يوبانا

أولهم كان غوامان بوما دي أيالا حوالي عام 1615 الذي كتب:

... إنهم يعدّون باستخدام جداول مرقمة بزيادات من مئة ألف إلى عشرة آلاف، ومن مئة إلى عشرة، وهكذا حتى يصلوا إلى واحد. ويسجلون كل ما يحدث في هذه المملكة: الأعياد وأيام الأحد، والشهور والسنوات. ويوجد المحاسبون وأمناء الخزائن في كل مدينة وبلدة وقرية محلية...

بالإضافة إلى تقديم هذا الوصف الموجز، رسم بوما دي أيالا صورة لليوبانا: وهي لوحة مكونة من خمسة صفوف وأربعة أعمدة، تحتوي كل خلية منها على سلسلة من الدوائر السوداء والبيضاء.

قبل كتابات بومو دي أيالا، كتب الأب اليسوعي خوسيه دي أكوستا عام 1596:

... حسنًا، إن رؤية مجموعة أخرى تستخدم حبوب الذرة أمرٌ ساحر، كحسابٍ مُحرجٍ للغاية، سيُكلف محاسبًا بارعًا بإعداده يدويًا، ليرى كيف تتناسب كل مساهمة مع هذا العدد الكبير من الناس، يأخذون هذا القدر من هنا ويضيفون هذا القدر من هنا، مع مئة قطعة صغيرة أخرى. سيأخذ هؤلاء الهنود حبوبهم ويضعون واحدة هنا، وثلاثًا هناك، وثمانيًا لا أدري أين؛ سينقلون حبة من هنا، ويقايضون بثلاث من هناك، وفي الواقع، يغادرون وقد أنجزوا حسابهم بدقة متناهية دون أي خطأ، بل إنهم يعرفون كيف يُدرجون في الحساب ما يمكن لكل فرد دفعه أو تقديمه، وسنعرف كيف نعطي كل واحد منهم كما هو مُحدد يدويًا. إذا لم يكن هذا إبداعًا وهؤلاء الرجال وحوشًا، فليحكم من يشاء، لأن ما أراه صحيحًا هو أنهم في ما يطبقونه يُقدمون لنا فوائد عظيمة.

في عام 1841، كتب الأب خوان دي فيلاسكو :

... كان هؤلاء المعلمون يستخدمون ما يشبه سلسلة من الصواني المصنوعة من الخشب أو الحجر أو الطين، ذات فواصل مختلفة، حيث كانوا يضعون فيها أحجاراً بأشكال وألوان وزوايا مختلفة...

عُثر على أقدم مثال معروف لطاولة يوبانا عام 1869 في تشوردليغ ، مقاطعة أزواي ، الإكوادور . وهي طاولة مستطيلة (33 × 27 سم) مصنوعة من الخشب ، تتكون من 17 قسمًا، 14 منها مربعة ، واثنان مستطيلان ، وواحد مثمن . يحتوي جانبان من الطاولة على أقسام مربعة أخرى (12 × 12 سم) مرتفعة ومرتبة جنبًا إلى جنب، يعلوها منصتان مربعتان (7 × 7 سم). تُسمى هذه الهياكل "أبراجًا". أقسام الطاولة متناظرة بالنسبة لقطر الأقسام المستطيلة. كما نُقشت على جوانب الطاولة الأربعة صور لرؤوس بشرية وتمساح . ^{[ 2 ]} نتيجة لهذا الاكتشاف، أجرى تشارلز وينر دراسة منهجية لهذه الأشياء في عام 1877. وخلص وينر إلى أن طاولات اليوباناس كانت تُستخدم لحساب الضرائب التي كان يدفعها المزارعون لإمبراطورية الإنكا. ^{[ 6 ]}

تم العثور على هذه الطاولة (يوبانا) في كاراز بين عامي 1878 و1879، وهي تختلف عن تلك الموجودة في تشوردليغ من حيث أن مادة البناء هي الحجر ، وتم استبدال الحجرة المركزية المثمنة بحجرة مستطيلة؛ كما أن الأبراج تحتوي على ثلاثة أرفف بدلاً من اثنين. ^{[ 2 ]}

وصف إرلاند نوردنسكيولد في عام 1931 سلسلة من طاولات اليوبانا تختلف اختلافًا كبيرًا عن الأولى. تتميز هذه اليوبانا، المصنوعة من الحجر، بسلسلة من المقصورات المستطيلة والمربعة. يحتوي البرج على مقصورتين مستطيلتين. رُتبت المقصورات بشكل متناظر بالنسبة لمحور الجانب الأصغر من الطاولة. ^{[ 2 ]}

تتكون هذه اليوبانا، المبنية من الحجر، من 18 حجرة مثلثة. يوجد على أحد جوانبها برج مستطيل الشكل ذو مستوى واحد وثلاث حجرات مثلثة. وفي الجزء الأوسط توجد أربع حجرات مربعة. ^{[ 2 ]}

تم العثور على طاولة اليوبانا هذه، المطابقة لطاولة اليوبانا الخاصة بـ Chordeleg، من حيث المادة وترتيب الأقسام، في مجمع Chan Chan الأثري في بيرو عام 1967. ^{[ 2 ]}

عُثر على هاتين المائدتين (يوبانا) المصنوعتين من الطين والعظم في مقاطعة بيسكو البيروفية . الأولى مستطيلة الشكل (47 × 32 سم؛ 18.5 × 12.5 بوصة)، وتحتوي على 22 قسمًا مربعًا (5 × 5 سم؛ 2 × 2 بوصة) وثلاثة أقسام مستطيلة (16 × 18 سم؛ 6.25 × 7 بوصة)، وهي خالية من الأبراج. أما الثانية فهي مستطيلة الشكل (32 × 23 سم؛ 12.5 × 9 بوصة)، وتحتوي على 22 قسمًا مربعًا، وقسمين على شكل حرف L، وثلاثة أقسام مستطيلة في المنتصف. وتترتب الأقسام بشكل متناظر حول محور الضلع الأطول. ^{[ 2 ]}

• 
  الشكل أ - بنية طاولة "تشوردليغ" (يوبانا). التلوين لتمييز الأقسام.
• 
  الشكل ب - تحديد لون نمطي
• 
  الشكل ج - توكابو مفهرسة بواسطة فيكتوريا دي لا جارا
• 
  الشكل د - نمط توكابو، وهو نمط مُحتمل مُستوحى من النمط السابق
• 
  الشكل E - توكابو يسمى "llave inca"، مفتاح الإنكا

اكتُشفت هذه اليوبانا في شمال الإكوادور على يد ماكس أوهل عام ١٩٢٢، وهي مصنوعة من الحجر، ورُسمت أقسامها على سطح اللوح. تتخذ اليوبانا شكل هرم يتكون من عشرة مستطيلات متداخلة: أربعة في المستوى الأول، وثلاثة في الثاني، واثنان في الثالث، وواحد في الرابع. تُعد هذه اليوبانا الأقرب إلى الرسم الذي وضعه بوما دي أيالا في نويفا كورونيكا، مع أنها تحتوي على عدد أقل من الخطوط، ورسمها جزئي. ^{[ ٢ ]}

يقدم سي. فلوريو دراسة ^{[ 7 ]} لا تُحدد وجود يوبانا في هذه الاكتشافات الأثرية، بل قطعة أثرية نُسي اسمها ولا يزال مجهولاً. وبدلاً من ذلك، تُستخدم هذه القطعة لربطها برمز توكابو (وهو رمز تصويري استخدمته حضارات ما قبل الإنكا) المسمى "لافي إنكا" (أي مفتاح الإنكا) بفلسفة يانانتين-ماسينتين . ويبرر الباحث ذلك استنادًا إلى غياب أدلة موضوعية تُقر بأن هذه القطعة يوبانا، وهو اعتقاد ترسخ على مر السنين دون تكرار أو إثبات لهذه الفرضية، وذلك من خلال ربط البيانات من وثائق ميتشينيلي ورمز توكابو الذي صنفته فيكتوريا دي لا خارا.

بافتراض تلوين الأقسام المختلفة لطاولة اليوبانا (الشكل أ)، تُحدد سي. فلوريو رسمًا (الشكل ب) يُشبه إلى حد كبير توكابو موجودًا (الشكل ج) مُفهرسًا من قِبل فيكتوريا دي لا خارا. إضافةً إلى ذلك، في التوكابو المذكور في الشكل د، والمُفهرس أيضًا من قِبل فيكتوريا دي لا خارا، تُحدد فلوريو نمطًا مُنمقًا للتوكابو ج ونقطة انطلاق لإنشاء توكابو "مفتاح الإنكا". وتجد أن العلاقة بين طاولة اليوبانا ومفتاح الإنكا مُتشابهة أيضًا في ارتباطهما بمفهوم الازدواجية: فبنية طاولة اليوبانا ثنائية بوضوح، ويصف بلاس فاليرا في "Exsul Immeritus Blas Valera populo suo" (إحدى وثيقتي ميتشينيلي) توكابو "مفتاح الإنكا" بأنه يُمثل مفهوم "القوى المُعاكسة" و"الرقم 2"، وكلاهما مُرتبط ارتباطًا وثيقًا بمفهوم الازدواجية. ^{[ 8 ]}

بحسب سي. فلوريو، فإن اليوبانا الحقيقية التي استخدمها الإنكا هي يوبانا غوامان بوما، ولكن بعدد أكبر من الأعمدة والصفوف. وكانت يوبانا بوما دي أيالا تمثل الجزء من اليوبانا المستخدم لإجراء عملية حسابية محددة، والتي حددها فلوريو بأنها عملية الضرب (انظر أدناه).

في عام 1931، درس هنري واسين لوحة يوبانا بوما دي أيالا، مقترحًا لأول مرة تمثيلًا محتملاً للأرقام على اللوحة وعمليات الجمع والضرب . فسر الدوائر البيضاء على أنها فجوات محفورة في اليوبانا تُوضع فيها البذور التي وصفها المؤرخون: لذا فإن الدوائر البيضاء تُقابل الفجوات الفارغة، بينما تُقابل الدوائر السوداء نفس الفجوات المملوءة ببذور سوداء. ^{[ 2 ]}

كان نظام الترقيم في قاعدة اليوبانا عبارة عن تدوين موضعي في الأساس 10 (تماشيا مع كتابات مؤرخي الهند).

ثم اتبع تمثيل الأرقام تسلسلًا رأسيًا بحيث تم وضع الأرقام من 1 إلى 9 في الصف الأول من الأسفل، والصف الثاني يحتوي على العشرات، والثالث يحتوي على المئات، وهكذا.

اقترح واسن تسلسلًا لقيم البذور يعتمد على موقعها في الجدول: 1، 5، 15، 30، على التوالي، وذلك بحسب البذور التي تشغل فراغًا في الأعمدة الأول والثاني والثالث والرابع (انظر الجدول أدناه). لا يمكن تضمين أكثر من خمس بذور في خانة تابعة للعمود الأول، بحيث تكون القيمة القصوى لتلك الخانة 5 مضروبة في قوة الصف المقابل. يمكن استبدال هذه البذور ببذرة واحدة من العمود التالي، وهو أمر مفيد أثناء العمليات الحسابية. وبناءً على نظرية واسن، تُجرى عمليات الجمع والضرب أفقيًا.

تعرضت هذه النظرية للكثير من الانتقادات بسبب التعقيد الكبير للحسابات، ولذلك اعتبرت غير كافية وسرعان ما تم التخلي عنها.

يوضح الجدول التالي الرقم 13457 كما سيظهر على يوبانا واسن:

كان هذا التفسير الأول لكتاب "بوما دي أيالا يوبانا" نقطة انطلاق النظريات التي طورها مؤلفون لاحقون، وصولاً إلى الكتابة الحديثة. ولم يتخلَّ أي باحث عن نظام الترقيم الموضعي حتى عام 2008.

كان إميليو مينديزابال أول من اقترح عام 1976 أن الإنكا استخدموا تمثيلاً قائماً على التسلسل 1، 2، 3، 5 بالإضافة إلى التمثيل العشري. ^{[ 9 ]} وفي المنشور نفسه، أشار مينديزابال إلى أن سلسلة الأرقام 1، 2، 3، و5 تظهر في رسم بوما دي أيالا، وهي جزء من متتالية فيبوناتشي ، وشدد على أهمية "السحر" الذي يحمله الرقم 5 لحضارات شمال بيرو ، والذي يُشابه في دلالته الرقم 8 لحضارات جنوب بيرو . ^{[ 2 ]}

في عام ١٩٧٩، أكد كارلوس راديكاتي دي بريميجليو على اختلاف جدول يوبانا عن جدول بوما دي أيالا، واصفًا أحدث الأبحاث والنظريات المتقدمة حتى ذلك الحين. كما اقترح خوارزميات لحساب العمليات الحسابية الأساسية الأربع لجدول بوما دي أيالا، وفقًا لتفسير جديد يسمح بوضع ما يصل إلى تسع بذور في كل مربع مع تدرج رأسي لقوى العدد عشرة. ^{[ ٢ ]} ربط راديكاتي كل فراغ بالقيمة ١.

يوضح الجدول التالي الرقم 13457 كما سيظهر على يوبانا راديكاتي:

في عام 1981، اقترح مهندس النسيج الإنجليزي ويليام بيرنز جلين حلاً موضعياً أساسه 10 لـ yupana لبوما دي أيالا. ^{[ 10 ]}

تبنى غلين، بصفته راديكاتي، فكرة واسن عن الفجوات الكاملة والفارغة، بالإضافة إلى التدرج الرأسي لقوى العشرة، لكنه اقترح بنية تسمح لمستخدمي يوبانا بتبسيط العمليات الحسابية نفسها بشكل كبير.

يكون التدرج الأفقي لقيم البذور في هذا التمثيل هو 1، 1، 1 للأعمدة الثلاثة الأولى، بحيث يمكن وضع عشر بذور كحد أقصى في كل صف (5 + 3 + 2 بذرة). وتقابل عشر بذور في أي صف بذرة واحدة في الصف الذي يسبقه.

يُخصَّص العمود الأخير في يوبانا غلين لـ"الذاكرة " ، وهو مكانٌ يتسع لعشر بذور قبل نقلها إلى السطر العلوي. ووفقًا للمؤلف، يُعدّ هذا مفيدًا جدًا أثناء العمليات الحسابية لتقليل احتمالية الخطأ.

تم اعتماد حل غلين في العديد من المشاريع التعليمية حول العالم، وحتى اليوم لا تزال بعض متغيراته تُستخدم في بعض مدارس أمريكا الجنوبية . ^{[ 11 ] [ 12 ]}

يوضح الجدول التالي الرقم 13457 كما سيظهر على يوبانا غلين:

في عام 2001، اقترح المهندس الإيطالي نيكولينو دي باسكوالي حلاً موضعياً في الأساس 40 لـ Poma de Ayala yupana، آخذاً نظرية تمثيل فيبوناتشي التي اقترحها إميليو مينديزابال بالفعل ومطوراً إياها للعمليات الأربع.

تعتمد يوبانا دي باسكوالي أيضًا على التدرج الرأسي لتمثيل الأعداد بقوى العدد 40. ويستند تمثيل الأعداد على حقيقة أن مجموع قيم الدوائر في كل صف يساوي 39، إذا كانت قيمة كل دائرة 5 في العمود الأول، و3 في العمود الثاني، و2 في الثالث، و1 في الرابع؛ وبالتالي، من الممكن تمثيل 39 عددًا، متحدة مع عنصر محايد ( صفر أو "لا توجد بذور" في الجدول)؛ وهذا يشكل أساس 40 رمزًا ضروريًا لنظام الترقيم. ^{[ 13 ]}

يوضح الجدول التالي أحد التمثيلات الممكنة للرقم 13457 في يوبانا دي باسكوالي:

أثارت نظرية دي باسكوالي، بعد نشرها، جدلاً واسعاً بين الباحثين الذين انقسموا إلى مجموعتين رئيسيتين: مجموعة تدعم نظرية الأساس 10، وأخرى تدعم نظرية الأساس 40. وأشارت السجلات الإسبانية التي تناولت غزو الأمريكتين إلى أن الإنكا استخدموا نظاماً عشرياً، ومنذ عام 2003، تم اقتراح نظرية الأساس 10 كأساس للحساب باستخدام كل من المعداد والكيبو . ^{[ 14 ]}

اقترح دي باسكوالي مؤخرًا استخدام نظام يوبانا كتقويم فلكي يعمل بنظام أساس مختلط 36/40 ^{[ 15 ]} ، وقدم تفسيره الخاص لكلمة هونو في لغة الكيتشوا ، مترجمًا إياها إلى "0.1". ^{[ 16 ]} يختلف هذا التفسير عن جميع مؤرخي جزر الهند، وخاصة دومينغو دي سانتو توماس ^{[ 1 ]} الذي ترجم كلمة هونو عام 1560 إلى تشونغا غوارانغا (عشرة آلاف).

في عام 2008، اقترحت سينزيا فلوريو منهجًا بديلًا وثوريًا مقارنةً بجميع النظريات المطروحة حتى ذلك الحين. انحرفت نظرية فلوريو الجديدة عن نظام الترقيم الموضعي، واعتمدت الترميز الجمعي، أو ترميز الإشارة والقيمة . ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 19 ]}

بالاعتماد بشكل حصري على تصميم بوما دي أيالا، شرح فلوريو ترتيب الدوائر البيضاء والسوداء وفسر استخدام اليوبانا كلوحة لحساب عمليات الضرب ، حيث يتم تمثيل المضروب في العمود الأيمن، والمضروب في العمودين المركزيين، والناتج في العمود الأيسر، كما هو موضح في الجدول التالي:

تختلف هذه النظرية عن جميع النظريات السابقة في عدة جوانب: أولاً، لن تكون الدوائر البيضاء والسوداء فراغات يمكن ملؤها بالبذرة، بل هي ألوان مختلفة من البذور، تمثل على التوالي العشرات والآحاد (وذلك وفقًا للمؤرخ خوان دي فيلاسكو). ^{[ 5 ]}

ثانيًا، يتم إدخال المضروب في العمود الأول مع مراعاة تدوين الإشارة والقيمة: لذلك، يمكن إدخال البذور بأي ترتيب ويتم تحديد الرقم من خلال مجموع قيم هذه البذور.

يتم تمثيل المضاعف كمجموع عاملين، لأن إجراء الحصول على الناتج يعتمد على خاصية التوزيع للضرب على الجمع .

بحسب فلوريو، فإن جدول الضرب الذي رسمه بوما دي أيالا مع توفير البذور يمثل العملية الحسابية: 32 × 5، حيث يتم تحليل المضاعف 5 إلى 3 + 2. سيكون تسلسل الأرقام 1، 2، 3، 5 سببيًا ، مشروطًا بالعملية الحسابية التي تم إجراؤها وغير مرتبط بمتتالية فيبوناتشي.

المفتاح: ◦ = ١٠؛ • = ١؛ العملية المُمثلة هي: ٣٢ × ٥ = ٣٢ × (٢ + ٣) = (٣٢ × ٢) + (٣٢ × ٣) = ٦٤ + ٩٦ = ١٦٠

الأرقام الممثلة في الأعمدة هي، من اليسار إلى اليمين:

• 32 (المضروب)،
• 64 = 32 × 2 و 32 × 3 = 96 (والتي تشكل معًا المضروب، مضروبًا في العاملين اللذين تم تقسيم المضاعف إليهما).
• 151 (المنتج)

الرقم الأخير في هذه العملية الحسابية (وهو غير صحيح) هو أساس جميع الانتقادات الممكنة لهذا التفسير، لأن 160، وليس 151، هو مجموع 96 و64. مع ذلك، يشير فلوريو إلى أن الخطأ قد يكون من جانب بوما دي أيالا في الرسم الأصلي، حيث صمم مساحةً ما على أنها مشغولة بدائرة سوداء بدلًا من بيضاء. في هذه الحالة، تغيير دائرة سوداء واحدة فقط إلى دائرة بيضاء في العمود الأخير يعطينا الرقم 160، وهو الناتج الصحيح.

لا يمكن لـ"يوبانا" بوما دي أيالا تمثيل جميع المضروبات، لذا يلزم توسيعها عموديًا (بإضافة صفوف) لتمثيل الأعداد التي يزيد مجموع أرقامها عن 5. وينطبق الأمر نفسه على المضروبات: لتمثيل جميع الأعداد، يلزم زيادة عدد الأعمدة. وبغض النظر عن الحساب الخاطئ المفترض (أو التمثيل الخاطئ من قِبل المصمم)، تُعد هذه النظرية الوحيدة التي تُحدد في "يوبانا" بوما دي أيالا رسالة رياضية متسقة (الضرب) وليست سلسلة من الأرقام العشوائية كما في التفسيرات الأخرى.

في أكتوبر 2010، قام الباحث البيروفي أندريس تشيرينوس، بدعم من الوكالة الإسبانية للتعاون الإنمائي الدولي (ACEID) ، بمراجعة الرسومات والأوصاف القديمة التي وثّقها بوما دي أيالا، وقدّم تحليلاً جديداً لاستخدام اليوبانا: وهي عبارة عن طاولة ذات أحد عشر ثقباً أطلق عليها تشيرينوس اسم "آلة حاسبة ما قبل كولومبوس"، قادرة على الجمع والطرح والقسمة والضرب، مما جعله يأمل في تطبيق هذه المعلومات على دراسة كيفية استخدام الكيبو ووظائفها. ^{[ 20 ]}

• (بالإسبانية) بوما دي أيالا - إل بريمير نويفا كورونيكا إي بوين جوبيرنو
• (بالإسبانية) خوسيه دي أكوستا - التاريخ الطبيعي والأخلاقي في لاس إندياس
• (بالإسبانية) فيلاسكو - هيستوريا ديل رينو دي كيتو ديل أمريكا ديل سور

• (بالإسبانية) Radicati di Primeglio - El sistema contable de los Incas: Yupana y Quipu أرشفة 2016-06-07 في آلة Wayback.

• (بالإسبانية) Mora & Valero - La Yupana تأتي كأداة تعليمية لجميع العناصر
• ليونارد وشاكيبان - عداد الإنكا ( مؤرشف بتاريخ 4 ديسمبر 2013 في أرشيف الإنترنت)
• (باللغة الإيطالية) فيورنتينو - La yupana elettronica: uno strumento per la didattica interculturelle della matematica أرشفة 2013-12-15 في آلة Wayback.

• (باللغة الإيطالية) جامعة بوكوني دي ميلانو - La Matematica nelle Civiltà pre-colombiane
• (باللغة الإنجليزية) نظام العد عند الإنكا سهل كـ 1، 2، 3، 5 - بقلم روسيلا لورينزي
• (باللغة الإيطالية) Notizie sulla numerazione Inca e sulla yupana أرشفة 2009-10-26 في آلة Wayback.
• (باللغة الإيطالية) Un italiano scopre l'enigma della matematica inca
• (باللغة الإيطالية) Il Sole 24 Ore Domenica 10 Novembre 2002 – N. 308 – Pagina 35 – di Antonio Aimi – SCIENZA E FILOSOFIA Matematica precolombiana Scoperto il metodo di calcolo degli Inca أرشفة 2006-05-10 في آلة Wayback.
• (باللغة الإيطالية) L'unione Sarda - I numeri della natura nella scacchiera degli Inca - di Andrea Mameli
• (باللغة الإنجليزية) "لعبة غوامان بوما، بقلم ن. دي باسكوالي، د. دي أوتافيو

• (in Italian)Florio - Incontri e disincontri nella individuazione di una relazione matematica nella yupana in Guaman Poma de AyalaArchived 2013-12-15 at the Wayback Machine
• (in Spanish)Florio - Encuentros y Desencuentros en la identificación de unarelación matemática en la yupana de Guaman Poma de Ayala
• (in English)Florio & Overmann - Inka Numbers, ‘’Khipu’’, and ‘’Yupana’’: A Reanalysis
• (in English)Florio - The Mathematical Enigma of Guamán Poma’s Yupana: A Hundred Years' Riddle