سطح انتقالي (الهندسة التفاضلية)

في الهندسة التفاضلية، سطح الإزاحة هو سطح يتم توليده عن طريق الإزاحات :

• لمنحنيين فضائيين${\displaystyle c_{1},c_{2}}$مع نقطة مشتركة${\displaystyle P}$المنحنى${\displaystyle c_{1}}$يتم تحريكها بحيث تكون النقطة${\displaystyle P}$هو يمضي قدماً${\displaystyle c_{2}}$من خلال هذه العملية، المنحنى${\displaystyle c_{1}}$يُنشئ سطحًا: سطح الإزاحة .

إذا كان كلا المنحنيين يقعان في مستوى مشترك، فإن سطح الإزاحة يكون مستوياً (جزءاً من مستوى). يتم تجاهل هذه الحالة عموماً.

أمثلة بسيطة:

1. أسطوانة دائرية قائمة :${\displaystyle c_{1}}$هي دائرة (أو مقطع عرضي آخر) و${\displaystyle c_{2}}$هو خط.
2. القطع المكافئ الإهليلجي${\displaystyle \;z=x^{2}+y^{2}\;}$يمكن توليدها بواسطة${\displaystyle \ c_{1}:\;(x,0,x^{2})\ }$و${\displaystyle \ c_{2}:\;(0,y,y^{2})\ }$(كلا المنحنيين عبارة عن قطع مكافئ ).
3. القطع المكافئ الزائدي${\displaystyle z=x^{2}-y^{2}}$يمكن توليدها بواسطة${\displaystyle c_{1}:(x,0,x^{2})}$(القطع المكافئ)${\displaystyle c_{2}:(0,y,-y^{2})}$(قطع مكافئ مفتوح للأسفل).

تُعد أسطح الانتقال شائعة في الهندسة الوصفية ^{[ 1 ] [ 2 ]} والهندسة المعمارية ^{[ 3 ]} لأنه يمكن نمذجتها بسهولة.

في الهندسة التفاضلية، تُمثَّل الأسطح الدنيا بأسطح إزاحة أو بأسطح وتر متوسطة (انظر أدناه). ^{[ 4 ]}

لا ينبغي الخلط بين أسطح الإزاحة كما هو محدد هنا وأسطح الإزاحة في الهندسة المعقدة .

لمنحنيين فضائيين${\displaystyle \ c_{1}:\;{\vec {x}}=\gamma _{1}(u)\ }$و${\displaystyle \ c_{2}:\;{\vec {x}}=\gamma _{2}(v)\ }$مع${\displaystyle \gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)={\vec {0}}}$سطح الترجمة${\displaystyle \Phi }$يمكن تمثيلها بواسطة: ^{[ 5 ]}

(TS)${\displaystyle \quad {\vec {x}}=\gamma _{1}(u)+\gamma _{2}(v)\;}$

ويحتوي على نقطة الأصل. من الواضح أن هذا التعريف متناظر بالنسبة للمنحنيات${\displaystyle c_{1}}$و${\displaystyle c_{2}}$لذلك، يُطلق على كلا المنحنيين اسم المنحنيات المولدة (أحدهما: generatrix ). أي نقطة${\displaystyle X}$يحتوي السطح على نسخة مُزاحة من${\displaystyle c_{1}}$و${\displaystyle c_{2}}$المستوى المماس عند${\displaystyle X}$يتم توليدها بواسطة المتجهات المماسية للمولدات عند هذه النقطة، إذا كانت هذه المتجهات مستقلة خطيًا .

إذا كان الشرط المسبق${\displaystyle \gamma _{1}(0)=\gamma _{2}(0)={\vec {0}}}$إذا لم يتحقق الشرط، فقد لا يحتوي السطح المحدد بواسطة (TS) على نقطة الأصل والمنحنيات${\displaystyle c_{1},c_{2}}$لكن على أي حال، يحتوي السطح على نسخ مُزاحة من أي من المنحنيات${\displaystyle c_{1},c_{2}}$كمنحنيات بارامترية${\displaystyle {\vec {x}}(u_{0},v)}$و${\displaystyle {\vec {x}}(u,v_{0})}$على التوالى.

المنحنيان${\displaystyle c_{1},c_{2}}$يمكن استخدامها لإنشاء ما يسمى بسطح الوتر المتوسط ​​المقابل . تمثيلها البارامتري هو

(MCS)${\displaystyle \quad {\vec {x}}={\frac {1}{2}}(\gamma _{1}(u)+\gamma _{2}(v))\;.}$

السطح الحلزوني هو حالة خاصة من السطح الحلزوني المعمم والسطح المسطر . وهو مثال على السطح الأدنى ويمكن تمثيله كسطح إزاحة.

الشكل الحلزوني ذو التمثيل البارامتري

${\displaystyle {\vec {x}}(u,v)=(u\cos v,u\sin v,kv)}$

لديه وردية انعطاف (بالألمانية: Ganghöhe)${\displaystyle 2\pi k}$إدخال معايير جديدة${\displaystyle \alpha ,\varphi }$^{[ 6 ]} بحيث

${\displaystyle u=2a\cos \left({\frac {\alpha -\varphi }{2}}\right)\ ,\ \ v={\frac {\alpha +\varphi }{2}}}$

و${\displaystyle a}$عدد حقيقي موجب، نحصل على تمثيل وسيطي جديد

• ${\displaystyle {\vec {X}}(\alpha ,\varphi )=\left(a\cos \alpha +a\cos \varphi \;,\;a\sin \alpha +a\sin \varphi \;,\;{\frac {k\alpha }{2}}+{\frac {k\varphi }{2}}\right)}$

${\displaystyle =(a\cos \alpha ,a\sin \alpha ,{\frac {k\alpha }{2}})\ +\ (a\cos \varphi ,a\sin \varphi ,{\frac {k\varphi }{2}})\ ,}$

وهو التمثيل البارامتري لسطح إزاحة ذي مولدين متطابقين (!)

${\displaystyle c_{1}:\;\gamma _{1}={\vec {X}}(\alpha ,0)=\left(a+a\cos \alpha ,a\sin \alpha ,{\frac {k\alpha }{2}}\right)\quad }$و

${\displaystyle c_{2}:\;\gamma _{2}={\vec {X}}(0,\varphi )=\left(a+a\cos \varphi ,a\sin \varphi ,{\frac {k\varphi} {2}}\right)\ .}$

النقطة المشتركة المستخدمة في الرسم التخطيطي هي${\displaystyle P={\vec {X}}(0,0)=(2a,0,0)}$. المولدات (المتطابقة) هي حلزونات مع انزياح الدوران${\displaystyle k\pi \;,}$والتي تقع على الأسطوانة ذات المعادلة${\displaystyle (xa)^{2}+y^{2}=a^{2}}$أي منحنى بارامتري هو نسخة مُزاحة من المولد.${\displaystyle c_{1}}$(في الرسم التوضيحي: باللون الأرجواني) وهو موجود داخل الأسطوانة الدائرية القائمة ذات نصف القطر${\displaystyle a}$، والذي يحتوي على المحور z .

لا يمثل التمثيل البارامتري الجديد سوى نقاط الحلزون التي تقع داخل الأسطوانة باستخدام المعادلة${\displaystyle x^{2}+y^{2}=4a^{2}}$.

من خلال التمثيل البارامتري الجديد، يدرك المرء أن السطح الحلزوني هو سطح وتر متوسط ​​أيضًا:

$\begin{aligned}{\vec {X}}(\alpha ,\varphi )&=\left(a\cos \alpha ,a\sin \alpha ,{\frac {k\alpha }{2}}\right)\ +\ \left(a\cos \varphi ,a\sin \varphi ,{\frac {k\varphi }{2}}\right)\\[5pt]&={\frac {1}{2}}(\delta _{1}(\alpha )+\delta _{2}(\varphi ))\ ,\quad \end{aligned}}}$

أين

${\displaystyle d_{1}:\ {\vec {x}}=\delta _{1}(\alpha )=(2a\cos \alpha ,2a\sin \alpha ,k\alpha )\ ,\quad }$و

${\displaystyle d_{2}:\ {\vec {x}}=\delta _{2}(\varphi )=(2a\cos \varphi ,2a\sin \varphi ,k\varphi )\ ,\quad }$

هما جيلان متطابقان.

في الرسم التوضيحي:${\displaystyle P_{1}:\delta _{1}(\alpha _{0})}$يقع على الحلزون${\displaystyle d_{1}}$و${\displaystyle P_{2}:\delta _{2}(\varphi _{0})}$على الحلزون (المتطابق)${\displaystyle d_{2}}$نقطة منتصف الوتر هي${\displaystyle \ M:{\frac {1}{2}}(\delta _{1}(\alpha _{0})+\delta _{2}(\varphi _{0}))={\vec {X}}(\alpha _{0},\varphi _{0})\ }$.

بنيان

يمكن تصنيع سطح (على سبيل المثال سقف) باستخدام قالب للانحناء ${\displaystyle c_{2}}$والعديد من القوالب المنحنية المتطابقة${\displaystyle c_{1}}$يمكن تصميم القوالب دون أي معرفة بالرياضيات. عند تحديد موضع القوالب، يجب مراعاة قواعد سطح الإزاحة فقط.

الهندسة الوصفية

لإنشاء إسقاط متوازٍ لسطح إزاحة، يجب القيام بما يلي: 1) إنتاج إسقاطات للمولدين، 2) صنع قالب منحني${\displaystyle c_{1}}$و٣) ارسم باستخدام هذه الأداة نسخًا من المنحنى مع مراعاة قواعد سطح الإزاحة. محيط السطح هو غلاف المنحنيات المرسومة باستخدام الأداة. هذه الطريقة صالحة للإسقاطات المتعامدة والمائلة، ولكنها غير صالحة للإسقاطات المركزية .

الهندسة التفاضلية

لسطح إزاحة ذي تمثيل بارامتري ${\displaystyle {\vec {x}}(u,v)=\gamma _{1}(u)+\gamma _{2}(v)\;}$ المشتقات الجزئية لـ${\displaystyle {\vec {x}}(u,v)}$هي مشتقات بسيطة للمنحنيات. وبالتالي فإن المشتقات المختلطة تكون دائمًا${\displaystyle 0}$والمعامل${\displaystyle M}$الشكل الأساسي الثاني هو${\displaystyle 0}$وهذا أيضاً عامل أساسي لتسهيل إثبات أن (على سبيل المثال) السطح الحلزوني هو سطح أدنى.

• سطح الدوران (أحد المنحنيات عبارة عن دائرة)
• سطح القناة (يتم استبدال أحد المنحنيات بكرة)
• نمذجة الأسطح الحرة (يمكن للمرء أن يترجم منحنى لتوليد سطح)

• G. Darboux : دروس حول النظرية العامة للأسطح وتطبيقاتها الهندسية للحساب اللانهائي ، 1–4، تشيلسي، طبع، 972، ص. الطوائف. 81-84، 218
• جورج جليسر . الهندسة و ihre Anwendungen في الفن والطبيعة والتقنية . سبرينغر-فيرلاغ. 2014. ردمك 364241852Xص  259
  • جورج جلايزر. الهندسة وتطبيقاتها في الفنون والطبيعة والتكنولوجيا . ص  322. ISBN 978-3030613976
• دبليو هاك : الهندسة التفاضلية الأولية ، Springer-Verlag، 2013، ISBN 3034869509، ص  140
• ج. ليوبولد: Geometrische Grundlagen der Architekturdarstellung. كولهامر فيرلاغ ، شتوتغارت 2005، ISBN 3-17-018489-X، ص  122
• دي جيه ستريك : محاضرات في الهندسة التفاضلية الكلاسيكية ، دوفر، طبعة معاد طباعتها، 1988، الصفحات  103، 109، 184

• "سطح الانتقال" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]