مبدأ كافالييري

📅 آخر تحديث: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٤ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 39 صور
الموسوعة الحرة
يوضح هذا الرسم المتحرك مبدأ كافالييري عمليًا: إذا كان لديك نفس مجموعة المقاطع العرضية التي تختلف فقط عن طريق الإزاحة الأفقية، فستحصل على نفس الحجم.
لكلا متوازيي السطوح نفس الحجم وفقًا لمبدأ كافالييري. ويمكن استخدام ذلك لإثبات أن المحدد متعدد الخطية .
يُبرز هذا مبدأ كافالييري في بُعدين. تتمتع المنطقتان بمساحة متساوية على الرغم من إزاحة الشرائح الرأسية للمنطقة السفلية على طول موجة جيبية.

في الهندسة ، مبدأ كافالييري ، وهو تطبيق حديث لطريقة الأجزاء غير القابلة للتجزئة ، والذي سمي على اسم بونافنتورا كافالييري ، هو كما يلي: [ 1 ]

  • في الحالة ثنائية الأبعاد: لنفترض أن منطقتين في مستوى ما تقعان بين خطين متوازيين في ذلك المستوى. إذا تقاطع كل خط موازٍ لهذين الخطين مع المنطقتين في قطع مستقيمة متساوية الطول، فإن المنطقتين متساويتان في المساحة.
  • في الحالة ثلاثية الأبعاد: لنفترض أن منطقتين في الفضاء ثلاثي الأبعاد (مجسمات) محصورتان بين مستويين متوازيين. إذا تقاطع كل مستوى موازٍ لهذين المستويين مع المنطقتين بمقاطع عرضية متساوية المساحة، فإن المنطقتين لهما حجمان متساويان.

يُنظر اليوم إلى مبدأ كافالييري كخطوة مبكرة نحو حساب التكامل ، وبينما يُستخدم في بعض الأشكال، مثل تعميمه في نظرية فوبيني وتمثيل الكعكة الطبقية ، غالبًا ما يمكن إظهار النتائج باستخدام مبدأ كافالييري بشكل مباشر أكثر عبر التكامل. من جهة أخرى، نشأ مبدأ كافالييري من طريقة الاستنفاد اليونانية القديمة ، التي استخدمت النهايات دون استخدام الكميات المتناهية الصغر .

تاريخ

عالم الرياضيات الإيطالي بونافينتورا كافاليري (1598–1647)، من كتابه Trattato della sfera الذي نُشر عام 1682

كان مبدأ كافالييري يُعرف في الأصل باسم "طريقة الأجزاء غير القابلة للتجزئة"، وهو الاسم الذي اشتهر به في عصر النهضة الأوروبية . [ 2 ] وقد طوّر كافالييري نظرية كاملة للأجزاء غير القابلة للتجزئة، فصّلها في كتابه " الهندسة المتقدمة بطريقة جديدة من خلال الأجزاء غير القابلة للتجزئة في المتصلات" ( 1635) وكتابه " ستة تمارين هندسية" ( 1647). [ 3 ] ورغم أن عمل كافالييري قد أرسى المبدأ، إلا أنه أنكر في منشوراته أن المتصل يتكون من أجزاء غير قابلة للتجزئة، وذلك لتجنب المفارقات والجدالات الدينية المرتبطة به، ولم يستخدمه لاكتشاف نتائج غير معروفة سابقًا. [ 4 ]

في القرن الثالث قبل الميلاد، تمكن أرخميدس ، باستخدام طريقة تُشبه مبدأ كافالييري، [ 5 ] من إيجاد حجم الكرة بمعرفة حجمي المخروط والأسطوانة في كتابه "طريقة النظريات الميكانيكية" . وفي القرن الخامس الميلادي، وضع زو تشونغ تشي وابنه زو غينغ تشي طريقة مماثلة لإيجاد حجم الكرة. [ 2 ] إلا أن أياً من هاتين الطريقتين لم يكن معروفاً في أوائل العصر الحديث في أوروبا.

شكّل الانتقال من مفهوم "الأجزاء غير القابلة للتجزئة" لكافالييري إلى مفهوم "الأجزاء المتناهية الصغر " لإيفانجيليستا توريتشيلي وجون واليس تقدماً كبيراً في تاريخ حساب التفاضل والتكامل. كانت الأجزاء غير القابلة للتجزئة عبارة عن كيانات ذات بُعد مشترك يساوي 1، ولذلك كان يُعتقد أن الشكل المستوي يتكون من عدد لا نهائي من الخطوط أحادية البُعد. في المقابل، كانت الأجزاء المتناهية الصغر عبارة عن كيانات لها نفس بُعد الشكل الذي تُشكّله؛ وبالتالي، كان الشكل المستوي يتكون من "متوازيات أضلاع" ذات عرض متناهي الصغر. وبتطبيق صيغة مجموع المتتابعة الحسابية، حسب واليس مساحة المثلث بتقسيمه إلى متوازيات أضلاع متناهية الصغر عرضها 1/∞. 

ثنائي الأبعاد

السيكلويدات

المقطع العرضي الأفقي للمنطقة المحصورة بين قوسين دائريين مرسومين بنقطة على نفس الدائرة تدور في حالة واحدة باتجاه عقارب الساعة على الخط أسفلها، وفي الحالة الأخرى عكس اتجاه عقارب الساعة على الخط أعلاها، له نفس طول المقطع العرضي الأفقي المقابل للدائرة.

بيّن ن. ريد [ 6 ] كيفية إيجاد مساحة المنطقة المحصورة بمنحنى دائري باستخدام مبدأ كافالييري. يمكن لدائرة نصف قطرها r أن تتدحرج في اتجاه عقارب الساعة على خط أسفلها، أو عكس اتجاه عقارب الساعة على خط أعلاها. وبذلك، ترسم نقطة على الدائرة منحنيين دائريين. عندما تقطع الدائرة مسافة معينة، تكون الزاوية التي كانت ستدور بها في اتجاه عقارب الساعة مساوية للزاوية التي كانت ستدور بها عكس اتجاه عقارب الساعة. وبالتالي، تكون النقطتان اللتان ترسمان المنحنيين الدائريين على ارتفاعين متساويين. ويكون الخط المار بهما أفقيًا (أي موازيًا للخطين اللذين تتدحرج عليهما الدائرة). ونتيجة لذلك، يكون لكل مقطع عرضي أفقي للدائرة نفس طول المقطع العرضي الأفقي المقابل للمنطقة المحصورة بين قوسَي المنحنيين الدائريين. وبحسب مبدأ كافالييري، فإن مساحة الدائرة تساوي مساحة تلك المنطقة.

لنفترض وجود مستطيل يحيط بقوس دائري واحد. من تعريف القوس الدائري، يبلغ عرضه 2πr وارتفاعه 2r ، لذا فإن مساحته تساوي أربعة أضعاف مساحة الدائرة. لحساب المساحة داخل هذا المستطيل الواقعة فوق القوس الدائري ، نقسم المستطيل إلى نصفين عند نقطة التقاء القوس به، ثم ندور أحد النصفين بزاوية 180° ونضع النصف الآخر فوقهما. يتكون المستطيل الجديد، الذي تبلغ مساحته ضعف مساحة الدائرة، من منطقة "العدسة" بين قوسين دائريين، والتي حُسبت مساحتها سابقًا لتكون مساوية لمساحة الدائرة، والمنطقتين اللتين شكلتا المنطقة فوق القوس الدائري في المستطيل الأصلي. بالتالي، فإن المساحة المحصورة بمستطيل فوق قوس دائري كامل تساوي مساحة الدائرة، ومن ثم، فإن المساحة المحصورة بالقوس تساوي ثلاثة أضعاف مساحة الدائرة.

ثلاثي الأبعاد

برهان بدون كلمات على أن حجم المخروط يساوي ثلث حجم أسطوانة لها نفس القطر والارتفاع
  1. أسطوانة ومخروط لهما نصف قطر r وارتفاع h .
  2. يتم الحفاظ على نسبة الحجم عندما يتم تغيير الارتفاع إلى h' = r √ π .
  3. قم بتقسيم المخروط إلى شرائح رقيقة.
  4. أعد تشكيل كل شريحة إلى مربع بنفس المساحة باستخدام مبدأ كافالييري.
  5. كرر بناء الهرم مرتين.
  6. قم بدمجها في مكعب لإظهار أن نسبة الحجم هي 1:3.

المخاريط والأهرامات

يمكن إثبات أن حجم أي هرم ، بغض النظر عن شكل قاعدته (بما في ذلك المخاريط ذات القاعدة الدائرية)، يساوي (1/3) × القاعدة × الارتفاع، باستخدام مبدأ كافالييري، إذا علمنا فقط أنه صحيح في حالة واحدة. ويمكن إثبات ذلك مبدئيًا في حالة واحدة بتقسيم باطن منشور ثلاثي إلى ثلاثة أجزاء هرمية متساوية الحجم. ثم يمكن إثبات تساوي هذه الأحجام الثلاثة باستخدام مبدأ كافالييري.    

في الواقع، يُعدّ مبدأ كافالييري أو ما شابهه من الحجج المتناهية الصغر ضروريًا لحساب حجم المخاريط وحتى الأهرامات، وهو جوهر المسألة الثالثة لهيلبرت - إذ لا يمكن تقطيع الأهرامات متعددة الأوجه والمخاريط وإعادة ترتيبها في شكل قياسي، بل يجب مقارنتها بوسائل لا متناهية الصغر. وقد استخدم الإغريق القدماء تقنيات سابقة متنوعة، مثل حجج أرخميدس الميكانيكية أو طريقة الاستنفاد ، لحساب هذه الأحجام.

القطع المكافئة

مساحة المقطع العرضي القرصي الشكل للقطع المكافئ المقلوب تساوي مساحة المقطع العرضي الحلقي الشكل للجزء الأسطواني خارج القطع المكافئ المحاط.

لنفترض أسطوانة نصف قطرهار{\displaystyle r}والارتفاعح{\displaystyle h}، محيطة بقطع مكافئy=ح(xر)2{\displaystyle y=h\left({\frac {x}{r}}\right)^{2}}رأسها في مركز القاعدة السفلية للأسطوانة وقاعدتها هي القاعدة العلوية للأسطوانة. ضع في اعتبارك أيضًا القطع المكافئy=ح-ح(xر)2{\displaystyle y=hh\left({\frac {x}{r}}\right)^{2}}، بأبعاد متساوية ولكن مع قلب قمتها وقاعدتها.

لكل طول0≤y≤ح{\displaystyle 0\leq y\leq h}، مساحة المقطع العرضي على شكل قرصπ(1-yحر)2{\displaystyle \pi \left({\sqrt {1-{\frac {y}{h}}}}\,r\right)^{2}}مساحة المقطع العرضي للقطع المكافئ المقلوب تساوي مساحة المقطع العرضي الحلقي الشكلπر2-π(yحر)2{\displaystyle \pi r^{2}-\pi \left({\sqrt {\frac {y}{h}}}\,r\right)^{2}}الجزء الأسطواني خارج القطع المكافئ المرسوم.

لذلك، فإن حجم القطع المكافئ المقلوب يساوي حجم الجزء الأسطواني خارج القطع المكافئ المرسوم داخله. بعبارة أخرى، حجم القطع المكافئ هوπ2ر2ح{\textstyle {\frac {\pi }{2}}r^{2}h}، نصف حجم الأسطوانة المحيطة بها.

الكرات

مساحة المقطع العرضي للكرة على شكل قرص تساوي مساحة المقطع العرضي للجزء الأسطواني على شكل حلقة والذي يقع خارج المخروط.

إذا علمنا أن حجم المخروط هو13(قاعدة×ارتفاع){\textstyle {\frac {1}{3}}\left({\text{base}}\times {\text{height}}\right)}إذاً، يمكن استخدام مبدأ كافالييري لاستنتاج حقيقة أن حجم الكرة هو43πر3{\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}، أينر{\displaystyle r}هو نصف القطر.

يتم ذلك على النحو التالي: لنفترض كرة نصف قطرهار{\displaystyle r}وأسطوانة نصف قطرهار{\displaystyle r}والارتفاعر{\displaystyle r}يوجد داخل الأسطوانة مخروط رأسه في مركز إحدى قاعدتي الأسطوانة وقاعدته في القاعدة الأخرى. وبحسب نظرية فيثاغورس ، فإن المستوى الواقعy{\displaystyle y}تتقاطع الوحدات الواقعة فوق "خط الاستواء" مع الكرة في دائرة نصف قطرهار2-y2{\textstyle {\sqrt {r^{2}-y^{2}}}}والمنطقةπ(ر2-y2){\displaystyle \pi \left(r^{2}-y^{2}\right)}مساحة تقاطع المستوى مع جزء الأسطوانة الواقع خارج المخروط هي أيضًاπ(ر2-y2){\displaystyle \pi \left(r^{2}-y^{2}\right)}كما هو واضح، فإن مساحة الدائرة المحددة بتقاطع مستوى أفقي مع الكرة يقع على أي ارتفاعy{\displaystyle y}يساوي حجم نصف الكرة مساحة تقاطع ذلك المستوى مع الجزء من الأسطوانة الذي يقع "خارج" المخروط؛ وبالتالي، بتطبيق مبدأ كافالييري، يمكن القول إن حجم نصف الكرة يساوي حجم الجزء من الأسطوانة الذي يقع "خارج" المخروط. حجم المخروط المذكور آنفًا هو13{\textstyle {\frac {1}{3}}}وبالتالي فإن حجم الأسطوانة، وبالتالي فإن الحجم خارج المخروط هو23{\textstyle {\frac {2}{3}}}حجم الأسطوانة. وبالتالي، فإن حجم النصف العلوي من الكرة هو23{\textstyle {\frac {2}{3}}}حجم الأسطوانة. حجم الأسطوانة هو

قاعدة×ارتفاع=πر2⋅ر=πر3{\displaystyle {\text{base}}\times {\text{height}}=\pi r^{2}\cdot r=\pi r^{3}}

(القاعدة بوحدات المساحة ؛ والارتفاع بوحدات المسافة . المساحة × المسافة = الحجم .)

وبالتالي فإن حجم نصف الكرة العلوي هو23πر3{\textstyle {\frac {2}{3}}\pi r^{3}}وذلك بالنسبة للكرة الأرضية بأكملها43πر3{\textstyle {\frac {4}{3}}\pi r^{3}}.

مشكلة حلقات المناديل

إذا كانت هناك حفرة بارتفاعح{\displaystyle h}عند حفر ثقب يمر مباشرة عبر مركز الكرة، فإن حجم الشريط المتبقي لا يعتمد على حجم الكرة. أما بالنسبة للكرة الأكبر حجماً، فسيكون الشريط أرق ولكنه أطول.

فيما يُسمى بمسألة حلقة المنديل ، يُبين المرء من خلال مبدأ كافالييري أنه عند حفر ثقب مباشرة عبر مركز كرة حيث يكون ارتفاع الحلقة المتبقيةح{\displaystyle h}والمثير للدهشة أن حجم المادة المتبقية لا يعتمد على حجم الكرة. المقطع العرضي للحلقة المتبقية عبارة عن حلقة مستوية، مساحتها هي الفرق بين مساحتي دائرتين. وبحسب نظرية فيثاغورس، فإن مساحة إحدى الدائرتين هيπ×(ر2-y2){\displaystyle \pi \times (r^{2}-y^{2})}، أينر{\displaystyle r}نصف قطر الكرة وy{\displaystyle y}هي المسافة من مستوى خط الاستواء إلى مستوى القطع، والمسافة من المستوى الآخر هيπ×(ر2-(ح2)2){\textstyle \pi \times \left(r^{2}-\left({\frac {h}{2}}\right)^{2}\right)}عند طرح هذه، فإنر2{\displaystyle r^{2}}يلغي؛ ومن ثم عدم اعتماد الإجابة النهائية علىر{\displaystyle r}.

تعميم على التدابير

يتركμ{\displaystyle \mu }كن مقياسًا لـΩ⊂Rشمال{\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{N}}ثم يتم نسخ مبدأ كافالييري لـو:Ω→R+{\displaystyle f\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{+}}قابلة للتكامل كـ∫Ωودμ=∫0∞μ({x∈Ω:و(x)>ت})دت.{\displaystyle \int _{\Omega }f\,\mathrm {d} \mu =\int _{0}^{\infty }\mu {\bigl (}\{\,x\in \Omega :f(x)>t\,\}{\bigr )}\,\mathrm {d} t\;.}لوظيفةو{\displaystyle f}علىΩأوميغامع القيم فيR{\displaystyle \mathbb {R} }اعلم أنه يمكن إعادة كتابتها على أنها الفرق بين دالتين موجبتينو=و+-و-{\displaystyle f=f^{+}-f^{-}}، أينو+{\displaystyle f^{+}}وو-{\displaystyle f^{-}}يشير إلى الأجزاء الموجبة والسالبة منو{\displaystyle f}على التوالى.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ إيفز، هوارد (1991). "نظريتان مفاجئتان حول تطابق كافالييري". مجلة الرياضيات الجامعية . 22 (2): 118-124 . doi : 10.1080/07468342.1991.11973367 .
  2. 1 2 زيل، دينيس ج.؛ رايت، سكوت؛ رايت، وارن س. (2011). حساب التفاضل والتكامل: الدوال المتسامية المبكرة ( الطبعة الرابعة). جونز وبارتليت للتعليم . ص. xxvii. ISBN   978-0-7637-5995-7.
  3. ↑ كاتز، فيكتور ج. (1998). تاريخ الرياضيات: مقدمة ( الطبعة الثانية). أديسون-ويسلي. ص 477. ISBN   9780321016188.
  4. ↑ ألكسندر، أمير (2015). المتناهي في الصغر: كيف شكلت نظرية رياضية خطيرة العالم الحديث . بريطانيا العظمى: ون وورلد. ص 101-103 . ISBN  978-1-78074-642-5.
  5. ↑ "طريقة أرخميدس المفقودة" . موسوعة بريتانيكا .
  6. ↑ ريد، ن. (ديسمبر 1986). "70.40 برهان ابتدائي لمساحة المنطقة تحت المنحنى الدائري". المجلة الرياضية . 70 (454): 290-291 . doi : 10.2307/3616189 . JSTOR i285660 .