برج هانوي

📅 آخر تحديث: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٣ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 34 صور
الموسوعة الحرة
مجموعة نماذج لبرج هانوي (مع 8 أقراص)
حل متحرك للغز برج هانوي للعدد T (4، 3)
عرض تفاعلي لبرج هانوي في متحف يونيفرسوم بمدينة مكسيكو

برج هانوي (يُعرف أيضًا باسم معضلة معبد بنارس ، [ 1 ] أو برج براهما أو برج لوكاس ، [ 2 ] ويُجمع أحيانًا بـ "الأبراج" ، أو ببساطة لغز الهرم [ 3 ] ) هو لعبة أو لغز رياضي يتكون من ثلاثة قضبان وعدد من الأقراص بأقطار مختلفة ، والتي يمكن انزلاقها على أي قضيب. يبدأ اللغز بتكديس الأقراص على أحد القضبان بترتيب تنازلي حسب الحجم، حيث يكون أصغرها في الأعلى، مما يُقارب شكلًا مخروطيًا . الهدف من اللغز هو نقل المجموعة بأكملها إلى أحد القضبان الأخرى، مع مراعاة القواعد التالية: [ 4 ]

  1. لا يمكن نقل سوى قرص واحد في كل مرة.
  2. تتكون كل حركة من أخذ القرص العلوي من إحدى الأكوام ووضعه فوق كومة أخرى أو على قضيب فارغ.
  3. لا يجوز وضع أي قرص فوق قرص أصغر منه.

باستخدام ثلاثة أقراص، يمكن حل اللغز في سبع حركات. الحد الأدنى لعدد الحركات المطلوبة لحل لغز برج هانوي هو 2^ n - 1 ، حيث n هو عدد الأقراص.

الأصول

ابتكر هذا اللغز عالم الرياضيات الفرنسي إدوارد لوكاس ، وعُرض لأول مرة عام 1883 كلعبة اكتشفها "ن. كلاوس (دي سيام)" (وهي قلب حروف اسم "لوكاس داميان")، [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] ونُشرت لاحقًا ككتيب عام 1889 [ 8 ] وفي مجلد نُشر بعد وفاته من كتاب "التسليات الرياضية" للوكاس . [ 9 ] ورافق اللعبة كتيب تعليمات يصف أصولها المزعومة في تونكين ، ويزعم أنه وفقًا للأسطورة، كان البراهمة في معبد في بنارس يقومون بتحريك "برج براهما المقدس "، المكون من 64 قرصًا ذهبيًا، وفقًا للقواعد نفسها المتبعة في اللعبة، وأن إكمال البرج سيؤدي إلى نهاية العالم. [ 10 ] توجد العديد من الروايات المختلفة لهذه الأسطورة، فيما يتعلق بالطبيعة القديمة والغامضة للغز. [ 5 ]

بمعدل حركة واحدة في الثانية، فإن الحد الأدنى من الوقت اللازم لإكمال الأقراص الـ 64 سيكون 2 64  −  1 ثانية أو 585 مليار سنة، أي ما يقرب من 42 ضعف العمر الحالي المقدر للكون . [ 11 ]

توجد روايات عديدة لهذه الأسطورة. ففي بعض الروايات، يكون المعبد ديرًا ، والكهنة رهبانًا . وقد يقع المعبد أو الدير في مواقع مختلفة، بما في ذلك هانوي ، وقد يرتبط بأي دين . وفي بعض الروايات، تُضاف عناصر أخرى، مثل أن البرج بُني في بداية العالم، أو أن الكهنة أو الرهبان لا يُسمح لهم إلا بالتحرك مرة واحدة في اليوم.

حل

يمكن لعب هذه الأحجية بأي عدد من الأقراص، على الرغم من أن العديد من النسخ المصغرة تحتوي على ما بين 7 إلى 9 أقراص. الحد الأدنى لعدد الحركات المطلوبة لحل أحجية برج هانوي باستخدام n قرصًا هو 2 ^n - 1. [ 12 ]

الحل التكراري

عرض متحرك لخوارزمية تكرارية لحل مشكلة الأقراص الستة

الحل البسيط للعبة الأحجية هو التناوب بين 1) تحريك القطعة العلوية و 2) تحريك قطعة أخرى.

بالنسبة للنقطة الأولى، عندما نحرك الجزء العلوي، نحركه دائمًا إلى الموضع التالي في نفس الاتجاه. يكون هذا الاتجاه إلى اليمين إذا كان عدد القطع الابتدائي زوجيًا، أو إلى اليسار إذا كان عدد القطع الابتدائي فرديًا.

نتخيل أن الأبراج تقع على دائرة، أو أن صورة اللغز تلتف أفقيًا، بحيث أن التحرك إلى اليسار من البرج الأول يقودنا إلى البرج الثالث، والتحرك إلى اليمين من البرج الثالث يقودنا إلى البرج الأول.

بمعنى آخر، ستضع الخطوات 1، 3، 5، 7... الجزء العلوي من A > B > C > A ... (لعدد زوجي من القطع) أو A > C > B > A ... كرر (لعدد فردي من القطع).

بالنسبة للخطوة 2، عندما نحرك قطعة أخرى، يكون هناك دائمًا حركة قانونية واحدة فقط، حيث لا يمكن تحريك أي قطعة إلى أصغر قطعة، ومن أي مجموعة من القطع الأخرى، فإن واحدة فقط ستناسب الأخرى.

باتباع الخطوات 1، 2، 1، 2، ... بشكل صحيح، سيتم إكمال اللغز بأقل عدد من الحركات. [ 13 ]

بيان أبسط للحل التكراري

الحل التكراري يعادل التنفيذ المتكرر للتسلسل التالي من الخطوات حتى يتم تحقيق الهدف:

  • انقل قرصًا واحدًا من الوتد أ إلى الوتد ب أو العكس، أيهما كان النقل قانونيًا.
  • انقل قرصًا واحدًا من الوتد A إلى الوتد C أو العكس، أيهما كان النقل قانونيًا.
  • انقل قرصًا واحدًا من الوتد B إلى الوتد C أو العكس، أيهما كان النقل قانونيًا.

باتباع هذا النهج، ستستقر المجموعة على الوتد B إذا كان عدد الأقراص فرديًا، وعلى الوتد C إذا كان زوجيًا. تغيير الترتيب سيغير النتيجة.

  • انقل قرصًا واحدًا من الوتد A إلى الوتد C أو العكس، أيهما كان النقل قانونيًا.
  • انقل قرصًا واحدًا من الوتد أ إلى الوتد ب أو العكس، أيهما كان النقل قانونيًا.
  • انقل قرصًا واحدًا من الوتد B إلى الوتد C أو العكس، أيهما كان النقل قانونيًا.

وبهذه الطريقة، ستنتهي المجموعة على الوتد B إذا كان عدد الأقراص زوجيًا، وعلى الوتد C إذا كان فرديًا.

الحل التكراري

رسم توضيحي لحل متكرر للغز أبراج هانوي ذي الأقراص الأربعة. في ملف SVG، انقر على الزر الرمادي لتكبيره أو تصغيره.

يكمن مفتاح حل أي مشكلة بشكل تكراري في إدراك إمكانية تقسيمها إلى مجموعة من المشكلات الفرعية الأصغر، حيث ينطبق على كل منها نفس إجراء الحل العام الذي نسعى إليه ، ثم يُستخلص الحل الكلي بطريقة بسيطة من حلول تلك المشكلات الفرعية. وكون كل مشكلة فرعية من هذه المشكلات "أصغر" يضمن الوصول في النهاية إلى الحالة (الحالات) الأساسية. بالنسبة لأبراج هانوي:

  • قم بتسمية الأوتاد A وB وC
  • لنفترض أن n هو العدد الإجمالي للأقراص، و
  • قم بترقيم الأقراص من 1 (الأصغر، الأعلى) إلى n (الأكبر، الأسفل).

بافتراض أن جميع الأقراص n موزعة بترتيبات صحيحة بين الأوتاد؛ وبافتراض وجود m قرصًا علويًا على وتد المصدر ، وأن جميع الأقراص المتبقية أكبر من m ، لذا يمكن تجاهلها بأمان؛ لنقل m قرصًا من وتد المصدر إلى وتد الهدف باستخدام وتد احتياطي ، دون انتهاك القواعد:

  1. انقل m - 1 قرصًا من المصدر إلى الوتد الاحتياطي ، باتباع نفس إجراء الحل العام . لا تُخالف القواعد، بافتراض ذلك. هذا يجعل القرص m قرصًا علويًا على وتد المصدر.
  2. انقل القرص m من المصدر إلى الوتد الهدف ، وهو ما يضمن أنه نقل صحيح، وفقًا للافتراضات - خطوة بسيطة .
  3. انقل الأقراص m − 1 التي وضعناها للتو على القرص الاحتياطي، من القرص الاحتياطي إلى الوتد المستهدف بنفس إجراء الحل العام ، بحيث يتم وضعها فوق القرص m دون انتهاك القواعد.
  4. الحالة الأساسية هي نقل 0 أقراص (في الخطوتين 1 و 3)، أي عدم القيام بأي شيء - وهو ما لا ينتهك القواعد.

ثم يقوم حل برج هانوي الكامل بنقل n قرصًا من وتد المصدر A إلى وتد الهدف C، باستخدام B كوتد احتياطي.

يمكن تقديم برهان رياضي دقيق لهذا النهج باستخدام الاستقراء الرياضي ، وغالبًا ما يستخدم كمثال على الاستدعاء الذاتي عند تدريس البرمجة.

التحليل المنطقي للحل التكراري

كما هو الحال في العديد من الألغاز الرياضية، يُصبح إيجاد الحل أسهل بحلّ مسألة أعمّ قليلاً: كيفية نقل برج من h قرصًا (ارتفاعه h) من وتد البداية f = A (من) إلى وتد الوجهة t = C (إلى)، حيث B هو الوتد الثالث المتبقي ، وبافتراض أن t ≠ f . أولًا، لاحظ أن المسألة متناظرة بالنسبة لتباديل أسماء الأوتاد ( المجموعة المتناظرة S3 ). إذا كان الحل معروفًا بالانتقال من الوتد A إلى الوتد C ، فبإعادة تسمية الأوتاد، يُمكن استخدام الحل نفسه لأي اختيار آخر لوتد البداية والوجهة. إذا كان هناك قرص واحد فقط (أو حتى لا يوجد قرص على الإطلاق)، فإن المسألة بسيطة. إذا كان h = 1، فانقل القرص من الوتد A إلى الوتد C. إذا كان h > 1، فيجب نقل أكبر قرص في مكان ما على طول سلسلة النقلات من الوتد A إلى وتد آخر، ويفضل أن يكون إلى الوتد C. الحالة الوحيدة التي تسمح بهذه الحركة هي عندما تكون جميع الأقراص الأصغر (h − 1) على الوتد B. لذا، يجب أولاً نقل جميع الأقراص الأصغر ( h − 1) من A إلى B. ثم يُنقل القرص الأكبر، وأخيراً تُنقل الأقراص الأصغر (h − 1) من الوتد B إلى الوتد C. لا يعيق وجود القرص الأكبر أي حركة للأقراص الأصغر (h − 1) ويمكن تجاهله مؤقتاً. الآن، تُختزل المشكلة إلى نقل (h − 1) قرصاً من وتد إلى آخر، أولاً من A إلى B ثم من B إلى C ، ولكن يمكن استخدام الطريقة نفسها في كلتا الحالتين عن طريق إعادة تسمية الأوتاد. يمكن استخدام الاستراتيجية نفسها لاختزال مشكلة (h − 1) إلى (h − 2)، (h − 3)، وهكذا حتى يتبقى قرص واحد فقط. يُسمى هذا بالتكرار. يمكن تمثيل هذه الخوارزمية تخطيطياً كما يلي.

حدد الأقراص بترتيب تصاعدي حسب حجمها باستخدام الأعداد الطبيعية من 0 إلى h (باستثناء h) . وبالتالي، فإن القرص 0 هو الأصغر، والقرص h − 1 هو الأكبر.

فيما يلي إجراء لنقل برج مكون من h قرص من وتد A إلى وتد C ، مع كون B هو الوتد الثالث المتبقي:

  1. إذا كانت قيمة h > 1، فقم بنقل الأقراص الأصغر بمقدار h − 1 من الوتد A إلى الوتد B.
  2. الآن يمكن نقل القرص الأكبر، أي القرص h، من الوتد A إلى الوتد C.
  3. ثم انقل الأقراص الأصغر بمقدار h − 1 من الوتد B إلى الوتد C.

باستخدام الاستقراء الرياضي ، يُمكن إثبات أن الإجراء المذكور أعلاه يتطلب أقل عدد ممكن من الحركات، وأن الحل الناتج هو الحل الوحيد الذي يتطلب هذا العدد الأدنى من الحركات. وباستخدام العلاقات التكرارية ، يُمكن حساب العدد الدقيق للحركات التي يتطلبها هذا الحل كما يلي:2ح-1{\displaystyle 2^{h}-1}تُستنتج هذه النتيجة من خلال ملاحظة أن الخطوتين 1 و3 تأخذانتيح-1{\displaystyle T_{h-1}}تتحرك، وتتطلب الخطوة الثانية حركة واحدة، مما يعطيتيح=2تيح-1+1{\displaystyle T_{h}=2T_{h-1}+1}.

حل غير تكراري

تتميز قائمة حركات البرج، عند نقله من وتد إلى آخر، كما ينتجها الخوارزمية التكرارية، بالعديد من الانتظامات. عند حساب الحركات بدءًا من 1، يكون ترتيب القرص المراد تحريكه في الحركة m هو عدد مرات قسمة m على 2. لذا، تتضمن كل حركة فردية أصغر قرص. كما يُلاحظ أن أصغر قرص يمر عبر الأوتاد f ، t ، r ، f ، t ، r ، وهكذا، عندما يكون ارتفاع البرج فرديًا، ويمر عبر الأوتاد f ، r ، t ، f ، r ، t ، وهكذا، عندما يكون ارتفاع البرج زوجيًا. يوفر هذا الخوارزمية التالية، وهي أسهل في التنفيذ اليدوي من الخوارزمية التكرارية.

في حركات بديلة:

  • انقل القرص الأصغر إلى الوتد الذي لم يخرج منه مؤخراً.
  • انقل قرصًا آخر بشكل قانوني (لن يكون هناك سوى احتمال واحد).

في أول حركة، يذهب القرص الأصغر إلى الوتد t إذا كان h فرديًا وإلى الوتد r إذا كان h زوجيًا.

لاحظ أيضًا ما يلي:

  • تتحرك الأقراص التي يكون ترتيبها زوجيًا في نفس اتجاه أصغر قرص.
  • تتحرك الأقراص التي يكون ترتيبها فرديًا في الاتجاه المعاكس.
  • إذا كان h زوجيًا، فإن الوتد الثالث المتبقي خلال التحركات المتتالية هو t ، r ، f ، t ، r ، f ، إلخ.
  • إذا كان h فرديًا، فإن الوتد الثالث المتبقي خلال التحركات المتتالية هو r ، t ، f ، r ، t ، f ، إلخ.

بفضل هذه المعرفة، يمكن استعادة مجموعة من الأقراص في منتصف الحل الأمثل دون الحاجة إلى معلومات حالة أكثر من مواقع كل قرص:

  • أطلق على الحركات المفصلة أعلاه اسم الحركة "الطبيعية" للقرص.
  • افحص أصغر قرص علوي ليس القرص 0، ولاحظ ما هي حركته الوحيدة (القانونية): إذا لم يكن هناك مثل هذا القرص، فنحن إما في الحركة الأولى أو الأخيرة.
  • إذا كانت تلك الحركة هي الحركة "الطبيعية" للقرص، فإن القرص لم يتم تحريكه منذ آخر حركة للقرص 0، ويجب القيام بتلك الحركة.
  • إذا لم تكن تلك الحركة هي الحركة "الطبيعية" للقرص، فقم بنقل القرص 0.

الحل الثنائي

يمكن تحديد مواقع الأقراص في لغز ذي n قرصًا مباشرةً من التمثيل الثنائي لرقم الحركة m . على سبيل المثال، يمكن حساب جميع تفاصيل الحركة m = 216 في لعبة برج هانوي ذات 8 أقراص دون أي تكرار أو استدعاء ذاتي، ودون الرجوع إلى أي حركات سابقة أو توزيع للأقراص. في المقابل، بمعرفة توزيع صحيح للأقراص، يمكن حساب رقم الحركة اللازمة لتحقيق هذا التوزيع.

لنفترض أن الأقراص مُرقمة من n إلى n -1، ...، 1، بترتيب تنازلي حسب الحجم. ولنفترض أن الأوتاد A و B و C مُرقمة من 0 إلى 2، حيث يُمثل 0 دائمًا وتد البداية و2 دائمًا وتد النهاية. كذلك، لنفترض أن قواعد الأوتاد التي تُكدس عليها الأقراص مُرقمة من n +1 إلى n + 3، للأوتاد 0 و1 و2 على التوالي.

يمكن تحديد مواقع القرص بعد الحركة m من التمثيل الثنائي لـ m وفقًا للقواعد التالية: [ 14 ]

  • يوجد رقم ثنائي واحد (بت) في m لكل قرص.
  • تتم قراءة سلسلة البتات الخاصة بـ m من اليسار إلى اليمين، ويمكن استخدام كل بت لتعيين موقع القرص المقابل، من القرص n إلى القرص 1.
  • يمثل البت الأكثر أهمية (الأيسر) القرص الأكبر، القرص رقم n . تشير القيمة 0 إلى أن القرص الأكبر موجود على الوتد البادئ 0 ( A )، بينما تشير القيمة 1 إلى أنه موجود على الوتد النهائي 2 ( C ).
  • بعد أي حركة:
  1. يتم تكديس كل قرص فوق قرص آخر، أو فوق قاعدة فارغة، بترتيب تكافؤ معاكس . أي أن: 5>4>3 (3 فوق 4 فوق 5) صحيح؛ 5>4>2 (مع 2 فوق 4) غير صحيح.
  2. واحد فقط من العلامات العلوية (رقم القرص أو القاعدة الفارغة) يكون زوجيًا (لـ n الزوجي؛ وإلا فإن واحدًا فقط يكون فرديًا).
  3. يشير وجود بت بنفس قيمة الرقم السابق إلى أن القرص المقابل موضوع فوق القرص السابق. بمعنى آخر: سلسلة متصلة من 1 أو 0 تعني أن الأقراص المقابلة جميعها على نفس الوتد.
  • يشير البت ذو القيمة المختلفة عن البت السابق إلى أن القرص المقابل موجود على وتد آخر وليس على المجموعة السابقة. بناءً على ما سبق، فإن اختيارًا واحدًا فقط من الوتدين المتبقيين يُعد وضعًا صحيحًا. لاحظ أنه بعد وضع المجموعة الأولى من الأقراص، تبدأ كل جولة وضع وتنتهي بوجود أحد الوتدين المحتملين بتكافؤ زوجي، والآخر بتكافؤ فردي.

على سبيل المثال، في لعبة برج هانوي المكونة من 8 أقراص:

  • Move 0 = 00000000.
    • أكبر بت في القرص (الأقصى يسارًا) هو 0، لذا فهو موجود على وتد البداية (0).
    • جميع الأقراص الأخرى قيمتها صفر أيضًا، لذا فهي مكدسة فوقها. وبالتالي، فإن جميع الأقراص موجودة على وتد البداية، في التكوين الأولي للعبة.
  • Move 255 10 (2 8 − 1) = 11111111.
    • أكبر بت في القرص هو 1، لذا فهو موجود على الوتد الأخير (2).
    • جميع الأقراص الأخرى تحمل الرقم 1 أيضاً، لذا يتم تكديسها فوقها. وبالتالي، فإن جميع الأقراص موجودة على الوتد الأخير، وبذلك يتم حل اللغز.
  • الحركة 216 10 = 11011000.
    • أكبر بت في القرص هو 1، لذا فإن القرص 8 يقع على الوتد الأخير (2). لاحظ أنه يقع على الرقم الأساسي 11 (11>8).
    • القرص 7 هو أيضًا 1، لذلك يتم وضعه فوق القرص 8 (11>8>7).
    • القرص رقم 6 هو 0، لذا فهو موضوع على وتد آخر. الوتد رقم 1 فارغ، لكن رقمه الأساسي هو 10. لا يمكن وضع القرص رقم 6 على الوتد ذي الرقم الأساسي 10 (لأن كليهما زوجي). لذلك، يوضع القرص رقم 6 على الوتد رقم 0 (9 > 6).
    • القرص رقم 5 هو 1، لذا فهو موضوع على وتد آخر. وبما أن الوتد رقم 2 يعلوه الآن الرقم 7، فلا يمكن وضع القرص عليه. لذلك، يوضع القرص رقم 5 على الوتد رقم 1 (10>5).
    • القرص 4 هو أيضًا 1، لذلك يتم وضعه فوق القرص 5 (10>5>4).
    • القرص 3 هو 0، لذا فهو على وتد آخر. بما أن الوتد 2 يعلوه الرقم 7، فلا يمكن وضعه هناك. تم وضع القرص 3 على الوتد 0 (9>6>3).
    • القرصان 2 و 1 هما أيضًا 0، لذلك يتم تكديسهما فوق القرص 3 (9>3>2>1).

يمكن إيجاد نقاط المصدر والوجهة للخطوة رقم m (باستثناء الخطوة 0) بسهولة من التمثيل الثنائي للعدد m باستخدام عمليات البت . باستخدام صيغة لغة البرمجة C ، تكون الخطوة m كالتالي:

من وتد إلى وتد .(m & m - 1) % 3((m | m - 1) + 1) % 3

وهناك صيغة أخرى لذلك وهي:

من وتد إلى وتد .(m - (m & -m)) % 3(m + (m & -m)) % 3

ينطبق هذا على الألغاز ذات العدد الفردي من النقاط (n) . أما بالنسبة للألغاز ذات العدد الزوجي من النقاط (n) ، فيجب عكس إشارات الإخراج إلى الوتدين 1 و2.

علاوة على ذلك، يتم تحديد القرص الواحد الذي سيتم نقله لأي حركة محددة من خلال عدد مرات قسمة عدد الحركات ( m ) على 2 (أي عدد البتات الصفرية المتتالية على يمين m )، ثم إضافة 1. في المثال أعلاه للحركة 216، مع 3 أصفار على اليمين، يتم نقل القرص 4 (3 + 1) من الوتد 2 إلى الوتد 1.

حل الشفرة الرمادية

يُقدّم نظام الأرقام الثنائية لرموز غراي طريقة بديلة لحل اللغز. في نظام غراي، تُعبّر الأرقام عن نفسها بمزيج ثنائي من الأصفار والآحاد، ولكن بدلاً من أن يكون نظام أرقام موضعي قياسي ، يعمل رمز غراي على أساس أن كل قيمة تختلف عن سابقتها بتغيير بت واحد فقط.

إذا قام المرء بالعد في رمز غراي بحجم بت يساوي عدد الأقراص في برج هانوي معين، وبدأ من الصفر وعدّ تصاعديًا، فإن البت الذي يتغير في كل حركة يتوافق مع القرص المراد تحريكه، حيث يكون البت الأقل أهمية هو أصغر قرص، والبت الأكثر أهمية هو الأكبر.

بحساب الحركات من 1 وتحديد الأقراص بالأرقام بدءًا من 0 بترتيب تزايد الحجم، فإن الترتيب الترتيبي للقرص المراد تحريكه خلال الحركة m هو عدد المرات التي يمكن فيها قسمة m على 2.

تُحدد هذه التقنية القرص المراد نقله، لكنها لا تُحدد وجهته. بالنسبة لأصغر قرص، هناك دائمًا احتمالان. أما بالنسبة لبقية الأقراص، فهناك دائمًا احتمال واحد، باستثناء حالة وجود جميع الأقراص على نفس الوتد، فحينها إما أن يكون القرص الأصغر هو المطلوب نقله أو أن الهدف قد تحقق بالفعل. لحسن الحظ، توجد قاعدة تُحدد وجهة نقل أصغر قرص. لنفترض أن f هو وتد البداية، وt هو وتد الوجهة، و r هو الوتد الثالث المتبقي. إذا كان عدد الأقراص فرديًا، فإن أصغر قرص يدور على الأوتاد بالترتيب التالي: f → t → r → f → t → r ، وهكذا. أما إذا كان عدد الأقراص زوجيًا، فيجب عكس هذا الترتيب: f → r → t → f → r → t ، وهكذا. [ 15 ]

يُحدد موضع تغيير البت في حل كود غراي حجم القرص المُحرَّك في كل خطوة: 1، 2، 1، 3، 1، 2، 1، 4، 1، 2، 1، 3، 1، 2، 1، ... (التسلسل A001511 في OEIS ) ، [ 16 ] وهو تسلسل يُعرف أيضًا بدالة المسطرة ، أو عدد يزيد بواحد عن قوة العدد 2 ضمن رقم الحركة. في لغة وولفرام ، IntegerExponent[Range[2^8 - 1], 2] + 1يُعطي هذا التسلسل حركات لغز الأقراص الثمانية.

التمثيل البياني

يمكن تمثيل اللعبة برسم بياني غير موجه ، حيث تمثل العقد توزيعات الأقراص وتمثل الحواف الحركات. بالنسبة لقرص واحد، يكون الرسم البياني مثلثًا:

الرسم البياني لقرصين هو عبارة عن ثلاثة مثلثات متصلة لتشكيل زوايا مثلث أكبر.

تمت إضافة حرف ثانٍ لتمثيل القرص الأكبر. من الواضح أنه لا يمكن تحريكه في البداية.

يمثل المثلث الصغير العلوي الآن احتمالات الحركة الواحدة باستخدام قرصين:

تمثل العقد الموجودة عند رؤوس المثلث الخارجي توزيعات مع وجود جميع الأقراص على نفس الوتد.

بالنسبة لـ h + 1 قرصًا، خذ الرسم البياني لـ h قرصًا واستبدل كل مثلث صغير بالرسم البياني لقرصين.

بالنسبة لثلاثة أقراص، يكون الرسم البياني كالتالي:

يوضح الرسم البياني للعبة في المستوى 7 العلاقة بمثلث سيربينسكي .
  • لنسمي الأوتاد أ، ب، ج
  • قم بإدراج مواقع الأقراص من اليسار إلى اليمين بترتيب تصاعدي للحجم

تمثل أضلاع المثلث الخارجي أقصر الطرق لنقل البرج من وتد إلى آخر. يمثل الضلع الأوسط بين أضلاع المثلث الأكبر حركة القرص الأكبر. ويمثل الضلع الأوسط بين أضلاع كل مثلث أصغر حركة القرص الأصغر التالي. أما أضلاع أصغر المثلثات فتمثل حركات القرص الأصغر.

بشكل عام، في لغزٍ يحتوي على n قرصًا، يوجد 3n عقدة في الرسم البياني؛ لكل عقدة ثلاثة حواف تربطها بالعقد الأخرى، باستثناء العقد الثلاث الركنية التي لها حافتان فقط: من الممكن دائمًا نقل أصغر قرص إلى أحد الوتدين الآخرين، ومن الممكن نقل قرص واحد بين هذين الوتدين باستثناء حالة تكديس جميع الأقراص على وتد واحد. تمثل العقد الركنية الحالات الثلاث التي تكون فيها جميع الأقراص مكدسة على وتد واحد. يتم الحصول على الرسم البياني لـ n  +  1 قرصًا بأخذ ثلاث نسخ من الرسم البياني لـ n قرصًا - تمثل كل نسخة جميع حالات وحركات الأقراص الأصغر لموضع معين لأكبر قرص جديد - وربطها عند الزوايا بثلاث حواف جديدة، تمثل الفرص الثلاث الوحيدة لنقل أكبر قرص. وبالتالي، يحتوي الشكل الناتج على 3n + 1 عقدة، ولا تزال هناك ثلاث زوايا متبقية بحوافتين فقط.

مع إضافة المزيد من الأقراص، سيشبه التمثيل البياني للعبة شكلاً كسريًا ، وهو مثلث سيربينسكي . من الواضح أن الغالبية العظمى من المواضع في اللغز لن يتم الوصول إليها أبدًا باستخدام أقصر حل ممكن؛ في الواقع، إذا كان كهنة الأسطورة يستخدمون أطول حل ممكن (دون إعادة زيارة أي موضع)، فسيستغرق الأمر منهم 364 -  1  حركة، أو أكثر من 1023 سنة.

يمكن تصور أطول مسار غير متكرر لثلاثة أقراص عن طريق مسح الحواف غير المستخدمة:

بالمناسبة، يمكن الحصول على هذا المسار الأطول غير المتكرر عن طريق منع جميع التحركات من النقطة أ إلى النقطة ج .

دورة هاميلتون لثلاثة أقراص هي:

تُظهر الرسوم البيانية بوضوح ما يلي:

  • من كل توزيع عشوائي للأقراص، توجد طريقة واحدة فقط هي الأقصر لنقل جميع الأقراص إلى أحد الأوتاد الثلاثة.
  • يوجد بين كل زوج من التوزيعات العشوائية للأقراص مسار واحد أو مساران مختلفان لأقصر المسارات.
  • من كل توزيع عشوائي للأقراص، يوجد مسار واحد أو مساران مختلفان أطول لا يتقاطعان مع بعضهما البعض لنقل جميع الأقراص إلى أحد الأوتاد الثلاثة.
  • بين كل زوج من التوزيعات العشوائية للأقراص يوجد مسار واحد أو مساران مختلفان أطول لا يتقاطعان مع بعضهما البعض.
  • ليكن N h عدد المسارات غير المتقاطعة ذاتيًا لنقل برج من h أقراص من وتد إلى آخر. إذن:
    • N 1 = 2
    • N h +1 = ( N h ) 2 + ( N h ) 3

وهذا يعطي N h لتكون 2، 12، 1872، 6563711232، ... (التسلسل A125295 في OEIS )

الاختلافات

هانوي الخطية

إذا كانت جميع الحركات يجب أن تكون بين أوتاد متجاورة (أي، إذا كانت الأوتاد A وB وC موجودة، فلا يمكن التحرك مباشرةً بين الوتدين A وC)، فإن نقل مجموعة من n قرصًا من الوتد A إلى الوتد C يتطلب 3n - 1 حركة. يستخدم الحل جميع المواضع الصالحة البالغ عددها 3n ، مع الحرص دائمًا على اختيار الحركة الوحيدة التي لا تلغي الحركة السابقة. يتم الوصول إلى الموضع الذي تكون فيه جميع الأقراص عند الوتد B في منتصف الطريق، أي بعد (3n - 1) / 2 حركة. [ 17 ] [ 18 ]

هانوي الدورية

في مسألة هانوي الدورية، لدينا ثلاثة أوتاد (أ، ب، ج) مرتبة على شكل دائرة، حيث يُحدد اتجاه الدوران مع عقارب الساعة وعكسها على التوالي كالتالي: أ – ب – ج – أ و أ – ج – ب – أ. يجب أن يكون اتجاه حركة القرص مع عقارب الساعة. [ 19 ] يكفي تمثيل تسلسل الأقراص المراد تحريكها. يمكن إيجاد الحل باستخدام إجراءين متكررين متبادلين:

لتحريك n قرصًا عكس اتجاه عقارب الساعة إلى وتد الهدف المجاور:

  1. حرك n − 1 قرصًا عكس اتجاه عقارب الساعة إلى الوتد المستهدف
  2. حرك القرص رقم n خطوة واحدة باتجاه عقارب الساعة
  3. حرك n - 1 قرصًا في اتجاه عقارب الساعة إلى وتد البداية
  4. حرك القرص رقم n خطوة واحدة باتجاه عقارب الساعة
  5. حرك n − 1 قرصًا عكس اتجاه عقارب الساعة إلى الوتد المستهدف

لتحريك n قرصًا في اتجاه عقارب الساعة إلى وتد الهدف المجاور:

  1. حرك n − 1 قرصًا عكس اتجاه عقارب الساعة إلى وتد احتياطي
  2. حرك القرص رقم n خطوة واحدة باتجاه عقارب الساعة
  3. حرك n − 1 قرصًا عكس اتجاه عقارب الساعة إلى الوتد المستهدف

إذا كان C(n) و A(n) يمثلان تحريك n قرصًا في اتجاه عقارب الساعة وعكس اتجاه عقارب الساعة، فيمكننا كتابة كلا الصيغتين:

C(n) = A(n−1) n A(n−1)وA(n) = A(n−1) n C(n−1) n A(n−1).
هكذاC(1) = 1وA(1) = 1 1,
C(2) = 1 1 2 1 1وA(2) = 1 1 2 1 2 1 1.

يتميز حل معادلة هانوي الدورية ببعض الخصائص المثيرة للاهتمام:

  1. أنماط نقل برج الأقراص من وتد إلى وتد آخر متناظرة بالنسبة إلى النقاط المركزية.
  2. القرص الأصغر هو القرص الأول والأخير الذي يتحرك.
  3. تتناوب مجموعات حركات الأقراص الأصغر حجماً مع حركات فردية لأقراص أخرى.
  4. عدد عمليات نقل الأقراص المحددة بواسطة C(n) و A(n) هو الحد الأدنى.

بأربعة أوتاد وما بعدها

على الرغم من أن نسخة الأوتاد الثلاثة لها حل تكراري بسيط معروف منذ فترة طويلة، إلا أن الحل الأمثل لمسألة برج هانوي بأربعة أوتاد (المعروفة باسم لغز ريف) لم يتم التحقق منه حتى عام 2014، بواسطة بوش. [ 20 ]

ومع ذلك، في حالة وجود أربعة أوتاد أو أكثر، فإن خوارزمية Frame-Stewart معروفة بدون إثبات الأمثلية منذ عام 1941. [ 21 ]

للاطلاع على الاشتقاق الرسمي للعدد الدقيق للحد الأدنى من الحركات المطلوبة لحل المشكلة بتطبيق خوارزمية Frame-Stewart (وغيرها من الطرق المكافئة)، انظر الورقة التالية. [ 22 ]

للاطلاع على متغيرات أخرى لمسألة برج هانوي ذات الأربعة أوتاد، انظر ورقة بول ستوكمير الاستقصائية. [ 23 ]

تُنتج تكوينات لعبة ما يسمى بأبراج بوخارست وأبراج كلاغنفورت رموز غراي الثلاثية والخماسية . [ 24 ]

خوارزمية فريم-ستيوارت

يتم وصف خوارزمية Frame–Stewart أدناه:

  • يتركن{\displaystyle n}ليكن عدد الأقراص.
  • يتركر{\displaystyle r}ليكن عدد الأوتاد.
  • يُعرِّفتي(ن،ر){\displaystyle T(n,r)}أن يكون هذا هو الحد الأدنى لعدد الحركات المطلوبة لنقل n قرصًا باستخدام r وتدًا.

يمكن وصف الخوارزمية بشكل تكراري:

  1. بالنسبة للبعضك{\displaystyle k}،1≤ك<ن{\displaystyle 1\leq k<n}انقل الجزء العلويك{\displaystyle k}الأقراص إلى وتد واحد بخلاف أوتاد البداية أو الوجهة، مع أخذتي(ك،ر){\displaystyle T(k,r)}تحركات.
  2. دون تحريك الوتد الذي يحتوي الآن على الجزء العلويك{\displaystyle k}انقل الأقراص المتبقيةن-ك{\displaystyle nk}الأقراص إلى نقطة الوجهة، باستخدام المتبقي فقطر-1{\displaystyle r-1}أوتاد، تأخذتي(ن-ك،ر-1){\displaystyle T(nk,r-1)}تحركات.
  3. وأخيرًا، انقل الجزء العلويك{\displaystyle k}نقل الأقراص إلى نقطة الوجهة، مع أخذهاتي(ك،ر){\displaystyle T(k,r)}تحركات.

تستغرق العملية بأكملها2تي(ك،ر)+تي(ن-ك،ر-1){\displaystyle 2T(k,r)+T(nk,r-1)}التحركات. لذلك، العدك{\displaystyle k}ينبغي اختيارها بحيث تكون هذه الكمية في أدنى حد. في حالة 4 أوتاد، يكون الخيار الأمثلك{\displaystyle k}يساوين-⌊2ن+1⌉+1{\displaystyle n-\left\lfloor {\sqrt {2n+1}}\right\rceil +1}، أين⌊⋅⌉{\displaystyle \left\lfloor \cdot \right\rceil }هي دالة أقرب عدد صحيح . [ 25 ] على سبيل المثال، في دورة UPenn CIS 194 حول Haskell، تسرد صفحة الواجب الأول [ 26 ] الحل الأمثل لحالة 15 قرصًا و4 أوتاد على أنه 129 خطوة، والذي تم الحصول عليه للقيمة المذكورة أعلاه لـ k .

يفترض أن هذه الخوارزمية مثالية لأي عدد من الأوتاد؛ عدد تحركاتها هو 2 Θ ( n 1/( r −2) ) (لـ r ثابت ).

أقصر المسارات العامة والرقم 466/885

يتمثل أحد التعميمات المثيرة للاهتمام للهدف الأصلي للغز في البدء من تكوين معين للأقراص، حيث لا تكون جميع الأقراص بالضرورة على نفس الوتد، والوصول في أقل عدد ممكن من الحركات إلى تكوين آخر معين. عمومًا، قد يكون من الصعب جدًا حساب أقصر سلسلة من الحركات لحل هذه المشكلة. وقد اقترح أندرياس هينز حلاً يعتمد على ملاحظة أنه في أقصر سلسلة من الحركات، سيتحرك أكبر قرص مطلوب تحريكه (بالطبع يمكن تجاهل جميع أكبر الأقراص التي ستشغل نفس الوتد في كل من التكوينين الابتدائي والنهائي) إما مرة واحدة بالضبط أو مرتين بالضبط. [ 27 ]

تزداد أهمية الرياضيات المتعلقة بهذه المسألة المعممة عند النظر في متوسط ​​عدد الحركات في أقصر سلسلة من الحركات بين تكوينين أوليين ونهائيين للأقراص يتم اختيارهما عشوائيًا. وقد اكتشف هينز وتشان تات-هونغ بشكل مستقل [ 28 ] [ 29 ] (انظر أيضًا [ 30 ] : الفصل 1، صفحة 14 ) أن متوسط ​​عدد الحركات في برج مكون من n قرصًا يُعطى بالصيغة الدقيقة التالية:

466885⋅2ن-13-35⋅(13)ن+(1259+18100317)(5+1718)ن+(1259-18100317)(5-1718)ن.{\displaystyle {\frac {466}{885}}\cdot 2^{n}-{\frac {1}{3}}-{\frac {3}{5}}\cdot \left({\frac {1}{3}}\right)^{n}+\left({\frac {12}{59}}+{\frac {18}{1003}}{\sqrt {17}}\right)\left({\frac {5+{\sqrt {17}}}{18}}\right)^{n}+\left({\frac {12}{59}}-{\frac {18}{1003}}{\sqrt {17}}\right)\left({\frac {5-{\sqrt {17}}}{18}}\right)^{n}.}

بالنسبة لقيم n الكبيرة بما فيه الكفاية ، فإن الحدين الأول والثاني فقط لا يتقاربان إلى الصفر، لذلك نحصل على تعبير تقاربي :466/885⋅2ن-1/3+o(1){\displaystyle 466/885\cdot 2^{n}-1/3+o(1)}، مثلن→∞{\displaystyle n\to \infty }وبالتالي، يمكننا تفسير نسبة466/885≈52.6%{\displaystyle 466/885\approx 52.6\%}باعتبارها تمثل نسبة العمل الذي يتعين على المرء القيام به عند الانتقال من تكوين تم اختياره عشوائيًا إلى تكوين آخر تم اختياره عشوائيًا، مقارنةً بصعوبة عبور المسار "الأصعب" ذي الطول2ن-1{\displaystyle 2^{n}-1}وهذا يتضمن نقل جميع الأقراص من وتد إلى آخر. وقدّم روميك تفسيراً بديلاً لظهور الثابت 466/885، بالإضافة إلى خوارزمية جديدة ومحسّنة نوعاً ما لحساب أقصر مسار. [ 31 ]

هانوي المغناطيسية

في برج هانوي المغناطيسي، لكل قرص وجهان مميزان، شمالي وجنوبي (عادةً ما يكون لونهما "أحمر" و"أزرق"). يجب عدم وضع الأقراص بحيث تكون الأقطاب المتشابهة متقابلة، إذ تمنع المغناطيسات الموجودة في كل قرص هذه الحركة غير القانونية. كما يجب قلب كل قرص أثناء تحريكه.

التكوين الأولي لأبراج هانوي ثنائية اللون (ن = 4)

أبراج هانوي ثنائية اللون

تم تقديم هذا الاختلاف من لغز برج هانوي الشهير لطلاب الصف 3-6 في 2ème Championnat de France des Jeux Mathématiques et Logiques الذي عقد في يوليو 1988. [ 32 ]

التكوين النهائي لأبراج هانوي ثنائية اللون (ن = 4)

قواعد اللغز هي نفسها في الأساس: تُنقل الأقراص بين الأوتاد واحدًا تلو الآخر. لا يجوز أبدًا وضع قرص أكبر فوق قرص أصغر. الفرق هو أنه يوجد الآن قرصان لكل حجم: أحدهما أسود والآخر أبيض. كما يوجد الآن برجان من الأقراص بألوان متناوبة. الهدف من اللغز هو جعل البرجين بلون واحد (نفس اللون). يُفترض أن تتبادل الأقراص الأكبر حجمًا في أسفل البرجين مواقعها.

برج هانوي

تم تعديل نسخة من اللغز لتصبح لعبة فردية بتسع بطاقات لعب تحت اسم " برج هانوي" . [ 33 ] [ 34 ] ولا يُعرف ما إذا كان تغيير تهجئة الاسم الأصلي مقصودًا أم غير مقصود. [ 35 ]

التطبيقات

صورة طوبوغرافية ثلاثية الأبعاد بتقنية المجهر الذري الماسح لصفائح نانوية متعددة الطبقات من البلاديوم على رقاقة سيليكون، مع بنية تشبه برج هانوي [ 36 ]

تُستخدم لعبة برج هانوي بشكل متكرر في البحوث النفسية المتعلقة بحل المشكلات . كما توجد نسخة معدلة من هذه المهمة تُسمى برج لندن ، تُستخدم في التشخيص العصبي النفسي وعلاج اضطرابات الوظائف التنفيذية . [ 37 ]

استخدم تشانغ ونورمان [ 38 ] عدة تمثيلات متماثلة (متكافئة) للعبة لدراسة تأثير التمثيل في تصميم المهام. وقد أظهرا تأثيرًا على أداء المستخدم من خلال تغيير طريقة تمثيل قواعد اللعبة، باستخدام اختلافات في التصميم المادي لمكونات اللعبة. وقد أثرت هذه المعرفة على تطوير إطار عمل TURF [ 39 ] لتمثيل التفاعل بين الإنسان والحاسوب .

تُستخدم طريقة برج هانوي أيضًا كآلية تناوب احتياطية عند إجراء نسخ احتياطية لبيانات الكمبيوتر حيث يتم استخدام أشرطة/وسائط متعددة. [ 40 ]

يُستخدم برج هانوي أيضًا كاختبار من قبل علماء النفس العصبي الذين يحاولون تقييم قصور الفص الجبهي . [ 41 ]

في عام 2010، نشر باحثون نتائج تجربة وجدت أن نوع النمل Linepithema humile كان قادراً بنجاح على حل نسخة الأقراص الثلاثة من مسألة برج هانوي من خلال الديناميكيات غير الخطية وإشارات الفيرومون. [ 42 ]

في عام 2014، قام العلماء بتصنيع صفائح نانوية متعددة الطبقات من البلاديوم ذات بنية تشبه برج هانوي. [ 36 ]

في عام 2025، استخدم باحثون من شركة آبل لعبة برج هانوي وألغازًا أخرى لاختبار قدرة برامج الذكاء الاصطناعي التوليدي من نوع LLM على الاستدلال . ووجد الباحثون أن نماذج الذكاء الاصطناعي الرائدة، بما في ذلك ChatGPT و Claude و Deepseek ، واجهت صعوبة في حل لغز برج هانوي ذي الحلقات السبع، حيث لم تتجاوز دقة حلها 80%، وفشلت تمامًا في حل لغز برج هانوي ذي الحلقات الثماني. حتى في الحالات التي زود فيها الباحثون نماذج الذكاء الاصطناعي بخوارزمية الحل، ظلت عاجزة عن الحل. وبناءً على هذا الأداء، استنتج الباحثون أن أنظمة الذكاء الاصطناعي تنهار مع ازدياد التعقيد، مما يشير إلى عدم قدرتها على التعامل مع المهام التي تتجاوز نطاق بيانات التدريب الخاصة بها، الأمر الذي يثير الشكوك حول قدرة هذه النماذج على التقدم إلى مستوى الذكاء الاصطناعي العام (AGI) . [ 43 ] [ 44 ]

في قصة الخيال العلمي "الآن استنشق" لإريك فرانك راسل ، يُحتجز إنسانٌ سجينًا على كوكبٍ حيث جرت العادة على إجبار السجين على لعب لعبةٍ حتى يفوز أو يخسر قبل إعدامه. يعلم بطل القصة أن سفينة الإنقاذ قد تستغرق عامًا أو أكثر للوصول، لذا يختار لعب "أبراج هانوي" باستخدام 64 قرصًا. تشير هذه القصة إلى الأسطورة التي تتحدث عن الرهبان البوذيين الذين لعبوا اللعبة حتى نهاية العالم. [ 45 ] [ 46 ] [ 47 ]

في قصة "صانع الألعاب السماوي" من مسلسل دكتور هو عام 1966 ، يُجبر الشرير الذي يحمل نفس الاسم الدكتور على لعب لعبة "برج هانوي" المكونة من عشر قطع، والتي تتضمن 1023 حركة، وتُسمى "لعبة المنطق الثلاثي"، حيث تُشكل القطع شكل هرم عند تكديسها. [ 46 ] [ 48 ]

في عام ٢٠٠٧، استُخدم مفهوم لغز أبراج هانوي في لعبة البروفيسور لايتون والصندوق الشيطاني في الألغاز ٦ و٨٣ و٨٤، ولكن تم استبدال الأقراص بالفطائر. استند اللغز إلى معضلة حيث يتعين على طاهي مطعم نقل كومة من الفطائر من طبق إلى آخر، مع مراعاة المبادئ الأساسية للغز الأصلي (أي ثلاثة أطباق يمكن نقل الفطائر إليها، وعدم إمكانية وضع فطيرة أكبر فوق فطيرة أصغر، إلخ).

في فيلم " نهوض كوكب القردة" الذي صدر عام 2011 ، تم استخدام هذا اللغز، الذي أطلق عليه الفيلم اسم "برج لوكاس"، كاختبار لدراسة ذكاء القردة . [ 46 ]

يُعدّ هذا اللغز عنصرًا أساسيًا في ألعاب المغامرات والألغاز . ونظرًا لسهولة تنفيذه ووضوحه، فهو مناسب تمامًا للاستخدام كلغز في ألعاب الرسوميات الكبيرة (مثل Star Wars: Knights of the Old Republic و Mass Effect ). [ 49 ] تستخدم بعض التطبيقات أقراصًا عادية، بينما تُخفي تطبيقات أخرى اللغز في شكل مختلف. يوجد إصدار خاص بألعاب الأركيد من إنتاج سيجا . [ 50 ]

تظهر نسخة من اللغز، تتكون من 15 قرصًا، في لعبة "Sunless Sea" على شكل قفل لمقبرة. يمكن للاعب النقر على كل خطوة من خطوات اللغز لحله، لكن اللعبة تشير إلى أن إكماله يتطلب 32,767 خطوة. إذا تمكن لاعبٌ مُثابر من النقر حتى نهاية اللغز، فسيكتشف أن إكماله لا يفتح الباب.

استُخدم هذا التحدي لأول مرة في برنامج "سرفايفر تايلاند" عام ٢٠٠٢، ولكن بدلاً من الحلقات، صُممت القطع لتشبه معبدًا. تعمّد سوك جاي خوض التحدي للتخلص من جيد، على الرغم من أن شي آن كانت تعرف تمامًا كيفية حل اللغز. ظهرت هذه المشكلة كجزء من تحدي المكافأة في حلقة عام ٢٠١١ من النسخة الأمريكية من برنامج " سرفايفر ". واجه كلا اللاعبين ( أوزي لوث وبنيامين "كوتش" ويد ) صعوبة في فهم كيفية حل اللغز، وتلقيا المساعدة من أعضاء قبيلتهما.

في عام 2025، يظهر اللغز أيضاً في بداية المبارزة الكبرى في الحلقة الأخيرة من الموسم الثاني من ألعاب جزيرة الحب .

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ "A000225 - OEIS" . oeis.org . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2021-09-03 .
  2. ↑ هوفستاتر، دوغلاس ر. (1985). موضوعات ما وراء السحر : البحث عن جوهر العقل والنمط . نيويورك: بيسيك بوكس. ISBN  978-0-465-04540-2.
  3. ↑ كوهن، إرنست م. (1963). "أداة لتوضيح بعض الخصائص الأساسية للأعداد الصحيحة" . معلم الرياضيات . 56 (2). المجلس الوطني لمعلمي الرياضيات: 84. doi : 10.5951/MT.56.2.0084 . ISSN 0025-5769 . تاريخ الاسترجاع: 9 مارس 2021 . 
  4. ↑ وايسشتاين، إريك و. "برج هانوي" . mathworld.wolfram.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2023-10-20 .
  5. 1 2 هينز، أندرياس م.؛ كلافجار، ساندي؛ ميلوتينوفيتش، أوروس؛ بيتر ، سيريل (2013/01/31). برج هانوي – الأساطير والرياضيات . سبرينغر. رقم ISBN 978-3034802369.
  6. ↑ ستوكمير، بول ك. "برج هانوي: ببليوغرافيا" (ملف PDF) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 21-02-2024 .
  7. ^ دي بارفيل ، هنري (1883/12/27). "مجلة العلوم" . مجلة المناقشات . تم الاسترجاع بتاريخ 2024-02-21 .
  8. ^ لوكاس، إدوارد (1889). الألعاب العلمية لخدمة التاريخ والتعلم والتدريب على الحساب والتصميم (باللغة الفرنسية). باريس: شامبون وباي . تم الاسترجاع 2024-01-27 .
  9. ^ لوكاس، إدوارد (1892). Récréations mathématiques (باللغة الفرنسية). المجلد. 3. مكتبة ألبرت بلانشارد، 1979. ص. 58.  
  10. ↑ ستوكمير، بول ك. "تعليمات برج هانوي باللغة الإنجليزية، الصفحة 1" . تم الاسترجاع في 21-02-2024 .
  11. ↑ موسكوفيتش، إيفان (2001). 1000 لعبة فكرية: ألغاز، مفارقات، أوهام وألعاب . وركمان. ISBN 978-0-7611-1826-8.
  12. ↑ بيتكوفيتش، ميودراغ (2009). ألغاز شهيرة لعلماء رياضيات عظماء . مكتبة الجمعية الأمريكية للرياضيات. ص 197. ISBN  978-0-8218-4814-2.
  13. ↑ تروشكين، م. "يوم القيامة قادم: تحليل غير تكراري لمسألة أبراج هانوي التكرارية". فوكس (باللغة الروسية). 95 (2): 10-14 .
  14. ↑ تي آر والش، أبراج هانوي المعاد النظر فيها: تحريك الحلقات عن طريق عد الحركات ، رسائل معالجة المعلومات، 1982، المجلد 15، 64-67. هولندا.
  15. ↑ ميلر، تشارلز د. (2000). "الفصل 4: الأعداد الثنائية ورمز غراي القياسي". أفكار رياضية ( الطبعة التاسعة). أديسون ويسلي لونغمان. ISBN  978-0-321-07607-6تمت أرشفة النسخة الأصلية بتاريخ 21-08-2004.
  16. ^ جروس، ل. (1872). توري دو باجوينودييه . ليون: إيمي فينجترينير.
  17. ↑ "ركن الأسئلة - تعميم مسألة أبراج هانوي" . math.toronto.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 28-07-2023 .
  18. ↑ هينز، أندرياس م.؛ كلافزار، ساندي؛ ميلوتينوفيتش، أوروس؛ بيتر، سيريل؛ ستيوارت، إيان (2013). برج هانوي - الأساطير والرياضيات (الطبعة الأولى ). بازل: سبرينغر ساينس + بيزنس ميديا . الصفحات 241-259 . ISBN   9783034802369.
  19. ↑ جيديون، تي دي (1996). "أبراج هانوي الدورية: حل تكراري ناتج عن التحويل". مجلة الكمبيوتر . 39 (4): 353-356 . doi : 10.1093/comjnl/39.4.353 .
  20. ^ بوش، ت. (2014). "الجولة الرباعية في هانوي" (PDF) . ثور. بلجيكا. الرياضيات. شركة نفط الجنوب. سيمون ستيفن . 21 (5): 895-912 . دوى : 10.36045/bbms/1420071861 . S2CID 14243013 . مؤرشفة من الأصلي (PDF) بتاريخ 2017-09-21. 
  21. ↑ ستيوارت، ب.م.؛ فريم، ج.س. (مارس 1941). "حل المسألة المتقدمة 3819". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية . 48 (3): 216-219 . doi : 10.2307/2304268 . JSTOR 2304268 . 
  22. ↑ كلافزار، ساندي؛ ميلوتينوفيتش، أورو؛ بيترب، سيريل (2002). "تنوعات على لغز برج هانوي ذي الأعمدة الأربعة" (ملحق) . كونغرسوس نوميرانتيوم . 102 .
  23. ↑ ستوكمير، بول (1994). "تنوعات على لغز برج هانوي ذي الأعمدة الأربعة" (ملحق) . كونغرسوس نوميرانتيوم . 102 : 3-12 .
  24. ↑ هيرتر، فيليكس؛ روت، غونتر (14 نوفمبر 2018) [9 أغسطس 2018، ديسمبر 2017، 9 أغسطس 2017، 22 أبريل 2016]. "تعداد كود غراي بدون حلقات وبرج بوخارست" ( ملف PDF) . علوم الحاسوب النظرية . 748. برلين، ألمانيا: 40-54 . arXiv : 1604.06707 . doi : 10.1016/j.tcs.2017.11.017 . ISSN 0304-3975 . S2CID 4014870. مؤرشف (PDF) من الأصل في 16 ديسمبر 2020. تم الاسترجاع في 16 ديسمبر 2020 .  (15/18/19/24 صفحة)
  25. ↑ "مدونة جامعة تورنتو CSC148" . 5 أبريل 2014. تم الاطلاع عليها في 22 يوليو 2015 .
  26. ↑ "مقدمة إلى لغة هاسكل، مقرر علوم الحاسوب والمعلومات 194، جامعة بنسلفانيا، الواجب الأول" (ملف PDF) . تم الاطلاع عليه بتاريخ 31 يناير 2016 .
  27. ^ هينز، أ. (1989). "برج هانوي". L'Enseignement Mathématique . 35 : 300– 303. دوى : 10.5169/seals-57378 .
  28. ↑ هينز 1989 ، ص 307.
  29. ↑ تشان، ت. (1988). "تحليل إحصائي لمسألة أبراج هانوي". المجلة الدولية للحوسبة والرياضيات . 28 ( 1-4 ): 57-65 . doi : 10.1080/00207168908803728 .
  30. ↑ ستيوارت، إيان (2004). رياضيات رائعة أخرى ورطتني فيها... كوريير دوفر. ISBN 978-0-7167-2342-4.
  31. ↑ روميك، د. (2006). "أقصر المسارات في مخطط برج هانوي والآلات المحدودة". مجلة SIAM للرياضيات المتقطعة . 20 (3): 610-622 . arXiv : math/0310109 . doi : 10.1137/050628660 . S2CID 8342396 . 
  32. ↑ براساد فيثال تشاوجول (2015). "حل تكراري لمسألة أبراج هانوي ثنائية اللون" (ملف PDF) . مجلة الرياضيات الترفيهية (4): 37-48 . ISSN 2182-1976 . 
  33. ↑ أرنولد، بيتر (28 مايو 2003). ألعاب الورق لشخص واحد . شركة ستيرلينغ للنشر. رقم ISBN 978-0-600-60727-4.
  34. ↑ هيدجز، سيد ج. (2018-03-06). كتاب هوايات الجميع . دار ريد بوكس ​​المحدودة. رقم ISBN 978-1-5287-8344-6.
  35. ↑ "برج صبر هانوي (المعروف أيضًا باسم برج صبر هانوي)" . bbcmicro.co.uk . تم الاطلاع عليه بتاريخ 17 أكتوبر 2020 .
  36. 1 2 ين، شي؛ ليو، شينهونغ؛ بان، يونغ-تين؛ والش، كاثلين أ.؛ يانغ، هونغ (4 نوفمبر 2014). "صفائح نانوية من البلاديوم فائقة الرقة متعددة الطبقات تشبه برج هانوي". رسائل نانو . 14 (12): 7188-94 . Bibcode : 2014NanoL..14.7188Y . doi : 10.1021/nl503879a . PMID 25369350 . 
  37. ↑ شاليس، ت. (25-06-1982). "عيوب محددة في التخطيط" . المعاملات الفلسفية للجمعية الملكية في لندن. ب، العلوم البيولوجية . 298 (1089): 199-209 . Bibcode : 1982RSPTB.298..199S . doi : 10.1098/rstb.1982.0082 . ISSN 0080-4622 . PMID 6125971 .  
  38. ↑ تشانغ، ج (1994). "التمثيلات في المهام المعرفية الموزعة" (ملف PDF) . العلوم المعرفية . 18 : 87-122 . doi : 10.1016/0364-0213(94)90021-3 .
  39. ↑ تشانغ، جياجي؛ والجي، محمد ف. (2011). "TURF: نحو إطار موحد لسهولة استخدام السجلات الصحية الإلكترونية" . مجلة المعلوماتية الطبية الحيوية . 44 (6): 1056-1067 . doi : 10.1016/j.jbi.2011.08.005 . PMID 21867774 . 
  40. ↑ رويز، ديرك؛ نيويل، ألين (1989-06-01). برج المراقبة: محفزات تغيير الاستراتيجية في برج هانوي: نموذج سوار (تقرير). فورت بيلفوار، فرجينيا: مركز المعلومات التقنية للدفاع. doi : 10.21236/ada218927 .
  41. ↑ بيرز، إس آر؛ روزنبرغ، دي آر؛ ديك، إي إل؛ ويليامز، تي؛ أوهيرن، كيه إم؛ بيرماهر، بي؛ رايان، سي إم (1999). "دراسة عصبية نفسية لوظيفة الفص الجبهي لدى الأطفال غير المعالجين بالأدوية النفسية المصابين باضطراب الوسواس القهري" . المجلة الأمريكية للطب النفسي . 156 (5): 777-779 . doi : 10.1176/ajp.156.5.777 . PMID 10327915. S2CID 21359382 .  
  42. ↑ ريد، سي آر؛ سومبتر، دي جيه؛ بيكمان، إم. (يناير 2011). "التحسين في نظام طبيعي: النمل الأرجنتيني يحل أبراج هانوي". مجلة علم الأحياء التجريبي . 214 (الجزء 1): 50-58 . Bibcode : 2011JExpB.214...50R . CiteSeerX 10.1.1.231.9201 . doi : 10.1242/jeb.048173 . PMID 21147968. S2CID 18819977 .   
  43. ↑ غاري ماركوس (10 يونيو 2025). "عندما تتعطل أنظمة الذكاء الاصطناعي التي تبلغ قيمتها مليارات الدولارات أمام ألغاز يستطيع طفل حلها، فقد حان الوقت لإعادة النظر في الضجة المثارة حولها" . صحيفة الغارديان . تم الاطلاع عليه بتاريخ 9 نوفمبر 2025 .
  44. ↑ بارشين شجاعي؛ إيمان ميرزاده؛ كيفان علي زاده؛ ماكسويل هورتون؛ سامي بنجيو؛ مهرداد فرجتبار (10 يونيو 2025). "وهم التفكير: فهم نقاط القوة والقيود في نماذج الاستدلال من منظور تعقيد المشكلة" (ملف PDF) . بحث في تعلم الآلة . تم الاطلاع عليه في 9 نوفمبر 2025 .
  45. ↑ راسل، إريك فرانك (أبريل 1959). "الآن استنشق" . قصص قصيرة. الخيال العلمي المذهل . المجلد 63، العدد 2. الصفحات 31-77 .   
    • أُعيد طبعه: راسل، إريك فرانك (2000). "الآن استنشق". في كاتز، ريك (محرر). المكونات الرئيسية: مختارات من القصص القصيرة لإريك فرانك راسل . فرامينغهام، ماساتشوستس: مطبعة NESFA. الصفحات 399-417 . ISBN  978-1-886778-10-8.
  46. ١ ٢ ٣ بونانوم، ماريانا سي؛ دين، مارغريت إتش؛ دين، جوديث بوتنام (٢٠١٨). "المجموعات المتشابهة ذاتيًا". عينة من المجموعات المميزة: مجموعة طومسون، والمجموعات المتشابهة ذاتيًا، ومجموعة لامبلايتر، ومجموعة باومسلاج-سوليتار . سلسلة كتب الرياضيات المختصرة. تشام، سويسرا: سبرينغر. ص ٩٦. doi : 10.1007/978-3-030-01978-5_3 . ISBN  978-3-030-01976-1.
  47. ↑ بيرتويستل، غراهام (يناير 1985). "الروتينات الفرعية لهانوي". إشعارات ACM SIGPLAN . 20 (1): 9-10 . doi : 10.1145/988284.988286 . S2CID 7310661 . 
  48. ↑ "البُعد الرابع: صانع الألعاب السماوي" . دكتور هو . بي بي سي وان . تم الاطلاع عليه في 2 أبريل 2021 .
  49. ↑ "برج هانوي (مفهوم لعبة فيديو)" . Giantbomb.com . تم الاطلاع عليه بتاريخ 5 ديسمبر 2010 .
  50. ↑ "برج هانوي / أنداميرو" . سيجا أميوزمنتس. مؤرشف من الأصل بتاريخ 1 مارس 2012. تم الاطلاع عليه بتاريخ 26 فبراير 2012 .