المرافق الهرميتي

في الرياضيات ، وتحديداً في نظرية المؤثرات ، كل مؤثر خطي${\displaystyle A}$يُعرّف المؤثر المرافق الهيرميتي (أو المرافق ) على فضاء الضرب الداخلي${\displaystyle A^{*}}$في تلك المساحة وفقًا للقاعدة

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,A^{*}y\rangle ,}$

أين${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$هو الضرب الداخلي في الفضاء المتجهي .

يُطلق على المرافق أيضًا اسم المرافق الهيرميتي أو ببساطة الهيرميتي ^{[ 1 ]} نسبةً إلى شارل هيرميت . ويُرمز إليه غالبًا بالرمز A ^† في مجالات مثل الفيزياء ، خاصةً عند استخدامه مع ترميز برا-كيت في ميكانيكا الكم . في الأبعاد المحدودة حيث يمكن تمثيل المؤثرات بالمصفوفات ، يُعطى المرافق الهيرميتي بواسطة المنقول المرافق (المعروف أيضًا باسم المنقول الهيرميتي).

يمتد التعريف المذكور أعلاه للمؤثر المرافق حرفيًا إلى المؤثرات الخطية المحدودة على فضاءات هيلبرت.${\displaystyle H}$تم توسيع التعريف ليشمل المؤثرات غير المحدودة ذات التعريف الكثيف ، والتي يكون نطاقها كثيفًا طوبولوجيًا في، ولكن ليس بالضرورة مساويًا لـ،${\displaystyle H.}$

لنفترض وجود تحويل خطي${\displaystyle A:H_{1}\to H_{2}}$بين فضاءات هيلبرت . وبدون الخوض في التفاصيل، فإن المؤثر المرافق هو المؤثر الخطي (الذي يكون في معظم الحالات مُعرَّفًا بشكل فريد).${\displaystyle A^{*}:H_{2}\to H_{1}}$مُرضٍ

${\displaystyle \left\langle Ah_{1},h_{2}\right\rangle _{H_{2}}=\left\langle h_{1},A^{*}h_{2}\right\rangle _{H_{1}},}$

أين${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle _{H_{i}}}$هو الضرب الداخلي في فضاء هيلبرت${\displaystyle H_{i}}$، وهو خطي في الإحداثي الأول، ومترافقه خطي في الإحداثي الثاني. لاحظ الحالة الخاصة التي يكون فيها فضاءا هيلبرت متطابقين.${\displaystyle A}$هو عامل تشغيل في فضاء هيلبرت هذا.

عندما يستبدل المرء الضرب الداخلي بالاقتران الثنائي ، يمكنه تعريف المرافق، والذي يسمى أيضًا المنقول ، للمؤثر${\displaystyle A:E\to F}$، أين${\displaystyle E,F}$هي فضاءات باناخ ذات معايير مقابلة${\displaystyle \|\cdot \|_{E},\|\cdot \|_{F}}$هنا (مع تجاهل أي تفاصيل فنية)، يُعرَّف المؤثر المرافق له على النحو التالي:${\displaystyle A^{*}:F^{*}\to E^{*}}$مع

${\displaystyle A^{*}f=f\circ A:u\mapsto f(Au),}$

أي،${\displaystyle \left(A^{*}f\right)(u)=f(Au)}$ل${\displaystyle f\in F^{*},u\in E}$.

إن التعريف المذكور أعلاه في سياق فضاء هيلبرت هو في الواقع مجرد تطبيق لحالة فضاء باناخ عندما يتم تعريف فضاء هيلبرت بفضائه الثنائي (عبر نظرية تمثيل ريز ). ومن الطبيعي إذن أن نتمكن أيضًا من الحصول على المرافق لمؤثر ما.${\displaystyle A:H\to E}$، أين${\displaystyle H}$هو فضاء هيلبرت و${\displaystyle E}$هو فضاء باناخ. ويُعرَّف الفضاء الثنائي على النحو التالي:${\displaystyle A^{*}:E^{*}\to H}$مع${\displaystyle A^{*}f=h_{f}}$بحيث

${\displaystyle \langle h_{f},h\rangle _{H}=f(Ah).}$

يترك${\displaystyle \left(E,\|\cdot \|_{E}\right),\left(F,\|\cdot \|_{F}\right)}$لنفترض أن فضاءات باناخ .${\displaystyle A:D(A)\to F}$و${\displaystyle D(A)\subset E}$ولنفترض أن${\displaystyle A}$هو مؤثر خطي (ربما غير محدود) معرف بكثافة (أي،${\displaystyle D(A)}$كثيف في${\displaystyle E}$ثم المؤثر المرافق له${\displaystyle A^{*}}$يُعرَّف المجال على النحو التالي.

${\displaystyle D\left(A^{*}\right):=\left\{g\in F^{*}:~\exists c\geq 0:~{\mbox{ for all }}u\in D(A):~|g(Au)|\leq c\cdot \|u\|_{E}\right\}.}$

أما بالنسبة للقيم العشوائية ولكن الثابتة${\displaystyle g\in D(A^{*})}$لقد حددنا${\displaystyle f:D(A)\to \mathbb {R} }$مع${\displaystyle f(u)=g(Au)}$باختيار${\displaystyle g}$وتعريف${\displaystyle D(A^{*})}$، f متصلة (بشكل منتظم) على${\displaystyle D(A)}$مثل${\displaystyle |f(u)|=|g(Au)|\leq c\cdot \|u\|_{E}}$ثم، وفقًا لنظرية هان-باناخ ، أو بديلًا عن طريق التمديد بالاستمرارية، ينتج عن ذلك تمديد لـ${\displaystyle f}$، مُسَمًّى${\displaystyle {\hat {f}}}$، مُحددة على جميع${\displaystyle E}$هذا الجانب التقني ضروري للحصول على${\displaystyle A^{*}}$بصفتك مشغلًا${\displaystyle D\left(A^{*}\right)\to E^{*}}$بدلاً من${\displaystyle D\left(A^{*}\right)\to (D(A))^{*}.}$لاحظ أيضاً أن هذا لا يعني أن${\displaystyle A}$يمكن تمديدها على جميع${\displaystyle E}$لكن الإضافة كانت تعمل فقط مع عناصر محددة.${\displaystyle g\in D\left(A^{*}\right)}$.

الآن، يمكننا تعريف المرافق لـ${\displaystyle A}$مثل

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{*}:F^{*}\supset D(A^{*})&\to E^{*}\\g&\mapsto A^{*}g={\hat {f}}.\end{aligned}}}$

وبالتالي فإن الهوية الأساسية المحددة هي

${\displaystyle g(Au)=\left(A^{*}g\right)(u)}$ل${\displaystyle u\in D(A).}$

لنفترض أن H فضاء هيلبرت معقد ، مع جداء داخلي${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$لنفترض مؤثرًا خطيًا متصلًا A : H → H (بالنسبة للمؤثرات الخطية، الاتصالية مكافئة لكون المؤثر محدودًا ). ​​عندئذٍ، يكون المؤثر المرافق لـ A هو المؤثر الخطي المتصل A ^* : H → H الذي يحقق  

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\left\langle x,A^{*}y\right\rangle \quad {\mbox{لكل }}x,y\in H.}$

إن وجود هذا المؤثر وتفرده يتبعان من نظرية تمثيل ريز . ^{[ 2 ]}

يمكن اعتبار هذا بمثابة تعميم للمصفوفة المرافقة لمصفوفة مربعة والتي لها خاصية مماثلة تتضمن الضرب الداخلي المركب القياسي.

الخصائص التالية للمرافق الهيرميتي للمؤثرات المحدودة هي خصائص مباشرة: ^{[ 2 ]}

1. خاصية التداخل : A ^∗∗ = A
2. إذا كانت A قابلة للعكس، فإن A ^{* قابلة للعكس} أيضًا ، مع${\textstyle \left(A^{*}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{*}}$
3. الخطية المترافقة :
   • ( أ + ب ) ^* = أ ^* + ب ^*
   • ( λA ) ^* = λA * ^، حيث λ يرمز إلى المرافق المركب للعدد المركب λ
4. " خاصية التوزيع العكسي ": ( AB ) ^* = B ^* A ^*

إذا عرّفنا معيار المؤثر A بـ

${\displaystyle \|A\|_{\text{op}}:=\sup \left\{\|Ax\|:\|x\|\leq 1\right\}}$

ثم

${\displaystyle \left\|A^{*}\right\|_{\text{op}}=\|A\|_{\text{op}}.}$^{[ 2 ]}

علاوة على ذلك،

${\displaystyle \left\|A^{*}A\right\|_{\text{op}}=\|A\|_{\text{op}}^{2}.}$^{[ 2 ]}

يقول أحدهم أن المعيار الذي يفي بهذا الشرط يتصرف مثل "أكبر قيمة"، وذلك بالاستقراء من حالة المؤثرات الذاتية المرافقة.

تشكل مجموعة المؤثرات الخطية المحدودة على فضاء هيلبرت المركب H مع العملية المرافقة ومعيار المؤثر النموذج الأولي لجبر C* .

يُطلق على المؤثر المحدود A  : H → H اسم هيرميتي أو ذاتي الترافق إذا

${\displaystyle A=A^{*}}$

وهو ما يعادل

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\langle x,Ay\rangle {\mbox{ for all }}x,y\in H.}$^{[ 6 ]}

بمعنى ما، تؤدي هذه المؤثرات دور الأعداد الحقيقية (لأنها تساوي مرافقها المركب) وتشكل فضاءً متجهيًا حقيقيًا . وهي بمثابة نموذج للكميات القابلة للرصد ذات القيم الحقيقية في ميكانيكا الكم . للاطلاع على شرح مفصل، يُرجى مراجعة مقالة المؤثرات الذاتية المرافقة.

بالنسبة للمؤثر الخطي المترافق، يلزم تعديل تعريف المؤثر المرافق للتعويض عن الترافق المركب. المؤثر المرافق للمؤثر الخطي المترافق A على فضاء هيلبرت المركب H هو مؤثر خطي مترافق A ^*  : H → H يتمتع بالخاصية التالية:

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle ={\overline {\left\langle x,A^{*}y\right\rangle }}\quad {\text{for all }}x,y\in H.}$

المعادلة

${\displaystyle \langle Ax,y\rangle =\left\langle x,A^{*}y\right\rangle }$

يشبه هذا من الناحية الرسمية الخصائص المميزة لأزواج الدوال المرافقة في نظرية الفئات ، ومن هنا جاء اسم الدوال المرافقة.

• المفاهيم الرياضية
  • المرافق المنقول
  • مشغل هيرميتي
  • التراجع §  التحليل الوظيفي
  • منقولة الخرائط الخطية
• التطبيقات الفيزيائية
  • مشغل (فيزياء)
  • †-الجبر

• بريزيس، حاييم (2011)، التحليل الوظيفي، فضاءات سوبوليف والمعادلات التفاضلية الجزئية (الطبعة الأولى  )، سبرينغر، ISBN 978-0-387-70913-0.
• ريد، مايكل؛ سيمون، باري (2003)، التحليل الوظيفي ، إلسيفير، رقم ISBN 981-4141-65-8.
• رودين، والتر (1991). التحليل الوظيفي . السلسلة الدولية في الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: ماكجرو هيل للعلوم/الهندسة/الرياضيات . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .