ثابت أبيري

الموسوعة الحرة

ثابت أبيري هو ثابت رياضي ، يُعرَّف بأنه المجموع اللانهائي لمقلوب مكعبات الأعداد الصحيحة الموجبة . بالرموز،

ζ(3)=∑ن=1∞1ن3{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (3)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}\end{aligned}}}

حيث ζ هي دالة زيتا لريمان . ولها قيمة تقريبية تساوي [ 1 ].

ζ (3) ≈ 1.20205 69031 59594 28539 97381 61511 44999 07649 86292 … (المتتالية A002117 في OEIS ) .

وقد سمي على اسم روجر أبيري ، الذي أثبت أنه عدد غير نسبي .

الاستخدامات

يظهر ثابت أبيري بشكل طبيعي في عدد من المسائل الفيزيائية، بما في ذلك الحدود من الرتبة الثانية والثالثة لنسبة الدوران المغناطيسي للإلكترون باستخدام الديناميكا الكهربائية الكمومية . كما يظهر أيضًا في تحليل الأشجار الممتدة الدنيا العشوائية [ 2 ] وبالاقتران مع دالة غاما عند حل بعض التكاملات التي تتضمن دوالًا أسية في خارج القسمة، والتي تظهر أحيانًا في الفيزياء، على سبيل المثال، عند تقييم الحالة ثنائية الأبعاد لنموذج ديباي وقانون ستيفان-بولتزمان .

مقلوب ζ (3) (0.8319073725807... (المتتالية A088453 في OEIS ) ) هو احتمال أن تكون أي ثلاثة أعداد صحيحة موجبة ، مختارة عشوائيًا، أولية فيما بينها ، بمعنى أنه كلما اقترب N من اللانهاية، فإن احتمال ألا تشترك ثلاثة أعداد صحيحة موجبة أقل من N، مختارة عشوائيًا بالتساوي، في عامل أولي مشترك يقترب من هذه القيمة. (احتمال ذلك بالنسبة لـ n عددًا صحيحًا موجبًا هو 1/ ζ ( n ) . [ 3 ] ) وبالمثل، هو احتمال ألا يكون عدد صحيح موجب مختار عشوائيًا قابلاً للقسمة بالتساوي على مكعب عدد صحيح أكبر من واحد. (احتمال عدم قابلية القسمة على القوة n هو 1/ ζ ( n ) . [ 3 ] )

ملكيات

مشكلة لم تُحل في الرياضيات
هل ثوابت أبيري متعالية؟
المزيد من المسائل غير المحلولة في الرياضيات

سُمّي العدد ζ (3) ثابت أبيري نسبةً إلى عالم الرياضيات الفرنسي روجيه أبيري ، الذي أثبت عام 1978 أنه عدد غير نسبي . [ 4 ] تُعرف هذه النتيجة بنظرية أبيري . كان البرهان الأصلي معقدًا ويصعب فهمه، [ 5 ] وقد تم التوصل إلى براهين أبسط لاحقًا. [ 6 ]

يتضمن برهان بيوكيرز المبسط على اللاعقلانية تقريب دالة التكامل للتكامل الثلاثي المعروف لـ ζ (3) ،

ζ(3)=∫01∫01∫0111-xyzدxدyدz،{\displaystyle \zeta (3)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1-xyz}}\,dx\,dy\,dz,}

باستخدام كثيرات حدود ليجندر . وعلى وجه الخصوص، توثق مقالة فان دير بورتن هذا النهج من خلال الإشارة إلى أن

أنا3:=-12∫01∫01Pن(x)Pن(y)سجل⁡(xy)1-xyدxدy=بنζ(3)-أن،{\displaystyle I_{3}:=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {P_{n}(x)P_{n}(y)\log(xy)}{1-xy}}\,dx\,dy=b_{n}\zeta (3)-a_{n},}

أين|أنا|≤ζ(3)(1-2)4ن{\displaystyle |I|\leq \zeta (3)(1-{\sqrt {2}})^{4n}}،Pن(z){\displaystyle P_{n}(z)}هي كثيرات حدود ليجندر ، والمتتاليات الفرعيةبن،2المضاعف المشترك الأصغر⁡(1،2،...،ن)⋅أن∈Z{\displaystyle b_{n},2\operatorname {lcm} (1,2,\ldots ,n)\cdot a_{n}\in \mathbb {Z} }هي أعداد صحيحة أو شبه صحيحة .

حاول العديد من الباحثين توسيع برهان أبيري على أن ζ (3) عدد غير نسبي ليشمل قيمًا أخرى لدالة زيتا لريمان ذات وسائط فردية. ورغم أن هذا لم يُسفر حتى الآن عن أي نتائج تتعلق بأعداد محددة، فمن المعروف أن عددًا لا نهائيًا من ثوابت زيتا الفردية ζ ( 2n + 1) أعداد غير نسبية، [ 7 ] وأن واحدًا على الأقل من ζ (5) و ζ (7) و ζ (9) و ζ (11) يجب أن يكون عددًا غير نسبي. [ 8 ]

لم يُثبت بعد أن ثابت أبيري متسامٍ ، لكن من المعروف أنه دورة جبرية . وينتج هذا مباشرة من شكل تكامله الثلاثي.

تمثيلات السلسلة

كلاسيكي

بالإضافة إلى السلسلة الأساسية:

ζ(3)=∑ك=1∞1ك3،{\displaystyle \zeta (3)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}}},}

قدم ليونارد أويلر تمثيل السلسلة: [ 9 ]

ζ(3)=π27(1-4∑ك=1∞ζ(2ك)22ك(2ك+1)(2ك+2)){\displaystyle \zeta (3)={\frac {\pi ^{2}}{7}}\left(1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{2^{2k}(2k+1)(2k+2)}}\right)}

في عام 1772، والتي أعيد اكتشافها لاحقاً عدة مرات. [ 10 ]

التقارب السريع

منذ القرن التاسع عشر، وجد عدد من علماء الرياضيات متسلسلات تسريع التقارب لحساب المنازل العشرية لـ ζ (3) . ومنذ تسعينيات القرن العشرين، ركز هذا البحث على المتسلسلات الفعالة حسابيًا ذات معدلات التقارب السريعة (انظر القسم " الأرقام المعروفة ").

تم العثور على تمثيل السلسلة التالي بواسطة AA Markov في عام 1890، [ 11 ] وأعاد اكتشافه Hjortnaes في عام 1953، [ 12 ] وأعاد اكتشافه مرة أخرى ونشره على نطاق واسع بواسطة Apéry في عام 1979: [ 4 ]

ζ(3)=52∑ك=1∞(-1)ك-1ك!2(2ك)!ك3.{\displaystyle \zeta (3)={\frac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {k!^{2}}{(2k)!k^{3}}}.}

يعطي تمثيل السلسلة التالي (بشكل تقاربي) 1.43 منزلة عشرية صحيحة جديدة لكل حد: [ 13 ]

ζ(3)=14∑ك=1∞(-1)ك-1(ك-1)!3(56ك2-32ك+5)(2ك-1)2(3ك)!.{\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{4}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {(k-1)!^{3}(56k^{2}-32k+5)}{(2k-1)^{2}(3k)!}}.}

يعطي تمثيل السلسلة التالي (بشكل تقاربي) 3.01 منزلة عشرية صحيحة جديدة لكل حد: [ 14 ]

ζ(3)=164∑ك=0∞(-1)كك!10(205ك2+250ك+77)(2ك+1)!5.{\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{64}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {k!^{10}(205k^{2}+250k+77)}{(2k+1)!^{5}}}.}

يعطي تمثيل السلسلة التالي (بشكل تقاربي) 3.92 منزلة عشرية صحيحة جديدة لكل حد: [ 15 ]

ζ(3)=12∑ك=0∞(-1)ك(2ك)!3(ك+1)!6(40885ك5+124346ك4+150160ك3+89888ك2+26629ك+3116)(ك+1)2(3ك+3)!4.{\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(2k)!^{3}(k+1)!^{6}(40885k^{5}+124346k^{4}+150160k^{3}+89888k^{2}+26629k+3116)}{(k+1)^{2}(3k+3)!^{4}}}.}

يعطي تمثيل السلسلة التالي (بشكل تقاربي) 5.04 منازل عشرية صحيحة جديدة لكل حد: [ 16 ]

ζ(3)=124∑ك=0∞(-1)ك(2ك+1)!3(2ك)!3ك!3(126392ك5+412708ك4+531578ك3+336367ك2+104000ك+12463)(3ك+2)!(4ك+3)!3.{\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{24}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(2k+1)!^{3}(2k)!^{3}k!^{3}(126392k^{5}+412708k^{4}+531578k^{3}+336367k^{2}+104000k+12463)}{(3k+2)!(4k+3)!^{3}}}.}

وقد استُخدمت هذه الطريقة لحساب ثابت أبيري بدقة تصل إلى عدة ملايين من المنازل العشرية الصحيحة. [ 17 ]

رقمًا برقم

في عام 1998، قدم برودهيرست تمثيلاً متسلسلاً يسمح بحساب الأرقام الثنائية العشوائية، وبالتالي، الحصول على الثابت بواسطة خوارزمية الصنبور في وقت خطي تقريبًا ومساحة لوغاريتمية . [ 18 ]

آحرون

تم التوصل إلى التمثيل التسلسلي التالي بواسطة رامانوجان : [ 19 ]

ζ(3)=7180π3-2∑ك=1∞1ك3(هـ2πك-1).{\displaystyle \zeta (3)={\frac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}.}

تم التوصل إلى التمثيل التسلسلي التالي بواسطة سيمون بلوف في عام 1998: [ 20 ]

ζ(3)=14∑ك=1∞1ك3سينه⁡(πك)-112∑ك=1∞1ك3(هـ2πك-1)-72∑ك=1∞1ك3(هـ2πك+1).{\displaystyle \zeta (3)=14\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}\sinh(\pi k)}}-{\frac {11}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}-{\frac {7}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}+1)}}.}

قام سريفاستافا (2000) بجمع العديد من المتسلسلات التي تتقارب إلى ثابت أبيري.

التمثيلات التكاملية

توجد العديد من التمثيلات التكاملية لثابت أبيري. بعضها بسيط، والبعض الآخر أكثر تعقيداً.

معادلات بسيطة

الصيغة التالية تتبع مباشرة من التعريف التكاملي لدالة زيتا:

ζ(3)=12∫0∞x2هـx-1دx{\displaystyle \zeta (3)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\,dx}

صيغ أكثر تعقيدًا

وتشمل الصيغ الأخرى [ 21 ]

ζ(3)=π∫0∞كوس⁡(2دالة الظل العكسي⁡x)(x2+1)(ضرب بالعصا⁡12πx)2دx{\displaystyle \zeta (3)=\pi \int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(2\arctan x)}{(x^{2}+1)\left(\cosh {\frac {1}{2}}\pi x\right)^{2}}}\,dx}

و [ 22 ]

ζ(3)=-12∫01∫01سجل⁡(xy)1-xyدxدy=-∫01∫01سجل⁡(1-xy)xyدxدy.{\displaystyle \zeta (3)=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {\log(xy)}{1-xy}}\,dx\,dy=-\int _{0}^{1}\!\!\int _{0}^{1}{\frac {\log(1-xy)}{xy}}\,dx\,dy.}

أيضًا، [ 23 ]

ζ(3)=8π27∫01x(x4-4x2+1)سجل⁡سجل⁡1x(1+x2)4دx=8π27∫1∞x(x4-4x2+1)سجل⁡سجل⁡x(1+x2)4دx.{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (3)&={\frac {8\pi ^{2}}{7}}\int _{0}^{1}{\frac {x(x^{4}-4x^{2}+1)\log \log {\frac {1}{x}}}{(1+x^{2})^{4}}}\,dx\\&={\frac {8\pi ^{2}}{7}}\int _{1}^{\infty }{\frac {x(x^{4}-4x^{2}+1)\log \log {x}}{(1+x^{2})^{4}}}\,dx.\end{aligned}}}

صلة بمشتقات دالة جاما [ 24 ]

ζ(3)=-12(Γ‴(1)+γ3+12π2γ)=-12ψ(2)(1){\displaystyle \zeta (3)=-{\tfrac {1}{2}}(\Gamma '''(1)+\gamma ^{3}+{\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}\gamma )=-{\tfrac {1}{2}}\psi ^{(2)}(1)}

كما أنه مفيد للغاية في اشتقاق تمثيلات تكاملية مختلفة عبر الصيغ التكاملية المعروفة لدوال غاما وبوليغاما . [ 25 ]

الكسر المستمر

يرتبط ثابت أبيري بالكسر المستمر التالي : [ 26 ]

6ζ(3)=5-1117-64535-7291436-40963105-15625...{\displaystyle {\frac {6}{\zeta (3)}}=5-{\cfrac {1}{117-{\cfrac {64}{535-{\cfrac {729}{1436-{\cfrac {4096}{3105-{\cfrac {15625}{\dots }}}}}}}}}}}

معأن=34ن3+51ن2+27ن+5{\displaystyle a_{n}=34n^{3}+51n^{2}+27n+5}وبن=-ن6{\displaystyle b_{n}=-n^{6}}.

يُعطى الكسر المستمر البسيط الخاص به بواسطة: [ 27 ]

ζ(3)=1+14+11+118+11+11+1...{\displaystyle \zeta (3)=1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{18+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\dots }}}}}}}}}}}}}

يتم تقديم صيغ أخرى من خلال: [ 28 ]

ζ(3)=جي0،جيك=1+14+11+(ك+1)3(ك+1)(2ك+3)(2ك+4)+(ك+2)3جيك+1{\displaystyle \zeta (3)=G_{0}},G_{k}=1+{\frac {1}{4+{\frac {1}{1+{\frac {(k+1)^{3}}{(k+1)(2k+3)(2k+4)+{\frac {(k+2)^{3}}{G_{k+1}}}}}}}}}
ζ(3)=6دبليو0،دبليوك=4(2ك+1)3+(ك+1)31+(ك+1)3دبليوك+1{\displaystyle \zeta (3)={\frac {6}{W_{0}}},W_{k}=4(2k+1)^{3}+{\frac {(k+1)^{3}}{1+{\frac {(k+1)^{3}}{W_{k+1}}}{}}}}

[ 29 ]

2ζ(3)=2+1شمال0،شمالك=2ك+2+(ك+1)(ك+2)2ك+4+(ك+1)22ك+3+(ك+2)22ك+2+(ك+1)(ك+2)شمالك+1{\displaystyle 2\zeta (3)=2+{\frac {1}{N_{0}}},N_{k}=2k+2+{\frac {(k+1)(k+2)}{2k+4+{\frac {(k+1)^{2}}{2k+3+{\frac {(k+2)^{2}}{2k+2+{\frac {(k+1)(k+2)}{N_{k+1}}}}}}}}}}

[ 30 ]

2ζ(3)=2+42ح0،حك=أ(ك)-ب(ك)حك+1{\displaystyle 2\zeta (3)=2+{\frac {42}{H_{0}}},H_{k}=a(k)-{\frac {b(k)}{H_{k+1}}}}

مع

أ(ك)=2(102ك6+612ك5+1462ك4+1768ك3+1143ك2+382ك+52){\displaystyle a(k)=2(102k^{6}+612k^{5}+1462k^{4}+1768k^{3}+1143k^{2}+382k+52)}
ب(ك)=(ك+1)3(ك+2)3(2ك+1)(2ك+5)(3ك2+3ك+1)(3ك2+15ك+19){\displaystyle b(k)=(k+1)^{3}(k+2)^{3}(2k+1)(2k+5)(3k^{2}+3k+1)(3k^{2}+15k+19)}

[ 31 ]

2ζ(3)=76+7312*S0،Sك=أ(ك)-ب(ك)Sك+1{\displaystyle 2\zeta (3)={\frac {7}{6}}+{\frac {73}{12*S_{0}}},S_{k}=a(k)-{\frac {b(k)}{S_{k+1}}}}

مع

أ(ك)=2(204ك6+1173ك5+2668ك4+3065ك3+1905ك2+634ك+86){\displaystyle a(k)=2(204k^{6}+1173k^{5}+2668k^{4}+3065k^{3}+1905k^{2}+634k+86)}
ب(ك)=(ك+1)3(ك+2)34(24ك3+30ك2+16ك+3)(24ك3+174ك2+424ك+347){\displaystyle b(k)={\frac {(k+1)^{3}(k+2)^{3}}{4}}(24k^{3}+30k^{2}+16k+3)(24k^{3}+174k^{2}+424k+347)}

الأرقام المعروفة

ازداد عدد الأرقام المعروفة لثابت أبيري ζ (3) بشكل كبير خلال العقود الماضية، ويبلغ الآن أكثر من2 × 10 12. ويرجع ذلك إلى كل من الأداء المتزايد لأجهزة الكمبيوتر والتحسينات الخوارزمية.

عدد الأرقام العشرية المعروفة لثابت أبيري ζ (3)
تاريخالأرقام العشريةالحساب الذي تم إجراؤه بواسطة
173516ليونارد أويلر
مجهول16أدريان ماري ليجندر
188732توماس يوهانس ستيلتجس
1996520000​جريج جيه. في وسيمون بلوف
1997مليون​​برونو هيبل وتوماس بابانيكولاو
مايو 199710 536 006باتريك ديميشيل
فبراير 199814000074​​سيباستيان ويدينيفسكي
مارس 199832000 213​سيباستيان ويدينيفسكي
يوليو 199864000091​​سيباستيان ويدينيفسكي
ديسمبر 1998128000026​​سيباستيان ويدينيفسكي [ 1 ]
سبتمبر 2001200 001 000شيجيرو كوندو وكزافييه جوردون
فبراير 2002600 001 000شيجيرو كوندو وكزافييه جوردون
فبراير 20031,000,000,000​​​باتريك ديميشيل وكزافييه جوردون [ 32 ]
أبريل 200610,000,000,000​​​شيجيرو كوندو وستيف باجليارولو
21 يناير 200915,510,000,000​​​ألكسندر ج. يي وريموند تشان [ 33 ]
15 فبراير 200931,026,000,000​​​ألكسندر ج. يي وريموند تشان [ 33 ]
17 سبتمبر 2010100000001000​​​ألكسندر ج. يي [ 34 ]
23 سبتمبر 2013200000001000​​​روبرت ج. سيتي [ 34 ]
7 أغسطس 2015250,000,000,000​​​رون واتكينز [ 34 ]
21 ديسمبر 2015400000000000​​​ديبانجان ناج [ 35 ]
13 أغسطس 2017500000000000​​​رون واتكينز [ 34 ]
26 مايو 20191,000,000,000,000​​​​إيان كاتريس [ 36 ]
26 يوليو 20201,200,000,000 100​​​سيونغمين كيم [ 36 ] [ 37 ]
22 ديسمبر 20232 020 569 031 595أندرو صن [ 36 ]

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. 1 2 Wedeniwski (2001) .
  2. ↑ فريز (1985) .
  3. 1 2 مولين (2009) .
  4. 1 2 أبيري (1979) .
  5. ↑ فان دير بورتن (1979) .
  6. ^ بيوكيرز (1979) ؛ زوديلين (2002) .
  7. ↑ ريفوال (2000) .
  8. ↑ زوديلين (2001) .
  9. ↑ أويلر (1773) .
  10. ↑ سريفاستافا (2000) ، ص. 571 (1.11).
  11. ↑ ماركوف (1890) .
  12. ↑ Hjortnaes (1953) .
  13. ↑ أمديبرهان (1996) .
  14. ^ أمديبرهان وزيلبيرجر (1997) .
  15. ↑ محمد (2005) .
  16. ↑ ويدينيفسكي (1998) ؛ ويدينيفسكي (2001) . في رسالته إلى سيمون بلوف، ذكر سيباستيان ويدينيفسكي أنه استخلص هذه الصيغة من أمديبرهان وزيلبرغر (1997) . وقد ذُكر عام الاكتشاف (1998) في جدول سجلات سيمون بلوف (8 أبريل 2001).
  17. ↑ Wedeniwski (1998) ؛ Wedeniwski (2001) .
  18. ↑ برودهيرست (1998) .
  19. ↑ بيرندت (1989 ، الفصل 14، الصيغتان 25.1 و25.3) .
  20. ↑ بلوف (1998) .
  21. ↑ جنسن (1895) .
  22. ↑ بيوكيرز (1979) .
  23. ↑ بلاغوشين (2014) .
  24. ↑ هابر، هوارد إي. (شتاء 2010)، "المشتق اللوغاريتمي لدالة غاما" (ملف PDF) ، ملاحظات محاضرات الفيزياء 116أ ، جامعة كاليفورنيا، سانتا كروز
  25. ↑ إيفغرافوف وآخرون (1969) ، التمرين 30.10.1.
  26. ↑ وايسشتاين، إريك دبليو، "ثابت أبيري" ، mathworld.wolfram.com ، تم الاطلاع عليه في 21 سبتمبر 2024
  27. ↑ وايسشتاين، إريك دبليو، "كسر أبيري المستمر الثابت" ، mathworld.wolfram.com ، تم الاطلاع عليه في 21 سبتمبر 2024
  28. ↑ إس إن جلادكوفسكي: اشتقاق أولي لصيغة يو. في. نيستيرينكو، توسيع في كسر مستمر لعدد 2*ζ(3) https://arxiv.org/pdf/2411.07513
  29. ↑ ج. ب. نيسترينكو، “بعض التخفيضات من ζ(3)”، ماتي. заметки، 59:6 (1996)، 865–880؛ الرياضيات. ملاحظات، 59: 6 (1996)، 625-636
  30. ↑ غوتنيك، إل إيه، "حول العدد ζ(3)" (ملف PDF) ، تم الاطلاع عليه في 1 مارس 2026
  31. ↑ أنيير سوريا لورينتي، دالة كسرية شبيهة بدالة نيستيرينكو، مفيدة لإثبات نظرية أبيري. ملاحظات حول نظرية الأعداد والرياضيات المتقطعة، ISSN 1310-5132، المجلد 20، 2014، العدد 2، 79-91
  32. ↑ جوردون وسيباه (2003) .
  33. 1 2 يي (2009) .
  34. 1 2 3 4 Yee (2017) .
  35. ↑ ناج (2015) .
  36. 1 2 3 يي، ألكسندر، الأرقام القياسية التي سجلها واي-كرانشر ، تم الاطلاع عليها في 1 أبريل 2024.
  37. ↑ الرقم القياسي العالمي الثابت لأبيري بقلم سونغمين كيم ، 28 يوليو 2020 ، تم الاطلاع عليه في 28 يوليو 2020.

مراجع

للمزيد من القراءة

  • راماسوامي، ف. (1934)، "ملاحظات حول دالة زيتا لريمان"، مجلة الجمعية الرياضية بلندن ، 9 (3): 165-169 ، doi : 10.1112/jlms/s1-9.3.165.
  • ناهين، بول ج. (2021)، في البحث عن زيتا-3: أكثر مسائل الرياضيات غموضًا التي لم تُحل في العالم ، برينستون: مطبعة جامعة برينستون، رمز Bibcode : 2021ipzw.book.....N ، رقم ISBN 978-0-691-22759-7، OCLC 1260168397 

تتضمن هذه المقالة مواد من ثابت أبيري على موقع PlanetMath ، وهو مرخص بموجب رخصة Creative Commons Attribution/Share-Alike .