حقل مغلق شبه جبري

📅 آخر تحديث: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣٠ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 3 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُطلق على الحقل F اسم الحقل شبه المغلق جبريًا (أو C1 ) إذا كان لكل متعددة حدود متجانسة غير ثابتة P على F جذر غير تافه ، بشرط أن يكون عدد متغيراتها أكبر من درجتها. وقد بحث سي سي تسن ، أحد طلاب إيمي نوثر ، فكرة الحقول شبه المغلقة جبريًا في بحث نُشر عام 1936 ( تسن 1936 ) ؛ ثم بحثها لاحقًا سيرج لانغ في أطروحته لجامعة برينستون عام 1951 وفي بحثه المنشور عام 1952 ( لانغ 1952 ) . وتُنسب الفكرة نفسها إلى إميل أرتين، المشرف على لانغ .

بصورة رسمية، إذا كانت P متعددة حدود متجانسة غير ثابتة في متغيرات

X 1 ، ...، X N ،

وبدرجة مُرضية​

د < ن

إذن ، يكون لها صفر غير تافه على F ؛ أي، بالنسبة لبعض xᵢ في F ، وليس جميعها صفرًا، لدينا

P ( x 1 , ..., x N ) = 0.

في اللغة الهندسية، فإن السطح الفائق المحدد بواسطة P ، في الفضاء الإسقاطي من الدرجة N − 2 ، له نقطة فوق F.

أمثلة

Properties

Ck fields

Quasi-algebraically closed fields are also called C1. A Ck field, more generally, is one for which any homogeneous polynomial of degree d in N variables has a non-trivial zero, provided

dk < N,

for k≥ 1.[11] The condition was first introduced and studied by Lang.[10] If a field is Ci then so is a finite extension.[11][12] The C0 fields are precisely the algebraically closed fields.[13][14]

Lang and Nagata proved that if a field is Ck, then any extension of transcendence degreen is Ck+n.[15][16][17] The smallest k such that K is a Ck field (∞{\displaystyle \infty } if no such number exists), is called the diophantine dimension dd(K) of K.[13]

C1 fields

Every finite field is C1.[7]

C2 fields

Properties

Suppose that the field k is C2.

تخمين آرتين

افترض أرتين أن الحقول p -adic هي C 2 ، لكن جاي تيرجانيان وجد أمثلة مضادة p -adic لجميع قيم p . [ 18 ] [ 19 ] طبقت نظرية Ax-Kochen أساليب من نظرية النموذج لإظهار أن تخمين أرتين كان صحيحًا بالنسبة لـ Q p مع p كبير بما فيه الكفاية (اعتمادًا على d ).

حقول C k ضعيفة

يكون الحقل K ضعيفًا من النوع C k , d إذا كان لكل متعددة حدود متجانسة من الدرجة d في N متغيرًا تحقق

د ك < ن

تحتوي المجموعة المغلقة زاريسكي V ( f ) من P n ( K ) على مجموعة فرعية مغلقة زاريسكي على K .

الحقل الذي يكون ضعيفًا من النوع C k ، d لكل d يكون ضعيفًا من النوع C k . [ 2 ]

ملكيات

  • حقل C k ضعيف C k . [ 2 ]
  • المجال المثالي PAC ضعيف C k هو C k . [ 2 ]
  • يكون الحقل K ضعيفًا من النوع C k , d إذا وفقط إذا كان لكل شكل يحقق الشروط نقطة x معرفة على حقل يمثل امتدادًا أوليًا لـ K. [ 20 ]
  • إذا كان الحقل ضعيفًا من النوع C k ، فإن أي امتداد لدرجة التجاوز n يكون ضعيفًا من النوع C k + n . [ 17 ]
  • أي امتداد لحقل مغلق جبريًا يكون ضعيفًا من النوع C 1. [ 21 ]
  • أي حقل ذو زمرة غالوا مطلقة دورية يكون ضعيفًا من النوع C 1. [ 21 ]
  • أي حقل ذو خاصية موجبة يكون ضعيفًا من النوع C 2. [ 21 ]
  • إذا كان حقل الأعداد النسبيةسؤال{\displaystyle \mathbb {Q} }وحقول الوظائفFص(ت){\displaystyle \mathbb {F} _{p}(t)}إذا كانت الحقول ضعيفة من النوع C 1 ، فإن كل حقل يكون ضعيفًا من النوع C 1. [ 21 ]

انظر أيضاً

الاقتباسات

  1. ↑ فريد وجاردن (2008) ص 455
  2. 1 2 3 4 فريد وجاردن (2008) ص 456
  3. 1 2 3 4 سير (1979) ص 162
  4. ↑ جيل وسزامولي (2006) ص 142
  5. ↑ جيل وسزامولي (2006) ص 143
  6. ↑ جيل وسزامولي (2006) ص 144
  7. 1 2 فريد وجاردن (2008) ص 462
  8. ↑ لورنز (2008) ص 181
  9. ↑ سير (1979) ص 161
  10. 1 2 3 جيل وسامويلي (2006) ص. 141
  11. 1 2 سير (1997) ص. 87
  12. ↑ لانغ (1997) ص 245
  13. 1 2 نيوكيرتش، يورغن؛ شميدت، الكسندر. وينجبرج، كاي (2008). علم التجانس لحقول الأرقام . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. المجلد.  323 (  الطبعة الثانية). سبرينغر-فيرلاغ . ص.  361. ردمك 978-3-540-37888-4.
  14. ↑ لورنز (2008) ص 116
  15. ↑ لورنز (2008) ص 119
  16. 1 2 3 سير (1997) ص 88
  17. 1 2 فريد وجاردن (2008) ص 459
  18. ^ تريجانيان، جاي (1966). “مثال مضاد لتخمين آرتين”. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série AB (باللغة الفرنسية). 262 : أ612. زبل 0133.29705 . 
  19. ↑ لانغ (1997) ص 247
  20. ↑ فريد وجاردن (2008) ص 457
  21. 1 2 3 4 فريد وجاردن (2008) ص 461

مراجع