الزخم الرباعي

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 64 صور
الموسوعة الحرة

في النسبية الخاصة ، يُعدّ الزخم الرباعي (ويُسمى أيضًا زخم-طاقة أو طاقة الزخم [ 1 ] ) تعميمًا للزخم الكلاسيكي ثلاثي الأبعاد إلى الزمكان رباعي الأبعاد . الزخم متجه في ثلاثة أبعاد ؛ وبالمثل، فإن الزخم الرباعي متجه رباعي في الزمكان . الزخم الرباعي المتغاير لجسيم ذي طاقة نسبية E وزخم ثلاثي p = ( pₓ , pᵧ , p₂ ) = γmₓv ، حيث v هي سرعة الجسيم الثلاثية و γ هو عامل لورنتز ، هو ص=(ص0،ص1،ص2،ص3)=(هـج،صx،صy،صz).{\displaystyle p=\left(p^{0},p^{1},p^{2},p^{3}\right)=\left({\frac {E}{c}},p_{x},p_{y},p_{z}\right).}

الكمية m v المذكورة أعلاه هي الزخم غير النسبي العادي للجسيم، و m كتلته السكونية . يُعدّ الزخم الرباعي مفيدًا في الحسابات النسبية لأنه متجه متغاير لورنتز . وهذا يعني أنه من السهل تتبع كيفية تحوّله تحت تحويلات لورنتز .

معيار مينكوفسكي

إن حساب مربع معيار مينكوفسكي للزخم الرباعي يعطي كمية ثابتة لورنتز تساوي (حتى عوامل سرعة الضوء c ) مربع الكتلة الذاتية للجسيم :

ص⋅ص=ημνصμصν=صνصν=-هـ2ج2+|ص|2=-م2ج2{\displaystyle p\cdot p=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }p^{\nu }=p_{\nu }p^{\nu }=-{E^{2} \over c^{2}}+|\mathbf {p} |^{2}=-m^{2}c^{2}}حيث تشير الدلائل التالية إلى:

ص{\textstyle p}، متجه الزخم الرباعي للجسيم،

ص⋅ص{\textstyle p\cdot p}، وهو الناتج الداخلي لمينكوفسكي للزخم الرباعي مع نفسه،

صμ{\textstyle p^{\mu }}وصν{\textstyle p^{\nu }}، المكونات المتغايرة لمتجه الزخم الرباعي،

صν{\textstyle p_{\nu }}، الصيغة المتغيرة،

هـ{\textstyle E}، طاقة الجسيم،

ج{\textstyle c}، بسرعة الضوء،

|ص|{\textstyle |\mathbf {p} |}، مقدار متجه الزخم الرباعي،

م{\textstyle m}، الكتلة الثابتة (السكونية) للجسيم،

وημν=(-1000010000100001){\displaystyle \eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}يمثل موتر القياس في النسبية الخاصة ، وقد اختيرت إشارة القياس الخاصة به لتكون (–1, 1, 1, 1) دلالةً على التحديد . تعكس سلبية المعيار أن الزخم عبارة عن متجه رباعي زمني للجسيمات ذات الكتلة. سيؤدي اختيار إشارة أخرى إلى عكس الإشارات في بعض الصيغ (كما هو الحال بالنسبة للمعيار هنا). هذا الاختيار ليس مهمًا، ولكن بمجرد اتخاذه، يجب الالتزام به حفاظًا على الاتساق.

معيار مينكوفسكي ثابت تحت تحويلات لورنتز، أي أن قيمته لا تتغير بتحويلات لورنتز أو عند نقلها إلى أطر مرجعية مختلفة. وبشكل أعم، لأي كميتين رباعيتي الزخم p و q ، فإن المقدار p ⋅ q ثابت.

العلاقة بالسرعة الرباعية

بالنسبة للجسيم ذي الكتلة، يُعطى الزخم الرباعي بضرب كتلة الجسيم الثابتة m في سرعة الجسيم الرباعية . صμ=مuμ،{\displaystyle p^{\mu }=mu^{\mu },} حيث السرعة الرباعية u هيu=(u0،u1،u2،u3)=γv(ج،vx،vy،vz)،{\displaystyle u=\left(u^{0},u^{1},u^{2},u^{3}\right)=\gamma _{v}\left(c,v_{x},v_{y},v_{z}\right),}وγv:=11-v2ج2{\displaystyle \gamma _{v}:={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}هو عامل لورنتز (المرتبط بالسرعة)v{\displaystyle v})، c هي سرعة الضوء .

الاشتقاق

توجد عدة طرق للوصول إلى الصيغة الصحيحة للزخم الرباعي. إحدى هذه الطرق هي تعريف السرعة الرباعية u = dx / dτ أولاً ، ثم تعريف p = mu ببساطة ، مع الاكتفاء بأنها متجه رباعي ذو وحدات وسلوك صحيحين. وهناك طريقة أخرى أكثر إرضاءً، وهي البدء بمبدأ الفعل الأدنى واستخدام إطار لاغرانج لاستنتاج الزخم الرباعي، بما في ذلك صيغة الطاقة. [ 2 ] يمكن تعريف الزخم الرباعي مباشرةً من الفعل S باستخدام الملاحظات المفصلة أدناه. وبالنظر إلى أنه بشكل عام ، بالنسبة لنظام مغلق ذي إحداثيات معممة qᵢ وزخم قانوني pᵢ ، [ 3 ]صأنا=∂S∂qأنا=∂S∂xأنا،هـ=-∂S∂ت=-ج⋅∂S∂x0،{\displaystyle p_{i}={\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}={\frac {\partial S}{\partial x_{i}}},\quad E=-{\frac {\partial S}{\partial t}}=-c\cdot {\frac {\partial S}{\partial x^{0}}},}يتضح ذلك فورًا (بالرجوع إلى x 0 = ct ، x 1 = x ، x 2 = y ، x 3 = z و x 0 = − x 0 ، x 1 = x 1 ، x 2 = x 2 ، x 3 = x 3 في النظام المتري الحالي) أنصμ=∂S∂xμ=(-هـج،ص){\displaystyle p_{\mu }={\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}=\left(-{E \over c},\mathbf {p} \right)} هو متجه رباعي متغاير، حيث يمثل الجزء الثلاثي المتجه الزخم الكنسي.

ملاحظات

لنفترض مبدئيًا نظامًا ذا درجة حرية واحدة q . عند اشتقاق معادلات الحركة من الفعل باستخدام مبدأ هاميلتون ، نجد (عمومًا) في مرحلة وسيطة لتغير الفعل ، دلتاS=[∂ل∂q˙دلتاq]|ت1ت2+∫ت1ت2(∂ل∂q-ددت∂ل∂q˙)دلتاqدت.{\displaystyle \delta S=\left.\left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\delta q\right]\right|_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\left({\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)\delta qdt.}

يفترض هذا أن المسارات المختلفة تحقق المعادلة δq ( t1 ) = δq ( t2 ) = 0 ، ومنها تُستنتج معادلات لاغرانج مباشرةً. عندما تكون معادلات الحركة معروفة (أو يُفترض ببساطة أنها مُحققة)، يمكن الاستغناء عن الشرط δq ( t2 ) = 0. في هذه الحالة ، يُفترض أن المسار يحقق معادلات الحركة، ويكون الفعل دالةً للحد الأعلى للتكامل δq ( t2 ) ، بينما يظل t2 ثابتًا. تصبح المعادلة السابقة ، مع S = S ( q ) ، وتعريف δq ( t2 ) = δq ، وإدخال المزيد من درجات الحرية، دلتاS=∑أنا∂ل∂q˙أنادلتاqأنا=∑أناصأنادلتاqأنا.{\displaystyle \delta S=\sum _{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}\delta q_{i}=\sum _{i}p_{i}\delta q_{i}.}

ملاحظة أن دلتاS=∑أنا∂S∂qأنادلتاqأنا،{\displaystyle \delta S=\sum _{i}{\frac {\partial S}{\partial {q}_{i}}}\delta q_{i},} يستنتج المرء صأنا=∂S∂qأنا.{\displaystyle p_{i}={\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}.}

وبالمثل، حافظ على ثبات نقاط النهاية، ولكن دع t2 = t يتغير. هذه المرة، يُسمح للنظام بالتحرك عبر فضاء التكوين بسرعة "اختيارية" أو بطاقة "أكثر أو أقل"، مع افتراض استمرار صحة معادلات المجال ، ويمكن إجراء تغييرات على التكامل، ولكن بدلاً من ذلك راقب دSدت=ل{\displaystyle {\frac {dS}{dt}}=L} باستخدام النظرية الأساسية للتفاضل والتكامل ، احسب باستخدام التعبير أعلاه للزخم الكنسي. دSدت=∂S∂ت+∑أنا∂S∂qأناq˙أنا=∂S∂ت+∑أناصأناq˙أنا=ل.{\displaystyle {\frac {dS}{dt}}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum _{i}{\frac {\partial S}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}={\frac {\partial S}{\partial t}}+\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}=L.}

الآن قيد الاستخدام ح=∑أناصأناq˙أنا-ل،{\displaystyle H=\sum _{i}p_{i}{\dot {q}}_{i}-L,} حيث H هو الهاميلتوني ، مما يؤدي إلى، بما أن E = H في هذه الحالة، هـ=ح=-∂S∂ت.{\displaystyle E=H=-{\frac {\partial S}{\partial t}}.}

وبالمناسبة، باستخدام H = H ( q , p , t ) مع p = ⁠ ∂ S / ∂ q ⁠ في المعادلة أعلاه، نحصل على معادلات هاميلتون-جاكوبي . في هذا السياق، تُسمى S دالة هاميلتون الرئيسية .

يُعطى الفعل S بواسطةS=-مج∫دs=∫لدت،ل=-مج21-v2ج2،{\displaystyle S=-mc\int ds=\int Ldt,\quad L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}},} حيث L هي لاغرانجيان النسبية لجسيم حر. ومن هذا،

مع التغاضي عن هذه التفاصيل،

يتمثل تنوع الفعل في دلتاS=-مج∫دلتادs.{\displaystyle \delta S=-mc\int \delta ds.}

لحساب δds ، لاحظ أولاً أن δds 2 = 2 dsδds وأن دلتادs2=دلتاημνدxμدxν=ημν(دلتا(دxμ)دxν+دxμدلتا(دxν))=2ημνدلتا(دxμ)دxν.{\displaystyle \delta ds^{2}=\delta \eta _{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu }=\eta _{\mu \nu }\left(\delta \left(dx^{\mu }\right)dx^{\nu }+dx^{\mu }\delta \left(dx^{\nu }\right)\right)=2\eta _{\mu \nu }\delta \left(dx^{\mu }\right)dx^{\nu }.}

لذا دلتادs=ημνدلتادxμدxνدs=ημνددلتاxμدxνدs،{\displaystyle \delta ds=\eta _{\mu \nu }\delta dx^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{ds}}=\eta _{\mu \nu }d\delta x^{\mu }{\frac {dx^{\nu }}{ds}},} أو دلتادs=ημνددلتاxμدτدxνجدτدτ،{\displaystyle \delta ds=\eta _{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{cd\tau }}d\tau ,} وبالتالي دلتاS=-م∫ημνددلتاxμدτدxνدτدτ=-م∫ημνددلتاxμدτuνدτ=-م∫ημν[ددτ(دلتاxμuν)-دلتاxμددτuν]دτ{\displaystyle \delta S=-m\int \eta _{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dx^{\nu }}{d\tau }}d\tau =-m\int \eta _{\mu \nu }{\frac {d\delta x^{\mu }}{d\tau }}u^{\nu }d\tau =-m\int \eta _{\mu \nu }\left[{\frac {d}{d\tau }}\left(\delta x^{\mu }u^{\nu }\right)-\delta x^{\mu }{\frac {d}{d\tau }}u^{\nu }\right]d\tau } وهذا هو بالضبط دلتاS=[-مuμدلتاxμ]ت1ت2+م∫ت1ت2دلتاxμدuμدsدs{\displaystyle \delta S=\left[-mu_{\mu }\delta x^{\mu }\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+m\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta x^{\mu }{\frac {du_{\mu }}{ds}}ds}

دلتاS=[-مuμدلتاxμ]ت1ت2+م∫ت1ت2دلتاxμدuμدsدs=-مuμدلتاxμ=∂S∂xμدلتاxμ=-صμدلتاxμ،{\displaystyle \delta S=\left[-mu_{\mu }\delta x^{\mu }\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+m\int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta x^{\mu }{\frac {du_{\mu }}{ds}}ds=-mu_{\mu }\delta x^{\mu }={\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}\delta x^{\mu }=-p_{\mu }\delta x^{\mu },}

حيث تستخدم الخطوة الثانية معادلات المجال du μ / ds = 0 و ( δx μ ) t 1 = 0 و ( δx μ ) t 2 ≡ δx μ كما في الملاحظات السابقة. الآن قارن التعبيرات الثلاثة الأخيرة لإيجاد صμ=∂μ[S]=∂S∂xμ=مuμ=م(ج1-v2ج2،vx1-v2ج2،vy1-v2ج2،vz1-v2ج2)،{\displaystyle p^{\mu }=\partial ^{\mu }[S]={\frac {\partial S}{\partial x_{\mu }}}=mu^{\mu }=m\left({\frac {c}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{\frac {v_{x}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{\frac {v_{y}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},{\frac {v_{z}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}\right),} بمعيار − m 2 c 2 ، والنتيجة الشهيرة للطاقة النسبية،

هـ=مج21-v2ج2=مرج2،{\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=m_{r}c^{2},}

حيث m r هي الكتلة النسبية التي لم تعد شائعة الاستخدام ، كما يلي. وبمقارنة تعبيرات الزخم والطاقة مباشرةً، نحصل على

ص=هـvج2،{\displaystyle \mathbf {p} =E{\frac {\mathbf {v} }{c^{2}}},}

وينطبق ذلك على الجسيمات عديمة الكتلة أيضاً. بتربيع تعبيرات الطاقة والزخم الثلاثي وربطها ببعضها، نحصل على علاقة الطاقة بالزخم .

هـ2ج2=ص⋅ص+م2ج2.{\displaystyle {\frac {E^{2}}{c^{2}}}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} +m^{2}c^{2}.}

الاستبدال صμ↔-∂S∂xμ{\displaystyle p_{\mu }\leftrightarrow -{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}} في معادلة المعيار تعطي معادلة هاميلتون-جاكوبي النسبية ، [ 4 ]

ημν∂S∂xμ∂S∂xν=-م2ج2.{\displaystyle \eta ^{\mu \nu }{\frac {\partial S}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial S}{\partial x^{\nu }}}=-m^{2}c^{2}.}

من الممكن أيضاً استخلاص النتائج مباشرةً من لاغرانجيان. بحسب التعريف، [ 5 ]ص=∂ل∂v=(∂ل∂x˙،∂ل∂y˙،∂ل∂z˙)=م(γvx،γvy،γvz)=مγv=مu،هـ=ص⋅v-ل=مج21-v2ج2،{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} }}=\left({\partial L \over \partial {\dot {x}}},{\partial L \over \partial {\dot {y}}},{\partial L \over \partial {\dot {z}}}\right)=m(\gamma v_{x},\gamma v_{y},\gamma v_{z})=m\gamma \mathbf {v} =m\mathbf {u} ,\\[3pt]E&=\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} -L={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},\end{aligned}}} والتي تُشكّل الصيغ القياسية للزخم والطاقة الكنسيين لنظام مغلق (لاغرانجي مستقل عن الزمن). مع هذا النهج، يصبح من غير الواضح أن الطاقة والزخم جزءان من متجه رباعي.

تُحفظ الطاقة والزخم الثلاثي بشكل منفصل في الأنظمة المعزولة ضمن إطار لاغرانج. وبالتالي، يُحفظ الزخم الرباعي أيضًا. المزيد حول هذا لاحقًا.

تتضمن المناهج الأكثر بساطةً السلوك المتوقع في الديناميكا الكهربائية. [ 6 ] في هذا المنهج، تكون نقطة البداية تطبيق قانون لورنتز للقوة وقانون نيوتن الثاني في إطار سكون الجسيم. ثم تُستخدم خصائص تحويل موتر المجال الكهرومغناطيسي، بما في ذلك ثبات الشحنة الكهربائية ، للتحويل إلى إطار المختبر، ويُفسَّر التعبير الناتج (مرة أخرى قانون لورنتز للقوة) وفقًا لقانون نيوتن الثاني، مما يؤدي إلى التعبير الصحيح للزخم الثلاثي النسبي. أما العيب، بالطبع، فهو أنه ليس من الواضح فورًا أن النتيجة تنطبق على جميع الجسيمات، سواء كانت مشحونة أم لا، وأنها لا تُعطي المتجه الرباعي الكامل.

من الممكن أيضًا تجنب الكهرومغناطيسية واستخدام تجارب فكرية دقيقة تتضمن فيزيائيين مدربين تدريبًا جيدًا يرمون كرات البلياردو، مع الاستفادة من معرفة صيغة جمع السرعات وافتراض حفظ الزخم. [ 7 ] [ 8 ] وهذا أيضًا لا يُعطي سوى الجزء ثلاثي المتجهات.

حفظ الزخم الرباعي

كما هو موضح أعلاه، هناك ثلاثة قوانين للحفاظ على البيئة (ليست مستقلة، فالقانونان الأخيران يستلزمان القانون الأول والعكس صحيح):

  • الزخم الرباعي p (سواء كان متغايرًا أو متغايرًا عكسيًا) محفوظ.
  • الطاقة الكلية E = p 0 c محفوظة.
  • الزخم ثلاثي الأبعادص=(ص1،ص2،ص3){\displaystyle \mathbf {p} =\left(p^{1},p^{2},p^{3}\right)}يتم الحفاظ على (لا ينبغي الخلط بينه وبين الزخم الكلاسيكي غير النسبي)مv{\displaystyle m\mathbf {v} }).

لاحظ أن الكتلة الثابتة لنظام من الجسيمات قد تكون أكبر من مجموع كتل سكون الجسيمات، لأن الطاقة الحركية في إطار مركز كتلة النظام والطاقة الكامنة الناتجة عن القوى بين الجسيمات تُساهم في الكتلة الثابتة. على سبيل المثال، جسيمان لهما أربعة زخم (5 جيجا إلكترون فولت/ ثانية ، 4 جيجا إلكترون فولت/ ثانية ، 0، 0) و (5 جيجا إلكترون فولت/ ثانية ، -4 جيجا إلكترون فولت/ ثانية ، 0، 0) لكل منهما كتلة سكون 3 جيجا  إلكترون فولت/ ثانية² على حدة، لكن كتلتهما الكلية (كتلة النظام) هي 10 جيجا إلكترون فولت / ثانية² . إذا اصطدم هذان الجسيمان والتصقا، فإن كتلة الجسم المركب ستكون 10 جيجا إلكترون فولت / ثانية² .  

يتمثل أحد التطبيقات العملية لقانون حفظ الكتلة الثابتة في فيزياء الجسيمات في دمج الزخم الرباعي p <sub> A </sub> و p <sub> B </sub> لجسيمين ناتجين عن تحلل جسيم أثقل مع الزخم الرباعي p <sub> C </sub> لإيجاد كتلة الجسيم الأثقل. ينص قانون حفظ الزخم الرباعي على أن p<sub> C </sub>μ = p<sub> A </sub>μ + p<sub> B </sub>μ ، بينما تُعطى كتلة الجسيم الأثقل M بالعلاقة −P <sub> C</sub> ⋅ P<sub> C</sub> = M <sup>2 </sup>c <sup>2 </sup>. من خلال قياس طاقات وزخم الجسيمات الناتجة، يمكن إعادة بناء الكتلة الثابتة لنظام الجسيمين، والتي يجب أن تساوي M. تُستخدم هذه التقنية، على سبيل المثال، في البحث التجريبي عن بوزونات Z′ في مصادمات الجسيمات عالية الطاقة ، حيث يظهر بوزون Z′ على شكل نتوء في طيف الكتلة الثابتة لأزواج الإلكترون - بوزيترون أو الميون -مضاد الميون.

إذا لم تتغير كتلة الجسم، فإن حاصل ضرب مينكوفسكي الداخلي لزخمه الرباعي وتسارعه الرباعي المقابل Aμ يساوي صفرًا. يتناسب التسارع الرباعي طرديًا مع المشتق الزمني الذاتي للزخم الرباعي مقسومًا على كتلة الجسيم، لذاصμأμ=ημνصμأν=ημνصμددτصνم=12مددτص⋅ص=12مددτ(-م2ج2)=0.{\displaystyle p^{\mu }A_{\mu }=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }A^{\nu }=\eta _{\mu \nu }p^{\mu }{\frac {d}{d\tau }}{\frac {p^{\nu }}{m}}={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{d\tau }}p\cdot p={\frac {1}{2m}}{\frac {d}{d\tau }}\left(-m^{2}c^{2}\right)=0.}

الزخم الكنسي في وجود جهد كهرومغناطيسي

بالنسبة لجسيم مشحون بشحنة q ، يتحرك في مجال كهرومغناطيسي معطى بواسطة الجهد الكهرومغناطيسي الرباعي :أ=(أ0،أ1،أ2،أ3)=(ϕج،أx،أy،أz){\displaystyle A=\left(A^{0},A^{1},A^{2},A^{3}\right)=\left({\phi \over c},A_{x},A_{y},A_{z}\right)} حيث ϕ هو الكمون القياسي و A = ( A x , A y , A z ) هو الكمون الشعاعي ، فإن مركبات متجه الزخم الكنسي الرباعي P (غير الثابت قياسياً ) هيPμ=صμ+qأμ.{\displaystyle P^{\mu }=p^{\mu }+qA^{\mu }.}

وهذا بدوره يسمح بدمج طاقة الوضع من الجسيم المشحون في جهد كهرساكن وقوة لورنتز على الجسيم المشحون المتحرك في مجال مغناطيسي بطريقة مضغوطة، في ميكانيكا الكم النسبية .

الزخم الرباعي في الزمكان المنحني

في حالة وجود نظام فيزيائي متحرك مع توزيع مستمر للمادة في الزمكان المنحني، فإن التعبير الأساسي للزخم الرباعي هو متجه رباعي ذو مؤشر متغاير: [ 9 ]

Pμ=(هـج،-P).{\displaystyle P_{\mu }=\left({\frac {E}{c}},-\mathbf {P} \right).}

الزخم الرباعيPμ{\displaystyle P_{\mu }}يتم التعبير عنها من خلال الطاقةهـ{\displaystyle E}النظام الفيزيائي والزخم النسبيP{\displaystyle \mathbf {P} }في الوقت نفسه، الزخم الرباعيPμ{\displaystyle P_{\mu }}يمكن تمثيلها كمجموع متجهين رباعيين غير محليين من النوع الصحيح:

Pμ=صμ+كμ.{\displaystyle P_{\mu }=p_{\mu }+K_{\mu }.}

متجه رباعيصμ{\displaystyle p_{\mu }}هو الزخم الرباعي المعمم المرتبط بتأثير الحقول على الجسيمات؛ متجه رباعيكμ{\displaystyle K_{\mu }}هو الزخم الرباعي للحقول الناشئة عن تأثير الجسيمات على الحقول.

طاقةهـ{\displaystyle E}والزخمP{\displaystyle \mathbf {P} }بالإضافة إلى مكونات المتجهات الرباعيةصμ{\displaystyle p_{\mu }}وكμ{\displaystyle K_{\mu }}يمكن حسابها إذا كانت كثافة لاغرانجل=لص+لو{\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{p}+{\mathcal {L}}_{f}}تم تحديد خصائص النظام. تم الحصول على الصيغ التالية لطاقة النظام وزخمه:

هـ=∫V∂∂v(لصu0)⋅vu0-زدx1دx2دx3-∫V(لص+لو)-زدx1دx2دx3+∑ن=1شمال(vن⋅∂لو∂vن).{\displaystyle E=\int _{V}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {v} }}\left({\frac {{\mathcal {L}}_{p}}{u^{0}}}\right)\cdot \mathbf {v} u^{0}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}-\int _{V}\left({\mathcal {L}}_{p}+{\mathcal {L}}_{f}\right){\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}+\sum _{n=1}^{N}\left(\mathbf {v} _{n}\cdot {\frac {\partial L_{f}}{\partial \mathbf {v} _{n}}}\right).}
P=∫V∂∂v(لصu0)u0-زدx1دx2دx3+∑ن=1شمال∂لو∂vن.{\displaystyle \mathbf {P} =\int _{V}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {v} }}\left({\frac {{\mathcal {L}}_{p}}{u^{0}}}\right)u^{0}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}+\sum _{n=1}^{N}{\frac {\partial L_{f}}{\partial \mathbf {v} _{n}}}.}

هنالص{\displaystyle {\mathcal {L}}_{p}}هو ذلك الجزء من كثافة لاغرانج الذي يحتوي على حدود ذات تيارات رباعية؛v{\displaystyle \mathbf {v} }هي سرعة جسيمات المادة؛u0{\displaystyle u^{0}}هو المكون الزمني لسرعة الجسيمات الرباعية؛ز{\displaystyle g}هو محدد موتر القياس؛لو=∫Vلو-زدx1دx2دx3{\displaystyle L_{f}=\int _{V}{\mathcal {L}}_{f}{\sqrt {-g}}dx^{1}dx^{2}dx^{3}}هو جزء من لاغرانجي مرتبط بكثافة لاغرانجيلو{\displaystyle {\mathcal {L}}_{f}}؛vن{\displaystyle \mathbf {v} _{n}}هي سرعة جسيم من المادة ذي رقمن{\displaystyle n}.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ تايلور، إدوين؛ ويلر، جون (1992). فيزياء الزمكان: مقدمة في النسبية الخاصة . نيويورك: دبليو إتش فريمان وشركاه. ص  191. ISBN 978-0-7167-2327-1.
  2. ↑ لاندو وليفشيتز 2000 ، الصفحات 25-29 
  3. ↑ لاندو وليفشيتز 1975 ، ص 139 
  4. ↑ لاندو وليفشيتز 1975 ، ص 30 
  5. ↑ لاندو وليفشيتز 1975 ، الصفحات 15-16 
  6. ↑ سارد 1970 ، القسم 3.1
  7. ↑ سارد 1970 ، القسم 3.2
  8. ↑ نسخة ويكي مصدر من لويس وتولمان 1909
  9. ↑ فيدوسين، سيرجي ج. (18 أبريل 2024). "ما الذي ينبغي أن نفهمه من الزخم الرباعي للنظام الفيزيائي؟". فيزيكا سكريبت . 99 (5): 055034. arXiv : 2410.07284 . Bibcode : 2024PhyS...99e5034F . doi : 10.1088/1402-4896/ad3b45 . S2CID 268967902 .