مؤثر الزخم الزاوي

التعريف الكلاسيكي للزخم الزاوي هو${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$تشترك النظائر الكمومية لهذه الأجسام في نفس العلاقة: $${\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }$$ حيث r هو مؤثر الموضع الكمومي ، وp هو مؤثر الزخم الكمومي ، و× هو الضرب الاتجاهي ، و L هو مؤثر الزخم الزاوي المداري . L (تمامًا مثل p و r ) هو مؤثر متجه (متجه مركباته مؤثرات)، أي${\displaystyle \mathbf {L} =\left(L_{x},L_{y},L_{z}\right)}$حيث أن L _x و L _y و L _z هي ثلاثة عوامل ميكانيكية كمومية مختلفة.

في الحالة الخاصة لجسيم واحد بدون شحنة كهربائية وبدون دوران ، يمكن كتابة عامل الزخم الزاوي المداري في أساس الموضع على النحو التالي:$${\displaystyle \mathbf {L} =-i\hbar (\mathbf {r} \times \nabla )}$$ حيث ∇ هو عامل التفاضل المتجهي، del .

يوجد نوع آخر من الزخم الزاوي، يُسمى الزخم الزاوي الدوراني (ويُختصر غالبًا إلى الدوران )، ويُمثله عامل الدوران.${\displaystyle \mathbf {S} =\left(S_{x},S_{y},S_{z}\right)}$غالبًا ما يُصوَّر اللف المغزلي على أنه جسيم يدور حرفيًا حول محور، لكن هذا مجرد تشبيه: أقرب نظير كلاسيكي له هو الدوران الموجي. ^{[ 2 ]} جميع الجسيمات الأولية لها لف مغزلي مميز ( البوزونات القياسية لها لف مغزلي صفري). على سبيل المثال، للإلكترونات دائمًا "لف مغزلي 1/2" بينما للفوتونات دائمًا "لف مغزلي 1" (التفاصيل أدناه ).

وأخيرًا، هناك الزخم الزاوي الكلي${\displaystyle \mathbf {J} =\left(J_{x},J_{y},J_{z}\right)}$، الذي يجمع بين كل من عزم الدوران المغزلي وعزم الدوران المداري لجسيم أو نظام: $${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {L} +\mathbf {S} .}$$

ينص قانون حفظ الزخم الزاوي على أن قيمة J لنظام مغلق، أو J للكون بأكمله، تبقى ثابتة. مع ذلك، فإن قيمتي L و S لا تبقى ثابتة عمومًا. على سبيل المثال، يسمح تفاعل الدوران المداري بانتقال الزخم الزاوي ذهابًا وإيابًا بين L و S ، مع بقاء قيمة J الكلية ثابتة.

إن مؤثر الزخم الزاوي المداري هو مؤثر متجهي، مما يعني أنه يمكن كتابته بدلالة مركباته المتجهة.${\displaystyle \mathbf {L} =\left(L_{x},L_{y},L_{z}\right)}$. المكونات لها علاقات التبادل التالية مع بعضها البعض: ^{[ 3 ]}$${\displaystyle \left[L_{x},L_{y}\right]=i\hbar L_{z},\;\;\left[L_{y},L_{z}\right]=i\hbar L_{x},\;\;\left[L_{z},L_{x}\right]=i\hbar L_{y},}$$

حيث يرمز [ , ] إلى المُبدِّل$${\displaystyle [X,Y]\equiv XY-YX.}$$

يمكن كتابة ذلك على النحو التالي $${\displaystyle \left[L_{l},L_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}L_{n},}$$ حيث تمثل l و m و n مؤشرات المكونات (1 لـ x ، و2 لـ y ، و3 لـ z )، و ε _lmn يرمز إلى رمز ليفي-تشيفيتا . ويمكن بدلاً من ذلك استخدام اصطلاح الجمع لأينشتاين لكتابة ذلك على النحو التالي:$${\displaystyle \left[L_{l},L_{m}\right]=i\hbar \varepsilon _{lmn}L_{n}.}$$

من الممكن أيضًا التعبير عن ذلك بشكل مختصر كمعادلة متجهة واحدة: ^{[ 4 ]}$${\displaystyle \mathbf {L} \times \mathbf {L} =i\hbar \mathbf {L} }$$

يمكن إثبات علاقات التبادل كنتيجة مباشرة لعلاقات التبادل الأساسية${\displaystyle [x_{l},p_{m}]=i\hbar \delta _{lm}}$، حيث δ _lm هي دلتا كرونكر .

توجد علاقة مماثلة في الفيزياء الكلاسيكية: ^{[ 5 ]}$${\displaystyle \left\{L_{i},L_{j}\right\}=\varepsilon _{ijk}L_{k}}$$ حيث L _n هو أحد مكونات مؤثر الزخم الزاوي الكلاسيكي ، و${\displaystyle \{,\}}$هو قوس بواسون .

تنطبق علاقات التبادل نفسها على عوامل الزخم الزاوي الأخرى (الدوران والزخم الزاوي الكلي): ^{[ 6 ]}$${\displaystyle \left[S_{l},S_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}S_{n},\quad \left[J_{l},J_{m}\right]=i\hbar \sum _{n=1}^{3}\varepsilon _{lmn}J_{n}.}$$

يمكن افتراض صحة هذه الأمور قياساً على L. أو بدلاً من ذلك، يمكن اشتقاقها كما هو موضح أدناه .

تعني علاقات التبادل هذه أن L لها البنية الرياضية لجبر لي ، وأن ε _lmn هي ثوابت بنيتها . في هذه الحالة، يكون جبر لي هو SU(2) أو SO(3) في الترميز الفيزيائي (${\displaystyle \operatorname {su} (2)}$أو${\displaystyle \operatorname {so} (3)}$(على التوالي في الترميز الرياضي)، أي جبر لي المرتبط بالدوران في ثلاثة أبعاد. وينطبق الأمر نفسه على J و S. سيتم مناقشة السبب لاحقًا . تُعدّ علاقات التبادل هذه ذات صلة بالقياس وعدم اليقين، كما سيتم توضيحه لاحقًا.

في الجزيئات، يُمثل الزخم الزاوي الكلي F مجموع الزخم الزاوي الدوراني الاهتزازي (المداري) N ، والزخم الزاوي للدوران الإلكتروني S ، والزخم الزاوي للدوران النووي I. أما في حالات الإلكترون المفردة، فيُرمز للزخم الزاوي الدوراني الاهتزازي بالرمز J بدلاً من N. وكما أوضح فان فليك ^{[ 7 ]،} فإن مركبات الزخم الزاوي الدوراني الاهتزازي الجزيئي، عند إشارتها إلى محاور ثابتة في الجزيء، لها علاقات تبادل مختلفة عن تلك المذكورة أعلاه، والتي تخص المركبات حول محاور ثابتة في الفضاء.

كما هو الحال مع أي متجه، يمكن تعريف مربع المقدار لمؤثر الزخم الزاوي المداري.$${\displaystyle L^{2}\equiv L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}.}$$

${\displaystyle L^{2}}$هو مؤثر كمومي آخر . وهو يتبادل مع مكونات${\displaystyle \mathbf {L} }$، $${\displaystyle \left[L^{2},L_{x}\right]=\left[L^{2},L_{y}\right]=\left[L^{2},L_{z}\right]=0.}$$

إحدى طرق إثبات أن هذه المؤثرات تتبادل هي البدء من علاقات التبادل [ _Lℓ , Lm ] _في القسم السابق:

رياضياً،${\displaystyle L^{2}}$هو ثابت كازيمير لجبر لي SO(3) الممتد بواسطة${\displaystyle \mathbf {L} }$.

كما سبق، توجد علاقة مماثلة في الفيزياء الكلاسيكية: $${\displaystyle \left\{L^{2},L_{x}\right\}=\left\{L^{2},L_{y}\right\}=\left\{L^{2},L_{z}\right\}=0}$$ أين${\displaystyle L_{i}}$هو أحد مكونات مؤثر الزخم الزاوي الكلاسيكي ، و${\displaystyle \{,\}}$هو قوس بواسون . ^{[ 9 ]}

وبالعودة إلى الحالة الكمومية، تنطبق علاقات التبادل نفسها على عوامل الزخم الزاوي الأخرى (الدوران والزخم الزاوي الكلي) أيضاً. $${\displaystyle {\begin{aligned}\left[S^{2},S_{i}\right]&=0,\\\left[J^{2},J_{i}\right]&=0.\end{aligned}}}$$

في ميكانيكا الكم، يُطلق على المؤثرين القابلين للرصد ، عندما لا يتبادلان، اسم المؤثرين المتكاملين . لا يمكن قياس مؤثرين متكاملين في آنٍ واحد، بل يخضعان لمبدأ عدم اليقين . فكلما زادت دقة معرفة أحد المؤثرين، قلت دقة معرفة الآخر. وكما يوجد مبدأ عدم يقين يربط بين الموضع والزخم، توجد مبادئ عدم يقين للزخم الزاوي.

تُعطي علاقة روبرتسون -شرودنغر مبدأ عدم اليقين التالي: $${\displaystyle \sigma _{L_{x}}\sigma _{L_{y}}\geq {\frac {\hbar }{2}}\left|\langle L_{z}\rangle \right|.}$$ أين${\displaystyle \sigma _{X}}$يمثل الانحراف المعياري في القيم المقاسة لـ X و${\displaystyle \langle X\rangle }$يرمز إلى القيمة المتوقعة لـ X. هذه المتباينة صحيحة أيضًا إذا أعيد ترتيب x و y و z ، أو إذا تم استبدال L بـ J أو S.

لذلك، فإن مركبتين متعامدتين للزخم الزاوي (على سبيل المثال L _x و L _y ) متكاملتان ولا يمكن معرفتهما أو قياسهما في آن واحد، إلا في حالات خاصة مثل${\displaystyle L_{x}=L_{y}=L_{z}=0}$.

مع ذلك، من الممكن قياس أو تحديد L² وأي مكون من مكونات L في آنٍ واحد ^؛ على سبيل المثال، L² و ^Lz . _يُعدّ هذا مفيدًا في كثير من الأحيان، وتتميز القيم بالعدد الكمي السمتي ( l ) والعدد الكمي المغناطيسي ( m ). في هذه الحالة ، تكون الحالة الكمية للنظام حالة ذاتية متزامنة للمؤثرين L² ^و Lz _، ولكن ليس للمؤثرين Lx أو Ly _. ترتبط القيم الذاتية بـ l و m ، كما _هو موضح في الجدول أدناه.

إحدى الطرق الشائعة لاستنتاج قواعد التكميم المذكورة أعلاه هي طريقة مؤثرات السلم . ^{[ 12 ]} مؤثرات السلم للزخم الزاوي الكلي${\displaystyle \mathbf {J} =\left(J_{x},J_{y},J_{z}\right)}$تُعرَّف على النحو التالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{+}&\equiv J_{x}+iJ_{y},\\J_{-}&\equiv J_{x}-iJ_{y}\end{aligned}}}$$

يفترض${\displaystyle |\psi \rangle }$هي حالة ذاتية متزامنة لـ${\displaystyle J^{2}}$و${\displaystyle J_{z}}$(أي، حالة ذات قيمة محددة لـ${\displaystyle J^{2}}$وقيمة محددة لـ${\displaystyle J_{z}}$ثم باستخدام علاقات التبادل لمكونات${\displaystyle \mathbf {J} }$يمكن إثبات أن كل ولاية من الولايات${\displaystyle J_{+}|\psi \rangle }$و${\displaystyle J_{-}|\psi \rangle }$إما أن تكون صفرًا أو حالة ذاتية متزامنة لـ${\displaystyle J^{2}}$و${\displaystyle J_{z}}$، بنفس القيمة مثل${\displaystyle |\psi \rangle }$ل${\displaystyle J^{2}}$ولكن بقيم لـ${\displaystyle J_{z}}$التي تزداد أو تنقص بواسطة${\displaystyle \hbar }$على التوالي. وتكون النتيجة صفرًا عندما يؤدي استخدام عامل السلم إلى حالة ذات قيمة لـ${\displaystyle J_{z}}$هذا خارج النطاق المسموح به. باستخدام عوامل السلم بهذه الطريقة، تكون القيم والأعداد الكمية الممكنة لـ${\displaystyle J^{2}}$و${\displaystyle J_{z}}$يمكن العثور عليه.

اشتقاق القيم الممكنة والأعداد الكمية لـ${\displaystyle J_{z}}$و${\displaystyle J^{2}}$[ ^{13 ]​}

يترك${\displaystyle \psi ({J^{2}}'J_{z}')}$لتكن دالة حالة للنظام ذات قيمة ذاتية${\displaystyle {J^{2}}'}$ل${\displaystyle J^{2}}$والقيمة الذاتية${\displaystyle J_{z}'}$ل${\displaystyle J_{z}}$[ ^{ملاحظة 1 ]}

من${\displaystyle J^{2}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}^{2}}$يتم الحصول عليه، $${\displaystyle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}=J^{2}-J_{z}^{2}.}$$ بتطبيق طرفي المعادلة أعلاه على${\displaystyle \psi ({J^{2}}'J_{z}')}$، $${\displaystyle (J_{x}^{2}+J_{y}^{2})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')=({J^{2}}'-J_{z}'^{2})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}').}$$ منذ${\displaystyle J_{x}}$و${\displaystyle J_{y}}$هي متغيرات حقيقية قابلة للملاحظة،${\displaystyle {J^{2}}'-J_{z}'^{2}}$ليس سلبياً و${\textstyle |J_{z}'|\leq {\sqrt {{J^{2}}'}}}$. هكذا${\displaystyle J_{z}'}$له حد أعلى وحد أدنى.

اثنان من علاقات التبادل لمكونات${\displaystyle \mathbf {J} }$نكون، $${\displaystyle [J_{y},J_{z}]=i\hbar J_{x},\;\;[J_{z},J_{x}]=i\hbar J_{y}.}$$ يمكن دمجها للحصول على معادلتين، تُكتبان معًا باستخدام${\displaystyle \pm }$العلامات في ما يلي، $${\displaystyle J_{z}(J_{x}\pm iJ_{y})=(J_{x}\pm iJ_{y})(J_{z}\pm \hbar ),}$$ حيث تستخدم إحدى المعادلات${\displaystyle +}$اللافتات والاستخدامات الأخرى${\displaystyle -}$العلامات. تطبيق كلا جانبي ما سبق على${\displaystyle \psi ({J^{2}}'J_{z}')}$، $${\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')&=(J_{x}\pm iJ_{y})(J_{z}\pm \hbar )\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')\\&=(J_{z}'\pm \hbar )(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')\;.\\\end{aligned}}}$$ يوضح ما سبق أن${\displaystyle (J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}')}$هما دالتان ذاتيتان لـ${\displaystyle J_{z}}$مع القيم الذاتية الخاصة بها${\displaystyle {J_{z}}'\pm \hbar }$إلا إذا كانت إحدى الدوال تساوي صفرًا، فحينها لا تُعتبر دالة ذاتية. أما بالنسبة للدوال التي لا تساوي صفرًا، $${\displaystyle \psi ({J^{2}}'J_{z}'\pm \hbar )=(J_{x}\pm iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}').}$$ الدوال الذاتية الإضافية لـ${\displaystyle J_{z}}$ويمكن إيجاد القيم الذاتية المقابلة من خلال تطبيقها بشكل متكرر${\displaystyle J_{x}\pm iJ_{y}}$طالما أن مقدار القيمة الذاتية الناتجة هو${\displaystyle \leq {\sqrt {{J^{2}}'}}}$بما أن القيم الذاتية لـ${\displaystyle J_{z}}$محدودة، فلنفترض${\displaystyle J_{z}^{0}}$أن تكون القيمة الذاتية الأدنى و${\displaystyle J_{z}^{1}}$كن الأعلى. ثم $${\displaystyle (J_{x}-iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}^{0})=0}$$و $${\displaystyle (J_{x}+iJ_{y})\;\psi ({J^{2}}'J_{z}^{1})=0,}$$ بما أنه لا توجد حالات تكون فيها القيمة الذاتية لـ${\displaystyle J_{z}}$يكون${\displaystyle <J_{z}^{0}}$أو${\displaystyle >J_{z}^{1}}$عن طريق تطبيق${\displaystyle (J_{x}+iJ_{y})}$بالنسبة للمعادلة الأولى،${\displaystyle (J_{x}-iJ_{y})}$إلى الثانية، باستخدام${\displaystyle J_{x}^{2}+J_{y}^{2}=J^{2}-J_{z}^{2}}$واستخدام أيضًا${\displaystyle J_{+}J_{-}=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}-i[J_{x},J_{y}]=J_{x}^{2}+J_{y}^{2}+J_{z}}$، ويمكن إثبات ذلك $${\displaystyle {J^{2}}'-(J_{z}^{0})^{2}+\hbar J_{z}^{0}=0}$$و $${\displaystyle {J^{2}}'-(J_{z}^{1})^{2}-\hbar J_{z}^{1}=0.}$$ بطرح المعادلة الأولى من الثانية وإعادة ترتيبها، $${\displaystyle (J_{z}^{1}+J_{z}^{0})(J_{z}^{0}-J_{z}^{1}-\hbar )=0.}$$ منذ${\displaystyle J_{z}^{1}\geq J_{z}^{0}}$إذا كان العامل الثاني سالبًا، فإن العامل الأول يجب أن يكون صفرًا، وبالتالي${\displaystyle J_{z}^{0}=-J_{z}^{1}}$.

الفرق${\displaystyle J_{z}^{1}-J_{z}^{0}}$ينتج عن التطبيق المتتالي لـ${\displaystyle J_{x}-iJ_{y}}$أو${\displaystyle J_{x}+iJ_{y}}$مما يؤدي إلى خفض أو رفع القيمة الذاتية لـ${\displaystyle J_{z}}$بواسطة${\displaystyle \hbar }$لهذا السبب، $${\displaystyle J_{z}^{1}-J_{z}^{0}=0,\hbar ,2\hbar ,\dots }$$ يترك $${\displaystyle J_{z}^{1}-J_{z}^{0}=2j\hbar ,}$$أين$${\displaystyle j=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\dots \;.}$$ ثم باستخدام${\displaystyle J_{z}^{0}=-J_{z}^{1}}$وما سبق ذكره، $${\displaystyle J_{z}^{0}=-j\hbar }$$و$${\displaystyle J_{z}^{1}=j\hbar ,}$$ والقيم الذاتية المسموح بها لـ${\displaystyle J_{z}}$نكون $${\displaystyle J_{z}'=-j\hbar ,-j\hbar +\hbar ,-j\hbar +2\hbar ,\dots ,j\hbar .}$$ التعبير${\displaystyle J_{z}'}$بدلالة العدد الكمي${\displaystyle m_{j}\;}$واستبدالها${\displaystyle J_{z}^{0}=-j\hbar }$داخل${\displaystyle {J^{2}}'-(J_{z}^{0})^{2}+\hbar J_{z}^{0}=0}$من الأعلى،

${\displaystyle {\begin{aligned}J_{z}'&=m_{j}\hbar &m_{j}&=-j,-j+1,-j+2,\dots ,j\\{J^{2}}'&=j(j+1)\hbar ^{2}&j&=0,{\tfrac {1}{2}},1,{\tfrac {3}{2}},\dots \;.\end{aligned}}}$

منذ${\displaystyle \mathbf {S} }$و${\displaystyle \mathbf {L} }$لها نفس علاقات التبادل مثل${\displaystyle \mathbf {J} }$يمكن تطبيق تحليل السلم نفسه عليهم، باستثناء أنه بالنسبة لـ${\displaystyle \mathbf {L} }$هناك قيد إضافي على الأعداد الكمومية وهو أنها يجب أن تكون أعدادًا صحيحة.

اشتقاق التقييد على الأعداد الكمومية الصحيحة لـ${\displaystyle L_{z}}$و${\displaystyle L^{2}}$[ ^{14 ]​}

في تمثيل شرودنغر، يمكن التعبير عن المكون z لمؤثر الزخم الزاوي المداري في الإحداثيات الكروية على النحو التالي، ^{[ 15 ]}$${\displaystyle L_{z}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}.}$$ ل${\displaystyle L_{z}}$والدالة الذاتية${\displaystyle \psi }$مع القيمة الذاتية${\displaystyle L_{z}'}$، $${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}\psi =L_{z}'\psi .}$$ حل لـ${\displaystyle \psi }$، $${\displaystyle \psi =Ae^{iL_{z}'\phi /\hbar },}$$ أين${\displaystyle A}$مستقل عن${\displaystyle \phi }$. منذ${\displaystyle \psi }$يشترط أن تكون القيمة واحدة، وإضافة${\displaystyle 2\pi }$ل${\displaystyle \phi }$ينتج عن ذلك إحداثيات لنفس النقطة في الفضاء، $${\displaystyle {\begin{aligned}Ae^{iL_{z}'(\phi +2\pi )/\hbar }&=Ae^{iL_{z}'\phi /\hbar },\\e^{iL_{z}'2\pi /\hbar }&=1.\end{aligned}}}$$ إيجاد القيمة الذاتية${\displaystyle L_{z}'}$، $${\displaystyle L_{z}'=m_{l}\hbar \;,}$$ أين${\displaystyle m_{l}}$هو عدد صحيح. ^{[ 16 ]} من ما سبق والعلاقة${\displaystyle m_{\ell }=-\ell ,(-\ell +1),\ldots ,(\ell -1),\ell \ \ }$وبناءً على ذلك${\displaystyle \ell }$وهو أيضًا عدد صحيح. وهذا يدل على أن الأعداد الكمومية${\displaystyle m_{\ell }}$و${\displaystyle \ell }$بالنسبة للزخم الزاوي المداري${\displaystyle \mathbf {L} }$تقتصر على الأعداد الصحيحة، على عكس الأعداد الكمومية للزخم الزاوي الكلي${\displaystyle \mathbf {J} }$وتدور${\displaystyle \mathbf {S} }$والتي يمكن أن تحتوي على قيم نصف عدد صحيح. ^{[ 17 ]}

بما أن الزخم الزاوي عبارة عن مؤثرات كمومية، فلا يمكن تمثيله كمتجهات كما في الميكانيكا الكلاسيكية. ومع ذلك، من الشائع تصويره بشكل تقريبي بهذه الطريقة. يوضح الشكل على اليمين مجموعة من الحالات ذات الأعداد الكمومية.${\displaystyle \ell =2}$، و${\displaystyle m_{\ell }=-2,-1,0,1,2}$بالنسبة للأقماع الخمسة من الأسفل إلى الأعلى.${\displaystyle |L|={\sqrt {L^{2}}}=\hbar {\sqrt {6}}}$جميع المتجهات معروضة بطول${\displaystyle \hbar {\sqrt {6}}}$تمثل الحلقات حقيقة أن${\displaystyle L_{z}}$معروف على وجه اليقين، ولكن${\displaystyle L_{x}}$و ${\displaystyle L_{y}}$غير معروفة؛ لذلك يتم رسم كل متجه كلاسيكي بالطول المناسب والمركبة z المناسبة ، لتشكيل مخروط. القيمة المتوقعة للزخم الزاوي لمجموعة معينة من الأنظمة في الحالة الكمومية التي تتميز بـ${\displaystyle \ell }$و${\displaystyle m_{\ell }}$قد يكون موقعه في مكان ما على هذا المخروط، بينما لا يمكن تحديده لنظام واحد (نظرًا لمكونات${\displaystyle L}$(لا يتنقلون مع بعضهم البعض).

يُعتقد على نطاق واسع أن قواعد التكميم صحيحة حتى بالنسبة للأنظمة العيانية، مثل الزخم الزاوي L لإطار دوار. ومع ذلك، ليس لها تأثير ملحوظ، لذا لم يتم اختبار ذلك. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle L_{z}/\hbar }$تبلغ قيمة الزخم الزاوي تقريبًا 100000000، ولا فرق يُذكر سواء كانت القيمة الدقيقة عددًا صحيحًا مثل 100000000 أو 100000001، أو عددًا غير صحيح مثل 100000000.2، فالخطوات المنفصلة صغيرة جدًا بحيث لا يمكن قياسها حاليًا. ولأغلب الأغراض، فإن مجموعة جميع القيم الممكنة للزخم الزاوي متصلة فعليًا على المقاييس العيانية. ^{[ 18 ]}

على الرغم من أن المرء قد يتوقع${\displaystyle R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=1}$(دوران 360 درجة هو عامل الوحدة)، هذا لا يُفترض في ميكانيكا الكم، ويتضح أنه غالبًا ما يكون غير صحيح: عندما يكون العدد الكمي للزخم الزاوي الكلي نصف عدد صحيح (1/2، 3/2، إلخ).${\displaystyle R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=-1}$وعندما يكون عددًا صحيحًا،${\displaystyle R\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=+1}$^{[ 6 ]} رياضيًا ، لا يُمثل هيكل الدوران في الكون مجموعة الدورانات ثلاثية الأبعاد SO(3) في الميكانيكا الكلاسيكية، بل يُمثلها SU(2) ، وهي مطابقة لـ SO(3) بالنسبة للدورانات الصغيرة، ولكن حيث يتم التمييز رياضيًا بين دوران 360° ودوران 0°. (مع ذلك، فإن دوران 720° هو نفسه دوران 0°). ^{[ 6 ]}

على الجانب الآخر،${\displaystyle R_{\text{spatial}}\left({\hat {n}},360^{\circ }\right)=+1}$في جميع الأحوال، لأن دورانًا بزاوية 360 درجة لتكوين مكاني هو نفسه عدم الدوران على الإطلاق. (يختلف هذا عن دوران بزاوية 360 درجة للحالة الداخلية (اللف المغزلي) للجسيم، والذي قد يكون أو لا يكون هو نفسه عدم الدوران على الإطلاق). بعبارة أخرى،${\displaystyle R_{\text{spatial}}}$تحمل المؤثرات بنية SO(3) ، بينما${\displaystyle R}$و${\displaystyle R_{\text{internal}}}$تحمل بنية SU(2) .

من المعادلة${\displaystyle +1=R_{\text{spatial}}\left({\hat {z}},360^{\circ }\right)=\exp \left(-2\pi iL_{z}/\hbar \right)}$يختار المرء حالة ذاتية${\displaystyle L_{z}|\psi \rangle =m\hbar |\psi \rangle }$ويرسم $${\displaystyle e^{-2\pi im}=1}$$ وهذا يعني أن أعداد الكم للزخم الزاوي المداري لا يمكن أن تكون إلا أعدادًا صحيحة، وليست أنصاف أعداد صحيحة.

بدءاً من حالة كمومية معينة${\displaystyle |\psi _{0}\rangle }$، ضع في اعتبارك مجموعة الحالات${\displaystyle R\left({\hat {n}},\phi \right)\left|\psi _{0}\right\rangle }$لكل ما هو ممكن${\displaystyle {\hat {n}}}$و${\displaystyle \phi }$أي مجموعة الحالات الناتجة عن تدوير الحالة الابتدائية بكل الطرق الممكنة. يمثل الامتداد الخطي لتلك المجموعة فضاءً متجهيًا ، وبالتالي فإن الطريقة التي تُسقط بها عوامل الدوران حالةً على أخرى هي تمثيل لمجموعة عوامل الدوران.

انطلاقاً من العلاقة بين J ومؤثرات الدوران،

عندما تؤثر مؤثرات الزخم الزاوي على الحالات الكمومية، فإنها تشكل تمثيلاً لجبر لي${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$أو${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$.

(إن جبر لي لـ SU(2) و SO(3) متطابقان.)

إن اشتقاق عامل السلم أعلاه هو طريقة لتصنيف تمثيلات جبر لي SU(2).

لا تتبادل الدورانات الكلاسيكية فيما بينها: فعلى سبيل المثال، ينتج عن الدوران بمقدار درجة واحدة حول المحور السيني ثم درجة واحدة حول المحور الصادي دوران كلي مختلف قليلاً عن الدوران بمقدار درجة واحدة حول المحور الصادي ثم درجة واحدة حول المحور السيني . ومن خلال تحليل عدم التبادل هذا بدقة، يمكن استنتاج علاقات التبادل لمؤثرات الزخم الزاوي. ^{[ 6 ]}

(هذا الإجراء الحسابي نفسه هو إحدى طرق الإجابة على السؤال الرياضي "ما هو جبر لي لمجموعات لي SO(3) أو SU(2) ؟")