رقم ثنائي المركب

في الجبر المجرد ، العدد المركب الثنائي هو زوج ( w , z ) من الأعداد المركبة التي يتم إنشاؤها بواسطة عملية كايلي-ديكسون والتي تحدد المرافق المركب الثنائي${\displaystyle (w,z)^{*}=(w,-z)}$وحاصل ضرب عددين ثنائيي المركب كما يلي:

${\displaystyle (u,v)(w,z)=(uw-vz,uz+vw).}$

ثم يُعطى معيار المركب الثنائي بالصيغة التالية

${\displaystyle (w,z)^{*}(w,z)=(w,-z)(w,z)=(w^{2}+z^{2},0),}$شكل تربيعي في المكون الأول.

تشكل الأعداد الثنائية المركبة جبرًا تبادليًا على C من البعد اثنين وهو متماثل مع المجموع المباشر للجبر C ⊕ C.

ينتج عن ضرب عددين ثنائيي المركب قيمة تربيعية تساوي حاصل ضرب الصيغتين التربيعيتين للعددين: ويرتبط التحقق من هذه الخاصية للصيغة التربيعية للضرب بمتطابقة براهمغوبتا-فيوناتشي . تشير هذه الخاصية للصيغة التربيعية للعدد ثنائي المركب إلى أن هذه الأعداد تُشكل جبرًا تركيبيًا . في الواقع، تنشأ الأعداد ثنائية المركب على مستوى الثنائيات في بناء كايلي-ديكسون القائم على${\displaystyle \mathbb {C} }$بمعيار z ² .

يمكن تمثيل العدد الثنائي المركب العام بواسطة المصفوفة${\displaystyle {\begin{pmatrix}w&iz\\iz&w\end{pmatrix}}}$، والتي لها محدد${\displaystyle w^{2}+z^{2}}$وبالتالي، فإن خاصية التركيب للشكل التربيعي تتفق مع خاصية التركيب للمحدد.

تتميز الأعداد المركبة الثنائية بوحدتين تخيليتين متميزتين . ولأن عملية الضرب تجميعية وتبديلية، فإن حاصل ضرب هاتين الوحدتين التخيليتين يجب أن يكون مربعه موجبًا واحدًا. يُطلق على هذا العنصر اسم الوحدة الزائدية . ^{[ 1 ]}

تشكل الأعداد المركبة الثنائية جبرًا على مجموعة الأعداد الحقيقية (C) من البعد الثاني، وبما أن C من البعد الثاني على مجموعة الأعداد الحقيقية (R) ، فإن الأعداد المركبة الثنائية تشكل جبرًا على مجموعة الأعداد الحقيقية (R) من البعد الرابع. في الواقع، الجبر الحقيقي أقدم من الجبر المركب؛ فقد سُمي بالتيزارينات عام 1848، بينما لم يُقدم الجبر المركب إلا عام 1892.

تستخدم قاعدة الجبر الرباعي الفائق على R الوحدات التالية (مع تمثيلات المصفوفات المعطاة): العنصر المحايد الضربي${\displaystyle 1={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}}$، نفس الوحدة التخيلية${\displaystyle i={\begin{pmatrix}i&0\\0&i\end{pmatrix}}}$كما هو الحال في الأعداد المركبة ، نفس الوحدة الزائدية${\displaystyle j={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}$كما هو الحال في الأعداد المركبة المنقسمة ووحدة تخيلية ثانية${\displaystyle k=ij=ji={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}}$والتي تتضاعف وفقًا للجدول المعطى.

تمت دراسة موضوع الوحدات التخيلية المتعددة في أربعينيات القرن التاسع عشر. في سلسلة طويلة بعنوان "حول الكواترنيونات، أو حول نظام جديد للأعداد التخيلية في الجبر"، والتي بدأت عام 1844 في مجلة "فيلوسوفيكال ماغازين" ، قدم ويليام روان هاميلتون نظامًا للضرب وفقًا لمجموعة الكواترنيونات . وفي عام 1848، نشر توماس كيركمان تقريرًا عن مراسلاته مع آرثر كايلي بشأن المعادلات المتعلقة بالوحدات التي تحدد نظامًا للأعداد المركبة الفائقة. ^{[ 2 ]}

اكتب ^2C = C ⊕ C ومثّل عناصرها بأزواج مرتبة ( u , v ) من الأعداد المركبة. بما أن جبر الفيسارينات T متماثل مع ^2C ، فإن حلقتي كثيرات الحدود T [X] و ² C [ X ] متماثلتان أيضًا، إلا أن كثيرات الحدود في الجبر الأخير تنقسم.

$\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(a_{k},b_{k})(u,v)^{k}\quad =\quad \left({\sum _{k=1}^{n}a_{i}u^{k}},\quad \sum _{k=1}^{n}b_{k}v^{k}\right).}$

وبالتالي، عندما تكون معادلة متعددة الحدود${\displaystyle f(u,v)=(0,0)}$في هذه المجموعة الجبرية، يتم اختزالها إلى معادلتين كثيرتي الحدود على C. إذا كانت الدرجة n ، فإن لكل معادلة n جذرًا :${\displaystyle u_{1},u_{2},\dots ,u_{n},\ v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}.}$ أي زوج يتم طلبه${\displaystyle (u_{i},v_{j})\!}$من هذه المجموعة من الجذور ستحقق المعادلة الأصلية في ² C [ X ]، لذا فإن لها n ² جذرًا. ^{[ 7 ]}

بسبب التشاكل مع T [ X ]، توجد مطابقة بين كثيرات الحدود ومطابقة بين جذورها. وبالتالي، فإن كثيرات الحدود التيسارينية من الدرجة ⁿ لها أيضًا n² جذرًا، مع الأخذ في الاعتبار تعدد الجذور .

يظهر العدد الثنائي المركب كمركز لـ CAPS ( الجبر المعقد للفضاء الفيزيائي )، وهو جبر كليفورد${\displaystyle Cl(3,\mathbb {C} )}$[ ^{8 ] بما أن الفضاء الخطي لـ} CAPS يمكن اعتباره الفضاء رباعي الأبعاد span {${\displaystyle 1,e_{1},e_{2},e_{3}}$} زيادة {${\displaystyle 1,i,k,j}$}.

تم استخدام الفيسارين في معالجة الإشارات الرقمية . ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}

تُستخدم الأعداد المركبة الثنائية في ميكانيكا الموائع. ويُوفّق استخدام الجبر المركب الثنائي بين تطبيقين متميزين للأعداد المركبة: تمثيل التدفقات الكامنة ثنائية الأبعاد في المستوى المركب، والدالة الأسية المركبة . ^{[ 12 ]}

• جي. بيلي برايس (1991) مقدمة في الفضاءات والدوال متعددة التعقيد مارسيل ديكر ISBN 0-8247-8345-X
• F. Catoni، D. Boccaletti، R. Cannata، V. Catoni، E. Nichelatti، P. Zampetti. (2008) رياضيات مينكوفسكي الزمكان مع مقدمة للأرقام التبادلية المفرطة ، Birkhäuser Verlag ، بازل ISBN 978-3-7643-8613-9
• ألباي د، لونا-إليزاراراس م.إ، شابيرو م، ستروبا د.س. (2014) أساسيات التحليل الوظيفي باستخدام الكميات القياسية ثنائية المركب، وتحليل شور ثنائي المركب ، تشام، سويسرا: سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا
• لونا-إليزاراراس، م. إي.، شابيرو، م.، ستروبا، د. س.، فاجياك، أ. (2015). الدوال الهولومورفية ثنائية المركب: جبر وهندسة وتحليل الأعداد ثنائية المركب . تشام، سويسرا: بيركهاوزر.
• روشون، دومينيك، ومايكل شابيرو (2004). "حول الخصائص الجبرية للأعداد الثنائية المركبة والأعداد الزائدية." مجلة التحليل بجامعة أوراديا، قسم الرياضيات 11، العدد 71: 110.