هندسة وايتهيد الخالية من النقاط

في الرياضيات ، الهندسة الخالية من النقاط هي هندسة يكون مفهومها الأنطولوجي الأساسي هو المنطقة وليس النقطة . فيما يلي نظامان بديهيان ، أحدهما قائم على علم الأجزاء ، والآخر على علم طوبولوجيا الأجزاء ويُعرف بنظرية الاتصال .

صاغ ألفريد نورث وايتهيد مفهوم الهندسة الخالية من النقاط لأول مرة ، ^{[ 1 ]} ليس كنظرية للهندسة أو الزمكان ، بل كنظرية "للأحداث" و" علاقة امتداد " بينها. وكانت أهداف وايتهيد فلسفية بقدر ما كانت علمية ورياضية. ^{[ 2 ]}

لم يُصغ وايتهيد نظرياته بأسلوب يُلبي معايير الشكلية المُعاصرة. وقد صاغ آخرون النظريتين الرسميتين من الدرجة الأولى الموصوفتين في هذا المدخل بهدف توضيح نظريات وايتهيد وتحسينها. يتألف نطاق الخطاب لكلا النظريتين من "مناطق". ينبغي اعتبار جميع المتغيرات غير المُكمّمة في هذا المدخل مُكمّمة ضمنيًا بشكل شامل ؛ وبالتالي، ينبغي اعتبار جميع البديهيات إغلاقات شاملة . لا تتطلب أي بديهية أكثر من ثلاثة متغيرات مُكمّمة؛ ومن ثم، يُمكن ترجمة نظريات الدرجة الأولى إلى جبر العلاقات . تحتوي كل مجموعة من البديهيات على أربعة مُكمّمات وجودية فقط .

العلاقة الثنائية الأولية الأساسية هي التضمين ، ويُرمز لها بالمعامل الوسطي "≤"، وهي تُقابل علاقة الجزءية الثنائية التي تُعدّ سمةً قياسيةً في النظريات الميرولوجية . المعنى البديهي لـ x ≤ y هو " x جزء من y ". بافتراض أن المساواة، التي يُرمز لها بالمعامل الوسطي "="، هي جزء من المنطق الأساسي، فإن العلاقة الثنائية الجزء الصحيح ، التي يُرمز لها بالمعامل الوسطي "<"، تُعرَّف على النحو التالي:

${\displaystyle x<y\leftrightarrow (x\leq y\land x\not =y).}$

البديهيات هي: ^{[ 3 ]}

• يؤدي التضمين جزئياً إلى ترتيب المجال .

G1.${\displaystyle x\leq x.}$ ( انعكاسي )

G2.${\displaystyle (x\leq z\land z\leq y)\rightarrow x\leq y.}$ ( متعدي ) WP4 .

G3.${\displaystyle (x\leq y\land y\leq x)\rightarrow x=y.}$ ( متناظر عكسيًا )

• إذا أُعطيت أي منطقتين، فستوجد منطقة تشمل كلتيهما. WP6 .

G4.${\displaystyle \exists z[x\leq z\land y\leq z].}$

• الجزء الصحيح يرتب المجال بشكل كثيف . WP5 .

G5.${\displaystyle x<y\rightarrow \exists z[x<z<y].}$

• لا توجد مناطق ذرية ولا منطقة شاملة . لذا، لا يوجد حد أعلى ولا حد أدنى للمجال . WP2 .

G6.${\displaystyle \exists y\exists z[y<x\land x<z].}$

• مبدأ الأجزاء المناسبة. إذا كانت جميع الأجزاء المناسبة لـ x أجزاءً مناسبة لـ y ، فإن x مُضمنة في y . WP3 .

G7.${\displaystyle \forall z[z<x\rightarrow z<y]\rightarrow x\leq y.}$

نموذج G1 – G7 هو فضاء تضمين .

التعريف . ^{[ 4 ]} بالنظر إلى فضاء احتواء S، فإن الفئة المجردة هي فئة G من المناطق بحيث يكون S\G مرتبًا ترتيبًا كليًا حسب الاحتواء. علاوة على ذلك، لا توجد منطقة محتواة في جميع المناطق المحتواة في G.

بشكل بديهي، يُعرّف الصنف التجريدي كيانًا هندسيًا يكون بُعده أقل من بُعد فضاء التضمين. على سبيل المثال، إذا كان فضاء التضمين هو المستوى الإقليدي ، فإن الأصناف التجريدية المقابلة هي النقاط والخطوط .

الهندسة الخالية من النقاط القائمة على التضمين (والتي سنشير إليها فيما يلي بـ "الهندسة الخالية من النقاط") هي في جوهرها صياغة بديهية لنظام سيمونز W. ^{[ 5 ]} بدوره، يُضفي W طابعًا رسميًا على نظرية وايتهيد ^{[ 6 ]} التي لم تُذكر بديهياتها صراحةً. الهندسة الخالية من النقاط هي W مع تصحيح هذا النقص. لم يُصحح سيمونز هذا النقص، بل اقترح في حاشية أن يقوم القارئ بذلك كتمرين. العلاقة الأولية لـ W هي الجزء الخاص، وهو ترتيب جزئي صارم . تحتوي نظرية وايتهيد ^{[ 7 ]} (1919) على علاقة ثنائية أولية واحدة K تُعرَّف على النحو التالي: xKy ↔ y < x . وبالتالي، فإن K هي عكس الجزء الخاص. يؤكد WP1 لسيمونز أن الجزء الخاص غير انعكاسي ، وبالتالي يُطابق G1 . يُثبت G3 أن التضمين، على عكس الجزء الخاص، مُضاد للتناظر .

ترتبط الهندسة الخالية من النقاط ارتباطًا وثيقًا بنظام خطي كثيف D ، الذي تتمثل بديهياته في G1-3 و G5 وبديهية الكلية.${\displaystyle x\leq y\lor y\leq x.}$^{[ 8 ]} وبالتالي فإن الهندسة الخالية من النقاط القائمة على التضمين ستكون امتدادًا مناسبًا لـD(أيD∪{G4,G6,G7})، لولا أنD"≤" هيترتيب كلي.

اقترح وايتهيد (1929) منهجًا مختلفًا، مستوحى من دي لاغونا (1922). اتخذ وايتهيد المفهوم الطوبولوجي لـ"التلامس" بين منطقتين كعنصر أساسي، مما أدى إلى "علاقة اتصال" أساسية بين الأحداث. تُعد نظرية الاتصال C نظرية من الدرجة الأولى تُلخص الاثني عشر الأولى من افتراضات وايتهيد البالغ عددها 31 افتراضًا ^{[ 9 ]} في ستة بديهيات، C1-C6 . ^{[ 10 ]} تُمثل C جزءًا من النظريات التي اقترحها كلارك، ^{[ 11 ]} الذي لاحظ طابعها الميرولوجي . تُسمى النظريات التي، مثل C ، تجمع بين التضمين والعناصر الطوبولوجية الأساسية، بالطوبولوجيا الميرولوجية .

تحتوي المجموعة C على علاقة أولية واحدة ، وهي "الوصلة" الثنائية، ويُرمز لها بالحرف C. ويمكن تعريف احتواء x في y على النحو التالي : x ≤ y ↔ ∀ z [ Czx → Czy ] . على عكس فضاءات الاحتواء، تُمكّن نظرية الوصلات من تعريف الاحتواء "غير المماسي" ^{[ 12 ]} ، وهو ترتيب كلي يُتيح بناء فئات تجريدية. ويُجادل جيرلا وميراندا (2008) بأنه بهذه الطريقة فقط يُمكن لعلم الميروتوبولوجيا تعريف نقطة بشكل لا لبس فيه .

• ج انعكاسي . ج .1 .

ج1.${\displaystyle \ Cxx.}$

• ج متناظر . ج .2 .

ج2.${\displaystyle Cxy\rightarrow Cyx.}$

• ج امتدادي . ج .11 .

ج3.${\displaystyle \forall z[Czx\leftrightarrow Czy]\rightarrow x=y.}$

• جميع المناطق لها أجزاء مناسبة، لذا فإن نظرية C هي نظرية لا ذرية . ص 9.

ج4.${\displaystyle \exists y[y<x].}$

• إذا افترضنا وجود منطقتين، فهناك منطقة متصلة بكلتيهما.

ج5.${\displaystyle \exists z[Czx\land Czy].}$

• تحتوي جميع المناطق على جزأين غير متصلين على الأقل. ج.14.

ج6.${\displaystyle \exists y\exists z[(y\leq x)\land (z\leq x)\land \neg Cyz].}$

نموذج C هو فضاء اتصال .

يلي الوصف اللفظي لكل بديهية مُعرِّف البديهية المقابلة لها في كاساتي وفارزي (1999). يتألف نظامهما SMT ( الطوبولوجيا الميروتوبولوجية القوية ) من البديهيات C1-C3 ، وهو في الأساس من ابتكار كلارك (1981). ^{[ 13 ]} يمكن جعل أي طوبولوجيا ميروتوبولوجية خالية من الذرات باستخدام البديهية C4 ، دون الوقوع في مفارقة أو تفاهتها. ومن ثم، تُوسِّع البديهية C الصيغة الخالية من الذرات لنظام SMT باستخدام البديهيتين C5 و C6 ، كما ورد في الفصل الثاني من الجزء الرابع من كتاب " العملية والواقع" . ^{[ 14 ]}

أظهر بياشينو وجيرلا (1991) أن كل نموذج من نماذج نظرية كلارك هو جبر بولياني ، وأن نماذج هذه الجبر لا تستطيع التمييز بين الاتصال والتداخل. ومن المشكوك فيه ما إذا كانت أي من هاتين الحقيقتين تتوافق مع قصد وايتهيد.

• طوبولوجيا لا طائل منها

• Biacino L. و Gerla G.، 1991، " هياكل الاتصال "، مجلة نوتردام للمنطق الرسمي 32: 242-47.
• كاساتي، ر.، وفارزي، أ.س.، 1999. الأجزاء والأماكن: هياكل التمثيل المكاني . مطبعة معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا.
• كلارك، بومان، 1981، " حساب الأفراد على أساس "الترابط "، مجلة نوتردام للمنطق الرسمي 22 : 204-18.
• ------, 1985, " الأفراد والنقاط "، مجلة نوتردام للمنطق الصوري 26 : 61-75.
• دي لاجونا، تي، 1922، "النقطة والخط والسطح كمجموعات من المواد الصلبة"، مجلة الفلسفة 19 : 449-61.
• جيرلا، جي، 1995، " الهندسات عديمة الجدوى " في بوكينهوت، إف، كانتور، دبليو، محرران، دليل هندسة السقوط: المباني والأساسات . نورث هولاند: 1015-31.
• --------، وميراندا أ.، 2008، " الشمول والترابط في هندسة وايتهيد الخالية من النقاط "، في ميشيل ويبر وويل ديزموند، (محرران)، دليل فكر وايتهيد العملي ، فرانكفورت / لانكستر، أونتس فيرلاغ، فكر العملية X1 و X2.
• غروشينسكي ر.، وبيتروسزاك أ.، 2008، " التطوير الكامل لهندسة تارسكي للمواد الصلبة "، نشرة المنطق الرمزي 14: 481-540. تتضمن هذه الورقة عرضًا لنظام هندسي خالٍ من النقاط، مستمد من أفكار وايتهيد ومبني على علم الأجزاء لـ ليسنيفسكي. كما تناقش بإيجاز العلاقة بين الأنظمة الهندسية الخالية من النقاط والأنظمة الهندسية القائمة على النقاط. وتُقدم أيضًا الخصائص الأساسية للبنى الميرولوجية.
• Grzegorczyk, A., 1960, "Axiomatizability of geometry without points,” Synthese 12 : 228-235.
• Kneebone, G., 1963. المنطق الرياضي وأساس الرياضيات . طبعة دوفر المعاد طباعتها، 2001.
• لوكاس، جيه آر ، 2000. الجذور المفاهيمية للرياضيات . روتليدج. الفصل 10، حول "الطوبولوجيا الأولية"، يناقش أنظمة وايتهيد ويتأثر بشدة بكتابات ديفيد بوستوك غير المنشورة .
• روبر، ب.، 1997، "الطوبولوجيا القائمة على المنطقة"، مجلة المنطق الفلسفي 26 : 251-309.
• سيمونز، ب.، 1987. الأجزاء: دراسة في علم الوجود . مطبعة جامعة أكسفورد.
• وايتهيد، آن ، 1916، "La Theorie Relationiste de l'Espace،" Revue de Metaphysique et de Morale 23 : 423-454. تمت ترجمته باسم هيرلي، بي جيه، 1979، "النظرية العلائقية للفضاء"، أرشيف أبحاث الفلسفة 5 : 712-741.
• --------, 1919. بحث في مبادئ المعرفة الطبيعية . مطبعة جامعة كامبريدج. الطبعة الثانية، 1925.
• --------, 1920. مفهوم الطبيعة . مطبعة جامعة كامبريدج. 2004 غلاف ورقي، كتب بروميثيوس. وهي محاضرات تارنر لعام 1919 التي ألقيت في كلية ترينيتي .
• --------, 1979 (1929). العملية والواقع . دار النشر الحرة.