مجموعة التشاكل المتماثل

في الرياضيات ، وخاصة في علم الطوبولوجيا ، تُعرف مجموعة التشاكلات المتماثلة لفضاء طوبولوجي بأنها المجموعة التي تتكون من جميع التشاكلات المتماثلة من الفضاء إلى نفسه، حيث يكون تركيب الدوال هو عملية المجموعة . وتُعد هذه المجموعات مهمة لنظرية الفضاءات الطوبولوجية، وهي عمومًا مثال نموذجي على مجموعات التشاكل الذاتي ، وتتميز بثباتها الطوبولوجي بمعنى تماثل المجموعة .

يوجد تأثير جماعي طبيعي لمجموعة التشاكل المتماثل لفضاء ما على ذلك الفضاء. ليكن${\displaystyle X}$ليكن فضاءً طوبولوجيًا، وليرمز إلى مجموعة التشاكل المتماثل لـ${\displaystyle X}$بواسطة${\displaystyle G}$يُعرَّف هذا الإجراء على النحو التالي:

${\displaystyle {\begin{aligned}G\times X&\longrightarrow X\\(\varphi ,x)&\longmapsto \varphi (x)\end{aligned}}}$

هذا عمل جماعي لأنه يخص الجميع${\displaystyle \varphi ,\psi \in G}$،

${\displaystyle \varphi \cdot (\psi \cdot x)=\varphi (\psi (x))=(\varphi \circ \psi )(x)}$،

أين${\displaystyle \cdot }$يشير إلى العمل الجماعي، وعنصر الهوية لـ${\displaystyle G}$(وهي دالة التطابق على${\displaystyle X}$) يرسل النقاط إلى نفسه. إذا كان هذا الفعل متعدياً ، فإن الفضاء يقال إنه متجانس .

في الطوبولوجيا الهندسية على وجه الخصوص، يتم النظر في مجموعة القسمة التي تم الحصول عليها عن طريق القسمة بواسطة التماثل ، والتي تسمى مجموعة فئات التطبيق :

${\displaystyle {\rm {MCG}}(X)={\rm {Homeo}}(X)/{\rm {Homeo}}_{0}(X)}$.

يمكن أيضًا تفسير MCG على أنها مجموعة التماثل الصفرية ،${\displaystyle {\rm {MCG}}(X)=\pi _{0}({\rm {Homeo}}(X))}$وهذا ينتج عنه التسلسل الدقيق القصير :

${\displaystyle 1\rightarrow {\rm {Homeo}}_{0}(X)\rightarrow {\rm {Homeo}}(X)\rightarrow {\rm {MCG}}(X)\rightarrow 1.}$

في بعض التطبيقات، وخاصة الأسطح، تتم دراسة مجموعة التشاكل المتماثل من خلال هذا التسلسل الدقيق القصير، ومن خلال دراسة مجموعة فئة التعيين ومجموعة التشاكل المتماثل التافه أولاً، ثم (في بعض الأحيان) الامتداد.

• مجموعة فئات التعيين

• "مجموعة التشاكل المتماثل" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]