العمليات (الرياضيات)

في الرياضيات ، العملية هي دالة تأخذ كمدخلات عددًا ثابتًا من عناصر مجموعة ما ، وتعيد عنصرًا واحدًا من نفس المجموعة. على سبيل المثال، عملية الجمع على الأعداد الحقيقية هي عملية تقبل عددين حقيقيين وتعيد عددًا حقيقيًا. بشكل عام، يمكن تسمية قيم المدخلات بـ " المعاملات " أو "الوسائط". عدد المعاملات هو رتبة العملية، وعادةً ما تكون إحدى القيم التالية:${\displaystyle 0,1,2,\ldots }$.

أكثر العمليات التي تُدرس شيوعًا هي العمليات الثنائية (أي العمليات ذات الرتبة  2)، مثل الجمع والضرب ، والعمليات الأحادية (أي العمليات ذات الرتبة  1)، مثل المعكوس الجمعي والمعكوس الضربي . أما العملية ذات الرتبة  0، أو العملية الصفرية ، فهي ثابتة . ^{[ 1 ] [ 2 ]} ويُعدّ حاصل الضرب المختلط مثالًا على عملية ذات رتبة  3، وتُسمى أيضًا العملية الثلاثية .

العمليات الحسابية الأربع الكلاسيكية هي الجمع والطرح والضرب والقسمة. تشكل هذه العمليات أساس علم الحساب، وهي ضرورية لإجراء العمليات الحسابية وحل المسائل في مختلف المجالات. ^{[ 3 ]}

بشكل عام، يُفترض أن عدد المعاملات محدود. ومع ذلك، يتم أحيانًا النظر في العمليات غير المحدودة ، ^{[ 1 ]} وفي هذه الحالة تسمى العمليات "العادية" ذات عدد المعاملات المحدود بالعمليات المحدودة .

يتم تعريف العملية الجزئية بشكل مشابه للعملية، ولكن مع وجود تعيين جزئي بدلاً من الدالة.

هناك نوعان شائعان من العمليات الحسابية: أحادية وثنائية . العمليات الأحادية تتضمن قيمة واحدة فقط، مثل النفي والدوال المثلثية . ^{[ 4 ]} أما العمليات الثنائية، فتتضمن قيمتين ^{، وتشمل} الجمع والطرح والضرب والقسمة والأسس . [ ⁵ ]

قد تشمل العمليات كائنات رياضية أخرى غير الأرقام. يمكن دمج القيم المنطقية "صحيح" و "خطأ" باستخدام عمليات منطقية ، مثل " و " و "أو" و "ليس" . يمكن جمع المتجهات وطرحها. ^{[ 6 ]} يمكن دمج عمليات الدوران باستخدام عملية تركيب الدوال ، حيث يتم إجراء الدوران الأول ثم الثاني. تشمل العمليات على المجموعات عمليتي الاتحاد والتقاطع الثنائيتين ، وعملية المتممة الأحادية . ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]} تشمل العمليات على الدوال التركيب والالتفاف . ^{[ 10 ] [ 11 ]}

قد لا تكون العمليات مُعرَّفة لكل قيمة ممكنة في نطاقها . على سبيل المثال، في الأعداد الحقيقية، لا يمكن القسمة على صفر ^{[ 12 ]} أو إيجاد الجذر التربيعي للأعداد السالبة. تُشكِّل القيم التي تُعرَّف عليها العملية مجموعة تُسمى نطاق تعريفها أو نطاقها الفعال . تُسمى المجموعة التي تحتوي على القيم الناتجة النطاق المقابل ، بينما تُسمى مجموعة القيم الفعلية التي تُحققها العملية نطاق تعريفها المقابل، أو نطاقها المقابل الفعال، أو صورتها ، أو مداها . ^{[ 13 ]} على سبيل المثال، في الأعداد الحقيقية، تُنتج عملية التربيع أعدادًا غير سالبة فقط؛ النطاق المقابل هو مجموعة الأعداد الحقيقية، بينما المدى هو مجموعة الأعداد غير السالبة.

قد تتضمن العمليات كائنات غير متشابهة: يمكن ضرب متجه في عدد قياسي لتكوين متجه آخر (وهي عملية تُعرف بالضرب القياسي )، ^{[ 14 ]} كما أن عملية الضرب الداخلي لمتجهين تُنتج كمية قياسية. ^{[ 15 ] [ 16 ]} قد تمتلك العملية خصائص معينة أو لا تمتلكها، على سبيل المثال قد تكون تجميعية ، أو تبديلية ، أو مضادة للتبديل ، أو متطابقة ، وما إلى ذلك.

تُسمى القيم المُجمعة بالمعاملات أو الوسائط أو المدخلات ، وتُسمى القيمة الناتجة بالقيمة أو النتيجة أو المخرجات . يمكن أن تحتوي العمليات على أقل من مدخلين أو أكثر (بما في ذلك حالة عدم وجود مدخلات وعدد لا نهائي من المدخلات ^{[ 1 ]} ).

يُشبه المُعامل العمليةَ في كونه يُشير إلى الرمز أو العملية المُستخدمة للدلالة على العملية. ولذلك، يختلف منظور كل منهما. فعلى سبيل المثال، يُشار غالبًا إلى "عملية الجمع" أو "عملية الجمع" عند التركيز على المُعاملات والنتيجة، بينما يُستخدم مصطلح "مُعامل الجمع" (ونادرًا "مُعامل الجمع") عند التركيز على العملية، أو من وجهة النظر الرمزية، الدالة + : X × X → X ( حيث X مجموعة مثل مجموعة الأعداد الحقيقية).

العملية من الرتبة n ، ω، ^على مجموعة X هي دالة ω : Xⁿ → X. تُسمى المجموعة Xⁿ مجال العملية ، وتُسمى مجموعة المخرجات المجال المقابل للعملية، ويُسمى العدد الصحيح غير السالب n (عدد المعاملات) رتبة العملية . بالتالي، فإن ^{العملية} الأحادية لها رتبة واحدة، والعملية الثنائية لها رتبتان. أما العملية ذات الرتبة الصفرية، والتي تُسمى العملية الصفرية ، فهي ببساطة عنصر من المجال المقابل Y. يمكن أيضًا النظر إلى العملية من الرتبة n على أنها علاقة من الرتبة ( n + 1) تكون كلية على مجالات إدخالها n وفريدة على مجال مخرجاتها.

العملية الجزئية من الرتبة n، ω، من X ⁿ إلى X، هي دالة جزئية ω : X ⁿ → X. ويمكن أيضاً اعتبار العملية الجزئية من الرتبة n علاقة من الرتبة ( n + 1) تكون فريدة في نطاق مخرجاتها.

يصف ما سبق ما يُسمى عادةً بالعملية المحدودة ، في إشارة إلى العدد المحدود من المعاملات (القيمة n ). وهناك امتدادات واضحة حيث يُؤخذ عدد المعاملات كعدد ترتيبي أو عدد أصلي غير محدود ، ^{[ 1 ]} أو حتى كمجموعة عشوائية تُفهرس المعاملات.

غالبًا ما يشير استخدام مصطلح " العملية" إلى أن مجال الدالة يشمل قوة المجال المقابل (أي حاصل الضرب الديكارتي لنسخة واحدة أو أكثر من المجال المقابل)، ^{[ 17 ]} على الرغم من أن هذا ليس قاعدة عامة، كما هو الحال في الضرب القياسي ، حيث تُضرب المتجهات وينتج عنها كمية قياسية. تُسمى العملية من الرتبة n ، ω : X ⁿ → X، عمليةً من الرتبة n.العملية الداخلية .تُسمىالعملية من الرتبةn ، ω : X ⁱ × S × X ^{n − i − 1} → X حيث0 ≤ i < n ، عملية خارجيةبواسطةالمجموعة العدديةأومجموعة المؤثراتS.وبالتحديد، بالنسبة للعملية الثنائية،تُسمى ω : S × X → X عملية خارجية يساريةبواسطةS،وتُسمى ω : X × S → X عملية خارجية يمينيةبواسطةS.ومن أمثلة العمليات الداخليةجمع المتجهات، حيث يُجمع متجهان وينتج عنه متجه. ومن أمثلة العمليات الخارجيةالضرب القياسي، حيث يُضرب متجه في عدد قياسي وينتج عنه متجه.

دالة متعددة من الرتبة n أوالعملية المتعددة ωهي دالة تحويل من قوة ديكارتية لمجموعة ما إلى مجموعة المجموعات الجزئية لتلك المجموعة، بشكل رسمي.${\displaystyle \omega :X^{n}\rightarrow {\mathcal {P}}(X)}$[ ^{18 ]​}

اقترح برنارد نيومان العمليات الجزئية عندما أشار ^{[ 19 ]} إلى "علاقة جزئية من نوع (n+1) R على مجموعة X " تحقق${\displaystyle (a_{1},a_{2},...a_{n},b)\in R\ {\text{و}}\ (a_{1},a_{2},...a_{n},c)\in R\ {\text{يُستلزم}}\ b=c.}$تُنتج هذه العلاقة عملية من الرتبة n على X ⁿ مكتوبة${\displaystyle (a_{1},a_{2},...a_{n})=b.}$كان نيومان يُعيد صياغة التمثيل القياسي للعملية الثنائية كعلاقة ثلاثية ، ثم يُعمّمها لتشمل الرتبة n. وقد تبنى جورج غراتزر وريتشارد إس. بيرس لاحقًا فكرة توسيع نطاق العمليات في الجبر الشامل في كتابيهما. وتُؤدي التعقيدات الناتجة عن هذا التوسع إلى اختزال الجبر الشامل إلى دراسة العلاقات الرياضية والعلاقات المنتهية . وفي مناقشة العمليات الجزئية، يلجأ كل من غراتزر وبيرس إلى الأنظمة العلائقية . ويكمن أساس هذا النطاق الموسع في أن العلاقة التي تُقابل عملية ثنائية هي علاقة أحادية القيمة .

• عملية فائقة
• تدوين الوسط
• عامل (رياضيات)
• ترتيب العمليات