المعقد البسيط

في الرياضيات ، يُعرف المركب التبسيطي بأنه مجموعة منظمة من العناصر التبسيطية (مثل النقاط ، والقطع المستقيمة ، والمثلثات ، ونظائرها في الأبعاد n ) بحيث تشمل المجموعة جميع أوجه العناصر وتقاطعاتها (انظر الرسم التوضيحي). يجب عدم الخلط بين المركبات التبسيطية والمفهوم الأكثر تجريدًا للمجموعة التبسيطية الذي يظهر في نظرية التماثل التبسيطي الحديثة . النظير التوافقي البحت للمركب التبسيطي هو المركب التبسيطي المجرد . ولتمييز المركب التبسيطي عن المركب التبسيطي المجرد، يُطلق على الأول غالبًا اسم المركب التبسيطي الهندسي . ^{[ 1 ] : 7}

مُركّب تبسيطي${\displaystyle {\mathcal {K}}}$هي مجموعة من الأشكال البسيطة التي تحقق الشروط التالية:

1. كل وجه من أوجه المعقد البسيط من${\displaystyle {\mathcal {K}}}$وهو أيضًا في${\displaystyle {\mathcal {K}}}$.
2. التقاطع غير الفارغ لأي شكلين بسيطين${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}\in {\mathcal {K}}}$هو وجه لكليهما${\displaystyle \sigma _{1}}$و${\displaystyle \sigma _{2}}$.

انظر أيضًا تعريف المركب التبسيطي المجرد ، والذي هو، بشكل عام، مركب تبسيطي بدون هندسة مرتبطة به.

مركب k بسيط​${\displaystyle {\mathcal {K}}}$هو مُركب تبسيطي حيث يكون أكبر بُعد لأي مُركب تبسيطي في${\displaystyle {\mathcal {K}}}$يساوي k . على سبيل المثال، يجب أن يحتوي المركب البسيط ثنائي الأبعاد على مثلث واحد على الأقل، ويجب ألا يحتوي على أي رباعيات الأوجه أو أشكال بسيطة ذات أبعاد أعلى.

مركب k بسيط نقي أو متجانس​${\displaystyle {\mathcal {K}}}$هو مُركب تبسيطي حيث يكون كل مُبسط ذو بُعد أقل من k وجهًا لمُبسط ما${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {K}}}$ذو بُعد k بالضبط . بشكل غير رسمي، يبدو المركب الأحادي البحت وكأنه مُكوَّن من مجموعة من الخطوط، ويبدو المركب الثنائي وكأنه مُكوَّن من مجموعة من المثلثات، وهكذا. مثال على المركب غير المتجانس هو مثلث مُتصل به قطعة مستقيمة عند أحد رؤوسه. يمكن اعتبار المركبات التبسيطية البحتة بمثابة تثليثات ، وهي تُقدِّم تعريفًا للمضلعات .

الوجه هو مُجَسَّمٌ مُعَظَّمٌ، أي أي مُجَسَّم في مُعَقَّدٍ لا يُمثِّل وجهًا لأي مُجَسَّم أكبر منه. [ ^{2 ] (} لاحظ الفرق بينه وبين "وجه" المُجَسَّم ). يُمكن اعتبار المُعَقَّد التبسيطي الخالص مُعَقَّدًا تكون فيه جميع الأوجه لها نفس البُعد. بالنسبة للمُعَقَّدات الحدودية للمُجَسَّمات التبسيطية ، يتطابق هذا مع المعنى الوارد في التوافقية متعددة السطوح.

أحيانًا يُستخدم مصطلح " الوجه" للإشارة إلى مُركب بسيط، وليس للخلط بينه وبين وجه مُركب بسيط.

بالنسبة للمركب التبسيطي المضمن في فضاء ذي k بُعد، يُشار أحيانًا إلى الوجوه k باسم خلاياه . ويُستخدم مصطلح "الخلية" أحيانًا بمعنى أوسع للدلالة على مجموعة متماثلة شكليًا مع مُبسط، مما يؤدي إلى تعريف مُركب الخلية .

الفضاء الأساسي ، والذي يُطلق عليه أحيانًا اسم حامل المركب التبسيطي، هو اتحاد تبسيطاته. ويُرمز إليه عادةً بـ${\displaystyle |{\mathcal {K}}|}$أو${\displaystyle \|{\mathcal {K}}\|}$.

الأجزاء الداخلية النسبية لجميع الأشكال البسيطة في${\displaystyle {\mathcal {K}}}$تشكل تقسيمًا للفضاء الأساسي الخاص بها${\displaystyle |{\mathcal {K}}|}$لكل نقطة${\displaystyle x\in |{\mathcal {K}}|}$يوجد مُعقد بسيط واحد فقط في${\displaystyle {\mathcal {K}}}$يحتوي على${\displaystyle x}$في داخله النسبي. يُطلق على هذا المُجَسَّم اسم حامل x ويُرمز له بـ${\displaystyle \operatorname {supp} (x)}$[ ^{3 ] : 9​}

ليكن K مجمعًا تبسيطيًا وليكن S مجموعة من التبسيطات في K.

إغلاق S ( يرمز له بـ${\displaystyle \mathrm {Cl} \S}$) هو أصغر مجمع فرعي بسيط من K يحتوي على كل مجمع بسيط في S.${\displaystyle \mathrm {Cl} \S}$يتم الحصول عليها عن طريق إضافة كل وجه من وجوه كل سطح بسيط في S بشكل متكرر إلى S.

نجمة S (المشار إليها بـ${\displaystyle \mathrm {st} \S}$) هو اتحاد نجوم كل مُجَسَّم بسيط في S. بالنسبة لمُجَسَّم بسيط واحد s ، فإن نجم s هو مجموعة المُجَسَّمات البسيطة في K التي يكون s أحد أوجهها. نجم S ليس مُركبًا بسيطًا بحد ذاته، لذلك يُعرِّف بعض المؤلفين النجم المُغلق لـ S (يُشار إليه بـ${\displaystyle \mathrm {St} \S}$) مثل${\displaystyle \mathrm {Cl} \ \mathrm {st} \S}$إغلاق نجمة S.

الرابط S ( يرمز له بـ${\displaystyle \mathrm {Lk} \S}$) يساوي${\displaystyle \mathrm {Cl} {\big (}\mathrm {st} (S){\big )}\setminus \mathrm {st} {\big (}\mathrm {Cl} (S){\big )}}$. هو النجم المغلق لـ S مطروحًا منه نجوم جميع أوجه S.

في الطوبولوجيا الجبرية ، تُعدّ المُركّبات التبسيطية مفيدةً في كثير من الأحيان لإجراء حساباتٍ مُحدّدة. ولتعريف مجموعات التماثل لمُركّب تبسيطي، يُمكن قراءة مُركّب السلسلة المُقابل مُباشرةً، شريطة أن تكون جميع التبسيطات مُوجّهةً بشكلٍ مُتّسق. وتؤدي مُتطلبات نظرية التماثل إلى استخدام فضاءاتٍ أكثر عُمومية، وهي مُركّبات CW . تُعتبر المُركّبات اللانهائية أداةً تقنيةً أساسيةً في الطوبولوجيا الجبرية. في الطوبولوجيا الجبرية، يُطلق عادةً على الفضاء الطوبولوجي المُتراص ، المُتماثل شكليًا مع التمثيل الهندسي لمُركّب تبسيطي محدود، اسم مُتعدد السطوح (انظر Spanier 1966 ، وMaunder 1996 ، و Hilton & Wylie 1967 ).

غالباً ما يدرس علماء التوافقية المتجه f لمركب d-بسيط Δ، وهو متتالية الأعداد الصحيحة${\displaystyle (f_{0},f_{1},f_{2},\ldots ,f_{d+1})}$حيث _{يُمثل fᵢ} عدد الأوجه ذات الأبعاد ( i -1) في Δ (اصطلاحًا، _f₀ = 1 إلا إذا كان Δ مُركبًا فارغًا). على سبيل المثال، إذا كان Δ هو حدود ثماني السطوح ، فإن متجه f الخاص به هو (1، 6، 12، 8)، وإذا كان Δ هو المُركب التبسيطي الأول الموضح أعلاه، فإن متجه f الخاص به هو (1، 18، 23، 8، 1). تُقدم نظرية كروسكال-كاتونا وصفًا كاملاً لمتجهات f المُمكنة للمُركبات التبسيطية .  

باستخدام متجه f لمركب تبسيطي من الرتبة d، Δ، كمعاملات لكثير حدود (مكتوب بترتيب تنازلي للأسس)، نحصل على كثير حدود f لـ Δ. في المثالين السابقين، سيكون كثيرا حدود f هما:${\displaystyle x^{3}+6x^{2}+12x+8}$و${\displaystyle x^{4}+18x^{3}+23x^{2}+8x+1}$، على التوالى.

يهتم علماء التوافيق عادةً بالمتجه h للمركب التبسيطي Δ، وهو سلسلة معاملات متعددة الحدود الناتجة عن تعويض x  −  1 في متعددة الحدود f للمركب Δ. رياضيًا، إذا كتبنا F _Δ ( x ) للدلالة على متعددة الحدود f للمركب Δ، فإن متعددة الحدود h للمركب Δ هي

${\displaystyle F_{\Delta }(x-1)=h_{0}x^{d+1}+h_{1}x^{d}+h_{2}x^{d-1}+\cdots +h_{d}x+h_{d+1}}$

والمتجه h للمثلث Δ هو

${\displaystyle (h_{0},h_{1},h_{2},\cdots ,h_{d+1}).}$

نحسب متجه h لحدود ثماني السطوح (مثالنا الأول) على النحو التالي:

${\displaystyle F(x-1)=(x-1)^{3}+6(x-1)^{2}+12(x-1)+8=x^{3}+3x^{2}+3x+1.}$

إذن، متجه h لحدود ثماني السطوح هو (1، 3، 3، 1). وليس من قبيل المصادفة أن يكون متجه h هذا متناظرًا. في الواقع، يحدث هذا كلما كان Δ حدودًا لمتعدد سطوح تبسيطي (وهي معادلات دين-سومرفيل ). مع ذلك، بشكل عام، ليس بالضرورة أن يكون متجه h لمركب تبسيطي موجبًا. على سبيل المثال، إذا اعتبرنا Δ هو المركب الثنائي المعطى بمثلثين يتقاطعان فقط عند رأس مشترك، فإن متجه h الناتج هو (1، 3، -2).

يتم تقديم توصيف كامل لجميع المتجهات h متعددة الأوجه البسيطة بواسطة نظرية g الشهيرة لستانلي ، وبيليرا، ولي.

يمكن ملاحظة أن المجمعات البسيطة لها نفس البنية الهندسية مثل الرسم البياني للتلامس لتعبئة الكرات (وهو رسم بياني تكون فيه الرؤوس هي مراكز الكرات وتوجد الحواف إذا كانت عناصر التعبئة المقابلة تتلامس مع بعضها البعض) وعلى هذا النحو يمكن استخدامها لتحديد التوافقيات لتعبئة الكرات، مثل عدد الأزواج المتلامسة (1-بسيط)، والثلاثيات المتلامسة (2-بسيط)، والرباعيات المتلامسة (3-بسيط) في تعبئة الكرات.

تثليث الفضاء الطوبولوجي${\displaystyle X}$هو تماثل شكلي${\displaystyle t:|{\mathcal {T}}|\rightarrow X}$أين${\displaystyle {\mathcal {T}}}$هو مركب تبسيطي.

لا تسمح الفضاءات الطوبولوجية بالضرورة بالتثليث، وإذا سمحت به، فإنه لا يكون فريدًا أبدًا. المشعبات الطوبولوجية ذات البعد${\displaystyle d\leq 3}$تكون قابلة للتثليث دائمًا، ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} ولكن ليس بالضرورة لـ${\displaystyle d>3}$[ ^{7 ] [ 8 ]​}

المشعبات التفاضلية من أي بُعد${\displaystyle d\geq 1}$^{[ 9 ]} السماح بالتثليث.

أي ملخص${\displaystyle d}$يمكن تضمين المركب التبسيطي ذي الأبعاد n في${\displaystyle (2d+1)}$الفضاء ذو ​​الأبعاد. ^{[ 10 ] : الفصل الأول، النظرية 3 [ 11 ] : الفصل الرابع، القسم 1.9} هذه النتيجة هي النظير الخطي القطعي لنظرية تضمين ويتني (الضعيفة) .

تتمثل مشكلة التعرف على المركبات التبسيطية في : بالنظر إلى مركب تبسيطي محدود، حدد ما إذا كان متماثلًا شكليًا مع شكل هندسي معين. هذه المشكلة غير قابلة للحل لأي مشعبات ذات أبعاد d.${\displaystyle d\geq 5}$[ ^{12 ] [ 13 ] : 9-11​}

• مُركب تبسيطي مجرد
• التقسيم المركزي
• التثليث الديناميكي السببي
• مجموعة دلتا
• جاذبية الكم الحلقية
• سلسلة مضلعة – مركب تبسيطي أحادي البعد 
• معضلة تاكر
• شجرة سيمبلكس

• وايسشتاين، إريك دبليو. "المركب التبسيطي" . عالم الرياضيات .