بنية دقيقة

البنية العامة لأطياف الخطوط هي البنية التي تتنبأ بها ميكانيكا الكم للإلكترونات غير النسبية عديمة اللف المغزلي. بالنسبة لذرة الهيدروجين ، تعتمد مستويات طاقة البنية العامة فقط على العدد الكمي الرئيسي n . مع ذلك، يأخذ نموذج أكثر دقة في الحسبان التأثيرات النسبية واللف المغزلي، مما يكسر انحلال مستويات الطاقة ويؤدي إلى انقسام خطوط الطيف. يبلغ مقياس انقسام البنية الدقيقة بالنسبة لطاقات البنية العامة حوالي ( Zα ) ^² ، حيث Z هو العدد الذري و α هو ثابت البنية الدقيقة ، وهو عدد لا بُعدي يساوي تقريبًا 1/137.

يمكن الحصول على تصحيحات طاقة البنية الدقيقة باستخدام نظرية الاضطراب . ولإجراء هذه الحسابات، يجب إضافة ثلاثة حدود تصحيحية إلى الهاميلتوني : التصحيح النسبي من الرتبة الأولى للطاقة الحركية، والتصحيح الناتج عن اقتران الدوران المداري ، وحد داروين الناتج عن الحركة الكمومية المتذبذبة أو اهتزاز الإلكترون.

ويمكن الحصول على هذه التصحيحات أيضًا من الحد غير النسبي لمعادلة ديراك ، لأن نظرية ديراك تتضمن بشكل طبيعي النسبية وتفاعلات الدوران .

يفترض الهيكل الإجمالي أن حد الطاقة الحركية في الهاميلتوني يأخذ نفس الشكل كما في الميكانيكا الكلاسيكية ، وهو ما يعني بالنسبة لإلكترون واحد $${\displaystyle {\mathcal {H}}^{0}={\frac {p^{2}}{2m_{\text{e}}}}+V}$$ حيث V هي طاقة الوضع ،${\displaystyle p}$الزخم، و${\displaystyle m_{\text{e}}}$هي كتلة سكون الإلكترون .

ومع ذلك، عند النظر في نظرية أكثر دقة للطبيعة من خلال النسبية الخاصة ، يجب علينا استخدام شكل نسبي للطاقة الحركية. $${\displaystyle T={\sqrt {p^{2}c^{2}+{m_{\text{e}}}^{2}c^{4}}}-m_{\text{e}}c^{2}=m_{\text{e}}c^{2}\left[{\sqrt {1+{\frac {p^{2}}{{m_{\text{e}}}^{2}c^{2}}}}}-1\right]}$$ حيث يمثل الحد الأول الطاقة النسبية الكلية، ويمثل الحد الثاني طاقة سكون الإلكترون (${\displaystyle c}$( سرعة الضوء ). ولتبسيط الأمر أكثر، نلاحظ أن الحد الموجود تحت الجذر التربيعي يمكن كتابته على الصورة التالية:${\displaystyle (1+x)^{p}}$حيث قيمة${\displaystyle x}$تُحقق هذه الصيغة الشروط اللازمة لتقريب حد الجذر التربيعي بالكامل إلى الحدين الأولين من متسلسلة تايلور الخاصة به. وبفك الجذر التربيعي وتبسيطه، نحصل على: $${\displaystyle T={\frac {p^{2}}{2m_{\text{e}}}}-{\frac {p^{4}}{8{m_{\text{e}}}^{3}c^{2}}}+\cdots }$$

على الرغم من وجود عدد لا نهائي من الحدود في هذه المتسلسلة، إلا أن الحدود اللاحقة أصغر بكثير من الحدود السابقة، لذا يمكننا تجاهل جميع الحدود باستثناء الحدين الأولين. وبما أن الحد الأول أعلاه هو بالفعل جزء من الهاميلتوني الكلاسيكي، فإن تصحيح الرتبة الأولى للهاميلتوني هو $${\displaystyle {\mathcal {H}}'=-{\frac {p^{4}}{8{m_{\text{e}}}^{3}c^{2}}}}$$

باستخدام هذا كاضطراب ، يمكننا حساب تصحيحات الطاقة من الدرجة الأولى الناتجة عن التأثيرات النسبية. $${\displaystyle E_{n}^{(1)}=\left\langle \psi ^{0}\right\vert {\mathcal {H}}'\left\vert \psi ^{0}\right\rangle =-{\frac {1}{8{m_{\text{e}}}^{3}c^{2}}}\left\langle \psi ^{0}\right\vert p^{4}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle =-{\frac {1}{8{m_{\text{e}}}^{3}c^{2}}}\left\langle \psi ^{0}\right\vert p^{2}p^{2}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle }$$ أين${\displaystyle \psi ^{0}}$هي دالة الموجة غير المضطربة. وبالرجوع إلى هاميلتوني غير المضطرب، نرى $$\begin{aligned}{\mathcal{H}}^{0}\left\vert \psi^{0}\right\rangle &=E_{n}\left\vert \psi^{0}\right\rangle \\\left({\frac{p^{2}}{2m_{\text{e}}}}+V\right)\left\vert \psi^{0}\right\rangle &=E_{n}\left\vert \psi^{0}\right\rangle \\p^{2}\left\vert \psi^{0}\right\rangle &=2m_{\text{e}}(E_{n}-V)\left\vert \psi^{0}\right\rangle \end{aligned}}}$$

يمكننا استخدام هذه النتيجة لحساب التصحيح النسبي بشكل أكبر: $$\begin{aligned}E_{n}^{(1)}&=-{\frac {1}{8{m_{\text{e}}}^{3}c^{2}}}\left\langle \psi ^{0}\right\vert p^{2}p^{2}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle \\[1ex]&=-{\frac {1}{8{m_{\text{e}}}^{3}c^{2}}}\left\langle \psi ^{0}\right\vert (2m_{\text{e}})^{2}(E_{n}-V)^{2}\left\vert \psi ^{0}\right\rangle \\[1ex]&=-{\frac {1}{2m_{\text{e}}c^{2}}}\left(E_{n}^{2}-2E_{n}\langle V\rangle +\left\langle V^{2}\right\rangle \right)\end{aligned}}}$$

بالنسبة لذرة الهيدروجين، $${\displaystyle V(r)={\frac {-e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}},}$$$${\displaystyle \left\langle {\frac {1}{r}}\right\rangle ={\frac {1}{a_{0}n^{2}}},}$$و$${\displaystyle \left\langle {\frac {1}{r^{2}}}\right\rangle ={\frac {1}{(\ell +1/2)n^{3}a_{0}^{2}}},}$$ أين${\displaystyle e}$هي الشحنة الأولية ،${\displaystyle \varepsilon _{0}}$هي سماحية الفراغ ،${\displaystyle a_{0}}$هو نصف قطر بور ،${\displaystyle n}$هو العدد الكمي الرئيسي ،${\displaystyle \ell }$هو العدد الكمي السمتي و${\displaystyle r}$هي المسافة بين الإلكترون والنواة. لذلك، فإن التصحيح النسبي من الدرجة الأولى لذرة الهيدروجين هو $${\displaystyle {\begin{aligned}E_{n}^{(1)}&=-{\frac {1}{2m_{\text{e}}c^{2}}}\left(E_{n}^{2}+2E_{n}{\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {1}{a_{0}n^{2}}}+{\frac {1}{16\pi ^{2}\varepsilon _{0}^{2}}}{\frac {e^{4}}{\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)n^{3}a_{0}^{2}}}\right)\\&=-{\frac {E_{n}^{2}}{2m_{\text{e}}c^{2}}}\left({\frac {4n}{\ell +{\frac {1}{2}}}}-3\right)\end{aligned}}}$$ حيث استخدمنا: $${\displaystyle E_{n}=-{\frac {e^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}a_{0}n^{2}}}}$$

في الحساب النهائي، يكون التصحيح النسبي للحالة الأرضية هو−9.056 × 10 ⁻⁴  إلكترون فولت . بشكل عام، $${\displaystyle E_{n}^{(1)}=-1.81\times 10^{-4}\;\mathrm {eV} \times {\frac {1}{n^{4}}}\left({\frac {4n}{\ell +{\frac {1}{2}}}}-3\right).}$$

بالنسبة لذرة شبيهة بالهيدروجين مع${\displaystyle Z}$البروتونات (${\displaystyle Z=1}$(للهيدروجين)، الزخم الزاوي المداري${\displaystyle \mathbf {L} }$ودوران الإلكترون${\displaystyle \mathbf {S} }$، ويُعطى مصطلح الدوران المداري بالصيغة التالية: $${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\mathrm {SO} }=\left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)\left({\frac {g_{s}-1}{2{m_{\text{e}}}^{2}c^{2}}}\right){\frac {\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} }{r^{3}}}}$$ أين${\displaystyle g_{s}}$هو عامل الدوران g .

يمكن فهم تصحيح الدوران المداري بالانتقال من الإطار المرجعي القياسي ( حيث يدور الإلكترون حول النواة ) إلى إطار مرجعي يكون فيه الإلكترون ثابتًا وتدور النواة حوله. في هذه الحالة، تعمل النواة الدائرة كحلقة تيار فعالة، والتي بدورها تولد مجالًا مغناطيسيًا. مع ذلك، يمتلك الإلكترون نفسه عزمًا مغناطيسيًا بسبب زخمه الزاوي الذاتي . المتجهان المغناطيسيان،${\displaystyle \mathbf {B} }$و${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{s}}$تتحد هذه الجزيئات معًا بحيث يكون هناك تكلفة طاقة معينة تعتمد على اتجاهها النسبي. وهذا يؤدي إلى تصحيح الطاقة بالشكل ^{[ 8 ].}$${\displaystyle \Delta E_{\mathrm {SO} }=\xi (r)\mathbf {L} \cdot \mathbf {S} }$$

لاحظ أنه يجب إضافة عامل مهم قدره 2 إلى الحساب، ويسمى ترنح توماس ، والذي يأتي من الحساب النسبي الذي يتغير مرة أخرى إلى إطار الإلكترون من إطار النواة.

منذ $${\displaystyle \left\langle {\frac {1}{r^{3}}}\right\rangle ={\frac {Z^{3}}{n^{3}a_{0}^{3}}}{\frac {1}{\ell \left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)(\ell +1)}}}$$ بواسطة علاقات التكرار لكرامرز-باستيرناك (المسماة على اسم هانز كرامرز وسيمون باستيرناك ) و $${\displaystyle \left\langle \mathbf {L} \cdot \mathbf {S} \right\rangle ={\frac {\hbar ^{2}}{2}}\left[j(j+1)-\ell (\ell +1)-s(s+1)\right]}$$ القيمة المتوقعة للهاميلتوني هي: $${\displaystyle \left\langle {\mathcal {H}}_{\mathrm {SO} }\right\rangle ={\frac {{E_{n}}^{2}}{m_{\text{e}}c^{2}}}~n~{\frac {j(j+1)-\ell (\ell +1)-{\frac {3}{4}}}{\ell \left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)(\ell +1)}}}$$

وبالتالي فإن رتبة مقدار اقتران الدوران المداري هي: $${\displaystyle {\frac {Z^{4}}{n^{3}\left(j+{\frac {1}{2}}\right)\left(j+1\right)}}\times 10^{-4}{\text{ eV}}}$$

عند تطبيق مجالات مغناطيسية خارجية ضعيفة، يساهم اقتران الدوران المداري في تأثير زيمان .

يوجد حد أخير في التوسع غير النسبي لمعادلة ديراك . ويُشار إليه باسم حد داروين، لأنه اشتقّه تشارلز غالتون داروين لأول مرة ، ويُعطى بالصيغة التالية: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}_{\text{Darwin}}&={\frac {\hbar ^{2}}{8{m_{\text{e}}}^{2}c^{2}}}\,4\pi \left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)\delta ^{3}{\left(\mathbf {r} \right)}\\\langle {\mathcal {H}}_{\text{Darwin}}\rangle &={\frac {\hbar ^{2}}{8{m_{\text{e}}}^{2}c^{2}}}\,4\pi \left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)|\psi (0)|^{2}\\[3pt]\psi (0)&={\begin{cases}0&{\text{ for }}\ell >0\\{\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\,2\left({\frac {Z}{na_{0}}}\right)^{\frac {3}{2}}&{\text{ for }}\ell =0\end{cases}}\\[2pt]{\mathcal {H}}_{\text{Darwin}}&={\frac {2n}{m_{\text{e}}c^{2}}}\,E_{n}^{2}\end{aligned}}}$$

يؤثر حد داروين فقط على المدارات s. وذلك لأن الدالة الموجية للإلكترون مع${\displaystyle \ell >0}$تتلاشى عند نقطة الأصل، وبالتالي فإن دالة دلتا ليس لها أي تأثير. على سبيل المثال، تعطي المدار 2s نفس طاقة المدار 2p عن طريق رفع مستوى الحالة 2s بمقدار9.057 × 10 ⁻⁵  إلكترون فولت .

يُغيّر مصطلح داروين طاقة الوضع للإلكترون. ويمكن تفسيره على أنه تلاشي للتفاعل الكهروستاتيكي بين الإلكترون والنواة نتيجةً لحركة زيتيربيفيغونغ ، أو التذبذبات الكمومية السريعة للإلكترون. ويمكن إثبات ذلك بحساب بسيط. ^{[ 9 ]}

تسمح التقلبات الكمومية بإنشاء أزواج إلكترون -بوزيترون افتراضية ذات عمر افتراضي يُقدَّر بمبدأ عدم اليقين.${\displaystyle \Delta t\approx \hbar /\Delta E\approx \hbar /mc^{2}}$المسافة التي يمكن أن تتحركها الجسيمات خلال هذا الوقت هي${\displaystyle \xi \approx c\Delta t\approx \hbar /mc=\lambda \!\!\!{\bar {}}_{\text{C}}}$، طول موجة كومبتون المخفضة . تتفاعل إلكترونات الذرة مع هذه الأزواج. ينتج عن ذلك تذبذب في موضع الإلكترون.${\displaystyle \mathbf {r} +{\boldsymbol {\xi }}}$باستخدام متسلسلة تايلور ، يتم تحديد التأثير على الجهد${\displaystyle U}$يمكن تقدير ذلك: $${\displaystyle U(\mathbf {r} +{\boldsymbol {\xi }})\approx U(\mathbf {r} )+\xi \cdot \nabla U(\mathbf {r} )+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j}\xi _{i}\xi _{j}\partial _{i}\partial _{j}U(\mathbf {r} )}$$

متوسط ​​التقلبات${\displaystyle {\boldsymbol {\xi }}}$$${\displaystyle {\overline {\xi }}=0,\quad {\overline {\xi _{i}\xi _{j}}}={\frac {1}{3}}{\overline {{\boldsymbol {\xi }}^{2}}}\delta _{ij},}$$ يعطي متوسط ​​الإمكانات $${\displaystyle {\overline {U\left(\mathbf {r} +{\boldsymbol {\xi }}\right)}}=U{\left(\mathbf {r} \right)}+{\frac {1}{6}}{\overline {{\boldsymbol {\xi }}^{2}}}\nabla ^{2}U\left(\mathbf {r} \right).}$$

التقريب${\displaystyle {\overline {{\boldsymbol {\xi }}^{2}}}\approx {\lambda \!\!\!{\bar {}}_{\text{C}}}^{2}}$وهذا ينتج عنه اضطراب في الجهد بسبب التقلبات: $${\displaystyle \delta U\approx {\frac {1}{6}}\lambda \!\!\!{\bar {}}_{\text{C}}^{2}\nabla ^{2}U={\frac {\hbar ^{2}}{6{m_{\text{e}}}^{2}c^{2}}}\nabla ^{2}U}$$

للمقارنة مع التعبير أعلاه، قم بتعويض جهد كولوم : $${\displaystyle \nabla ^{2}U=-\nabla ^{2}{\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r}}=4\pi \left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)\delta ^{3}(\mathbf {r} )\quad \Rightarrow \quad \delta U\approx {\frac {\hbar ^{2}}{6{m_{\text{e}}}^{2}c^{2}}}4\pi \left({\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\right)\delta ^{3}(\mathbf {r} )}$$

هذا يختلف قليلاً فقط.

هناك آلية أخرى تؤثر فقط على الحالة s وهي إزاحة لامب ، وهي تصحيح إضافي أصغر ينشأ في الديناميكا الكهربائية الكمومية، ويجب عدم الخلط بينها وبين حد داروين. يُعطي حد داروين الحالة s والحالة p نفس الطاقة، لكن إزاحة لامب تجعل طاقة الحالة s أعلى من طاقة الحالة p.

يُعطى الهاميلتوني الكامل بواسطة $${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{\text{Coulomb}}+{\mathcal {H}}_{\text{kinetic}}+{\mathcal {H}}_{\mathrm {SO} }+{\mathcal {H}}_{\text{Darwin}},}$$ أين${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{Coulomb}}}$هو الهاميلتوني الناتج عن تفاعل كولوم .

يُعطى التأثير الكلي، الذي يتم الحصول عليه عن طريق جمع المكونات الثلاثة، بالصيغة التالية: ^{[ 10 ]}$${\displaystyle \Delta E={\frac {E_{n}(Z\alpha )^{2}}{n}}\left({\frac {1}{j+{\frac {1}{2}}}}-{\frac {3}{4n}}\right)\,,}$$ أين${\displaystyle j}$هو العدد الكمي للزخم الزاوي الكلي (${\displaystyle j=1/2}$لو${\displaystyle \ell =0}$و${\displaystyle j=\ell \pm 1/2}$وإلا). ومن الجدير بالذكر أن هذا التعبير تم الحصول عليه لأول مرة بواسطة سومرفيلد بناءً على نظرية الكم القديمة ؛ أي قبل أن تتم إعادة صياغة ميكانيكا الكم الحديثة بواسطة فيرنر هايزنبرغ وإرفين شرودنغر .

يمكن أيضًا الحصول على التأثير الكلي باستخدام معادلة ديراك. تُعطى الطاقات الدقيقة بالمعادلة ^{[ 11 ].}$${\displaystyle E_{j\,n}=-m_{\text{e}}c^{2}\left[1-\left(1+\left[{\frac {\alpha }{n-j-{\frac {1}{2}}+{\sqrt {\left(j+{\frac {1}{2}}\right)^{2}-\alpha ^{2}}}}}\right]^{2}\right)^{-{\frac {1}{2}}}\right].}$$

هذا التعبير، الذي يحتوي على جميع الحدود ذات الرتب العليا التي تم استبعادها في الحسابات الأخرى، يتوسع إلى الرتبة الأولى ليعطي تصحيحات الطاقة المستمدة من نظرية الاضطراب. مع ذلك، لا تتضمن هذه المعادلة تصحيحات البنية فائقة الدقة ، الناتجة عن التفاعلات مع اللف المغزلي النووي. كما لا تتضمن تصحيحات أخرى من نظرية الحقل الكمومي، مثل إزاحة لامب وعزم ثنائي القطب المغناطيسي الشاذ للإلكترون.