لعبة طوبولوجية

في الرياضيات ، تُعرف اللعبة الطوبولوجية بأنها لعبة لا نهائية ذات معلومات كاملة ، تُمارس بين لاعبين على فضاء طوبولوجي . يختار اللاعبون عناصر ذات خصائص طوبولوجية، مثل النقاط والمجموعات المفتوحة والمجموعات المغلقة والأغطية المفتوحة . يكون الزمن عادةً منفصلاً، ولكن قد تمتد فترات اللعب إلى ما وراء اللانهاية ، وقد طُرحت امتدادات لتشمل الزمن المتصل. قد تتضمن شروط فوز اللاعب مفاهيم مثل الإغلاق الطوبولوجي والتقارب .

اتضح أن بعض البنى الطوبولوجية الأساسية لها نظير طبيعي في الألعاب الطوبولوجية؛ ومن أمثلة ذلك خاصية باير ، وفضاءات باير ، وخصائص الاكتمال والتقارب، وخصائص الفصل، وخصائص التغطية والأساس، والصور المتصلة، ومجموعات سوسلين، والفضاءات الشاذة. في الوقت نفسه، يمكن تعميم بعض الخصائص الطوبولوجية التي تنشأ بشكل طبيعي في الألعاب الطوبولوجية خارج سياق نظرية الألعاب : وبفضل هذه الازدواجية، استُخدمت الألعاب الطوبولوجية على نطاق واسع لوصف خصائص جديدة للفضاءات الطوبولوجية، ولإلقاء الضوء على الخصائص المعروفة من منظور مختلف. كما توجد روابط وثيقة بمبادئ الاختيار .

صاغ كلود بيرج مصطلح " اللعبة الطوبولوجية" لأول مرة ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} ، حيث حدد الأفكار الأساسية والشكلية قياسًا على المجموعات الطوبولوجية . ثم طُرح معنى مختلف للعبة الطوبولوجية ، وهو مفهوم "الخصائص الطوبولوجية المُعرَّفة بالألعاب"، في ورقة بحثية لراستيسلاف تيلجارسكي ^{[ 4 ]} ، ولاحقًا مفهوم "الفضاءات المُعرَّفة بالألعاب الطوبولوجية" ^{[ 5 ]} . يعتمد هذا النهج على أوجه التشابه مع ألعاب المصفوفات، والألعاب التفاضلية ، والألعاب الإحصائية، ويُعرّف ويدرس الألعاب الطوبولوجية ضمن الطوبولوجيا. بعد أكثر من 35 عامًا، انتشر مصطلح "اللعبة الطوبولوجية" على نطاق واسع، وظهر في مئات المنشورات. وتؤكد ورقة تيلجارسكي ^{[ 6 ]} على أصل الألعاب الطوبولوجية من لعبة باناش-مازور .

هناك معنيان آخران للألعاب الطوبولوجية، لكنهما يستخدمان بشكل أقل تكراراً.

• مصطلح "اللعبة الطوبولوجية" هو مصطلح طرحه ليون بيتروسيان ^{[ 7 ]} في دراسة ألعاب المطاردة والتهرب التنافسية . وتكون المسارات في هذه الألعاب الطوبولوجية متصلة زمنيًا.
• أطلق ديفيد غيل على ألعاب ناش ( ألعاب هيكس )، وألعاب ميلنور (ألعاب واي)، وألعاب شابلي (ألعاب المستوى الإسقاطي)، وألعاب غيل ( ألعاب بريدج-إت ) اسم الألعاب الطوبولوجية في محاضرته المدعوة [1979/1980]. عدد الحركات في هذه الألعاب محدود دائمًا. يعود اكتشاف أو إعادة اكتشاف هذه الألعاب الطوبولوجية إلى عامي 1948-1949.

يمكن تعريف العديد من الأطر لألعاب المواقع اللانهائية ذات المعلومات الكاملة.

الإعداد النموذجي هو لعبة بين لاعبين، الأول والثاني ، يختاران بالتناوب مجموعات جزئية من فضاء طوبولوجي X. في الجولة رقم n ، يلعب اللاعب الأول مجموعة جزئية I _{_n} من X ، ويرد اللاعب الثاني بمجموعة جزئية J _{_n} . توجد جولة لكل عدد طبيعي n ، وبعد لعب جميع الجولات، يفوز اللاعب الأول إذا كانت المتتالية

I ₀ ، J ₀ ، I ₁ ، J ₁ ،...

إذا استوفى الشرط بعض الخصائص، وإلا يفوز اللاعب الثاني .

تُحدد اللعبة بالخاصية المستهدفة والتحركات المسموح بها في كل خطوة. على سبيل المثال، في لعبة باناش-مازور BM ( X )، تكون التحركات المسموح بها مجموعات جزئية مفتوحة غير فارغة من الحركة السابقة، ويفوز اللاعب الأول إذا${\displaystyle \bigcap _{n}I_{n}\neq \emptyset }$.

يمكن تعديل هذا الإعداد النموذجي بطرق مختلفة. على سبيل المثال، بدلاً من أن تكون كل حركة مجموعة جزئية من X ، فقد تتكون كل حركة من زوج${\displaystyle (I,p)}$أين${\displaystyle I\subseteq X}$و${\displaystyle p\in x}$. بدلاً من ذلك، قد يكون لتسلسل الحركات طول عدد ترتيبي آخر غير ω .

كانت لعبة باناش-مازور أول لعبة طوبولوجية تمت دراستها، وهي مثال محفز للروابط بين مفاهيم نظرية الألعاب والخصائص الطوبولوجية.

ليكن Y فضاءً طوبولوجيًا، وليكن X مجموعة جزئية من Y ، تُسمى المجموعة الفائزة . يبدأ اللاعب الأول اللعبة باختيار مجموعة جزئية مفتوحة غير فارغة.${\displaystyle I_{0}\subseteq Y}$ويرد اللاعب الثاني بمجموعة فرعية مفتوحة غير فارغة${\displaystyle J_{0}\subseteq I_{0}}$يستمر اللعب على هذا النحو، حيث يختار اللاعبون بالتناوب مجموعة فرعية مفتوحة غير فارغة من المجموعة الفرعية للعبة السابقة. بعد سلسلة لا نهائية من الحركات، حركة واحدة لكل عدد طبيعي، تنتهي اللعبة، ويفوز اللاعب الأول إذا وفقط إذا

${\displaystyle X\cap \bigcap _{n\in \omega }I_{n}\neq \emptyset .}$

تشمل الروابط بين نظرية الألعاب والطوبولوجيا التي توضحها اللعبة ما يلي:

• يمتلك اللاعب الثاني استراتيجية رابحة في اللعبة إذا وفقط إذا كان X من الفئة الأولى في Y (تكون المجموعة من الفئة الأولى أو ضئيلة إذا كانت الاتحاد القابل للعد لمجموعات غير كثيفة في أي مكان ).
• إذا كانت Y فضاءً متريًا كاملاً ، فإن I لديها استراتيجية رابحة إذا وفقط إذا كان X موجودًا في مجموعة فرعية مفتوحة غير فارغة من Y.
• إذا كان X يمتلك خاصية باير في Y ، فإن اللعبة تُحسم.

ومن الألعاب الطوبولوجية البارزة الأخرى ما يلي:

• اللعبة الثنائية التي قدمها أولام - وهي تعديل للعبة باناش-مازور؛
• لعبة باناش - تُلعب على مجموعة فرعية من خط الأعداد الحقيقية؛
• لعبة الشوكيه - المرتبطة بالمساحات القابلة للغربلة؛
• لعبة النقاط المفتوحة - حيث يختار اللاعب الأول النقاط ويختار اللاعب الثاني الأحياء المفتوحة لها؛
• ألعاب الاختيار - في كل جولة، يختار اللاعب الأول مجموعة (طوبولوجية)، ويختار اللاعب الثاني عنصرًا أو مجموعة جزئية منتهية من تلك المجموعة. انظر مبدأ الاختيار §  الألعاب الطوبولوجية .

تم تقديم العديد من الألعاب الأخرى على مر السنين، لدراسة أمور من بينها: مبدأ كوراتوفسكي للاختزال المشترك؛ خصائص الفصل والاختزال للمجموعات في الفئات الإسقاطية المغلقة؛ مناخل لوزين ؛ نظرية المجموعات الوصفية الثابتة ؛ مجموعات سوسلين ؛ نظرية الرسم البياني المغلق ؛ الفضاءات الشبكية ؛ فضاءات MP؛ بديهية الاختيار ؛ الدوال القابلة للحساب . كما تم ربط الألعاب الطوبولوجية بأفكار في المنطق الرياضي ، ونظرية النماذج ، والصيغ اللانهائية الطول ، والسلاسل اللانهائية من الكميات المتناوبة، والمرشحات الفائقة ، والمجموعات المرتبة جزئيًا ، والعدد اللوني للرسوم البيانية اللانهائية.

للاطلاع على قائمة أطول وسرد أكثر تفصيلاً، انظر ورقة المسح التي أعدها تيلغارسكي عام 1987. ^{[ 6 ]}

• لغز طوبولوجي