تأثير هول الكمي

تكميم موصلية هول (${\displaystyle G_{xy}=1/R_{xy}}$تتميز هذه الظاهرة بخاصية بالغة الدقة. [4] وقد وُجد أن القياسات الفعلية لموصلية هول هي مضاعفات صحيحة أو كسرية لـ e² ^/ h ^{بدقة أفضل من} جزء واحد في المليار . [ ^{5 ] وقد} أتاح ذلك تعريف معيار عملي جديد للمقاومة الكهربائية ، استنادًا إلى كمية المقاومة المُعطاة بثابت فون كليتزينغ RK _. سُمي هذا المعيار نسبةً إلى كلاوس فون كليتزينغ ، مكتشف التكميم الدقيق. كما يوفر تأثير هول الكمي تحديدًا مستقلًا ودقيقًا للغاية لثابت البنية الدقيقة ، وهي كمية ذات أهمية أساسية في الديناميكا الكهربائية الكمية .

في عام 1990، كانت القيمة التقليدية الثابتة R _K-90 =تم تحديد قيمة 25812.807 أوم  لاستخدامها في معايرات المقاومة في جميع أنحاء العالم. ^{[ 6 ]} لاحقًا، حددت مراجعة عام 2019 للنظام الدولي للوحدات القيم الدقيقة لـ h و e ، مما أدى إلى قيمة دقيقة لـ R _K = ⁠ h / e ² ⁠ =25812.80745 ... Ω  . ^{[ 7 ]}​​​

في بُعدين، عندما تتعرض الإلكترونات الكلاسيكية لمجال مغناطيسي، فإنها تتبع مدارات دائرية تُعرف باسم مدارات السيكلوترون. أما عند معالجة النظام ميكانيكيًا كميًا، فإن هذه المدارات تُكمّم. ولتحديد قيم مستويات الطاقة، يجب حل معادلة شرودنغر.

بما أن النظام يتعرض لمجال مغناطيسي، فإنه يجب إدخاله كجهد متجه كهرومغناطيسي في معادلة شرودنغر . النظام المدروس عبارة عن غاز إلكتروني حر الحركة في الاتجاهين x و y، ولكنه محصور بإحكام في الاتجاه z. عندئذٍ، يُطبق مجال مغناطيسي في الاتجاه z، ووفقًا لمقياس لانداو، يكون الجهد المتجه الكهرومغناطيسي هو${\displaystyle \mathbf {A} =(0,Bx,0)}$والجهد القياسي هو${\displaystyle \phi =0}$وبالتالي فإن معادلة شرودنغر لجسيم مشحون ${\displaystyle q}$والكتلة الفعالة${\displaystyle m^{*}}$يتضمن هذا النظام ما يلي:

${\displaystyle \left\{{\frac {1}{2m^{*}}}\left[\mathbf {p} -q\mathbf {A} \right]^{2}+V(z)\right\}\psi (x,y,z)=\varepsilon \psi (x,y,z)}$

أين${\displaystyle \mathbf {p} }$ الزخم الكنسي، الذي يتم استبداله بالمؤثر${\displaystyle -i\hbar \nabla }$و${\displaystyle \varepsilon }$هي الطاقة الكلية.

لحل هذه المعادلة، يمكن فصلها إلى معادلتين، لأن المجال المغناطيسي يؤثر فقط على الحركة على طول المحورين س و ص. وتصبح الطاقة الكلية حينها مجموع مساهمتين.${\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{z}+\varepsilon _{xy}}$المعادلات المقابلة على المحور z هي:

${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m^{*}}}{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}+V(z)\right]u(z)=\varepsilon _{z}u(z)}$

لتبسيط الأمور، الحل${\displaystyle V(z)}$يُعتبر بئرًا لانهائيًا. وبالتالي، فإن حلول الاتجاه z هي الطاقات.${\textstyle \varepsilon _{z}={\frac {n_{z}^{2}\pi ^{2}\hbar ^{2}}{2m^{*}L^{2}}}}$،${\displaystyle n_{z}=1,2,3...}$ والدوال الموجية جيبية. بالنسبة لـ${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$في هذه الاتجاهات، يمكن اختيار حل معادلة شرودنغر ليكون ناتج موجة مستوية في${\displaystyle y}$-اتجاه مع وظيفة غير معروفة لـ${\displaystyle x}$، أي،${\displaystyle \psi _{xy}=u(x)e^{ik_{y}y}}$وذلك لأن الجهد الشعاعي لا يعتمد على${\displaystyle y}$ومؤثر الزخم${\displaystyle {\hat {p}}_{y}}$وبالتالي، يتبادل مع الهاميلتوني. وباستبدال هذه الفرضية في معادلة شرودنغر، نحصل على معادلة المذبذب التوافقي أحادي البعد المتمركز عند${\textstyle x_{k_{y}}={\frac {\hbar k_{y}}{eB}}}$.

${\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m^{*}}}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\frac {1}{2}}m^{*}\omega _{\rm {c}}^{2}(x-l_{B}^{2}k_{y})^{2}\right]u(x)=\varepsilon _{xy}u(x)}$

أين${\textstyle \omega _{\rm {c}}={\frac {eB}{m^{*}}}}$يُعرَّف بأنه تردد السيكلوترون و${\textstyle l_{B}^{2}={\frac {\hbar }{eB}}}$الطول المغناطيسي. الطاقات هي:

${\displaystyle \varepsilon _{xy}\equiv \varepsilon _{n_{x}}=\hbar \omega _{\rm {c}}\left(n_{x}+{\frac {1}{2}}\right)}$، ${\displaystyle n_{x}=1,2,3...}$

والدوال الموجية للحركة في${\displaystyle xy}$تُعطى المستويات بضرب موجة مستوية في${\displaystyle y}$ومتعددات حدود هيرميت المخففة بواسطة الدالة الغاوسية في${\displaystyle x}$، وهي الدوال الموجية للمذبذب التوافقي.

من خلال معادلة مستويات لاندو، نلاحظ أن الطاقة تعتمد فقط على${\displaystyle n_{x}}$ليس على${\displaystyle k_{y}}$الولايات التي لها نفس${\displaystyle n_{x}}$لكنها مختلفة${\displaystyle k_{y}}$منحطون.

عند انعدام المجال، تكون كثافة الحالات لكل وحدة سطح لغاز الإلكترونات ثنائي الأبعاد، مع الأخذ في الاعتبار الانحلال الناتج عن الدوران، مستقلة عن الطاقة.

${\displaystyle n_{\rm {2D}}={\frac {m^{*}}{\pi \hbar ^{2}}}}$.

عند تشغيل المجال، تنهار كثافة الحالات من قيمة ثابتة إلى مشط ديراك ، وهو سلسلة من حالات ديراك${\displaystyle \delta }$الدوال، التي تتوافق مع مستويات لاندو المنفصلة${\displaystyle \Delta \varepsilon _{xy}=\hbar \omega _{\rm {c}}}$لكن عند درجة حرارة محدودة، تكتسب مستويات لاندو عرضًا أكبر.${\textstyle \Gamma ={\frac {\hbar }{\tau _{i}}}}$ كون${\displaystyle \tau _{i}}$ الفترة الزمنية بين أحداث التشتت. يُفترض عادةً أن الشكل الدقيق لمستويات لاندو هو شكل غاوسي أو لورنتزي .

ومن السمات الأخرى أن الدوال الموجية تشكل شرائط متوازية في${\displaystyle y}$- اتجاه متباعد بالتساوي على طول${\displaystyle x}$المحور -، على غرار${\displaystyle \mathbf {A} }$بما أنه لا يوجد شيء مميز في أي اتجاه في${\displaystyle xy}$إذا تم اختيار الجهد الشعاعي بشكل مختلف، فسيجد المرء تناظرًا دائريًا.

بالنظر إلى عينة من الأبعاد${\displaystyle L_{x}\times L_{y}}$وتطبيق شروط الحدود الدورية في${\displaystyle y}$-اتجاه${\textstyle k={\frac {2\pi }{L_{y}}}j}$،${\displaystyle j}$بما أن عدد صحيح، فإن كل جهد مكافئ يوضع عند قيمة${\displaystyle x_{k}=l_{B}^{2}k}$.

عدد الولايات لكل مستوى من مستويات لاندو و${\displaystyle k}$يمكن حسابها من النسبة بين التدفق المغناطيسي الكلي الذي يمر عبر العينة والتدفق المغناطيسي المقابل لحالة معينة.

${\displaystyle N_{B}={\frac {\phi }{\phi _{0}}}={\frac {BA}{BL_{y}\Delta x_{k}}}={\frac {A}{2\pi l_{B}^{2}}}{\begin{array}{lcr}&l_{B}&\\&=&\\&&\end{array}}{\frac {AeB}{2\pi \hbar }}{\begin{array}{lcr}&\omega _{\rm {c}}&\\&=&\\&&\end{array}}{\frac {m^{*}\omega _{\rm {c}}A}{2\pi \hbar }}}$

وبالتالي فإن كثافة الحالات لكل وحدة مساحة هي

${\displaystyle n_{B}={\frac {m^{*}\omega _{\rm {c}}}{2\pi \hbar }}}$.

لاحظ اعتماد كثافة الحالات على المجال المغناطيسي. فكلما زاد المجال المغناطيسي، زاد عدد الحالات في كل مستوى من مستويات لاندو. ونتيجة لذلك، يزداد التقييد في النظام نظرًا لانخفاض عدد مستويات الطاقة المشغولة.

إعادة كتابة التعبير الأخير على النحو التالي${\textstyle n_{B}={\frac {\hbar \omega _{\rm {c}}}{2}}{\frac {m^{*}}{\pi \hbar ^{2}}}}$من الواضح أن كل مستوى من مستويات لاندو يحتوي على عدد من الحالات يساوي عدد الحالات الموجودة في درجة حرارة ثنائية الأبعاد في${\displaystyle \Delta \varepsilon =\hbar \omega _{\rm {c}}}$.

بالنظر إلى حقيقة أن الإلكترونات هي فرميونات ، فإن كل حالة متاحة في مستويات لاندو تقابل إلكترونين، إلكترون واحد لكل قيمة من قيم اللف المغزلي${\textstyle s=\pm {\frac {1}{2}}}$مع ذلك، إذا تم تطبيق مجال مغناطيسي قوي، فإن الطاقات تنقسم إلى مستويين بسبب العزم المغناطيسي المرتبط بمحاذاة الدوران مع المجال المغناطيسي. والفرق في الطاقات هو${\textstyle \Delta E=\pm {\frac {1}{2}}g\mu _{\rm {B}}B}$كون${\displaystyle g}$ عامل يعتمد على المادة (${\displaystyle g=2}$(للإلكترونات الحرة) و${\displaystyle \mu _{\rm {B}}}$المغناطيسون بور . العلامة${\displaystyle +}$ يتم أخذها عندما يكون الدوران موازياً للمجال و${\displaystyle -}$ عندما يكونان متوازيين عكسيًا. هذه الحقيقة، التي تُسمى انقسام اللف المغزلي، تعني أن كثافة الحالات لكل مستوى تنخفض إلى النصف. لاحظ أن${\displaystyle \Delta E}$ يتناسب مع المجال المغناطيسي، لذا كلما زاد المجال المغناطيسي، زادت أهمية الانقسام.

للحصول على عدد مستويات لاندو المشغولة، يتم تحديد ما يسمى بعامل التعبئة${\displaystyle \nu }$باعتبارها النسبة بين كثافة الحالات في 2DEG وكثافة الحالات في مستويات لاندو.

${\displaystyle \nu ={\frac {n_{\rm {2D}}}{n_{B}}}={\frac {hn_{\rm {2D}}}{eB}}}$

بشكل عام، عامل التعبئة${\displaystyle \nu }$ليس عددًا صحيحًا. يكون عددًا صحيحًا عندما يكون عدد مستويات لاندو الممتلئة دقيقًا. بدلًا من ذلك، يصبح عددًا غير صحيح عندما لا يكون المستوى الأعلى ممتلئًا بالكامل. في التجارب العملية، يتم تغيير المجال المغناطيسي مع تثبيت كثافة الإلكترونات (وليس طاقة فيرمي!)، أو يتم تغيير كثافة الإلكترونات مع تثبيت المجال المغناطيسي. كلتا الحالتين تُشيران إلى تغير مستمر في عامل الملء.${\displaystyle \nu }$ولا يمكن للمرء أن يتوقع${\displaystyle \nu }$أن يكون عددًا صحيحًا. بما أن${\displaystyle n_{B}\propto B}$بزيادة المجال المغناطيسي، ترتفع مستويات لاندو في الطاقة ويزداد عدد الحالات في كل مستوى، وبالتالي يقل عدد الإلكترونات التي تشغل المستوى الأعلى حتى يصبح فارغًا. إذا استمر المجال المغناطيسي في الزيادة، ففي النهاية، ستكون جميع الإلكترونات في أدنى مستوى لاندو.${\displaystyle \nu <1}$وهذا ما يسمى بالحد الكمي المغناطيسي.

من الممكن ربط عامل الملء بالمقاومة الكهربائية، وبالتالي، بموصلية النظام. عندما${\displaystyle \nu }$ is an integer, the Fermi energy lies in between Landau levels where there are no states available for carriers, so the conductivity becomes zero (it is considered that the magnetic field is big enough so that there is no overlap between Landau levels, otherwise there would be few electrons and the conductivity would be approximately ${\displaystyle 0}$). Consequently, the resistivity becomes zero too (At very high magnetic fields it is proven that longitudinal conductivity and resistivity are proportional).^[20]

With the conductivity ${\displaystyle \sigma =\rho ^{-1}}$ one finds

${\displaystyle \sigma ={\frac {1}{\det \rho }}{\begin{pmatrix}\rho _{yy}&-\rho _{xy}\\-\rho _{yx}&\rho _{xx}\end{pmatrix}}\;.}$

If the longitudinal resistivity is zero and transversal is finite, then ${\displaystyle \det \rho \neq 0}$. Thus both the longitudinal conductivity and resistivity become zero.

Instead, when ${\displaystyle \nu }$ is a half-integer, the Fermi energy is located at the peak of the density distribution of some Landau Level. This means that the resistivity will have a maximum due to increased scattering.

This distribution of minimums and maximums corresponds to ¨quantum oscillations¨ called Shubnikov–de Haas oscillations which become more relevant as the magnetic field increases. Obviously, the height of the peaks are larger as the magnetic field increases since the density of states increases with the field, so there are more carriers which contribute to the resistivity. It is interesting to notice that if the magnetic field is very small, the longitudinal resistivity is a constant which means that the classical result is reached.

From the classical relation of the transverse resistivity ${\textstyle \rho _{xy}={\frac {B}{en_{\rm {2D}}}}}$ and substituting ${\textstyle n_{\rm {2D}}=\nu {\frac {eB}{h}}}$ one finds out the quantization of the transverse resistivity and conductivity:

${\displaystyle \rho _{xy}={\frac {h}{\nu e^{2}}}\Rightarrow \sigma =\nu {\frac {e^{2}}{h}}}$

One concludes then, that the transverse resistivity is a multiple of the inverse of the so-called conductance quantum ${\displaystyle e^{2}/h}$ if the filling factor is an integer. In experiments, however, plateaus are observed for whole plateaus of filling values ${\displaystyle \nu }$, which indicates that there are in fact electron states between the Landau levels. These states are localized in, for example, impurities of the material where they are trapped in orbits so they can not contribute to the conductivity. That is why the resistivity remains constant in between Landau levels. Again if the magnetic field decreases, one gets the classical result in which the resistivity is proportional to the magnetic field.