مفارقة التوزيع
مفارقة التوزيع هي حالة ينتج فيها التوزيع - وهو قاعدة لتقسيم الأشياء المنفصلة وفقًا لعلاقة نسبية معينة - نتائج تنتهك مفاهيم الحس السليم أو العدالة .
يمكن تقسيم بعض الكميات، كالحليب، بأي نسبة كانت؛ بينما لا يمكن تقسيم كميات أخرى، كالخيول، إلا بأعداد صحيحة. في الحالة الأخيرة، يوجد تناقض جوهري بين الرغبة في الالتزام بقاعدة التناسب قدر الإمكان، وبين القيد الذي يحصر حجم كل حصة في قيم محددة.
تم تحديد العديد من المفارقات المتعلقة بالتوزيع والتقسيم العادل . في بعض الحالات، يمكن حل هذه المفارقات بإجراء تعديلات بسيطة على منهجية التوزيع. مع ذلك، وكما توضح نظرية بالينسكي-يونغ، ليس من الممكن دائمًا التوصل إلى حل عادل تمامًا يفي بجميع معايير العدالة المتنافسة. [ 1 ] : 227-235
تاريخ
تم اكتشاف مثال على مفارقة التوزيع، المعروفة باسم " مفارقة ألاباما "، في سياق توزيع مقاعد الكونغرس الأمريكي عام 1880، [ 1 ] : 228-231، عندما أظهرت حسابات التعداد السكاني أنه في حال زيادة العدد الإجمالي للمقاعد في مجلس النواب افتراضيًا، فإن ذلك سيؤدي إلى انخفاض مقاعد ألاباما من 8 إلى 7. وقد لوحظ تأثير فعلي في عام 1900، عندما خسرت ولاية فرجينيا مقعدًا لصالح ولاية مين، على الرغم من أن عدد سكان فرجينيا كان ينمو بوتيرة أسرع: وهذا مثال على مفارقة السكان. [ 1 ] : 231-232. وفي عام 1907، عندما أصبحت أوكلاهوما ولاية، خسرت نيويورك مقعدًا لصالح مين، ومن هنا جاء اسم "مفارقة الولاية الجديدة". [ 1 ] : 232-233 [ 2 ]
كانت طريقة التوزيع المستخدمة خلال هذه الفترة، والتي طرحها في الأصل ألكسندر هاميلتون ، ولكن جورج واشنطن رفضها ولم يتم اعتمادها حتى عام 1852، [ 1 ] : 228 على النحو التالي:
- أولاً، يتم حساب الحصة العادلة لكل ولاية، أي الحصة النسبية من المقاعد التي ستحصل عليها كل ولاية إذا تم السماح بالقيم الكسرية.
- ثانياً، تحصل كل ولاية على عدد من المقاعد يساوي الجزء الصحيح من حصتها العادلة.
- ثالثًا، أي ولاية يقل نصيبها العادل عن واحد تحصل على مقعد واحد، بغض النظر عن عدد السكان، كما هو مطلوب بموجب دستور الولايات المتحدة .
- رابعاً، يتم توزيع المقاعد المتبقية، مقعد واحد لكل ولاية، على الولايات التي تمتلك أعلى نسب كسرية.
حلت طريقة هاميلتون محل طريقة التقريب التي اقترحها توماس جيفرسون ، [ 1 ] : 228 وتم استبدالها هي نفسها بطريقة هنتنغتون هيل في عام 1941. [ 1 ]
أمثلة على المفارقات
مفارقة ألاباما
كانت مفارقة ألاباما أولى مفارقات توزيع المقاعد التي تم اكتشافها. ينص الدستور الأمريكي على إلزام مجلس النواب الأمريكي بتخصيص المقاعد بناءً على تعداد السكان، والذي يُجرى كل عشر سنوات. ويُحدد حجم المجلس بموجب القانون.
بعد تعداد عام 1880 ، قام سي دبليو سيتون، كبير موظفي مكتب الإحصاء الأمريكي ، بحساب توزيع المقاعد لجميع أحجام مجلس النواب بين 275 و350 مقعدًا، واكتشف أن ولاية ألاباما ستحصل على ثمانية مقاعد في حال كان حجم مجلس النواب 299 مقعدًا، ولكن سبعة مقاعد فقط في حال كان حجم المجلس 300 مقعد. [ 1 ] : 228-231. وبشكل عام، يشير مصطلح "مفارقة ألاباما" إلى أي سيناريو لتوزيع المقاعد حيث يؤدي زيادة العدد الإجمالي للمقاعد إلى تقليل أحدها. وفي دراسة مماثلة أجراها مكتب الإحصاء بعد تعداد عام 1900، تم حساب توزيع المقاعد لجميع أحجام مجلس النواب بين 350 و400 مقعد: كانت ولاية كولورادو ستحصل على ثلاثة مقاعد في جميع الحالات، باستثناء مجلس النواب الذي يبلغ حجمه 357 مقعدًا، حيث كانت ستحصل على مقعدين. [ 3 ]
فيما يلي مثال مبسط (باتباع طريقة الباقي الأكبر ) مع ثلاث ولايات و10 مقاعد و11 مقعدًا.
| مع 10 مقاعد | مع 11 مقعدًا | ||||
|---|---|---|---|---|---|
| ولاية | سكان | حصة عادلة | مقاعد | حصة عادلة | مقاعد |
| أ | 6 | 4.286 | 4 | 4.714 | 5 |
| ب | 6 | 4.286 | 4 | 4.714 | 5 |
| ج | 2 | 1.429 | 2 | 1.571 | 1 |
لاحظ أن حصة الولاية ج تنخفض من 2 إلى 1 مع إضافة المقعد.
في هذا المثال، مع زيادة عدد المقاعد بنسبة 10%، تزداد حصة كل ولاية بنسبة 10%. ومع ذلك، فإن زيادة عدد المقاعد بنسبة مئوية ثابتة تزيد الحصة العادلة بشكل أكبر بالنسبة للولايات الكبيرة (أي الولايات الكبيرة أكثر من الولايات الصغيرة). على وجه الخصوص، زادت الحصة العادلة للولايتين الكبيرتين A وB بوتيرة أسرع من الولاية الصغيرة C. لذلك، زادت الأجزاء الكسرية للولايتين A وB بوتيرة أسرع من تلك الخاصة بـC. في الواقع، تجاوزت حصة A وB حصة C، مما أدى إلى فقدان C لمقعدها، لأن طريقة هاميلتون تُخصص المقاعد وفقًا للولايات التي لديها أكبر جزء متبقٍ.
أدت مفارقة ألاباما إلى ظهور البديهية المعروفة باسم رتابة البيت ، والتي تنص على أنه عندما يزداد حجم البيت، يجب أن تزداد مخصصات جميع الولايات بشكل طفيف.
مفارقة السكان
تُعدّ مفارقة السكان نتيجةً غير بديهية لبعض إجراءات توزيع المقاعد. فعندما يزداد عدد سكان ولايتين بمعدلات مختلفة، قد تخسر ولاية صغيرة ذات نمو سريع مقعدًا تشريعيًا لصالح ولاية كبيرة ذات نمو أبطأ.
قد تُظهر بعض طرق تقسيم الدوائر الانتخابية السابقة في الكونغرس، مثل طريقة هاميلتون، مفارقة السكان. ففي عام 1900، خسرت ولاية فرجينيا مقعدًا لصالح ولاية مين، على الرغم من أن عدد سكان فرجينيا كان ينمو بوتيرة أسرع. [ 1 ] : 231-232. إلا أن طرق التقسيم القائمة على القاسم، مثل الطريقة الحالية، لا تُظهر هذه المفارقة.
مفارقة الدول الجديدة
بافتراض وجود عدد ثابت من الممثلين (كما يحدده مجلس النواب الأمريكي)، فإن إضافة ولاية جديدة من شأنها نظرياً أن تقلل عدد ممثلي الولايات القائمة، إذ ينص دستور الولايات المتحدة على حق كل ولاية في الحصول على ممثل واحد على الأقل بغض النظر عن عدد سكانها. كذلك، حتى لو زاد عدد أعضاء مجلس النواب بمقدار ممثلي الولاية الجديدة، فقد تفقد ولاية قائمة مقعداً بسبب طريقة تعامل قواعد التوزيع مع أساليب التقريب. في عام ١٩٠٧، عندما انضمت أوكلاهوما إلى الولايات المتحدة، مُنحت حصة عادلة من المقاعد، وزاد إجمالي عدد المقاعد بهذا المقدار. ارتفع عدد أعضاء مجلس النواب من ٣٨٦ إلى ٣٩١ عضواً. أثرت إعادة حساب التوزيع على عدد المقاعد بسبب ولايات أخرى: فقدت نيويورك مقعداً بينما كسبت مين مقعداً. [ ١ ] : ٢٣٢-٢٣٣ [ ٢ ]
أدت مفارقة الولايات الجديدة إلى ظهور البديهية المعروفة باسم التماسك ، والتي تنص على أنه كلما تم تفعيل قاعدة التوزيع على مجموعة فرعية من الولايات، مع تخصيص مجموعة فرعية من المقاعد لها، يجب أن تكون النتيجة هي نفسها كما في الحل الكبير.
نظرية بالينسكي-يونغ
في عام 1983، أثبت عالما الرياضيات ميشيل بالينسكي وبيتون يونغ أن أي طريقة لتوزيع المقاعد لا تنتهك قاعدة الحصص ستؤدي إلى مفارقات كلما وُجدت أربعة أحزاب أو أكثر (أو ولايات، أو مناطق، إلخ). [ 4 ] [ 5 ] وبشكل أدق، تنص نظريتهما على أنه لا يوجد نظام توزيع مقاعد يتمتع بالخصائص التالية لأكثر من ثلاثة أحزاب [ 1 ] : 233-234 (كمثال، نأخذ تقسيم المقاعد بين الأحزاب في نظام التمثيل النسبي ):
- يتجنب هذا النظام مخالفة قاعدة الحصص: إذ يحصل كل حزب على أحد الرقمين الأقرب إلى حصته العادلة من المقاعد. على سبيل المثال، إذا كانت الحصة العادلة لحزب ما 7.34 مقعدًا، فيجب أن يحصل إما على 7 أو 8 مقاعد لتجنب المخالفة؛ وأي عدد آخر يُعد مخالفة للقاعدة.
- لا يوجد فيها مفارقة السكان: إذا حصل الحزب أ على أصوات أكثر وحصل الحزب ب على أصوات أقل، فلن يتم نقل أي مقعد من أ إلى ب.
تجدر الإشارة إلى أن أي طريقة لتوزيع المقاعد خالية من مفارقة السكان ستكون خالية دائمًا من مفارقة ألاباما. إلا أن العكس ليس صحيحًا. فطريقة ويبستر يمكن أن تكون خالية من التناقض وتحافظ على نظام الحصص حتى في حالة وجود ثلاثة أطراف. جميع الطرق المنطقية تستوفي كلا المعيارين في حالة الطرفين البسيطة. [ 4 ] [ 5 ]
إنها تُظهر برهانًا على الاستحالة : قد تمتلك طرق التوزيع مجموعة فرعية من هذه الخصائص، ولكن لا يمكن أن تمتلكها جميعها:
- قد تخلو طريقة ما من مفارقة ألاباما ومفارقة السكان. هذه الطرق هي طرق التقسيم ، ومنها طريقة هنتنغتون-هيل ، المستخدمة حاليًا لتوزيع مقاعد مجلس النواب. مع ذلك، ستفشل هذه الطرق بالضرورة في الالتزام بنظام الحصص في ظروف أخرى.
- لا يمكن لأي طريقة أن تلتزم دائمًا بنظام الحصص وأن تكون خالية من مفارقة السكان. [ 6 ]
يُعدّ تقسيم المقاعد في الانتخابات من القضايا الثقافية البارزة. ففي عام 1876، حُسمت الانتخابات الرئاسية الأمريكية بناءً على طريقة حساب الكسر المتبقي. حصل رذرفورد هايز على 185 صوتًا في المجمع الانتخابي، بينما حصل صموئيل تيلدن على 184 صوتًا. وفاز تيلدن بالتصويت الشعبي. ولو استُخدمت طريقة تقريب مختلفة، لكانت نتيجة المجمع الانتخابي النهائية معكوسة. [ 1 ] : 228. ومع ذلك، تنشأ العديد من الحالات المشابهة رياضيًا حيث تُقسّم الكميات إلى أجزاء متساوية منفصلة. [ 1 ] : 233. تنطبق نظرية بالينسكي-يونغ في هذه الحالات: فهي تُشير إلى أنه على الرغم من إمكانية إجراء تقريبات معقولة جدًا، إلا أنه لا توجد طريقة رياضية دقيقة للتوفيق بين الكسر المتبقي الصغير والامتثال لجميع عناصر العدالة المتنافسة. [ 1 ] : 233. وبشكل عام، كان رد فعل علماء الرياضيات هو التخلي عن قاعدة الحصص باعتبارها الخاصية الأقل أهمية، مع التسليم بأن أخطاء التوزيع قد تتجاوز أحيانًا مقعدًا واحدًا بقليل.
قد تتبع إحدى الطرق نظام الحصص وتكون خالية من مفارقة ألاباما. وقد ابتكر بالينسكي ويونغ طريقة تفعل ذلك، على الرغم من أنها ليست شائعة الاستخدام في السياسة. [ 7 ]
مراجع
- ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩ ١٠ ١١ ١٢ ١٣ ١٤ شتاين، جيمس د. (٢٠٠٨). كيف تشرح الرياضيات العالم: دليل لقوة الأرقام، من إصلاح السيارات إلى الفيزياء الحديثة . نيويورك: منشورات سميثسونيان. ISBN 9780061241765.
- 1 2 كولفيلد، مايكل ج. (نوفمبر 2010). "توزيع المقاعد في الكونغرس الأمريكي - مفارقات التوزيع" . التقارب . الجمعية الرياضية الأمريكية. doi : 10.4169/loci003163 (غير نشط في 11 يوليو 2025).
{{cite journal}}: صيانة CS1: رقم التعريف الرقمي غير نشط اعتبارًا من يوليو 2025 ( رابط ) - ↑ بوغومولني، أليكس (يناير 2002). "الدستور والمفارقات" . كت ذا نوت !
- 1 2 بالينسكي، ميشيل ل.؛ يونغ، هـ. بيتون (1982). التمثيل العادل: تحقيق مبدأ صوت واحد لكل شخص . نيو هيفن: مطبعة جامعة ييل. ISBN 0-300-02724-9.
- 1 2 بالينسكي، ميشيل ل.؛ يونغ، هـ. بيتون (2001). التمثيل العادل: تحقيق مبدأ صوت واحد لكل شخص ( الطبعة الثانية). واشنطن العاصمة: مطبعة مؤسسة بروكينغز. ISBN 0-8157-0111-X.
- ↑ بالينسكي، ميشيل ل.؛ يونغ، هـ. بيتون (سبتمبر 1980). "نظرية التوزيع" (ملف PDF) . أوراق عمل . المعهد الدولي لتحليل النظم التطبيقية. WP-80-131.
- ↑ بالينسكي، ميشيل ل.؛ يونغ، هـ. بيتون (نوفمبر 1974). "طريقة جديدة لتوزيع المقاعد في الكونغرس" . وقائع الأكاديمية الوطنية للعلوم . 71 (11): 4602-4606 . Bibcode : 1974PNAS...71.4602B . doi : 10.1073/pnas.71.11.4602 . PMC 433936. PMID 16592200 .
روابط خارجية
- التوزيع (السياسة)
- مفارقات اتخاذ القرار