصفائحية . مطبعة كلارندون.
^ سيكسل، ت. (1930). "لقد قام EG Richardson بتجميع "التأثير الحلقي"". Zeitschrift für Physik . 61 ( 5– 6): 349– 362. بيب كود : 1930ZPhy...61..349S . دوى : 10.1007 / BF01340631 . S2CID 119771908 .
^ لامبوسي، ص. (1952). "التذبذبات قوية لسائل غير قابل للضغط ولزج في أنبوب جامد وأفقي. احسب القوة المتجمدة". هيلف. فيز. اكتا . 25 : 371 - 386.
↑ وومرسلي، جيه آر (1955). "طريقة لحساب السرعة ومعدل التدفق والمقاومة اللزجة في الشرايين عندما يكون تدرج الضغط معروفًا" . مجلة علم وظائف الأعضاء . 127 (3): 553-563 . doi : 10.1113/jphysiol.1955.sp005276 . PMC 1365740. PMID 14368548 .
^ أوشيدا، س. (1956). “التدفق اللزج النابض المتراكب على الحركة الصفائحية الثابتة لسائل غير قابل للضغط في أنبوب دائري”. Zeitschrift für angewandte الرياضيات والفيزياء . 7 (5): 403– 422. بيب كود : 1956ZaMP ....7.....403U . دوى : 10.1007/BF01606327 . S2CID 123217023 .
^ بوسينسق، جوزيف (1868). "ذاكرة حول تأثير الرغوة في الحركات المنتظمة للسوائل". جي الرياضيات. تطبيق بيور . 13 (2): 377- 424.
↑ براودمان، ج. (1914). "ملاحظات حول حركة السوائل اللزجة في القنوات" . مجلة لندن وإدنبرة ودبلن الفلسفية ومجلة العلوم . 28 (163): 30-36 . doi : 10.1080/14786440708635179 .
^ بيركر، ر. (1963). "تكامل معادلات حركة المائع اللزج غير القابل للضغط" [ تكامل معادلات حركة المائع اللزج غير القابل للضغط ] . Handbuch دير فيزيك . المجلد. 3. ص 1 – 384.
↑ درازين، فيليب ج .؛ رايلي، نورمان (2006). معادلات نافيير-ستوكس: تصنيف التدفقات والحلول الدقيقة . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-68162-9.
↑ كورل، صموئيل نيوبي ؛ ديفيز، إتش جيه (1971). ديناميكا الموائع الحديثة . المجلد 1، التدفق غير القابل للانضغاط. فان نوستراند رينهولد.
↑ لاندو، إل دي ؛ ليفشيتز، إي إم (1987). ميكانيكا الموائع . دار بيرغامون للنشر. ص 55، المسألة 6. ISBN 0-08-033933-6.
↑ إيريكو، لاك؛ ماكاي، روث؛ أجايي، كولاولي؛ بالاشاندران، واماديفا (2014-04-01). "تقنيات الموائع الدقيقة المدفوعة بالضغط ذات التدفق المستمر لاختبارات التشخيص السريع" . أجهزة الاستشعار والمحولات . 170 : 1-18 .
↑ فوتيرر، سي.؛ وآخرون (2004). "نظام حقن وتحكم في التدفق للقنوات الدقيقة". مختبر على رقاقة . 4 (4): 351-356 . doi : 10.1039/B316729A . PMID 15269803 .

مراجع

سوتيرا، إس بي؛ سكالاك، آر. (1993). "تاريخ قانون بوازوي". المراجعة السنوية لميكانيكا الموائع . 25 : 1-19 . Bibcode : 1993AnRFM..25....1S . doi : 10.1146/annurev.fl.25.010193.000245 ..
بفيتزنر، ج. (1976). "بوازوي وقانونه". التخدير . المجلد 31، العدد 2 (نُشر في مارس 1976). الصفحات 273-275 . doi : 10.1111/j.1365-2044.1976.tb11804.x . PMID 779509 . .
بينيت، سي أو؛ مايرز، جيه إي (1962). الزخم والحرارة وانتقال الكتلة . ماكجرو هيل..

روابط خارجية

[hist-1] 1 2 3 سوتيرا، سالفاتور ب.؛ سكالاك، ريتشارد (1993). "تاريخ قانون بوازوي". المراجعة السنوية لميكانيكا الموائع . 25 : 1-19 . Bibcode : 1993AnRFM..25....1S . doi : 10.1146/annurev.fl.25.010193.000245 .

[2] زابو، استفان (1979). Geschichte der mechanischen Prinzipien und ihrer wichtigsten Anwendungen . بازل: دار بيركهاوزر.

[3] ستوكس، جي جي (1845). "حول نظريات الاحتكاك الداخلي للسوائل المتحركة، وتوازن وحركة المواد الصلبة المرنة". معاملات الجمعية الفلسفية في كامبريدج . 8 : 287-341 .

[:0-4] 1 2 3 "الضغط" . hyperphysics.phy-astr.gsu.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 15-12-2019 .

[Kirby-5] كيربي، بي جيه (2010). ميكانيكا الموائع على المستويين الميكروي والنانوي: النقل في الأجهزة الميكروفلويدية . نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-11903-0. OCLC 665837940 .

[Bruus-6] بروس، هـ. (2007). الموائع الدقيقة النظرية .

[7] فيتزنر، ج. (1976). "بوازوي وقانونه" ( ملف PDF) . التخدير . 31 (2): 273-275 . doi : 10.1111/j.1365-2044.1976.tb11804.x . PMID 779509. S2CID 40607063. مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 10 أغسطس 2017.

[8] فوغل، ستيفن (1981). الحياة في السوائل المتحركة: البيولوجيا الفيزيائية للتدفق . دار نشر بي دبليو إس كينت. رقم ISBN 0-87150-749-8.

[9] tec-science (2020-04-02). "تحليل الطاقة لقانون هاجن-بوازوي" . tec-science . تم الاسترجاع في 2020-05-07 .

[10] محددات مقاومة الأوعية الدموية .

[Batchelor,_George_Keith_2000-11] 1 2 باتشيلور، جورج كيث (2000). "مقدمة في ديناميكا الموائع" . مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-521-66396-0.

[12] روزنهيد، لويس، محرر. (1963). طبقات الحدود الصفائحية . مطبعة كلارندون.

[13] سيكسل، ت. (1930). "لقد قام EG Richardson بتجميع "التأثير الحلقي"". Zeitschrift für Physik . 61 ( 5– 6): 349– 362. بيب كود : 1930ZPhy...61..349S . دوى : 10.1007 / BF01340631 . S2CID 119771908 .

[14] لامبوسي، ص. (1952). "التذبذبات قوية لسائل غير قابل للضغط ولزج في أنبوب جامد وأفقي. احسب القوة المتجمدة". هيلف. فيز. اكتا . 25 : 371 - 386.

[15] وومرسلي، جيه آر (1955). "طريقة لحساب السرعة ومعدل التدفق والمقاومة اللزجة في الشرايين عندما يكون تدرج الضغط معروفًا" . مجلة علم وظائف الأعضاء . 127 (3): 553-563 . doi : 10.1113/jphysiol.1955.sp005276 . PMC 1365740. PMID 14368548 .

[16] أوشيدا، س. (1956). “التدفق اللزج النابض المتراكب على الحركة الصفائحية الثابتة لسائل غير قابل للضغط في أنبوب دائري”. Zeitschrift für angewandte الرياضيات والفيزياء . 7 (5): 403– 422. بيب كود : 1956ZaMP ....7.....403U . دوى : 10.1007/BF01606327 . S2CID 123217023 .

[17] بوسينسق، جوزيف (1868). "ذاكرة حول تأثير الرغوة في الحركات المنتظمة للسوائل". جي الرياضيات. تطبيق بيور . 13 (2): 377- 424.

[18] براودمان، ج. (1914). "ملاحظات حول حركة السوائل اللزجة في القنوات" . مجلة لندن وإدنبرة ودبلن الفلسفية ومجلة العلوم . 28 (163): 30-36 . doi : 10.1080/14786440708635179 .

[19] بيركر، ر. (1963). "تكامل معادلات حركة المائع اللزج غير القابل للضغط" [ تكامل معادلات حركة المائع اللزج غير القابل للضغط ] . Handbuch دير فيزيك . المجلد. 3. ص 1 – 384.

[20] درازين، فيليب ج .؛ رايلي، نورمان (2006). معادلات نافيير-ستوكس: تصنيف التدفقات والحلول الدقيقة . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-0-521-68162-9.

[21] كورل، صموئيل نيوبي ؛ ديفيز، إتش جيه (1971). ديناميكا الموائع الحديثة . المجلد 1، التدفق غير القابل للانضغاط. فان نوستراند رينهولد.

[22] لاندو، إل دي ؛ ليفشيتز، إي إم (1987). ميكانيكا الموائع . دار بيرغامون للنشر. ص 55، المسألة 6. ISBN 0-08-033933-6.

[23] إيريكو، لاك؛ ماكاي، روث؛ أجايي، كولاولي؛ بالاشاندران، واماديفا (2014-04-01). "تقنيات الموائع الدقيقة المدفوعة بالضغط ذات التدفق المستمر لاختبارات التشخيص السريع" . أجهزة الاستشعار والمحولات . 170 : 1-18 .

[24] فوتيرر، سي.؛ وآخرون (2004). "نظام حقن وتحكم في التدفق للقنوات الدقيقة". مختبر على رقاقة . 4 (4): 351-356 . doi : 10.1039/B316729A . PMID 15269803 .

[

[

[

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗