الحلقة الطوبولوجية

في الرياضيات ، الحلقة الطوبولوجية هي حلقة${\displaystyle R}$وهو أيضًا فضاء طوبولوجي بحيث تكون كل من عملية الجمع والضرب متصلة كخرائط ^{[ 1 ].}${\displaystyle R\times R\to R}$أين${\displaystyle R\times R}$يحمل بنية المنتج . وهذا يعني${\displaystyle R}$هي مجموعة طوبولوجية جمعية وشبه مجموعة طوبولوجية ضربية .

ترتبط الحلقات الطوبولوجية ارتباطًا وثيقًا بالحقول الطوبولوجية وتنشأ بشكل طبيعي أثناء دراستها، حيث أن إكمال حقل طوبولوجي قد يكون حلقة طوبولوجية ليست حقلاً . ^{[ 2 ]}

مجموعة الوحدات${\displaystyle R^{\times }}$حلقة طوبولوجية${\displaystyle R}$تُعتبر مجموعة طوبولوجية عندما تُزود بالطوبولوجيا الناتجة عن تضمين${\displaystyle R^{\times }}$في المنتج${\displaystyle R\times R}$مثل${\displaystyle \left(x,x^{-1}\right).}$لكن، إذا كانت مجموعة الوحدة مزودة بطوبولوجيا الفضاء الجزئي كفضاء جزئي من${\displaystyle R,}$قد لا تكون مجموعة طوبولوجية، لأن الانعكاس على${\displaystyle R^{\times }}$ليس بالضرورة أن تكون متصلة بالنسبة لطوبولوجيا الفضاء الجزئي. مثال على ذلك حلقة أديل لحقل شامل ؛ فمجموعة وحدتها، المسماة مجموعة إيديل ، ليست مجموعة طوبولوجية في طوبولوجيا الفضاء الجزئي. إذا كان الانعكاس على${\displaystyle R^{\times }}$متصلة في طوبولوجيا الفضاء الجزئي لـ${\displaystyle R}$ثم هاتان الطوبولوجيتان على${\displaystyle R^{\times }}$هما متماثلان.

إذا لم يشترط المرء أن تحتوي الحلقة على وحدة، فعليه إضافة شرط استمرارية المعكوس الجمعي، أو بشكل مكافئ، تعريف الحلقة الطوبولوجية على أنها حلقة تمثل مجموعة طوبولوجية (بالنسبة للجمع) يكون فيها الضرب مستمرًا أيضًا.

تظهر الحلقات الطوبولوجية في التحليل الرياضي ، على سبيل المثال كحلقات من الدوال الحقيقية المتصلة على فضاء طوبولوجي (حيث تُحدد الطوبولوجيا بالتقارب النقطي)، أو كحلقات من المؤثرات الخطية المتصلة على فضاء متجهي معياري ؛ جميع جبر باناخ هي حلقات طوبولوجية. وتشمل هذه الحلقات الدوال الكسرية والحقيقية والمركبة .${\displaystyle p}$الأعداد السالبة هي أيضًا حلقات طوبولوجية (حقول طوبولوجية زوجية، انظر أدناه) ذات طوبولوجيات قياسية. في المستوى، تُشكّل الأعداد المركبة المنقسمة والأعداد الثنائية حلقات طوبولوجية بديلة. انظر الأعداد المركبة الفائقة للاطلاع على أمثلة أخرى منخفضة الأبعاد.

في الجبر التبادلي ، يشيع استخدام البناء التالي: بالنظر إلى مثالي${\displaystyle I}$في حلقة تبديلية${\displaystyle R,}$الطوبولوجيا I -adic على${\displaystyle R}$يُعرَّف على النحو التالي: مجموعة جزئية${\displaystyle U}$ل${\displaystyle R}$مفتوح إذا وفقط إذا كان لكل${\displaystyle x\in U}$يوجد عدد طبيعي${\displaystyle n}$بحيث${\displaystyle x+I^{n}\subseteq U.}$وهذا يتحول${\displaystyle R}$في حلقة طوبولوجية.${\displaystyle I}$تكون الطوبولوجيا -adic هاوسدورف إذا وفقط إذا كان تقاطع جميع قوى${\displaystyle I}$هو المثال الصفري${\displaystyle (0).}$

ال${\displaystyle p}$تُعدّ الطوبولوجيا -adic على الأعداد الصحيحة مثالاً على${\displaystyle I}$الطوبولوجيا -adic (مع${\displaystyle I=p\mathbb {Z} }$).

كل حلقة طوبولوجية هي زمرة طوبولوجية (بالنسبة للجمع) وبالتالي فضاء منتظم بطريقة طبيعية. ومن ثم يمكن للمرء أن يسأل عما إذا كانت حلقة طوبولوجية معينة${\displaystyle R}$هي كاملة . إذا لم تكن كذلك، فيمكن إكمالها : يمكن إيجاد حلقة طوبولوجية كاملة فريدة جوهريًا${\displaystyle S}$الذي يحتوي${\displaystyle R}$كحلقة فرعية كثيفة بحيث تكون الطوبولوجيا المعطاة على${\displaystyle R}$يساوي طوبولوجيا الفضاء الجزئي الناشئة عن${\displaystyle S.}$ إذا كانت حلقة البداية${\displaystyle R}$هو متري، الحلقة${\displaystyle S}$يمكن بناؤها كمجموعة من فئات التكافؤ لمتتاليات كوشي في${\displaystyle R,}$تُشكّل علاقة التكافؤ هذه الحلقة${\displaystyle S}$باستخدام متتاليات هاوسدورف الثابتة (وهي متتاليات كوشي)، يمكن تحقيق تشاكل مستمر (CM في ما يلي).${\displaystyle c:R\to S}$بحيث يكون ذلك لجميع CM${\displaystyle f:R\to T}$أين${\displaystyle T}$هو هاوسدورف وكامل، يوجد CM فريد${\displaystyle g:S\to T}$بحيث ${\displaystyle f=g\circ c.}$لو${\displaystyle R}$ليست مترية (كما هو الحال، على سبيل المثال، حلقة جميع الدوال ذات القيم النسبية والمتغيرات الحقيقية، أي جميع الدوال${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {Q} }$(المجهز بطوبولوجيا التقارب النقطي) يستخدم البناء القياسي مرشحات كوشي الدنيا ويحقق نفس الخاصية العالمية كما هو مذكور أعلاه (انظر بورباكي ، الطوبولوجيا العامة، III.6.5).

حلقات سلسلة القوى الرسمية و${\displaystyle p}$تُعرَّف الأعداد الصحيحة -adic بشكل طبيعي على أنها إكمال لحلقات طوبولوجية معينة تحمل${\displaystyle I}$الطوبولوجيات -adic .

من أهم الأمثلة على ذلك الحقول الطوبولوجية . الحقل الطوبولوجي هو حلقة طوبولوجية تُعدّ أيضًا حقلًا ، بحيث يكون انعكاس العناصر غير الصفرية دالة متصلة. من أكثر الأمثلة شيوعًا الأعداد المركبة وجميع حقولها الفرعية ، والحقول ذات القيم ، والتي تشمل...${\displaystyle p}$الحقول -adic .

• المجموعة المدمجة – مجموعة طوبولوجية ذات طوبولوجيا مدمجة 
• مجال كامل
• حقل مضغوط محليًا
• المجموعة المدمجة محليًا - نوع من المجموعات الطوبولوجية في الرياضيات 
• فضاء متجهي طوبولوجي مرتب
• شبه المجموعة المتصلة بقوة – تعميم للدالة الأسية. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه. 
• مجموعة أبيلية طوبولوجية
• حقل طوبولوجي – بنية جبرية تتضمن الجمع والضرب والقسمة. صفحات تعرض أوصافًا موجزة لأهداف إعادة التوجيه. 
• المجموعة الطوبولوجية - مجموعة تمثل فضاءً طوبولوجيًا مع عمليات مجموعة متصلة 
• وحدة طوبولوجية
• شبه المجموعة الطوبولوجية
• الفضاء المتجهي الطوبولوجي – الفضاء المتجهي مع مفهوم التقارب