اهتزاز غشاء دائري

يمكن لغشاء مرن ثنائي الأبعاد تحت الشد أن يتحمل الاهتزازات العرضية . ويمكن نمذجة خصائص غشاء طبلة مثالي من خلال اهتزازات غشاء دائري ذي سماكة منتظمة، مثبت على إطار صلب. وبناءً على شرط الحدود المطبق، عند ترددات اهتزاز معينة ، تُعرف بتردداته الطبيعية ، يتحرك السطح بنمط مميز من الموجات المستقرة . يُسمى هذا النمط بالنمط الطبيعي . يمتلك الغشاء عددًا لا نهائيًا من هذه الأنماط الطبيعية، بدءًا من أدنى تردد يُسمى التردد الأساسي .

توجد طرق لا حصر لها لاهتزاز الغشاء، وتعتمد كل طريقة على شكل الغشاء في لحظة زمنية ابتدائية، وعلى السرعة العرضية لكل نقطة على الغشاء في تلك اللحظة. تُعطى اهتزازات الغشاء بحلول معادلة الموجة ثنائية الأبعاد مع شروط حدودية من نوع ديريشليه ، والتي تمثل قيد الإطار المرجعي. يمكن إثبات أن أي اهتزاز معقد للغشاء، مهما بلغت تعقيداته، يُمكن تحليله إلى سلسلة لا نهائية محتملة من أنماط الاهتزاز الطبيعية للغشاء. وهذا يُشابه تحليل إشارة زمنية إلى متسلسلة فورييه .

أدت دراسة الاهتزازات على الطبول إلى قيام علماء الرياضيات بطرح مشكلة رياضية شهيرة حول ما إذا كان من الممكن سماع شكل الطبل ، مع تقديم إجابة (لا يمكن سماعه) في عام 1992 في الإطار ثنائي الأبعاد.

يُفسر تحليل مشكلة اهتزاز غشاء الطبل آلية عمل آلات الإيقاع مثل الطبول والتيمباني . ومع ذلك، توجد أيضًا تطبيقات بيولوجية في آلية عمل طبلة الأذن . من وجهة نظر تعليمية ، تُعد أنماط اهتزاز جسم ثنائي الأبعاد وسيلةً ملائمةً لتوضيح معنى الأنماط والعُقد والبطون وحتى الأعداد الكمومية بصريًا . هذه المفاهيم مهمة لفهم بنية الذرة.

لنفترض وجود قرص مفتوح${\displaystyle \Omega }$نصف قطر${\displaystyle a}$متمركزة عند نقطة الأصل، والتي ستمثل شكل رأس الطبلة "الثابت". في أي وقت${\displaystyle t,}$ارتفاع شكل رأس الطبل عند نقطة معينة${\displaystyle (x,y)}$في${\displaystyle \Omega }$سيتم تحديد القياس من شكل رأس الطبلة "الثابت" بواسطة${\displaystyle u(x,y,t),}$والتي يمكن أن تأخذ قيمًا موجبة وسالبة. ليكن${\displaystyle \partial \Omega }$تشير إلى حدود${\displaystyle \Omega ,}$أي دائرة نصف قطرها${\displaystyle a}$متمركزة عند نقطة الأصل، والتي تمثل الإطار الصلب الذي يتم تثبيت رأس الطبلة عليه.

المعادلة الرياضية التي تحكم اهتزاز غشاء الطبل هي معادلة الموجة ذات الشروط الحدية الثابتة.

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right){\text{ for }}(x,y)\in \Omega \,}$

${\displaystyle u=0{\text{ on }}\partial \Omega .\,}$

بسبب الشكل الدائري لـ${\displaystyle \Omega }$سيكون من الملائم استخدام الإحداثيات القطبية${\displaystyle (r,\theta ).}$ثم تُكتب المعادلات أعلاه على النحو التالي

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}}\right){\text{ for }}0\leq r<a,0\leq \theta \leq 2\pi \,}$

${\displaystyle u=0{\text{ for }}r=a.\,}$

هنا،${\displaystyle c}$هو ثابت موجب، يحدد سرعة انتشار موجات الاهتزاز المستعرضة في الغشاء. وبالنسبة للمعاملات الفيزيائية، تُعطى سرعة الموجة، c، بالعلاقة التالية:

${\displaystyle c={\sqrt {\frac {N_{rr}^{*}}{\rho h}}}}$

أين${\displaystyle N_{rr}^{*}}$، هو المحصلة الشعاعية للغشاء عند حدود الغشاء (${\displaystyle r=a}$)${\displaystyle h}$، هو سمك الغشاء، و${\displaystyle \rho }$هي كثافة الغشاء. إذا كان للغشاء توتر منتظم، فإن قوة التوتر المنتظم عند نصف قطر معين،${\displaystyle r}$قد يكتب

${\displaystyle F=rN_{rr}^{r}=rN_{\theta \theta }^{r}}$

أين${\displaystyle N_{\theta \theta }^{r}=N_{rr}^{r}}$هل الغشاء هو المحصلة في الاتجاه السمتي؟

سندرس أولاً أنماط الاهتزاز الممكنة لرأس طبلة دائرية متناظرة محورياً (متناظرة دورانياً حول محور مركزي). ثم، الدالة${\displaystyle u}$لا يعتمد على الزاوية${\displaystyle \theta ,}$وتتبسط معادلة الموجة إلى

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right).}$

سنبحث عن حلول في متغيرات منفصلة،${\displaystyle u(r,t)=R(r)T(t).}$بتعويض هذا في المعادلة أعلاه وقسمة كلا الطرفين على${\displaystyle c^{2}R(r)T(t)}$ العائد

${\displaystyle {\frac {T''(t)}{c^{2}T(t)}}={\frac {1}{R(r)}}\left(R''(r)+{\frac {1}{r}}R'(r)\right).}$

لا يعتمد الطرف الأيسر من هذه المعادلة على${\displaystyle r,}$والجانب الأيمن لا يعتمد على${\displaystyle t,}$ ويترتب على ذلك أن كلا الجانبين يجب أن يكونا متساويين مع ثابت ما${\displaystyle K.}$نحصل على معادلات منفصلة لـ${\displaystyle T(t)}$و${\displaystyle R(r)}$:

${\displaystyle T''(t)=Kc^{2}T(t)\,}$

${\displaystyle rR''(r)+R'(r)-KrR(r)=0.\,}$

معادلة لـ${\displaystyle T(t)}$لها حلول تنمو أو تتلاشى بشكل أُسّي لـ${\displaystyle K>0,}$تكون خطية أو ثابتة لـ${\displaystyle K=0}$ وتكون دورية لـ${\displaystyle K<0}$من المتوقع فيزيائياً أن يكون حل مشكلة اهتزاز رأس الطبلة متذبذباً مع مرور الوقت، وهذا لا يترك سوى الحالة الثالثة.${\displaystyle K<0,}$لذلك نختار${\displaystyle K=-\lambda ^{2}}$للتسهيل. ثم،${\displaystyle T(t)}$هي توليفة خطية من دالتي الجيب وجيب التمام،

${\displaystyle T(t)=A\cos c\lambda t+B\sin c\lambda t.\,}$

بالانتقال إلى معادلة${\displaystyle R(r),}$مع ملاحظة أن${\displaystyle K=-\lambda ^{2},}$جميع حلول هذه المعادلة التفاضلية من الدرجة الثانية هي عبارة عن توليفة خطية من دوال بيسل من الرتبة 0، لأن هذه المعادلة تأخذ شكل معادلة بيسل المعدلة :

${\displaystyle R(r)=c_{1}J_{0}(\lambda r)+c_{2}Y_{0}(\lambda r).\,}$

دالة بيسل${\displaystyle Y_{0}}$غير محدود لـ${\displaystyle r\to 0,}$مما ينتج عنه حل غير فيزيائي لمشكلة اهتزاز رأس الطبلة، وبالتالي الثابت${\displaystyle c_{2}}$يجب أن يكون فارغًا. سنفترض أيضًا${\displaystyle c_{1}=1,}$وإلا فإنه يمكن دمج هذا الثابت لاحقًا في الثوابت${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$قادم من${\displaystyle T(t).}$ويترتب على ذلك أن

${\displaystyle R(r)=J_{0}(\lambda r).}$

يشترط أن يكون الطول${\displaystyle u}$ينتج عن كون القيمة صفرًا على حدود غشاء الطبل الحالة التالية:

${\displaystyle R(a)=J_{0}(\lambda a)=0.}$

دالة بيسل${\displaystyle J_{0}}$للمعادلة عدد لا نهائي من الجذور الموجبة،

${\displaystyle 0<\alpha _{01}<\alpha _{02}<\cdots }$

نحن نفهم ذلك${\displaystyle \lambda a=\alpha _{0n},}$ل${\displaystyle n=1,2,\dots ,}$لذا

${\displaystyle R(r)=J_{0}\left({\frac {\alpha _{0n}}{a}}r\right).}$

لذلك، فإن الحلول المتناظرة محورياً${\displaystyle u}$من بين مسائل اهتزاز رأس الطبلة التي يمكن تمثيلها بمتغيرات منفصلة ما يلي:

${\displaystyle u_{0n}(r,t)=\left(A\cos c\lambda _{0n}t+B\sin c\lambda _{0n}t\right)J_{0}\left(\lambda _{0n}r\right){\text{ for }}n=1,2,\dots ,\,}$

أين${\displaystyle \lambda _{0n}=\alpha _{0n}/a.}$

الحالة العامة، عندما${\displaystyle u}$ويمكن أن يعتمد ذلك أيضًا على الزاوية${\displaystyle \theta ,}$يتم التعامل معها بشكل مماثل. نفترض وجود حل بمتغيرات منفصلة.

${\displaystyle u(r,\theta ,t)=R(r)\Theta (\theta )T(t).\,}$

بإدخال هذا في معادلة الموجة وفصل المتغيرات، نحصل على

${\displaystyle {\frac {T''(t)}{c^{2}T(t)}}={\frac {R''(r)}{R(r)}}+{\frac {R'(r)}{rR(r)}}+{\frac {\Theta ''(\theta )}{r^{2}\Theta (\theta )}}=K}$

أين${\displaystyle K}$ثابت. كما في السابق، من معادلة${\displaystyle T(t)}$ويترتب على ذلك أن${\displaystyle K=-\lambda ^{2}}$مع${\displaystyle \lambda >0}$و

${\displaystyle T(t)=A\cos c\lambda t+B\sin c\lambda t.\,}$

من المعادلة

${\displaystyle {\frac {R''(r)}{R(r)}}+{\frac {R'(r)}{rR(r)}}+{\frac {\Theta ''(\theta )}{r^{2}\Theta (\theta )}}=-\lambda ^{2}}$

نحصل على ذلك بضرب كلا الطرفين في${\displaystyle r^{2}}$وفصل المتغيرات، ذلك

${\displaystyle \lambda ^{2}r^{2}+{\frac {r^{2}R''(r)}{R(r)}}+{\frac {rR'(r)}{R(r)}}=L}$

و

${\displaystyle -{\frac {\Theta ''(\theta )}{\Theta (\theta )}}=L,}$

لبعض الثوابت${\displaystyle L.}$منذ${\displaystyle \Theta (\theta )}$دورية، ذات دورة${\displaystyle 2\pi ,}$${\displaystyle \theta }$وبما أن المتغير زاوي، فإنه يترتب على ذلك أن

${\displaystyle \Theta (\theta )=C\cos m\theta +D\sin m\theta ,\,}$

أين${\displaystyle m=0,1,\dots }$و${\displaystyle C}$و${\displaystyle D}$هي بعض الثوابت. وهذا يعني أيضاً${\displaystyle L=m^{2}.}$

بالعودة إلى المعادلة الخاصة بـ${\displaystyle R(r),}$حلها عبارة عن توليفة خطية من دوال بيسل${\displaystyle J_{m}}$و${\displaystyle Y_{m}.}$وباستخدام حجة مماثلة لتلك الواردة في القسم السابق، نصل إلى

${\displaystyle R(r)=J_{m}(\lambda _{mn}r),\,}$${\displaystyle m=0,1,\dots ,}$${\displaystyle n=1,2,\dots ,}$

أين${\displaystyle \lambda _{mn}=\alpha _{mn}/a,}$مع${\displaystyle \alpha _{mn}}$ال${\displaystyle n}$الجذر الموجب رقم -th لـ${\displaystyle J_{m}.}$

لقد أظهرنا أن جميع حلول مسألة رأس الطبل المهتز في المتغيرات المنفصلة هي من الشكل التالي

${\displaystyle u_{mn}(r,\theta ,t)=\left(A\cos c\lambda _{mn}t+B\sin c\lambda _{mn}t\right)J_{m}\left(\lambda _{mn}r\right)(C\cos m\theta +D\sin m\theta )}$

ل${\displaystyle m=0,1,\dots ,n=1,2,\dots }$

يُعرض أدناه عدد من الأنماط مع أرقامها الكمية. كما تُشير أيضاً إلى الدوال الموجية المماثلة لذرة الهيدروجين ، بالإضافة إلى الترددات الزاوية المرتبطة بها.${\displaystyle \omega _{mn}=\lambda _{mn}c={\dfrac {\alpha _{mn}}{a}}c=\alpha _{mn}c/a}$قيم${\displaystyle \alpha _{mn}}$هي جذور دالة بيسل${\displaystyle J_{m}}$يُستنتج هذا من شرط الحدود${\displaystyle \forall \theta \in [0,2\pi ],\forall t,\ u_{mn}(r=a,\theta ,t)=0}$مما ينتج عنه${\displaystyle J_{m}(\lambda _{mn}a)=J_{m}(\alpha _{mn})=0}$.

• 
  وضع${\displaystyle u_{01}}$(1s) مع${\displaystyle \alpha _{01}=2.40483}$
• 
  وضع${\displaystyle u_{02}}$(2s) مع${\displaystyle \alpha _{02}=5.52008}$
• 
  وضع${\displaystyle u_{03}}$(3s) مع${\displaystyle \alpha _{03}=8.65373}$

• 
  وضع${\displaystyle u_{11}}$(2 بنس) مع${\displaystyle \alpha _{11}=3.83171}$
• 
  وضع${\displaystyle u_{12}}$(3 بنسات) مع${\displaystyle \alpha _{12}=7.01559}$
• 
  وضع${\displaystyle u_{13}}$(4 بنسات) مع${\displaystyle \alpha _{13}=10.1735}$

• 
  وضع${\displaystyle u_{21}}$(3d) مع${\displaystyle \alpha _{21}=5.13562}$
• 
  وضع${\displaystyle u_{22}}$(4د) مع${\displaystyle \alpha _{22}=8.41724}$
• 
  وضع${\displaystyle u_{23}}$(5د) مع${\displaystyle \alpha _{23}=11.6198}$

المزيد من القيم${\displaystyle \alpha _{mn}}$يمكن حسابها بسهولة باستخدام كود بايثون التالي مع مكتبة SciPy : ^{[ 1 ]}

from scipy import special as scm = 0 # رتبة دالة بيسل (أي النمط الزاوي للغشاء الدائري)nz = 3 العدد المطلوب من الجذورalpha_mn = sc.jn_zeros ( m , nz ) # يُخرج أصفار nz للمصفوفة Jm

• الوتر المهتز ، الحالة أحادية البعد
• أنماط كلادني ، وصف مبكر لظاهرة ذات صلة، خاصة مع الآلات الموسيقية؛ انظر أيضًا علم الصوتيات
• سماع شكل الطبل ، وتوصيف الأنماط بالنسبة لشكل الغشاء
• المدار الذري ، مشكلة كمومية ميكانيكية ثلاثية الأبعاد ذات صلة

• ح. أسمر، نخلة (2005). المعادلات التفاضلية الجزئية مع متسلسلات فورييه ومسائل القيم الحدية . أبر سادل ريفر، نيوجيرسي: بيرسون برنتيس هول. ص  198. ISBN 0-13-148096-0.