حلقة التقسيم

في الجبر ، تُعرف حلقة القسمة ، أو حقل القسمة المعكوس ، بأنها حلقة غير تافهة تُعرَّف فيها القسمة على عناصر غير صفرية. تحديدًا، هي حلقة غير تافهة ^{[ 1 ]} حيث لكل عنصر غير صفري a معكوس ضربي ؛ أي عنصر يُرمز له عادةً ^بـ a⁻¹ ، بحيث يكون ^a⁻¹ = a⁻¹a = 1. لذا ، يمكن تعريف القسمة ( ^{اليمينية )} على أنها a / b = a⁻¹b⁻¹ ^، ولكن يُتجنب استخدام هذا الرمز ، إذ ^قد يكون a⁻¹b⁻¹ ≠ b⁻¹a ^.

حلقة القسمة التبديلية هي حقل . تنص نظرية ويدربورن الصغيرة على أن جميع حلقات القسمة المنتهية هي تبديلية وبالتالي حقول منتهية .

تاريخياً، كانت حلقات القسمة تُسمى أحياناً بالحقول، بينما كانت الحقول تُسمى "الحقول التبادلية". ^{[ 5 ]} في بعض اللغات، مثل الفرنسية ، تُستخدم الكلمة المكافئة لكلمة "حقل" ("corps") لكل من الحالات التبادلية وغير التبادلية، ويتم التمييز بين الحالتين بإضافة صفات مثل "corps commutatif" (حقل تبادلي) أو "corps gauche" (حقل منحرف).

جميع حلقات القسمة بسيطة . أي أنها لا تحتوي على مثالي ثنائي الجانب باستثناء المثالي الصفري ونفسها.

جميع الحقول هي حلقات قسمة، وكل حلقة قسمة غير حقلية هي حلقة غير تبديلية. المثال الأشهر هو حلقة الكواترنيونات . إذا اقتصرنا على المعاملات النسبية بدلًا من الحقيقية في بناء الكواترنيونات، نحصل على حلقة قسمة أخرى. عمومًا، إذا كانت R حلقة و S وحدة نمطية بسيطة فوق R ، فإن حلقة التشكلات الداخلية لـ S ، وفقًا لفرضية شور ، هي حلقة قسمة؛ ^{[ 6 ]} تنشأ كل حلقة قسمة بهذه الطريقة من وحدة نمطية بسيطة ما.

يمكن صياغة جزء كبير من الجبر الخطي ، ويظل صحيحًا، للوحدات النمطية على حلقة القسمة D بدلًا من الفضاءات المتجهة على حقل. عند القيام بذلك، يجب تحديد ما إذا كنا نتعامل مع الوحدات النمطية اليمنى أو اليسرى، ويتطلب الأمر بعض الدقة في التمييز بين اليمين واليسار في الصيغ. على وجه الخصوص، لكل وحدة نمطية أساس ، ويمكن استخدام طريقة الحذف الغاوسي . لذا، فإن كل ما يمكن تعريفه بهذه الأدوات ينطبق على جبر القسمة. تُعرَّف المصفوفات وحاصل ضربها بطريقة مماثلة.

لا تُعرَّف المحددات على جبر القسمة غير التبادلي. ولا يمكن تعميم معظم الأمور التي تتطلب هذا المفهوم على جبر القسمة غير التبادلي، على الرغم من أن التعميمات مثل شبه المحددات تسمح باستعادة بعض النتائج .

عند العمل بنظام الإحداثيات، يمكن تمثيل عناصر وحدة يمنى محدودة الأبعاد بمتجهات عمودية، يمكن ضربها من اليمين بأعداد قياسية، ومن اليسار بمصفوفات (تمثل التحويلات الخطية). أما عناصر وحدة يسرى محدودة الأبعاد، فيجب استخدام متجهات صفية، يمكن ضربها من اليسار بأعداد قياسية، ومن اليمين بمصفوفات. الوحدة الثنائية للوحدة اليمنى هي وحدة يسرى، والعكس صحيح. يجب اعتبار منقولة المصفوفة مصفوفةً على حلقة القسمة المقابلة D op لكي تبقى القاعدة ( AB ) T = B  T A T  صحيحة.

كل وحدة نمطية على حلقة القسمة حرة ؛ أي أنها تمتلك أساسًا، وجميع قواعد الوحدة النمطية لها نفس عدد العناصر . يمكن وصف التحويلات الخطية بين الوحدات النمطية ذات الأبعاد المحدودة على حلقة القسمة باستخدام المصفوفات ؛ وحقيقة أن التحويلات الخطية، بحكم تعريفها، تتبادل مع الضرب القياسي، يُعبَّر عنها بشكل ملائم بكتابتها على الجانب المقابل للمتجهات كما هو الحال مع الكميات القياسية. وتبقى خوارزمية الحذف الغاوسي قابلة للتطبيق. رتبة العمود في المصفوفة هي بُعد الوحدة النمطية اليمنى المُولَّدة بواسطة الأعمدة، ورتبة الصف هي بُعد الوحدة النمطية اليسرى المُولَّدة بواسطة الصفوف؛ ويمكن استخدام نفس البرهان المستخدم في حالة فضاء المتجهات لإثبات أن هاتين الرتبتين متساويتان، وبالتالي تحديد رتبة المصفوفة.

حلقات القسمة هي الحلقات الوحيدة التي يكون فيها كل عنصر حرًا: الحلقة R هي حلقة قسمة إذا وفقط إذا كان كل عنصر R حرًا . ^{[ 7 ]}

مركز حلقة القسمة تبديلي، وبالتالي فهو حقل. ^{[ 8 ]} لذلك ، تُعدّ كل حلقة قسمة جبر قسمة فوق مركزها. يمكن تصنيف حلقات القسمة تقريبًا وفقًا لما إذا كانت ذات أبعاد منتهية أو غير منتهية فوق مراكزها. تُسمى الأولى ذات أبعاد منتهية مركزيًا، والثانية ذات أبعاد غير منتهية مركزيًا . كل حقل أحادي البعد فوق مركزه. تُشكّل حلقة الكواترنيونات الهاميلتونية جبرًا رباعي الأبعاد فوق مركزها، وهو متماثل مع الأعداد الحقيقية.

• كما ذكر أعلاه، جميع الحقول عبارة عن حلقات تقسيم.
• تشكل الأيونات الرباعية حلقة قسمة غير تبادلية.
• تُعرف المجموعة الجزئية من الأعداد الرباعية a + bi + cj + dk ، حيث تنتمي a و b و c و d إلى حقل جزئي ثابت من الأعداد الحقيقية ، بحلقة قسمة غير تبديلية. وعندما يكون هذا الحقل الجزئي هو حقل الأعداد النسبية ، تُعرف هذه المجموعة بحلقة قسمة الأعداد الرباعية النسبية .
• يترك${\displaystyle \sigma$ ليكن }:\mathbb {C} \to \mathbb {C} تشاكلاً ذاتياً للحقل${\displaystyle \mathbb {C} }$. يترك${\displaystyle \mathbb {C} ((z,\sigma ))}$لنرمز إلى حلقة متسلسلات لوران الرسمية ذات المعاملات المركبة، حيث يُعرَّف الضرب على النحو التالي: بدلاً من السماح ببساطة للمعاملات بالتبادل مباشرة مع غير المحدد${\displaystyle z}$، ل${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$، يُعرِّف${\displaystyle z^{i}\alpha$ :=\sigma ^{i}(\alpha )z^{i}} لكل فهرس${\displaystyle i\in \mathbb {Z} }$. لو${\displaystyle \sigma }$إذا كان σ تشاكلًا ذاتيًا غير تافه للأعداد المركبة (مثل الاقتران )، فإن حلقة متسلسلات لوران الناتجة هي حلقة قسمة غير تبديلية تُعرف بحلقة متسلسلات لوران المائلة ؛ ^{[ 9 ]} إذا كان σ = id ، فإنها تتميز بالضرب القياسي للمتسلسلات الصورية . يمكن تعميم هذا المفهوم على حلقة متسلسلات لوران على أي حقل ثابت.${\displaystyle F}$، بالنظر إلى غير تافه${\displaystyle F}$-التشكل الذاتي${\displaystyle \sigma }$.

نظرية ويدربورن الصغيرة : جميع حلقات القسمة المنتهية هي تبديلية وبالتالي حقول منتهية . ( قدم إرنست ويت برهانًا بسيطًا.)

نظرية فروبينيوس : إن جبر القسمة الترابطي الوحيد ذو الأبعاد المحدودة على الأعداد الحقيقية هو الأعداد الحقيقية نفسها، والأعداد المركبة ، والأعداد الرباعية .

كانت حلقات القسمة تُسمى "حقولًا" في الاستخدام القديم. في العديد من اللغات، تُستخدم كلمة تعني "جسم" لحلقات القسمة، حيث تشير بعضها إلى حلقات القسمة التبادلية أو غير التبادلية، بينما تشير لغات أخرى تحديدًا إلى حلقات القسمة التبادلية (ما نسميه الآن حقولًا في اللغة الإنجليزية). يمكن الاطلاع على مقارنة أكثر شمولًا في مقال الحقول .

يحمل مصطلح "الحقل المنحرف" سمة دلالية مثيرة للاهتمام : فالمُعدِّل (هنا "منحرف") يُوسِّع نطاق المصطلح الأساسي (هنا "حقل"). وبالتالي، فإن الحقل هو نوع خاص من الحقل المنحرف، وليست كل الحقول المنحرفة حقولاً.

بينما يُفترض أن حلقات القسمة والجبر كما نوقش هنا لها ضرب ترابطي، فإن جبر القسمة غير الترابطي مثل الأوكتونيونات له أهمية أيضًا.

المجال القريب هو بنية جبرية تشبه حلقة القسمة، باستثناء أنها تحتوي على واحد فقط من قانوني التوزيع .

• هوية هوا