غير عشري

النظام العددي غير العشري (المعروف أيضًا باسم غير عشري ، وغير عشري ، ونظام الأرقام الأساسي 11 ) هو نظام عددي موضعي يستخدم الرقم 11 كأساس له . وفي حين لا توجد مجتمعات معروفة تحسب بالرقم 11، يُقال إن اثنين منهم فعلوا ذلك: الماوري (أحد الشعبين البولينيزيين في نيوزيلندا ) والبانجوا ( شعب يتحدث البانتو في تنزانيا ). تظل فكرة العد بالرقم 11 مثيرة للاهتمام لعلاقتها بطريقة العد التقليدية التي تمارس في بولينيزيا. ^{[1] [2]} أثناء الثورة الفرنسية ، تم اعتبار الرقم 11 لفترة وجيزة أساسًا محتملاً لنظام القياس المُصلح. ^[3] للأرقام غير العشرية تطبيقات في علوم الكمبيوتر، ^[4] والتكنولوجيا، ^[5] ونظام رقم الكتاب القياسي الدولي . ^[6] كما تظهر أحيانًا في أعمال الخيال الشعبي. ^[7] في النظام غير العشري، يتم استخدام الحرف الكبير (غالبًا A ، رمز 10 في النظام السداسي عشر ؛ أو T ، الحرف الأول من الكلمة الإنجليزية "عشرة"؛ أو X ، الرقم الروماني 10) أو الرقم ↊ (يسمى "dek") عادةً كرمز فوق عشري لتمثيل الرقم 10.

لمدة قرن تقريبًا، كانت فكرة أن شعب الماوري يحسب بالأحد عشر معروفة بشكل أفضل من خلال ذكرها في كتابات عالم الرياضيات الأمريكي ليفي ليونارد كونانت . وقد حددها على أنها "خطأ" نشأ عن قاموس من القرن التاسع عشر للغة النيوزيلندية نشره القس ويليام ويليامز ، رئيس شمامسة وايبو في ذلك الوقت . ^{[8] : ص. 123}

"منذ سنوات عديدة ظهر بيان لفت الانتباه وأثار الفضول على الفور. كان مفاده أن الماوري، السكان الأصليين لنيوزيلندا، استخدموا الرقم 11 كأساس لنظامهم العددي؛ وأن النظام كان متطورًا على نطاق واسع، حيث كان يحتوي على كلمات بسيطة للرقمين 121 و1331، أي لمربع ومكعب الرقم 11." ^{[8] : ص 122-123}

وكما نشر ويليامز في أول طبعتين من سلسلة القاموس، جاء في هذا البيان:

"إن الطريقة الأصلية في العد هي بالأحد عشر، حتى يصلوا إلى الحادي عشر العاشر، وهو المائة؛ ثم إلى المائة العاشرة، وهو الألف:* ولكن هؤلاء الأصليين الذين يتعاملون مع الأوروبيين، قد تخلوا عن هذه الطريقة في الغالب، وباستبعاد ngahuru ، فإنهم يحسبون tekau أو tahi tekau بعشرة، و rua tekau بعشرين، وما إلى ذلك. *يبدو أن هذا على أساس وضع واحد جانباً لكل عشرة كإحصاء. يوجد ما يوازي هذا بين الإنجليز، كما في حالة اثني عشر الخباز." ^{[9] : ص. xv}

في عام 2020، تم إرجاع أصل قاري سابق لفكرة أن شعب الماوري يُحسب بالأحد عشر إلى الكتابات المنشورة لمستكشفين علميين من القرن التاسع عشر، هما رينيه بريمفير ليسون وجول دي بلوسفيل . ^[1] لقد زارا نيوزيلندا في عام 1824 كجزء من الرحلة البحرية حول العالم في الفترة من 1822 إلى 1825 للسفينة كوكويل ، ^{[10] وهي} سفينة حربية فرنسية بقيادة لويس إيزيدور دوبريه وثانيها جول دومون دورفيل . عند عودته إلى فرنسا عام 1825، نشر ليسون ترجمته الفرنسية لمقال كتبه عالم النبات الألماني أدلبرت فون شاميسو . ^[11] في ادعاء فون شاميسو بأن نظام الأرقام النيوزيلندي كان يعتمد على عشرين ( فيجيسيمال )، أدخل ليسون حاشية سفلية للإشارة إلى خطأ:

نص Von Chamisso، كما ترجمه Lesson: "...de l'E. de la mer du Sud... c'est là qu'on trouve Premierement le système arithmétique fondé sur un échelle de vingt, comme dans la Nouvelle- زيلاند (2)..." ^{[11] : ص. 27} [... شرق بحر الجنوب ... هو المكان الذي نجد فيه لأول مرة النظام الحسابي القائم على مقياس العشرين، كما في نيوزيلندا (2)...]

حاشية الدرس على نص فون شاميسو: "(2) خطأ. Le système arithmétique des Zélandais est undécimal, et les Anglais sont les firsts qui ont Propagé cette idée fausse. (L.)" ^{[11] : ص. 27} [(2) خطأ. النظام الحسابي الزيلندي هو النظام العشري، والإنجليز هم أول من نشر هذه الفكرة الخاطئة. (ل).]

كان فون شاميسو قد ذكر خطأه بنفسه في عام 1821، وتتبع مصدر ارتباكه وتوضيحه إلى توماس كيندال ، المبشر الإنجليزي إلى نيوزيلندا الذي قدم المواد عن لغة الماوري التي كانت الأساس لقواعد اللغة التي نُشرت في عام 1820 من قبل اللغوي الإنجليزي صمويل لي . ^{[12] [13]} في نفس المنشور عام 1821، حدد فون شاميسو أيضًا نظام الأرقام الماوري على أنه عشري، مشيرًا إلى أن مصدر الارتباك كان الممارسة البولينيزية في عد الأشياء بالأزواج، حيث تم حساب كل زوج كوحدة واحدة، بحيث كانت عشر وحدات تعادل عشرين رقميًا: ^{[12] [13]}

"لدينا كتاب قواعد ومفردات لغة نيوزيلندا، الذي نشرته جمعية التبشير الكنسية. لندن، 1820. 8vo. مؤلف هذا الكتاب هو نفس السيد كيندال الذي نقل إلينا كتاب المفردات في رحلة نيكولاس. ^[14] لقد أصبحت اللغة متاحة لنا الآن، ونحن نصحح رأينا." ^{[12] : ص 13}

و،

"إن معرفة النظام الحسابي لشعب ما أمر بعيد كل البعد عن السهولة. ففي نيوزيلندا، كما في تونجا، النظام العشري. ولعل ما خدع السيد كيندال في البداية، في محاولته الأولى في رحلة نيكولاس، والتي اتبعناها، هو عادة النيوزيلنديين في حساب الأشياء بالأزواج. كما يحسب أهل تونجا الموز والأسماك بالأزواج وبالعشرينات ( تيكاو ، العدد الإنجليزي)." ^{[12] : ص 441-442}

ربما كان استخدام ليسون لمصطلح "undécimal" في عام 1825 خطأً من جانب المطبعة أدى إلى ربط العبارة المقصودة "un Décimal"، والتي كانت لتحدد بشكل صحيح نظام العد النيوزيلندي على أنه نظام عشري. ^[1] كان ليسون يعرف أن الأرقام البولينيزية كانت عشرية ومتشابهة للغاية في جميع أنحاء المنطقة، حيث تعلم الكثير عن أنظمة الأرقام في المحيط الهادئ خلال عامين ونصف العام على متن سفينة كوكويل ، وجمع المفردات العددية ونشر أو علق في النهاية على أكثر من اثني عشر منها. ^[1] كان أيضًا على دراية بعمل توماس كيندال وصامويل لي من خلال ترجمته لعمل فون شاميسو. ^[11] تشير هذه الظروف إلى أنه من غير المرجح أن يكون ليسون قد أساء فهم العد النيوزيلندي على أنه يتم بواسطة أحد عشر. ^[1]

أرسل ليسون ورفيقه في السفينة وصديقه بلوسفيل، ^[15] تقارير عن اكتشافهما المزعوم للعد القائم على الأحد عشر في نيوزيلندا إلى معاصريهما. نشر اثنان على الأقل من هؤلاء المراسلين هذه التقارير، بما في ذلك الجغرافي الإيطالي أدريانو بالبي ، الذي ذكر بالتفصيل رسالة تلقاها من ليسون في عام 1826، ^[16] وعالم الفلك المجري فرانز زافير فون زاك ، الذي ذكر بإيجاز الاكتشاف المزعوم كجزء من رسالة من بلوسفيل تلقاها من طرف ثالث. ^[17] ذكر دي بلوسفيل ذلك أيضًا للمؤلف الاسكتلندي جورج ليلي كريك ، الذي ذكر هذه الرسالة في كتابه عام 1830 النيوزيلنديون . ^[18] من المحتمل أيضًا أن يكون ليسون مؤلف مقال غير مؤرخ، كتبه فرنسي ولكنه مجهول بخلاف ذلك، تم العثور عليه بين أوراق عالم اللغويات البروسي فيلهلم فون همبولت ونشرها في عام 1839. ^{[19] [20]}

توسعت القصة في إعادة سردها: ^[1] أضافت الرسالة التي نشرها بالبي عام 1826 مفردات رقمية مزعومة بمصطلحات أحد عشر مربعًا ( كاراو ) وأحد عشر مكعبًا ( كامانو )، بالإضافة إلى سرد لكيفية استنباط كلمات الأرقام وإجراء العد من المخبرين المحليين. ^[16] وفي تطور مثير للاهتمام، غيرت أيضًا التصنيف الخاطئ الذي يحتاج إلى تصحيح من فيجيسيمال إلى عشري. ^{[11] [16]} المقال الذي نُشر عام 1839 مع أوراق فون همبولت بعنوان توماس كيندال ، المبشر الإنجليزي الذي تسبب ارتباكه بشأن تأثيرات العد الزوجي على أرقام الماوري في أن يخطئ فون شاميسو في تحديدهم على أنهم فيجيسيمال . ^{[11] [12] [19]} كما أدرجت الأماكن التي يُفترض أن المخبرين المحليين المزعومين كانوا منها. ^[19]

إن فكرة أن شعب الماوري كانوا يعدون بالأحد عشر تسلط الضوء على شكل مبتكر وعملي للعد كان يُمارس في جميع أنحاء بولينيزيا. ^{[1] [21] [22]} كانت هذه الطريقة في العد تُخصص كل عُشر بند لتمييز عشرة من البنود المحسوبة؛ ثم تُحسب البنود المحسوبة بنفس الطريقة، حيث يُخصص كل عُشر بند الآن لتمييز مائة (الجولة الثانية)، وألف (الجولة الثالثة)، وعشرة آلاف بند (الجولة الرابعة)، وهكذا. ^[1] كانت طريقة العد تعمل بنفس الطريقة بغض النظر عما إذا كانت الوحدة الأساسية عبارة عن عنصر واحد أو زوج أو مجموعة من أربعة عناصر - وحدات العد الأساسية المستخدمة في جميع أنحاء المنطقة - وكانت الأساس للعد الثنائي الفريد الموجود في مانجاريفا ، حيث يمكن أيضًا العد بمجموعات من ثمانية عناصر. ^{[1] [23]}

تحل طريقة العد أيضًا لغزًا آخر: لماذا تعني الكلمة الهاوائية التي تعني عشرين ، iwakalua ، "تسعة واثنان". عندما استُخدمت طريقة العد مع الأزواج، تم عد تسعة أزواج (18) وتم وضع الزوج الأخير (2) جانبًا للجولة التالية. ^{[1] [2]}

لا يُعرف الكثير عن فكرة أن شعب بانجوا في تنزانيا يحسبون أعدادهم بالأرقام الحادية عشر. وقد ذكرها عالم الأنثروبولوجيا البريطاني نورثكوت دبليو توماس في عام 1920 :

"وهناك نظام عددي غير طبيعي آخر وهو نظام شعب بانجوا، شمال شرق بحيرة نياسا، الذي يستخدم قاعدة من أحد عشر." ^{[24] : ص 59}

و،

"إذا كان بوسعنا أن نكون على يقين من أن كلمة ki dzigo تحمل في الأصل معنى أحد عشر، وليس عشرة، في لغة Pangwa، فسيكون من المغري ربط كلمة dzi أو či بنفس الكلمة في Walegga-Lendu، حيث تعني اثني عشر، وبالتالي ربط المجالات الثلاثة التي تستخدم فيها الأنظمة غير الطبيعية، وإن كانت من النوع الأكثر هشاشة وبعيدة." ^{[24] : ص 59}

وقد كرر المستكشف البريطاني والمسؤول الاستعماري هاري إتش جونستون هذا الادعاء في المجلد الثاني من دراسته للغات البانتو وشبه البانتو عام 1922. وقد لاحظ هو أيضًا أوجه تشابه مثيرة بين مصطلح بانجوا للرقم أحد عشر ومصطلحات الرقم عشرة في اللغات ذات الصلة: ^[25]

"في بعض الأحيان توجد مصطلحات خاصة للرقم 11. وعلى حد علمي فإن المصطلحات هي التالية:

"كي-دزيجꞷ 36 (في هذه اللغة، لغة بانجوا في شمال شرق نياسالاند، العد يتم فعليًا بالأحد عشر. كي-دزيجꞷ-كافيلي = "اثنان وعشرون"، كي-دزيجꞷ-كاداتو = "ثلاثة وثلاثون"). ومع ذلك، فإن الجذر -dzigꞷ هو نفسه بوضوح -tsigꞷ ، الذي يرمز إلى "عشرة" في رقم 38. قد يكون مرتبطًا أيضًا بـ -digi ("عشرة") في 148، و-tuku أو -dugu في لغتي أبابوا والكونغو، و-dikꞷ في 130، و-liku في 175 ("ثمانية")، و Tiag في 249." ^{[25] : ص. 477}

في تصنيف جونستون للغات البانتو وشبه البانتو ، ^[25]

• رقم 36 هو باجوا، مجموعة بانتو جي، إن. روفوما، شمال شرق نياسالاند
• 38 هو كينجا، مجموعة بانتو K، أوكينجا
• 130 هو با-نيكوتو (با-نيكبفوتو)، مجموعة بانتو DD، وسط كونغꞷland
• 148 هو Li-huku، مجموعة Bantu HH، منطقة إيتوري العليا
• 175 هي Ifumu أو Ifuru (E. Teke)، Bantu Group LL، Kwa-Kasai-Upper Ꞷgꞷwe (Teke)
• 249 هي أفودو، المجموعة شبه البانتوية د، جنوب بينوي

اليوم، من المفهوم أن لغة بانجوا تتكون من أرقام عشرية، مع استعارة الأرقام ستة وما فوق من اللغة السواحيلية . ^[26]

في يونيو 1789، قبل أسابيع قليلة من بدء الثورة الفرنسية باقتحام الباستيل ، أنشأت أكاديمية العلوم لجنة ( لجنة الأوزان والمقاييس ) لتوحيد أنظمة الأوزان والمقاييس، وهو إصلاح شعبي كان خطوة مبكرة نحو إنشاء النظام المتري الدولي . ^{[27] [28]} في 27 أكتوبر 1790، أفادت اللجنة أنها فكرت في استخدام النظام الاثني عشري (القاعدة 12) كأساس للأوزان والأطوال/المسافات والمال بسبب قابليته للقسمة بشكل أكبر، مقارنة بالنظام العشري (القاعدة 10). ^[29] ومع ذلك، فقد رفضوا المبادرة في النهاية، وقرروا أن مقياسًا مشتركًا يعتمد على الأرقام المنطوقة من شأنه تبسيط الحسابات والتحويلات وجعل النظام الجديد أسهل في التنفيذ. ^[29] يُنسب إلى عالم الرياضيات جوزيف لويس لاجرانج ، أحد أعضاء اللجنة، الفضل في التأثير على اللجنة لاختيار النظام العشري. ^[3] يبدو أن المناقشة حول أيهما يجب استخدامه كانت حية، إن لم تكن مثيرة للجدال، حيث اقترح لاغرانج في مرحلة ما اعتماد 11 كرقم أساسي، على أساس أن عدم قابلية القسمة كانت مفيدة بالفعل؛ لأن 11 كان عددًا أوليًا ، فلن يكون أي كسر به مقام قابلاً للاختزال: ^{[3] [30]}

كتب Delambre: "Il était peu frappé de l'objection que l'on tirait contre ce système du petit nombre des diviseurs de sa base. يؤسفني أن لا يكون هناك اسم أولي، وهو 11، الذي من الضروري لم يفعله نفس المسمى لجميع الأشخاص فيما يتعلق بالكسور، إذا كان الأمر كذلك، فإن هذه الفكرة هي عبارة عن واحدة من هذه المبالغات التي تحدث من أفضل العقول في النزاع، ولكن لا يستخدم هذا الرقم 11 إلا من أجل الرقم 12، وهو المبتكرون الأكثر جرأة. auraient voulu substituer à سيلوي دي 10, qui fait Partout la base de la numération." ^{[3] : ص. LXVI}

وكما ترجمت: "لقد كاد [لاجرانج] أن يندم لأن [القاعدة] لم تكن عددًا أوليًا، مثل 11، والذي من شأنه أن يعطي كل الكسور بالضرورة نفس المقام. وسوف يُنظَر إلى هذه الفكرة، إن شئت، باعتبارها إحدى تلك المبالغات التي تفلت من أفضل العقول في خضم الجدل؛ ولكنه لم يستخدم الرقم 11 إلا لاستبعاد الرقم 12، الذي أراد المبتكرون الأكثر جرأة استبداله بالرقم 10، الذي يشكل أساس الترقيم في كل مكان".

في عام 1795، لاحظ لاغرانج في المحاضرات العامة المنشورة في المدرسة العليا ، أن الكسور ذات المقامات المختلفة (على سبيل المثال، 1 ⁄ 2 ، 1 ⁄ 3 ، 1 ⁄ 4 ، 1 ⁄ 5 ، 1 ⁄ 7 )، على الرغم من بساطتها في حد ذاتها، إلا أنها غير مريحة، حيث أن مقاماتها المختلفة تجعل من الصعب مقارنتها. ^[31] وهذا يعني أن الكسور ليست صعبة المقارنة إذا كان البسط هو 1 (على سبيل المثال، 1 ⁄ 2 أكبر من 1 ⁄ 3 ، والذي بدوره أكبر من 1 ⁄ 4 ). ومع ذلك، تصبح المقارنات أكثر صعوبة عندما يتم خلط كل من البسط والمقام: 3 ⁄ 4 أكبر من 5 ⁄ 7 ، والذي بدوره أكبر من 2 ⁄ 3 ، على الرغم من أنه لا يمكن تحديد ذلك من خلال الفحص البسيط للمقامات بالطريقة الممكنة إذا كان البسط هو 1. وأشار إلى أن الصعوبة تم حلها إذا كان لجميع الكسور نفس المقام:

كتب لاغرانج: "في هذا السياق أيضًا، لا يهمني الاسم الذي يناسب قاعدة النظام، مثل الرقم 10 في النظام العشري، سواء كان مقسمًا أو غير مقسم؛ قد يكون نفس الشيء أو يكون موجودًا، لبعض الاعتبارات، من المزايا à ce que ce que ce nombre n'eût point de Diseurs، comme le nombre 11، ce qui aurait lieu dans le système undécimal، parce qu'on serait moins porté à use les الكسور 1 ⁄ , 1 ⁄ , إلخ ." ^{[31] : ص. 23}

كما ترجم: "نرى أيضًا من هذا [الحجة حول قابلية القسمة] أنه لا يهم ما إذا كان الرقم الذي يشكل أساس النظام، مثل الرقم 10 في نظامنا العشري، له قواسم أم لا؛ ربما تكون هناك ميزة، في بعض النواحي، إذا لم يكن لهذا الرقم قواسم، مثل الرقم 11، وهو ما سيحدث في النظام غير العشري، لأن المرء سيكون أقل ميلاً لاستخدام الكسور 1 ⁄ 2 ، 1 ⁄ 3 ، إلخ."

في سرد ​​القصة، لاحظ رالف إتش بيرد (في عام 1947، رئيس الجمعية الأمريكية للأعداد الاثني عشرية التي كانت تسمى آنذاك) أن الأعداد ذات القاعدة 11 لها عيب وهو أنه بالنسبة للأعداد الأولية التي تزيد عن 11، "لا نستطيع أن نقول، دون اختبارها فعليًا، ليس فقط ما إذا كانت أولية أم لا، ولكن، من المدهش، ما إذا كانت فردية أم زوجية أم لا." ^{[32] : ص 9}

يعد العدد غير العشري (يشار إليه غالبًا باسم غير عشري في هذا السياق) مفيدًا في علوم الكمبيوتر والتكنولوجيا لفهم المكمل (الطرح عن طريق الجمع السلبي) ^[4] وإجراء فحوصات رقمية على قناة عشرية. ^[5]

أي نظام عددي ذو قاعدة أكبر من عشرة يتطلب رقمًا جديدًا واحدًا أو أكثر؛ "في نظام غير عشري (القاعدة الحادية عشرة) يجب أن يكون هناك حرف للرقم عشرة." ^{[33] : ص. 345} للسماح بالإدخال على الآلات الكاتبة، تُستخدم أحرف مثل ⟨ A ⟩ (كما في النظام السداسي عشر )، أو ⟨ T ⟩ (الحرف الأول من "عشرة")، أو ⟨ X ⟩ ( الرقم الروماني 10) للرقم 10 في القاعدة 11. من الممكن أيضًا استخدام الرقم ↊ ("dek")، وهو ما يسمى رقم بيتمان للرقم 10 الذي اقترحه إسحاق بيتمان في عام 1947 كواحد من الرمزين فوق العشريين المطلوبين لتمثيل القاعدة 12 ( الاثني عشري ). ^[34]

الأرقام المكونة من 10 أرقام في نظام أرقام الكتب القياسية الدولية (ISBN) تستخدم غير عشرية كرقم تدقيق . ^[6] رقم التدقيق هو الرقم الأخير في رقم ISBN المرتبط رياضيًا بجميع الأرقام الأخرى التي يحتوي عليها والتي تُستخدم للتحقق من دقتها. ^[35] إنه يمثل إجابة لحساب رياضي، في هذه الحالة، واحد يضرب الأرقام العشرة في رقم ISBN بالأعداد الصحيحة عشرة (أقصى اليسار) إلى اثنين (ثاني آخر رقم أقصى اليمين، والأخير هو رقم التدقيق نفسه) ثم يجمعهم. ^[36] يجب أن ينتج الحساب مضاعفًا لأحد عشر، مع رقمه الأخير، الذي يمثله الأرقام من 0 إلى 9 أو X (للعشرة)، يساوي الرقم العاشر من رقم ISBN. ^[36] اعتبارًا من 1 يناير 2007 ^[تحديث]، أصبحت أرقام ISBN المكونة من ثلاثة عشر رقمًا هي المعيار. ^[6] توفر وكالة ISBN الدولية حاسبة عبر الإنترنت تقوم بتحويل أرقام ISBN المكونة من عشرة أرقام إلى ثلاثة عشر رقمًا. ^[37]

في رواية الاتصال لكارل ساجان ، توجد رسالة تركها ذكاء متقدم غير معروف مخبأة داخل الرقم باي ؛ يتم الكشف عن الرسالة بشكل أفضل عندما يتم حساب باي في شكل غير عشري. ^{[38] [39] : ص. 317} في المسلسل التلفزيوني بابل 5 ، يستخدم العرق المتقدم المعروف باسم مينباري أرقامًا غير عشرية يدركونها من خلال عد عشرة أصابع والرأس، وفقًا لمنشئ المسلسل ج. مايكل ستراتشينسكي . ^{[40] [41]}

الزوجي

عشري	غير عشري
1	1
2	2
4	4
8	8
16	15
32	2أ
64	59
128	107
256	213
512	426
1024	851
2048	15أ2

×	1	2	3	4	5	6	7	8	9	أ	10	11
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	أ	10	11
2	2	4	6	8	أ	11	13	15	17	19	20	22
3	3	6	9	11	14	17	1أ	22	25	28	30	33
4	4	8	11	15	19	22	26	2أ	33	37	40	44
5	5	أ	14	19	23	28	32	37	41	46	50	55
6	6	11	17	22	28	33	39	44	4أ	55	60	66
7	7	13	1أ	26	32	39	45	51	58	64	70	77
8	8	15	22	2أ	37	44	51	59	66	73	80	88
9	9	17	25	33	41	4أ	58	66	74	82	90	99
أ	أ	19	28	37	46	55	64	73	82	91	أ0	أأ
10	10	20	30	40	50	60	70	80	90	أ0	100	110
11	11	22	33	44	55	66	77	88	99	أأ	110	121

• رقم التحقق غير العشري لأرقام ISBN المكونة من عشرة أرقام