المجال العالمي

في الرياضيات ، يُعد الحقل العام أحد نوعين من الحقول (والآخر هو الحقول المحلية ) التي تُوصف باستخدام القيم ، أو القيم المطلقة . يوجد نوعان من الحقول العامة : ^{[ 1 ]}

• حقل الأعداد الجبرية : امتداد محدود لـ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• حقل الدوال العالمي : حقل الدوال لمنحنى جبري غير قابل للاختزال فوق حقل منتهٍ ، أو بصورة مكافئة، امتداد منتهٍ لـ${\displaystyle \mathbb {F} _{q}(T)}$، حقل الدوال الكسرية في متغير واحد على الحقل المنتهي مع${\displaystyle q=p^{n}}$عناصر.

قدم إميل أرتين وجورج وابلس في الأربعينيات من القرن العشرين توصيفًا بديهيًا لهذه المجالات من خلال نظرية التقييم . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

نقول ذلك المجال${\displaystyle K}$يُعتبر حقلاً عاماً عندما توجد مجموعة${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$من الأماكن (فئات التكافؤ للقيم المطلقة على${\displaystyle K}$) بحيث:

• لكل عنصر غير صفري${\displaystyle \alpha \in K}$،${\displaystyle \vert \alpha \vert _{\mathfrak {p}}=1}$بالنسبة للجميع باستثناء عدد محدود من${\displaystyle {\mathfrak {p}}\in {\mathfrak {M}}}$، و${\displaystyle \prod _{{\mathfrak {p}}\in {\mathfrak {M}}}\vert \alpha \vert _{\mathfrak {p}}=1}$
• مكان واحد على الأقل في${\displaystyle {\mathfrak {M}}}$إما أن يكون منفصلاً مع حقل متبقي محدود أو أرخميدس.

نوعان فقط من الحقول يستوفيان التعريف البديهي:

حقل أعداد جبري

حقل الأعداد الجبرية F هو امتداد حقلي منتهٍ (وبالتالي جبري ) لحقل الأعداد النسبية Q. وبالتالي، فإن F حقل يحتوي على Q وله بُعد منتهٍ عند اعتباره فضاءً متجهيًا فوق Q.

حقل الدوال لمنحنى جبري غير قابل للاختزال فوق حقل منتهٍ

حقل الدوال لمتنوعة جبرية هو مجموعة جميع الدوال الكسرية على تلك المتنوعة. على منحنى جبري غير قابل للاختزال (أي منوعة أحادية البعد V ) فوق حقل منتهٍ، نُعرّف الدالة الكسرية على مجموعة جزئية أفينية مفتوحة U بأنها نسبة كثيرتي حدود في حلقة الإحداثيات الأفينية لـ U ، وتتكون الدالة الكسرية على V بأكملها من هذه البيانات المحلية التي تتفق على تقاطعات المجموعات الجزئية الأفينية المفتوحة. وهذا يُعرّف الدوال الكسرية على V تقنيًا بأنها حقل كسور حلقة الإحداثيات الأفينية لأي مجموعة جزئية أفينية مفتوحة، نظرًا لأن جميع هذه المجموعات الجزئية كثيفة.

توجد عدة أوجه تشابه شكلية بين نوعي الحقول العامة. يتميز أي حقل من كلا النوعين بخاصية أن جميع إكمالاته حقول متراصة محليًا (انظر الحقول المحلية ). يمكن تمثيل أي حقل من أي نوع كحقل كسور لمجال ديديكيند حيث يكون لكل مثالي غير صفري دليل منتهٍ. في كلتا الحالتين، توجد صيغة الضرب للعناصر غير الصفرية x :

${\displaystyle \prod _{v}|x|_{v}=1,}$

حيث تتغير قيمة v عبر جميع قيم الحقل.

شكّلت المقارنة بين نوعي الحقول دافعًا قويًا في نظرية الأعداد الجبرية . تعود فكرة المقارنة بين حقول الأعداد وأسطح ريمان إلى ريتشارد ديديكيند وهاينريش م. ويبر في القرن التاسع عشر. أما المقارنة الأكثر دقة، والمعبّر عنها بفكرة "الحقل الشامل"، حيث يُسقط مظهر سطح ريمان كمنحنى جبري على المنحنيات المعرفة على حقل منتهٍ، فقد تبلورت خلال ثلاثينيات القرن العشرين، وبلغت ذروتها في فرضية ريمان للمنحنيات على الحقول المنتهية التي وضعها أندريه ويل عام ١٩٤٠. ولعلّ هذا المصطلح يعود إلى ويل، الذي ألّف كتابه " نظرية الأعداد الأساسية " (١٩٦٧) جزئيًا لتوضيح هذه المقارنة.

عادةً ما يكون العمل في حالة حقل الدوال أسهل، ثم محاولة تطوير تقنيات مماثلة في جانب حقل الأعداد. ويُعدّ تطوير نظرية أراكيلوف واستخدامها من قِبل جيرد فالتينغز في برهانه على حدسية مورديل مثالًا بارزًا على ذلك. كما كان لهذا القياس تأثيرٌ كبيرٌ في تطوير نظرية إيواساوا والحدسية الرئيسية . واستخدم برهان اللمة الأساسية في برنامج لانغلاندز أيضًا تقنياتٍ اختزلت حالة حقل الأعداد إلى حالة حقل الدوال.