معادلة ديوفانتين

إن إيجاد جميع المثلثات القائمة ذات أطوال الأضلاع الصحيحة يكافئ حل المعادلة الديوفانتية $a^{2}+b^{2}=c^{2}.$

{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.} — إن إيجاد جميع المثلثات القائمة ذات أطوال الأضلاع الصحيحة يكافئ حل المعادلة الديوفانتية $a^{2}+b^{2}=c^{2}.$

في الرياضيات ، المعادلة الديوفانتية هي معادلة متعددة الحدود ذات معاملات صحيحة ، ولا تُهم إلا الحلول الصحيحة. المعادلة الديوفانتية الخطية تُساوي مجموع مجهولين أو أكثر، بمعاملات، بقيمة ثابتة. أما المعادلة الديوفانتية الأسية فهي معادلة يمكن أن تظهر فيها المجاهيل على شكل أسس .

تتميز المسائل الديوفانتية بوجود عدد أقل من المعادلات مقارنةً بالمجاهيل، وتتضمن إيجاد أعداد صحيحة تحل جميع المعادلات آنيًا. ولأن هذه الأنظمة من المعادلات تُعرّف منحنيات جبرية ، أو أسطحًا جبرية ، أو بشكل أعم، مجموعات جبرية ، فإن دراستها تُعد جزءًا من الهندسة الجبرية يُسمى الهندسة الديوفانتية .

يشير مصطلح "الديوفانتي" إلى عالم الرياضيات الهلنستي ديوفانتوس الإسكندري ، الذي عاش في القرن الثالث الميلادي ، والذي درس هذه المعادلات وكان من أوائل علماء الرياضيات الذين أدخلوا الرموز إلى الجبر . ويُطلق على الدراسة الرياضية للمسائل الديوفانتية التي بدأها ديوفانتوس اسم "التحليل الديوفانتي" .

على الرغم من أن المعادلات الفردية تُشكل نوعًا من الألغاز، وقد حظيت باهتمام واسع عبر التاريخ، إلا أن صياغة نظريات عامة للمعادلات الديوفانتية، تتجاوز حالة المعادلات الخطية والتربيعية ، تُعد إنجازًا من إنجازات القرن العشرين. ومع ذلك، تُظهر المسألة العاشرة لهيلبرت أنه لا يمكن وجود خوارزمية عامة قادرة على تحديد ما إذا كانت معادلة ديوفانتية عشوائية تمتلك حلًا صحيحًا (ناهيك عن إيجاد أو تحديد جميع هذه الحلول).

أمثلة

في المعادلات الديوفانتية التالية، $w و x و y$ و $z$ هي المجاهيل، أما الأحرف الأخرى فهي ثوابت معطاة:

$ax+by=c$	هذه معادلة ديوفانتية خطية، مرتبطة بهوية بيزو .
$w^{3}+x^{3}=y^{3}+z^{3}$	أصغر حل غير تافه في الأعداد الصحيحة الموجبة هو $12³ + 1³ = 9³ + 10³ = 1729.$ وقد ذُكر هذا الحل كخاصية بديهية للعدد 1729، وهو عدد سيارات الأجرة (ويُسمى أيضًا عدد هاردي-رامانوجان ) ، من قِبل $رامانوجان$ لهاردي خلال لقائهما عام 1917. ^[¹^] يوجد عدد لا نهائي من الحلول غير التافهة. ^[²^]
$x^{n}+y^{n}=z^{n}$	عندما يكون $n = 2،$ يوجد عدد لا نهائي من الحلول $(x, y, z)$ : وهي ثلاثيات فيثاغورس . أما بالنسبة لقيم $n$ الصحيحة الأكبر ، فتنص نظرية فيرما الأخيرة (التي ادعى فيرما وجودها لأول مرة عام 1637 وأثبتها أندرو وايلز عام 1995 ^{[ 3 ]} ) على أنه لا توجد حلول صحيحة موجبة $(x, y, z)$ .
$x^{2}-ny^{2}=\pm 1$	هذه هي معادلة بيل ، التي سميت على اسم عالم الرياضيات الإنجليزي جون بيل . وقد درسها براهمغوبتا في القرن السابع، وكذلك فيرما في القرن السابع عشر.
${\frac {4}{n}}={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}+{\frac {1}{z}}$	تنص حدسية إردوش -ستراوس على أنه لكل عدد صحيح موجب $n$ ≥ 2، يوجد حل في $x و y$ و $z$ ، وكلها أعداد صحيحة موجبة. ويُكافئ الشكل الكسري معادلة متعددة الحدود. $4xyz=n(yz+xz+xy).$
$x^{4}+y^{4}+z^{4}=w^{4}$	افترض أويلر خطأً أنه لا توجد حلول غير تافهة. أثبت إلكيس أن لها عددًا لا نهائيًا من الحلول غير التافهة، وقد حدد بحث حاسوبي أجراه فراي أصغر حل غير تافه، وهو ⁹⁵⁸⁰⁰ $4 + 2175194 + 414560 4 = 422481 4.$ ^{[ 4 ]}^[ 5 ^]

المعادلات الديوفانتية الخطية

معادلة واحدة

تأخذ أبسط معادلة ديوفانتية خطية الشكل التالي: $ax+by=c,$ حيث $a$ و $b$ و $c$ أعداد صحيحة معطاة. ويتم وصف الحلول من خلال النظرية التالية:

لهذه المعادلة الديوفانتية حل (حيث

x

و

y

عددان صحيحان) إذا وفقط إذا

كان c

مضاعفًا للقاسم المشترك الأكبر لـ

a

و

b

. علاوة على ذلك، إذا كان

(x, y)

حلاً، فإن الحلول الأخرى تأخذ الشكل

(x + kv, y - ku)

، حيث

k

عدد صحيح اختياري، و

u

و

v

هما ناتج قسمة

a

و

b

(على التوالي) على القاسم المشترك الأكبر لـ

a

و

b

.

البرهان: إذا كان $d$ هو القاسم المشترك الأكبر، فإن متطابقة بيزو تؤكد وجود عددين صحيحين $e$ و $f$ بحيث يكون $ae + bf = d$ . إذا كان $c$ من مضاعفات $d$ ، فإن $c = dh$ لعدد صحيح $h$ ، ويكون $(eh, fh)$ حلاً. من جهة أخرى، لكل زوج من الأعداد الصحيحة $x$ و $y$ ، فإن القاسم المشترك الأكبر $d$ لـ $a$ و $b$ يقسم $ax + d على d$ . بالتالي، إذا كان للمعادلة حل، فلا بد أن يكون $c$ من مضاعفات $d$ . إذا كان $a = ud$ و $b = vd$ ، فلكل حل $(x, y)$ ، لدينا ${\begin{aligned}a(x+kv)+b(y-ku)&=ax+by+k(av-bu)\\&=ax+by+k(udv-vdu)\\&=ax+by,\end{aligned}}$ مما يدل على أن $(x + kv, y - ku)$ هو حل آخر. وأخيرًا، بالنظر إلى حلين بحيث $ax_{1}+by_{1}=ax_{2}+by_{2}=c,$ يستنتج المرء أن $u(x_{2}-x_{1})+v(y_{2}-y_{1})=0.$ بما أن $u$ و $v$ عددان أوليان فيما بينهما ، $فإن$ مبرهنة إقليدس تُظهر أن $v$ يقسم $x² - x¹ ،$ وبالتالي يوجد عدد صحيح $k$ بحيث يكون كلاهما $x_{2}-x_{1}=kv,\quad y_{2}-y_{1}=-ku.$ لذلك، $x_{2}=x_{1}+kv,\quad y_{2}=y_{1}-ku,$ وهذا يكمل البرهان.

نظرية الباقي الصينية

تصف نظرية الباقي الصينية فئة مهمة من أنظمة المعادلات الديوفانتية الخطية: ليكن $n_{1},\dots ,n_{k}$ لتكن $k أعدادًا$ صحيحة أولية فيما بينها أكبر من واحد، $a_{1},\dots ,a_{k}$ be $k$ arbitrary integers, and $N$ be the product $n_{1}\cdots n_{k}.$ The Chinese remainder theorem asserts that the following linear Diophantine system has exactly one solution $(x,x_{1},\dots ,x_{k})$ such that $0 \leq x < N$ , and that the other solutions are obtained by adding to $x$ a multiple of $N$ : ${\begin{aligned}x&=a_{1}+n_{1}\,x_{1}\\&\;\;\vdots \\x&=a_{k}+n_{k}\,x_{k}\end{aligned}}$

System of linear Diophantine equations

More generally, every system of linear Diophantine equations may be solved by computing the Smith normal form of its matrix, in a way that is similar to the use of the reduced row echelon form to solve a system of linear equations over a field. Using matrix notation every system of linear Diophantine equations may be written $AX=C,$ where $A$ is an $m \times n$ matrix of integers, $X$ is an $n \times 1$ column matrix of unknowns and $C$ is an $m \times 1$ column matrix of integers.

The computation of the Smith normal form of $A$ provides two unimodular matrices (that is matrices that are invertible over the integers and have ±1 as determinant) $U$ and $V$ of respective dimensions $m \times m$ and $n \times n$ , such that the matrix $B=[b_{i,j}]=UAV$ is such that $b i,i$ is not zero for $i$ not greater than some integer $k$ , and all the other entries are zero. The system to be solved may thus be rewritten as $B(V^{-1}X)=UC.$ Calling $y i$ the entries of $V -1 X$ and $d i$ those of $D = UC$ , this leads to the system ${\begin{aligned}&b_{i,i}y_{i}=d_{i},\quad 1\leq i\leq k\\&0y_{i}=d_{i},\quad k<i\leq n.\end{aligned}}$

This system is equivalent to the given one in the following sense: A column matrix of integers $x$ is a solution of the given system if and only if $x = Vy$ for some column matrix of integers $y$ such that $By = D$ .

It follows that the system has a solution if and only if $b i,i$ divides $d i$ for $i \leq k$ and $d i = 0$ for $i > k$ . If this condition is fulfilled, the solutions of the given system are $V\,{\begin{bmatrix}{\frac {d_{1}}{b_{1,1}}}\\\vdots \\{\frac {d_{k}}{b_{k,k}}}\\h_{k+1}\\\vdots \\h_{n}\end{bmatrix}}\,,$ حيث $h k +1 ، \dots, h n$ هي أعداد صحيحة اختيارية.

يمكن استخدام صيغة هيرميت المعيارية لحل أنظمة المعادلات الديوفانتية الخطية. مع ذلك، لا توفر صيغة هيرميت المعيارية الحلول مباشرةً؛ للحصول على الحلول منها، يجب حل عدة معادلات خطية متتالية. ومع ذلك، كتب ريتشارد زيبيل أن صيغة سميث المعيارية "تتجاوز إلى حد ما ما هو مطلوب فعليًا لحل المعادلات الديوفانتية الخطية. فبدلًا من اختزال المعادلة إلى صيغة قطرية، نحتاج فقط إلى جعلها مثلثية، وهو ما يُسمى صيغة هيرميت المعيارية. وتُعد صيغة هيرميت المعيارية أسهل بكثير في الحساب من صيغة سميث المعيارية." ^{[ 6 ]}

تُعنى البرمجة الخطية الصحيحة بإيجاد حلول صحيحة (مثلى بمعنى ما) لأنظمة خطية تتضمن أيضًا متباينات . ولذلك، تُعد أنظمة المعادلات الديوفانتية الخطية أساسية في هذا السياق، وعادةً ما تتناول كتب البرمجة الصحيحة أنظمة المعادلات الديوفانتية الخطية. ^{[ 7 ]}

المعادلات المتجانسة

المعادلة الديوفانتية المتجانسة هي معادلة ديوفانتية تُعرَّف بواسطة متعددة حدود متجانسة . ومن الأمثلة النموذجية على هذه المعادلات معادلة نظرية فيرما الأخيرة.

x^{d}+y^{d}-z^{d}=0.

بما أن متعددة الحدود المتجانسة في $n$ من المتغيرات تحدد سطحًا فائقًا في الفضاء الإسقاطي ذي البعد $n - 1$ ، فإن حل معادلة ديوفانتين المتجانسة هو نفسه إيجاد النقاط العقلانية لسطح فائق إسقاطي.

يُعدّ حلّ المعادلات الديوفانتية المتجانسة مسألةً بالغة الصعوبة، حتى في أبسط حالاتها غير التافهة التي تتضمن ثلاثة مجاهيل (أما في حالة مجاهيلين، فتُصبح المسألة مُكافئةً لاختبار ما إذا كان عددٌ نسبيٌّ هو القوة $d$ لعددٍ نسبيٍّ آخر). ويُعدّ دليلٌ على صعوبة هذه المسألة نظرية فيرما الأخيرة (حيث $d > 2$ ، لا يوجد حلّ صحيح للمعادلة المذكورة أعلاه)، والتي استغرق حلّها أكثر من ثلاثة قرون من جهود علماء الرياضيات.

بالنسبة للدرجات الأعلى من ثلاثة، فإن معظم النتائج المعروفة هي نظريات تؤكد أنه لا توجد حلول (على سبيل المثال نظرية فيرما الأخيرة) أو أن عدد الحلول محدود (على سبيل المثال نظرية فالتينغز ).

بالنسبة للمعادلات من الدرجة الثالثة، توجد طرق حل عامة، والتي تعمل على جميع المعادلات التي يتم مواجهتها عمليًا تقريبًا، ولكن لا توجد خوارزمية معروفة تعمل مع كل معادلة تكعيبية. ^{[ 8 ]}

الدرجة الثانية

تُعدّ المعادلات الديوفانتية المتجانسة من الدرجة الثانية أسهل في الحل. وتتألف طريقة الحل القياسية من خطوتين: أولاً، إيجاد حل واحد، أو إثبات عدم وجود حل. وعند إيجاد حل، تُستنتج جميع الحلول.

لإثبات عدم وجود حل، يمكن اختزال المعادلة بتردد $p$ . على سبيل المثال، المعادلة الديوفانتية

x^{2}+y^{2}=3z^{2},

لا يوجد حل آخر للمعادلة سوى الحل البديهي $(0، 0، 0)$ . في الواقع، بقسمة $x و y$ و $z$ على قاسمها المشترك الأكبر ، يمكن افتراض أنها أعداد أولية فيما بينها . مربعات هذه الأعداد بتردد 4 متطابقة مع 0 و 1. بالتالي، فإن الطرف الأيسر من المعادلة متطابق مع 0 أو 1 أو 2، والطرف الأيمن متطابق مع 0 أو 3. لذا، لا يمكن الحصول على المساواة إلا إذا كانت $x و y$ و $z$ جميعها أعدادًا زوجية، وبالتالي ليست أولية فيما بينها. إذن، الحل الوحيد هو الحل البديهي $(0، 0، 0)$ . هذا يُبين أنه لا توجد نقطة نسبية على دائرة نصف قطرها r ${\sqrt {3}}$ ، متمركزة عند نقطة الأصل.

وبشكل أكثر عمومية، يسمح مبدأ هاس بتحديد ما إذا كانت معادلة ديوفانتين متجانسة من الدرجة الثانية لها حل صحيح، وحساب الحل إذا كان موجودًا.

إذا كان الحل الصحيح غير التافه معروفًا، فيمكن للمرء أن ينتج جميع الحلول الأخرى بالطريقة التالية.

التفسير الهندسي

يترك

Q(x_{1},\ldots ,x_{n})=0

لتكن معادلة ديوفانتية متجانسة، حيث $Q(x_{1},\ldots ,x_{n})$ هي صيغة تربيعية (أي متعددة حدود متجانسة من الدرجة الثانية)، بمعاملات صحيحة. الحل التافه هو الحل الذي تكون فيه جميع $x_{i}$ تساوي صفرًا. إذا $(a_{1},\ldots ,a_{n})$ إذا كان حلاً صحيحاً غير تافه لهذه المعادلة، $\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)$ هي الإحداثيات المتجانسة لنقطة منطقية على السطح الفائق المحدد بواسطة $Q.$ والعكس صحيح، إذا ${\textstyle \left({\frac {p_{1}}{q}},\ldots ,{\frac {p_{n}}{q}}\right)}$ هي إحداثيات متجانسة لنقطة عقلانية على هذا السطح الفائق، حيث $q,p_{1},\ldots ,p_{n}$ إذا كانت أعدادًا صحيحة، $\left(p_{1},\ldots ,p_{n}\right)$ هو حل صحيح للمعادلة الديوفانتية. علاوة على ذلك، فإن الحلول الصحيحة التي تحدد نقطة نسبية معينة هي جميعها متتابعات من الشكل التالي:

\left(k{\frac {p_{1}}{d}},\ldots ,k{\frac {p_{n}}{d}}\right),

حيث $k$ أي عدد صحيح، و $d$ هو القاسم المشترك الأكبر لـ $p_{i}.$

ويترتب على ذلك أن حل المعادلة الديوفانتية $Q(x_{1},\ldots ,x_{n})=0$ يتم اختزالها بالكامل إلى إيجاد النقاط العقلانية للسطح الفائق الإسقاطي المقابل.

تحديد المعلمات

لنبدأ الآن $A=\left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right)$ ليكن حلاً صحيحاً للمعادلة $Q(x_{1},\ldots ,x_{n})=0.$ بما أن $Q$ دالة كثيرة الحدود من الدرجة الثانية، فإن أي خط يمر بالنقطة $A$ يقطع السطح الفائق عند نقطة واحدة أخرى، وهي نقطة نسبية إذا وفقط إذا كان الخط نفسه نسبيًا (أي إذا تم تعريف الخط بمعاملات نسبية). يسمح هذا بتحديد معلمات السطح الفائق بواسطة الخطوط المارة بـ $A$ ، والنقاط النسبية هي تلك التي يتم الحصول عليها من الخطوط النسبية، أي تلك التي تتوافق مع القيم النسبية للمعاملات.

وبشكل أدق، يمكن للمرء أن يتابع على النحو التالي.

عن طريق تبديل المؤشرات، يمكن للمرء أن يفترض، دون فقدان للعمومية، أن $a_{n}\neq 0.$ ثم يمكن الانتقال إلى الحالة الأفينية من خلال النظر في السطح الفائق الأفيني المحدد بواسطة

q(x_{1},\ldots ,x_{n-1})=Q(x_{1},\ldots ,x_{n-1},1),

وهو ما يمثل وجهة نظر منطقية

R=(r_{1},\ldots ,r_{n-1})=\left({\frac {a_{1}}{a_{n}}},\ldots ,{\frac {a_{n-1}}{a_{n}}}\right).

إذا كانت هذه النقطة العقلانية نقطةً شاذة ، أي إذا كانت جميع المشتقات الجزئية تساوي صفرًا عند $R$ ، فإن جميع الخطوط المارة عبر $R$ تقع ضمن السطح الفائق، ويكون هناك مخروط . تغيير المتغيرات

y_{i}=x_{i}-r_{i}

لا يُغيّر هذا الأسلوب النقاط النسبية، ويُحوّل $q$ إلى متعددة حدود متجانسة في $n - 1$ متغيرًا. في هذه الحالة، يُمكن حلّ المسألة بتطبيق الطريقة على معادلة ذات عدد أقل من المتغيرات.

إذا كانت كثيرة الحدود $q$ ناتج ضرب كثيرات حدود خطية (ربما بمعاملات غير نسبية)، فإنها تُعرّف مستويين فائقين . تقاطع هذين المستويين الفائقين هو سطح مستوٍ نسبي ، ويحتوي على نقاط شاذة نسبية. وبالتالي، تُعد هذه الحالة حالة خاصة من الحالة السابقة.

في الحالة العامة، ضع في اعتبارك المعادلة البارامترية لخط مستقيم يمر عبر $R$ :

{\begin{aligned}x_{2}&=r_{2}+t_{2}(x_{1}-r_{1})\\&\;\;\vdots \\x_{n-1}&=r_{n-1}+t_{n-1}(x_{1}-r_{1}).\end{aligned}}

بالتعويض بهذا في $q$ ، نحصل على متعددة حدود من الدرجة الثانية في $x1$ ، أي تساوي صفرًا عندما $x1$ $= r1 . وبالتالي$ $،$ فهي قابلة للقسمة على $x1$ $-$ $r1$ $.$ $الناتج$ خطي في $x1$ $،$ ويمكن حله للتعبير عن $x1$ $كحاصل$ قسمة متعددتي حدود من الدرجة الثانية على الأكثر $في$ $t_{2},\ldots ,t_{n-1},$ بمعاملات عددية صحيحة:

x_{1}={\frac {f_{1}(t_{2},\ldots ,t_{n-1})}{f_{n}(t_{2},\ldots ,t_{n-1})}}.

باستبدال هذا في التعبيرات الخاصة بـ $x_{2},\ldots ,x_{n-1},$ نحصل على، بالنسبة لـ $i = 1، ...، n - 1$ ،

x_{i}={\frac {f_{i}(t_{2},\ldots ,t_{n-1})}{f_{n}(t_{2},\ldots ,t_{n-1})}},

أين $f_{1},\ldots ,f_{n}$ هي كثيرات حدود من الدرجة الثانية على الأكثر بمعاملات صحيحة.

بعد ذلك، يمكن العودة إلى الحالة المتجانسة. لنفترض، من أجل $i = 1، ...، n$ ،

F_{i}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})=t_{1}^{2}f_{i}\left({\frac {t_{2}}{t_{1}}},\ldots ,{\frac {t_{n-1}}{t_{1}}}\right),

أن يكون تجانس $f_{i}.$ تشكل هذه كثيرات الحدود التربيعية ذات المعاملات الصحيحة تمثيلاً معلمياً للسطح الفائق الإسقاطي المحدد بواسطة $Q$ :

{\begin{aligned}x_{1}&=F_{1}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})\\&\;\;\vdots \\x_{n}&=F_{n}(t_{1},\ldots ,t_{n-1}).\end{aligned}}

تكون نقطة على السطح الإسقاطي المعرف بواسطة $Q$ نقطة نسبية إذا وفقط إذا أمكن الحصول عليها من قيم نسبية لـ $t_{1},\ldots ,t_{n-1}.$ مثل $F_{1},\ldots ,F_{n}$ إذا كانت كثيرات حدود متجانسة، فإن النقطة لا تتغير إذا ضُربت جميع $قيم$ $tᵢ$ بنفس العدد النسبي. وبالتالي، يمكن للمرء أن يفترض أن $t_{1},\ldots ,t_{n-1}$ هي أعداد صحيحة أولية فيما بينها . ويترتب على ذلك أن الحلول الصحيحة للمعادلة الديوفانتية هي بالضبط المتتاليات $(x_{1},\ldots ,x_{n})$ حيث، بالنسبة لـ $i = 1، ...، n$ ،

x_{i}=k\,{\frac {F_{i}(t_{1},\ldots ,t_{n-1})}{d}},

حيث $k$ عدد صحيح، $t_{1},\ldots ,t_{n-1}$ هي أعداد صحيحة أولية فيما بينها، و $d$ هو القاسم المشترك الأكبر للأعداد الصحيحة $n.$ $F_{i}(t_{1},\ldots ,t_{n-1}).$

قد يأمل المرء أن تكون خاصية المشاركة الأولية للعدد $t i$ ، تعني أن $d = 1.$ لسوء الحظ، هذا ليس هو الحال، كما هو موضح في القسم التالي.

مثال على الأعداد الثلاثية الفيثاغورية

المعادلة

x^{2}+y^{2}-z^{2}=0

ربما تكون هذه أول معادلة ديوفانتية متجانسة من الدرجة الثانية تمت دراستها. حلولها هي ثلاثيات فيثاغورس . وهي أيضًا المعادلة المتجانسة لدائرة الوحدة . في هذا القسم، نوضح كيف تسمح الطريقة المذكورة أعلاه باستعادة صيغة إقليدس لتوليد ثلاثيات فيثاغورس.

لاستخلاص صيغة إقليدس بدقة، نبدأ من الحل $(-1, 0, 1)$ ، الموافق للنقطة $(-1, 0)$ على دائرة الوحدة. ويمكن تمثيل خط مستقيم يمر بهذه النقطة بميله.

y=t(x+1).

بوضع هذا في معادلة الدائرة

x^{2}+y^{2}-1=0,

يحصل المرء

x^{2}-1+t^{2}(x+1)^{2}=0.

القسمة على $x + 1$ ينتج عنها

x-1+t^{2}(x+1)=0,

وهو أمر سهل الحل بالنسبة لـ $x$ :

x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}.

ويتبع ذلك

y=t(x+1)={\frac {2t}{1+t^{2}}}.

عند إجراء عملية التجنيس كما هو موضح أعلاه، نحصل على جميع المحاليل كما يلي:

{\begin{aligned}x&=k\,{\frac {s^{2}-t^{2}}{d}}\\y&=k\,{\frac {2st}{d}}\\z&=k\,{\frac {s^{2}+t^{2}}{d}},\end{aligned}}

حيث $k$ أي عدد صحيح، و $s$ و $t$ عددان صحيحان أوليان فيما بينهما، و $d$ هو القاسم المشترك الأكبر للبسط الثلاثة. في الواقع، $d = 2$ إذا كان كل من $s$ و $t$ فرديين، و $d = 1$ إذا كان أحدهما فرديًا والآخر زوجيًا.

الثلاثيات الأولية هي الحلول حيث $k = 1$ و $s > t > 0$ .

يختلف هذا الوصف للحلول قليلاً عن صيغة إقليدس لأن صيغة إقليدس لا تأخذ في الاعتبار إلا الحلول التي تكون فيها $x و y$ و $z$ جميعها موجبة، ولا تميز بين مجموعتين ثلاثيتين تختلفان عن طريق تبديل $x$ و $y$ .

تحليل الديوفانتين

الأسئلة النموذجية

تتضمن الأسئلة المطروحة في تحليل الديوفانتين ما يلي:

هل من حلول؟
هل توجد حلول أخرى غير تلك التي يمكن إيجادها بسهولة عن طريق الفحص ؟
هل يوجد عدد محدود أم عدد لا نهائي من الحلول؟
هل يمكن إيجاد جميع الحلول نظرياً؟
هل يمكن عملياً حساب قائمة كاملة بالحلول؟

غالباً ما ظلت هذه المشكلات التقليدية دون حل لقرون، وتوصل علماء الرياضيات تدريجياً إلى فهم عمقها (في بعض الحالات)، بدلاً من التعامل معها كألغاز.

لغز نموذجي

عمر الأب مكتوبًا بالأرقام AB هو مقلوب عمر ابنه BA . كما أن عمر الأب أقل بواحد من ضعف عمر الابن. كم عمرهما؟ تؤدي هذه الشروط إلى المعادلة 10A + B = 2( 10B + A ) - 1، وبالتالي 19B - 8A = 1. تم شرح طريقة عامة لمثل هذه المعادلات الخطية أعلاه، ولكن بمجرد النظر نجد أن A = 7 و B = 3، وبالتالي AB = 73 عامًا و BA = 37 عامًا. يمكن إثبات أن هذا هو الحل الوحيد حيث A و B عددان صحيحان بين 0 و9.

تؤدي العديد من الألغاز المعروفة في الرياضيات الترفيهية إلى معادلات ديوفانتية، مثل مسألة كرة المدفع ، ومسألة الماشية لأرخميدس ، ومسألة القرد وجوز الهند .

القرنين السابع عشر والثامن عشر

في عام ١٦٣٧، دوّن بيير دي فيرما على هامش نسخته من كتاب الحساب : "من المستحيل تقسيم مكعب إلى مكعبين، أو تقسيم القوة الرابعة إلى قوتين رابعتين، أو بشكل عام، تقسيم أي قوة أعلى من الثانية إلى قوتين متماثلتين". وبصياغة أكثر حداثة، قال: "المعادلة $aⁿ$ $+ bⁿ = cⁿ$ $ليس لها حلول لأي قيمة$ لـ $n أكبر من ٢$ $"$ . ثم كتب: "لقد اكتشفت برهانًا رائعًا حقًا لهذه الفرضية، لكن هذا الهامش ضيق جدًا لاستيعابه". إلا أن هذا البرهان ظلّ عصيًا على علماء الرياضيات لقرون، ولذلك اشتهرت عبارته باسم " نظرية فيرما الأخيرة ". ولم يتم إثباتها إلا في عام ١٩٩٥ على يد عالم الرياضيات البريطاني أندرو وايلز .

في عام 1657، حاول فيرما حل المعادلة الديوفانتية $61x² + 1 = y² ($ التي حلها براهماغوبتا قبل أكثر من ألف عام). وقد حُلّت هذه المعادلة في نهاية المطاف على يد $أويلر$ $في$ أوائل القرن الثامن عشر، الذي حلّ أيضًا عددًا من المعادلات الديوفانتية الأخرى. أصغر حل لهذه المعادلة في الأعداد الصحيحة الموجبة هو $x = 226153980$ ، $y = 1766319049$ (انظر طريقة تشاكرافالا ).

المسألة العاشرة لهيلبرت

في عام 1900، اقترح ديفيد هيلبرت إمكانية حل جميع المعادلات الديوفانتية باعتبارها المسألة العاشرة من مسائله الأساسية . وفي عام 1970، حلّ يوري ماتياسيفيتش هذه المسألة بشكل سلبي، مستندًا إلى أعمال جوليا روبنسون ومارتن ديفيس وهيلاري بوتنام لإثبات استحالة وجود خوارزمية عامة لحل جميع المعادلات الديوفانتية .

الهندسة الديوفانتية

الهندسة الديوفانتية هي تطبيق لتقنيات من الهندسة الجبرية، وتتناول المعادلات التي تحمل دلالة هندسية. وتتمحور الفكرة الأساسية للهندسة الديوفانتية حول مفهوم النقطة النسبية ، أي حل معادلة متعددة الحدود أو نظام معادلات متعددة الحدود ، والذي يمثل متجهًا في حقل محدد $K$ ، عندما لا يكون $K$ مغلقًا جبريًا .

البحث الحديث

أقدم طريقة عامة لحل المعادلات الديوفانتية - أو لإثبات عدم وجود حل لها - هي طريقة الانحدار اللانهائي ، التي وضعها بيير دي فيرما . وهناك طريقة عامة أخرى هي مبدأ هاس ، الذي يستخدم الحساب النمطي بتردد جميع الأعداد الأولية لإيجاد الحلول. ورغم التحسينات العديدة التي طرأت على هاتين الطريقتين، إلا أنهما لا تستطيعان حل معظم المعادلات الديوفانتية.

تتجلى صعوبة حل المعادلات الديوفانتية في المسألة العاشرة لهيلبرت ، التي وضعها ديفيد هيلبرت عام ١٩٠٠ ؛ وتتمثل في إيجاد خوارزمية لتحديد ما إذا كانت معادلة ديوفانتية متعددة الحدود ذات معاملات صحيحة لها حل صحيح. وتشير نظرية ماتياسيفيتش إلى استحالة وجود مثل هذه الخوارزمية.

خلال القرن العشرين، تم استكشاف منهج جديد بعمق، يتمثل في استخدام الهندسة الجبرية . في الواقع، يمكن اعتبار المعادلة الديوفانتية معادلة لسطح فائق ، وحلول هذه المعادلة هي نقاط السطح الفائق التي لها إحداثيات صحيحة.

أدى هذا النهج في النهاية إلى إثبات أندرو وايلز في عام 1994 لنظرية فيرما الأخيرة ، التي تم ذكرها بدون برهان حوالي عام 1637. وهذا مثال آخر على صعوبة حل المعادلات الديوفانتية.

معادلات ديوفانتين لا نهائية

مثال على معادلة ديوفانتية لا نهائية هو: $n=a^{2}+2b^{2}+3c^{2}+4d^{2}+5e^{2}+\cdots ,$ ويمكن التعبير عن ذلك بالقول: "كم عدد الطرق التي يمكن بها كتابة عدد صحيح $n$ على شكل مجموع مربع زائد ضعف مربع زائد ثلاثة أضعاف مربع وهكذا؟" يشكل عدد الطرق الممكنة لكل قيمة لـ $n$ متتالية أعداد صحيحة. ترتبط المعادلات الديوفانتية اللانهائية بدوال ثيتا والشبكات اللانهائية الأبعاد. لهذه المعادلة حل دائمًا لأي قيمة موجبة $لـ n$ . ^{[ 9 ]} قارن هذا بـ: $n=a^{2}+4b^{2}+9c^{2}+16d^{2}+25e^{2}+\cdots ,$ والتي لا يكون لها دائمًا حل لقيمة $n$ الموجبة .

المعادلات الديوفانتية الأسية

إذا احتوت معادلة ديوفانتية على متغير إضافي أو متغيرات تظهر كأسس ، فإنها تُسمى معادلة ديوفانتية أسية. ومن الأمثلة على ذلك:

معادلة رامانوجان-ناجيل ، $2 ن - 7 = س 2$
معادلة حدسية فيرما-كاتالان وحدسية بيل ، $a m + b n = c k$ مع قيود متباينة على الأسس
معادلة إردوش-موسر ، $1 k + 2 k + \dots + (m - 1) k = m k$

لا توجد نظرية عامة لمثل هذه المعادلات؛ وقد تم تناول حالات خاصة مثل حدسية كاتالان ونظرية فيرما الأخيرة . ومع ذلك، يتم حل معظمها عبر طرق مخصصة مثل نظرية ستورمر أو حتى بالتجربة والخطأ .

انظر أيضاً

كوتاكا ، خوارزمية أريابهاتا لحل المعادلات الديوفانتية الخطية في مجهولين
تخمين لاندر وباركين وسيلفريدج للحلول الصحيحة للمعادلات التي تحتوي على مجاميع قوى متشابهة

ملحوظات

↑ "اقتباسات من هاردي" . Gap.dcs.st-and.ac.uk. مؤرشف من الأصل بتاريخ 16 يوليو 2012. تم الاطلاع عليه بتاريخ 20 نوفمبر 2012 .
↑ إيفرست، ج.؛ وارد، توماس (2006)، مقدمة في نظرية الأعداد ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد 232، سبرينغر، ص 117، ISBN 9781846280443.
↑ وايلز، أندرو (1995). " المنحنيات الإهليلجية المعيارية ونظرية فيرما الأخيرة" (ملف PDF) . حوليات الرياضيات . 141 (3): 443-551 . doi : 10.2307/2118559 . JSTOR 2118559. OCLC 37032255 .
↑ إلكيس، نعوم ( 1988). " حول A⁴ + B⁴ + ^C⁴ = D⁴ " (ملف PDF) ^. رياضيات الحساب . 51 ( 184): 825-835 ^. doi : ^10.2307 /2008781 . JSTOR 2008781. MR 0930224 .
↑ فراي، روجر إي. (1988). "إيجاد 95800 ⁴ + 217519 ⁴ + 414560 ⁴ = 422481 ⁴ على جهاز الاتصال". وقائع مؤتمر الحوسبة الفائقة 88، المجلد الثاني: العلوم والتطبيقات . الصفحات 106-116 . doi : 10.1109/SUPERC.1988.74138 .
↑ ريتشارد زيبيل (1993). الحساب الفعال لكثيرات الحدود . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 50. ISBN 978-0-7923-9375-7.
↑ ألكسندر بوكمير، فولكر فايسبفينينغ (2001). "حل القيود العددية". في جون آلان روبنسون وأندريه فورونكوف (محرران). دليل الاستدلال الآلي، المجلد الأول . إلسيفير ومعهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. ص 779. ISBN 0-444-82949-0(إلسيفير) (مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا).
↑ كوفاسيتش، جيرالد (8 مايو 1985). "خوارزمية لحل المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة من الرتبة الثانية" (ملف PDF) . كور . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 16 أبريل 2019.
↑ "A320067 - Oeis" .

مراجع

مورديل، إل جيه (1969). المعادلات الديوفانتية . الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد 30. دار النشر الأكاديمية . ISBN 0-12-506250-8. Zbl 0188.34503 .
شميدت، وولفغانغ م. (1991). التقريبات الديوفانتية والمعادلات الديوفانتية . سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد 1467. برلين: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 3-540-54058-X. Zbl 0754.11020 .
شوري، تينيسي؛ تيدمان، ر. (1986). المعادلات الديوفانتية الأسية . سلسلة كامبريدج في الرياضيات. المجلد 87. مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-26826-5. Zbl 0606.10011 .
سمارت، نايجل ب. (1998). الحل الخوارزمي للمعادلات الديوفانتية . نصوص طلابية من جمعية لندن الرياضية. المجلد 41. مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-64156-X. Zbl 0907.11001 .
ستيلويل، جون (2004). الرياضيات وتاريخها ( الطبعة الثانية). سبرينغر ساينس + بيزنس ميديا إنك. ISBN 0-387-95336-1.

للمزيد من القراءة

باشماكوفا، إيزابيل (1966). "ديوفانتي وفيرما". Revue d'Histoire des Sciences et de Leurs Applications . 19 (4): 289-306 . دوى : 10.3406 / rhs.1966.2507 . جستور 23905707 .
باشماكوفا، إيزابيلا ج. ديوفانتوس والمعادلات الديوفانتية . موسكو: ناوكا 1972 [باللغة الروسية]. الترجمة الألمانية: Diophant und diophantische Gleichungen . بيركهاوزر، بازل/شتوتغارت، 1974. الترجمة الإنجليزية: Diophantus and Diophantine Equations . ترجمة آبي شينيتزر بمساعدة تحريرية من هاردي غرانت، وتحديث جوزيف سيلفرمان. معارض دولسياني الرياضية، 20. الجمعية الرياضية الأمريكية، واشنطن العاصمة، 1997.
باشماكوفا، إيزابيلا ج. “ حساب المنحنيات الجبرية من ديوفانتوس إلى بوانكاريه” Historia Mathematica 8 (1981)، 393–416.
باشماكوفا، إيزابيلا جي، سلافوتين، EI تاريخ التحليل الديوفانتي من ديوفانتوس إلى فيرما . موسكو: ناوكا 1984 [بالروسية].
باشماكوفا، إيزابيلا ج. "المعادلات الديوفانتية وتطور الجبر"، ترجمات الجمعية الرياضية الأمريكية 147 (2)، 1990، ص 85-100. ترجمة أ. شينيتزر وهـ. غرانت.
ديكسون، ليونارد يوجين (2005) [1920]. تاريخ نظرية الأعداد . المجلد الثاني: التحليل الديوفانتي . مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-44233-4. السيد 0245500 . زبل 1214.11002 .
غريتشوك، بوغدان (2024). المعادلات الديوفانتية متعددة الحدود: منهج منهجي . سبرينغر. ISBN 9783031629488.
راشد، رشدي (2013). Histoire de l'analyse diophantienne classique: D'Abū Kāmil à Fermat (بالفرنسية). برلين؛ نيويورك: والتر دي جرويتر. رقم ISBN 978-3-11-033788-4.
راشد, رشدي ; هوزل، كريستيان [بالفرنسية] (2013). "الحساب" لديوفانت . دوى : 10.1515/9783110336481 . رقم ISBN 978-3-11-033593-4.

روابط خارجية

معادلة ديوفانتين . من موقع MathWorld التابع لشركة Wolfram Research .
"المعادلات الديوفانتية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
آلة حاسبة داريو ألبيرن الإلكترونية . تم الاطلاع عليها بتاريخ 18 مارس 2009

[1] "اقتباسات من هاردي" . Gap.dcs.st-and.ac.uk. مؤرشف من الأصل بتاريخ 16 يوليو 2012. تم الاطلاع عليه بتاريخ 20 نوفمبر 2012 .

[2] إيفرست، ج.؛ وارد، توماس (2006)، مقدمة في نظرية الأعداد ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد 232، سبرينغر، ص 117، ISBN 9781846280443.

[wiles-3] وايلز، أندرو (1995). " المنحنيات الإهليلجية المعيارية ونظرية فيرما الأخيرة" (ملف PDF) . حوليات الرياضيات . 141 (3): 443-551 . doi : 10.2307/2118559 . JSTOR 2118559. OCLC 37032255 .

[4] إلكيس، نعوم ( 1988). " حول A⁴ + B⁴ + ^C⁴ = D⁴ " (ملف PDF) ^. رياضيات الحساب . 51 ( 184): 825-835 ^. doi : ^10.2307 /2008781 . JSTOR 2008781. MR 0930224 .

[5] فراي، روجر إي. (1988). "إيجاد 95800 ⁴ + 217519 ⁴ + 414560 ⁴ = 422481 ⁴ على جهاز الاتصال". وقائع مؤتمر الحوسبة الفائقة 88، المجلد الثاني: العلوم والتطبيقات . الصفحات 106-116 . doi : 10.1109/SUPERC.1988.74138 .

[Zippel1993-6] ريتشارد زيبيل (1993). الحساب الفعال لكثيرات الحدود . سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا. ص 50. ISBN 978-0-7923-9375-7.

[7] ألكسندر بوكمير، فولكر فايسبفينينغ (2001). "حل القيود العددية". في جون آلان روبنسون وأندريه فورونكوف (محرران). دليل الاستدلال الآلي، المجلد الأول . إلسيفير ومعهد ماساتشوستس للتكنولوجيا. ص 779. ISBN 0-444-82949-0(إلسيفير) (مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا).

[8] كوفاسيتش، جيرالد (8 مايو 1985). "خوارزمية لحل المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة من الرتبة الثانية" (ملف PDF) . كور . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 16 أبريل 2019.

[9] "A320067 - Oeis" .

[

[

[ 3 ]

95800

[ 4 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗