عدم المساواة عند بطليموس

في الهندسة الإقليدية ، تربط متباينة بطليموس المسافات الست المحددة بأربع نقاط في المستوى أو في فضاء ذي أبعاد أعلى. وتنص على أنه لأي أربع نقاط A و B و C و D ، تتحقق المتباينة التالية :

${\displaystyle {\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {DA}}\geq {\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}.}$

وقد سميت على اسم عالم الفلك والرياضيات اليوناني بطليموس .

يمكن ترتيب النقاط الأربع بثلاث طرق مختلفة (مع اعتبار الانعكاسات غير مختلفة) لتشكيل ثلاثة أشكال رباعية مختلفة ، بحيث يكون مجموع حاصل ضرب الأضلاع المتقابلة في كل منها أكبر من أو يساوي حاصل ضرب قطريها. وبالتالي، يمكن تبديل حدود الضرب الثلاثة في المتباينة جمعيًا لوضع أي منها في الطرف الأيمن من المتباينة، لذا فإن حاصل ضرب الأضلاع المتقابلة أو أقطار أي شكل رباعي يجب أن يحقق متباينة المثلث . ^{[ 1 ]}

تنص نظرية بطليموس ، كحالة خاصة، على أن المتباينة تتحول إلى مساواة عندما تقع النقاط الأربع بترتيب دوري على دائرة . أما الحالة الأخرى للمساواة فتحدث عندما تقع النقاط الأربع على استقامة واحدة بترتيب معين. لا يمكن تعميم المتباينة من الفضاءات الإقليدية إلى أي فضاء متري . تُسمى الفضاءات التي تبقى فيها المتباينة صالحة بالفضاءات البطلمية ؛ وتشمل فضاءات الجداء الداخلي ، وفضاءات هادامارد ، ومسافات أقصر مسار على الرسوم البيانية البطلمية .

تُصاغ متباينة بطليموس غالبًا لحالة خاصة، حيث تكون النقاط الأربع رؤوس شكل رباعي محدب ، مُعطى بترتيب دوري. ^{[ 2 ] [ 3 ]} ومع ذلك، تنطبق النظرية بشكل أعم على أي أربع نقاط؛ ولا يُشترط أن يكون الشكل الرباعي الذي تُشكّله محدبًا أو بسيطًا أو حتى مستويًا.

بالنسبة للنقاط الواقعة في المستوى، يمكن اشتقاق متباينة بطليموس من متباينة المثلث عن طريق قلب مركزه إحدى النقاط الأربع. ^{[ 4 ] [ 5 ]} أو بدلاً من ذلك، يمكن اشتقاقها بتفسير النقاط الأربع كأعداد مركبة ، باستخدام متطابقة الأعداد المركبة.

${\displaystyle (AB)(CD)+(AD)(BC)=(AC)(BD)}$

لإنشاء مثلث أطوال أضلاعه تساوي حاصل ضرب أضلاع الشكل الرباعي المعطى، وتطبيق متباينة المثلث على هذا المثلث. ^{[ 6 ]} يمكن أيضًا اعتبار النقاط تابعةً للخط الإسقاطي المركب ، والتعبير عن المتباينة بصيغة أن القيم المطلقة لنسبتين متقاطعتين للنقاط مجموعهما يساوي واحدًا على الأقل، واستنتاج ذلك من حقيقة أن مجموع النسبتين المتقاطعتين يساوي واحدًا بالضبط. ^{[ 7 ]}

يمكن اختزال برهان المتباينة للنقاط في الفضاء ثلاثي الأبعاد إلى الحالة المستوية، بملاحظة أنه لأي شكل رباعي غير مستوٍ، يمكن تدوير إحدى النقاط حول قطره حتى يصبح الشكل الرباعي مستويًا، مع زيادة طول القطر الآخر والحفاظ على ثبات المسافات الخمس الأخرى. ^{[ 6 ]} في الفضاءات ذات الأبعاد الأعلى من ثلاثة، تقع أي أربع نقاط في فضاء فرعي ثلاثي الأبعاد، ويمكن استخدام البرهان ثلاثي الأبعاد نفسه.

بالنسبة لأربع نقاط مرتبة حول دائرة ، تصبح متباينة بطليموس مساواة، تُعرف باسم نظرية بطليموس :

${\displaystyle {\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {AD}}\cdot {\overline {BC}}={\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}.}$

في برهان متباينة بطليموس القائم على الانعكاس، يؤدي تحويل أربع نقاط دائرية مشتركة بانعكاس مركزه إحداها إلى جعل النقاط الثلاث الأخرى على استقامة واحدة، وبالتالي تصبح مساواة المثلث لهذه النقاط الثلاث (التي يمكن اشتقاق متباينة بطليموس منها) مساواةً أيضًا. ^{[ 5 ]} أما بالنسبة لأي أربع نقاط أخرى، فإن متباينة بطليموس تكون قطعية.

تشكل أربع نقاط غير مستوية A و B و C و D في الفضاء ثلاثي الأبعاد شكلاً رباعي الأوجه. في هذه الحالة، تتحقق المتباينة الصارمة التالية: ${\displaystyle {\overline {AB}}\cdot {\overline {CD}}+{\overline {BC}}\cdot {\overline {DA}}>{\overline {AC}}\cdot {\overline {BD}}}$[ ^{8 ]​}

تنطبق متباينة بطليموس بشكل أعم في أي فضاء جداء داخلي ، ^{[ 1 ] [ 9 ]} وكلما كانت صحيحة بالنسبة لفضاء متجهي معياري حقيقي ، فإن هذا الفضاء يجب أن يكون فضاء جداء داخلي. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

بالنسبة لأنواع أخرى من الفضاءات المترية ، قد تكون المتباينة صحيحة أو غير صحيحة. يُطلق على الفضاء الذي تتحقق فيه هذه المتباينة اسم الفضاء البطلمي . على سبيل المثال، لننظر إلى الرسم البياني للدورة ذي الرؤوس الأربعة ، الموضح في الشكل، حيث جميع أطوال الحواف تساوي 1. مجموع حاصل ضرب الأضلاع المتقابلة هو 2. ومع ذلك، فإن الرؤوس المتقابلة قطريًا تبعد مسافة 2 عن بعضها البعض، لذا فإن حاصل ضرب الأقطار هو 4، وهو أكبر من مجموع حاصل ضرب الأضلاع. لذلك، فإن أقصر مسافات المسار في هذا الرسم البياني ليست بطلمية. تُسمى الرسوم البيانية التي تخضع فيها المسافات لمتباينة بطليموس بالرسوم البيانية البطلمية، ولها بنية مقيدة مقارنةً بالرسوم البيانية العشوائية؛ على وجه الخصوص، فهي لا تسمح بوجود دورات مستحثة يزيد طولها عن ثلاثة، مثل تلك الموضحة. ^{[ 11 ]}

تشمل الفضاءات البطلمية جميع فضاءات CAT(0) ، وعلى وجه الخصوص جميع فضاءات هادامارد . إذا كان مشعب ريماني كامل بطلميًا، فهو بالضرورة فضاء هادامارد. ^{[ 12 ]}

لنفترض أن${\displaystyle \|\cdot \|}$هو معيار على فضاء متجهي${\displaystyle X.}$إذن، هذا المعيار يحقق متباينة بطليموس: $${\displaystyle \|xy\|\,\|z\|~+~\|yz\|\,\|x\|~\geq ~\|xz\|\,\|y\|\qquad {\text{ لجميع المتجهات }}x,y,z.}$$ إذا وفقط إذا كان هناك جداء داخلي${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$على${\displaystyle X}$بحيث${\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,\ x\rangle }$لجميع المتجهات${\displaystyle x\in X.}$^{[ 13 ]} شرط آخر ضروري وكافٍ لوجود مثل هذا المنتج الداخلي هو أن يفي المعياربقانون متوازي الأضلاع: $${\displaystyle \|x+y\|^{2}~+~\|xy\|^{2}~=~2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}\qquad {\text{ لجميع المتجهات }}x,y.}$$ إذا كان هذا هو الحال، فسيكون هذا المنتج الداخلي فريدًا ويمكن تعريفه من حيث المعيار باستخدام هوية الاستقطاب .

• الرياضيات اليونانية – رياضيات اليونان القديمة والبحر الأبيض المتوسط، من القرن الخامس قبل الميلاد إلى القرن السادس الميلادي. صفحات تعرض وصفًا موجزًا ​​لأهداف إعادة التوجيه. 
• قانون متوازي الأضلاع – مجموع مربعات الأضلاع والأقطار متساوٍ 
• هوية الاستقطاب – صيغة تربط المعيار والضرب الداخلي في فضاء الضرب الداخلي 
• بطليموس – فلكي وجغرافي يوناني روماني (حوالي 100-170) 
• جدول بطليموس للأوتار – جدول حساب المثلثات من القرن الثاني الميلادي 
• نظرية بطليموس – تربط بين الأضلاع الأربعة والقطرين لشكل رباعي الرؤوس برؤوس تقع على دائرة مشتركة