التناظر الرباعي الأوجه

مجموعات النقاط المختارة في ثلاثة أبعاد

التناظر الانعكاسي C s , (*) [ ] =	التناظر الدوري C nv , (*nn) [n] =	التناظر ثنائي السطوح D nh , (*n22) [n,2] =
مجموعة متعددة السطوح ، [n,3]، (*n32)
التناظر الرباعي الأوجه T d , (*332) [3,3] =	التناظر الثماني الأوجه O h ، (*432) [4,3] =	التناظر العشري الوجوه I h , (*532) [5,3] =

يحتوي رباعي الأوجه المنتظم على 12 تناظرًا دورانيًا (أو يحافظ على الاتجاه )، ورتبة تناظر تبلغ 24 بما في ذلك التحويلات التي تجمع بين الانعكاس والدوران.

مجموعة جميع التناظرات (ليس بالضرورة تلك التي تحافظ على الاتجاه) متماثلة مع المجموعة S₄ _، وهي المجموعة المتناظرة لتباديل أربعة أشكال، حيث يوجد تناظر واحد فقط من هذا النوع لكل تبديل لرؤوس رباعي الأوجه. تشكل مجموعة التناظرات التي تحافظ على الاتجاه مجموعة تُعرف باسم المجموعة الفرعية المتناوبة A₄ من _{S₄ .}

التناظر الكيرالي والتناظر الكامل (أو التناظر الرباعي الأوجه غير الكيرالي والتناظر البيريتوهيدرالي ) هي تناظرات نقطية منفصلة (أو ما يعادلها، تناظرات على الكرة ). وهي من بين المجموعات النقطية البلورية للنظام البلوري المكعب .

محاور الدوران

ج 3	ج 3	ج 2
2	2	3

عند النظر إليها في الإسقاط المجسم، تشكل حواف المجسم السداسي الأوجه ست دوائر (أو خطوط شعاعية مركزية) في المستوى. تمثل كل دائرة من هذه الدوائر الست خط انعكاس في تناظر رباعي الأوجه. تتقاطع هذه الدوائر عند نقاط الدوران من الرتبة الثانية والثالثة.

متعامد	الإسقاطات المجسمة
	أربعة أضعاف	ثلاثة أضعاف	ضعفين
التناظر الرباعي الأوجه الكيرالي، T، (332)، [3,3] + = [1 + ،4,3 + ]، =
التناظر البيريتوهيدرالي، T h ، (3*2)، [4,3 + ]،
التناظر الرباعي الأوجه غير الكيرالي، T d ، (*332)، [3,3] = [1 + 4,3]، =

مجموعة الدوران رباعية الأوجه T ذات المجال الأساسي ؛ بالنسبة لرباعي الأوجه ثلاثي الأوجه ، انظر أدناه، حيث يمثل الأخير وجهًا كاملاً واحدًا

يمكن وضع رباعي الأوجه في 12 موضعًا مختلفًا عن طريق الدوران فقط . يوضح الشكل أعلاه هذه المواضع في رسم بياني دوري ، بالإضافة إلى دوران الحافة بزاوية 180 درجة (الأسهم الزرقاء) ودوران الرأس بزاوية 120 درجة (الأسهم الحمراء) اللذين يُبدّلان رباعي الأوجه بين هذه المواضع.

في المجسم السداسي رباعي الأوجه، يمثل وجه واحد كامل مجالًا أساسيًا؛ ويمكن الحصول على مواد صلبة أخرى بنفس التناظر عن طريق ضبط اتجاه الأوجه، على سبيل المثال تسطيح مجموعات فرعية مختارة من الأوجه لدمج كل مجموعة فرعية في وجه واحد، أو استبدال كل وجه بأوجه متعددة، أو سطح منحني.

T ، 332 ، [3,3] ⁺ ، أو 23 ، من الرتبة 12 - تناظر رباعي الأوجه كيرالي أو دوراني . توجد ثلاثة محاور دوران ثنائية متعامدة، مثل التناظر ثنائي السطوح الكيرالي D2 أو 222، بالإضافة إلى أربعة محاور ثلاثية، متمركزة بين الاتجاهات المتعامدة الثلاثة. هذه المجموعة متماثلة مع A4 _{، وهي} المجموعة المتناوبة على 4 عناصر؛ في الواقع، هي مجموعة التباديل الزوجية للمحاور الثلاثية الأربعة: e، (123)، (132)، (124)، (142)، (134)، (143)، (234)، (243)، (12)(34)، (13)(24)، (14)(23).

فئات الترافق لـ T هي:

• هوية
• 4 × دوران بمقدار 120 درجة في اتجاه عقارب الساعة (عند النظر من رأس): (234)، (143)، (412)، (321)
• 4 × دوران بمقدار 120 درجة عكس اتجاه عقارب الساعة (كذلك)
• 3 دورات بمقدار 180 درجة

تشكل الدورانات بمقدار 180 درجة، بالإضافة إلى العنصر المحايد، زمرة فرعية طبيعية من النوع Dih ₂ ، مع زمرة خارج القسمة من النوع Z _3. العناصر الثلاثة لهذه الزمرة هي العنصر المحايد، و"الدوران باتجاه عقارب الساعة"، و"الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة"، والتي تتوافق مع تباديل المحاور المتعامدة الثلاثة ذات التناظر الثنائي، مع الحفاظ على الاتجاه.

_{تُعدّ المجموعة A4} أصغر مجموعة تُثبت أن عكس نظرية لاغرانج ليس صحيحًا بشكل عام: فإذا كانت لدينا مجموعة منتهية G وقاسم d للمجموعة | G |، فليس بالضرورة أن توجد مجموعة جزئية من G من الرتبة d : فالمجموعة G = A4 _ليس لها مجموعة جزئية من الرتبة 6. وعلى الرغم من أن هذه خاصية للمجموعة المجردة بشكل عام، إلا أنها واضحة من مجموعة التناظر الرباعي الأوجه الكيرالي: فبسبب الكيرالية، يجب أن تكون المجموعة الجزئية C6 _أو D3 _، ولكن لا ينطبق أي منهما.

مجموعات فرعية من التناظر الرباعي الأوجه الكيرالي

مدرسة.	كوكسيتر		محجر العين.	جلالة الملكة	مولدات كهربائية	بناء	دورة	طلب	فِهرِس
تي	[3,3] +	=	332	23	2	أ 4		12	1
د 2	[2,2] +	=	222	222	3	د 4		4	3
ج 3	[3] +		33	3	1	Z 3		3	4
ج 2	[2] +		22	2	1	Z 2		2	6
ج 1	[  ] +		11	1	1	Z 1		1	12

T _d ، *332 ، [3,3] أو 4 3m، من الرتبة 24 - تناظر رباعي الأوجه كامل أو غير كيرالي ، والمعروف أيضًا باسم مجموعة المثلث (2,3,3) . لهذه المجموعة نفس محاور الدوران الخاصة بـ T، ولكن بستة مستويات انعكاس، يمر كل منها عبر محورين ثلاثيين. أما المحاور الثنائية فهي الآن محاور S ₄ ( 4 ). تتشابه T _d و O كمجموعات مجردة: فكلتاهما تُقابل S ₄ ، المجموعة المتناظرة على 4 كائنات. T _d هي اتحاد T والمجموعة الناتجة عن دمج كل عنصر من O \ T مع الانعكاس. انظر أيضًا إلى التماثلات الهندسية للرباعي الأوجه المنتظم .

فئات الاقتران لـ T _d هي:

• هوية
• 8 × دوران بمقدار 120 درجة (C ₃ )
• 3 × دوران بمقدار 180 درجة (C ₂ )
• 6 × انعكاس في مستوى يمر عبر محوري دوران (C _s )
• 6 × انعكاس الدوران بزاوية 90 درجة (S ₄ )

مجموعات فرعية من التناظر الرباعي الأوجه غير الكيرالي

مدرسة.	كوكسيتر		محجر العين.	جلالة الملكة	مولدات كهربائية	بناء	دورة	طلب	فِهرِس
تي دي	[3,3]		*332	4 3م	3	S 4		24	1
C 3v	[3]		*33	3 أمتار	2	D 6 =S 3		6	4
C 2v	[2]		*22	مم2	2	د 4		4	6
C s	[  ]		*	2 أو م	1	Z 2 = D 2		2	12
D 2d	[2 + ,4]		2*2	4 2 متر	2	د 8		8	3
S 4	[2 + ،4 + ]		2×	4	1	Z 4		4	6
تي	[3,3] +		332	23	2	أ 4		12	2
د 2	[2,2] +		222	222	2	د 4		4	6
ج 3	[3] +		33	3	1	Z 3 = A 3		3	8
ج 2	[2] +		22	2	1	Z 2		2	12
ج 1	[  ] +		11	1	1	Z 1		1	24

T _h ، 3*2 ، [4,3 ⁺ ] أو m 3 ، من الرتبة 24 - تناظر بيريتوهيدرالي . ^{[ 1 ]} لهذه المجموعة نفس محاور الدوران مثل T، مع مستويات انعكاس تمر عبر اتجاهين متعامدين. أصبحت المحاور الثلاثية الآن محاور S ₆ ( 3 )، وهناك تناظر انعكاس مركزي. T _h متماثل مع T × Z ₂ : كل عنصر من T _h هو إما عنصر من T، أو عنصر مُدمج مع انعكاس. بصرف النظر عن هاتين المجموعتين الفرعيتين الطبيعيتين، توجد أيضًا مجموعة فرعية طبيعية D _2h (مجموعة متوازي المستطيلات )، من النوع Dih ₂ × Z ₂ = Z ₂ × Z ₂ × Z _2. وهي حاصل الضرب المباشر للمجموعة الفرعية الطبيعية لـ T (انظر أعلاه) مع _Ci . مجموعة القسمة هي نفسها كما سبق: من النوع Z ₃ . العناصر الثلاثة للأخير هي الهوية، و"الدوران في اتجاه عقارب الساعة"، و"الدوران عكس اتجاه عقارب الساعة"، والتي تتوافق مع تباديل المحاور المتعامدة الثلاثة ذات التناظر الثنائي، مع الحفاظ على الاتجاه.

هي تناظر مكعبٍ يقسم كل وجهٍ منه إلى مستطيلين متساويين بخطٍ مستقيم، بحيث لا تلتقي الخطوط المستقيمة للأوجه المتجاورة عند الحافة. ​​تتوافق هذه التناظرات مع التبديلات الزوجية لأقطار الجسم، ومع التناظر نفسه مُدمجًا مع الانعكاس. وهي أيضًا تناظر مجسم بيريتوهيدرون ، وهو شديد الشبه بالمكعب الموصوف، حيث يُستبدل كل مستطيلٍ فيه بخماسي الأضلاع له محور تناظر واحد وأربعة أضلاع متساوية وضلع واحد مختلف (وهو الضلع المقابل للخط المستقيم الذي يقسم وجه المكعب)؛ أي أن أوجه المكعب تبرز عند خط التقسيم وتضيق عنده. وهي مجموعة فرعية من مجموعة التناظر العشري الوجوه الكاملة (كمجموعة تماثل، وليس فقط كمجموعة مجردة)، حيث أن أربعة من محاورها العشرة ثلاثية التناظر.

تشمل فئات الاقتران لـ T _h فئات T، مع دمج الفئتين 4، وكل منهما مع انعكاس:

• هوية
• 8 × دوران بمقدار 120 درجة (C ₃ )
• 3 × دوران بمقدار 180 درجة (C ₂ )
• الانعكاس (S ₂ )
• 8 × انعكاس الدوران بزاوية 60 درجة (S ₆ )
• 3 × انعكاس في مستوى (C _s )

مجموعات فرعية من التناظر البيريتوهيدرالي

مدرسة.	كوكسيتر		محجر العين.	جلالة الملكة	مولدات كهربائية	بناء	دورة	طلب	فِهرِس
ذ​	[3 + ,4]		3*2	م 3	2	A 4 × Z 2		24	1
D 2h	[2,2]		*222	ممم	3	D 4 × D 2		8	3
C 2v	[2]		*22	مم2	2	د 4		4	6
C s	[  ]		*	2 أو م	1	د 2		2	12
C 2h	[2 + ,2]		2*	2/م	2	Z 2 × D 2		4	6
S 2	[2 + ,2 + ]		×	1	1	Z 2		2	12
تي	[3,3] +		332	23	2	أ 4		12	2
د 3	[2,3] +		322	3	2	د 6		6	4
د 2	[2,2] +		222	222	3	د 8		4	6
ج 3	[3] +		33	3	1	Z 3		3	8
ج 2	[2] +		22	2	1	Z 2		2	12
ج 1	[  ] +		11	1	1	Z 1		1	24

يتمتع الشكل العشري الوجوه الملون على شكل رباعي وجوه قصير بتناظر حلزوني.

• التناظر الثماني الأوجه
• التناظر العشري الوجوه
• مجموعة رباعية الأوجه ثنائية

• وايسشتاين، إريك دبليو. "المجموعة رباعية الأوجه" . عالم الرياضيات .
• مواد تعليمية متعلقة بالمجموعة المتناظرة S4 على ويكيفيرسيتي