المجموع المباشر للوحدات

📅 آخر تحديث: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٩ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 57 صور
الموسوعة الحرة

في الجبر المجرد ، يُعدّ المجموع المباشر بنيةً تجمع عدة وحدات في وحدة جديدة أكبر. ويُمثّل المجموع المباشر للوحدات أصغر وحدة تحتوي على الوحدات المُعطاة كوحدات فرعية دون قيود "غير ضرورية"، مما يجعله مثالاً على الضرب المشترك . قارن ذلك بالضرب المباشر ، وهو المفهوم المُقابل .

تظهر الأمثلة الأكثر شيوعًا لهذا البناء عند دراسة الفضاءات المتجهة (الوحدات النمطية على حقل ) والمجموعات الأبيلية (الوحدات النمطية على حلقة الأعداد الصحيحة Z ) . ويمكن أيضًا توسيع هذا البناء ليشمل فضاءات باناخ وفضاءات هيلبرت .

راجع مقالة "تفكيك الوحدة النمطية" لمعرفة طريقة كتابة الوحدة النمطية كمجموع مباشر للوحدات النمطية الفرعية.

بناء الفضاءات المتجهة والمجموعات الأبيلية

نقدم أولاً البنية في هاتين الحالتين، بافتراض وجود عنصرين فقط. ثم نعممها لتشمل أي مجموعة من الوحدات النمطية. وتتضح العناصر الأساسية للبنية العامة بشكل أكبر من خلال دراسة هاتين الحالتين بتعمق.

إنشاء فضاءين متجهين

لنفترض أن V و W فضاءان متجهيان على الحقل K. يمكن إعطاء حاصل الضرب الديكارتي V × W بنية فضاء متجهي على K ( Halmos 1974 ، §18) عن طريق تعريف العمليات على مستوى المكونات:

  • ( v 1 , w 1 ) + ( v 2 , w 2 ) = ( v 1 + v 2 , w 1 + w 2 )
  • α ( v , w ) = ( α v , α w )

for v , v 1 , v 2 ∈ V , w , w 1 , w 2 ∈ W , and α ∈ K .

يُطلق على فضاء المتجهات الناتج اسم المجموع المباشر لـ V و W ، ويُشار إليه عادةً برمز زائد داخل دائرة: V⊕دبليو{\displaystyle V\oplus W}

من المعتاد كتابة عناصر المجموع المرتب ليس كأزواج مرتبة ( v , w )، ولكن كمجموع v + w .

الفضاء الجزئي V × {0} من V ⊕ W متماثل مع V ، وغالبًا ما يُعرَّف بـ V ؛ وبالمثل بالنسبة لـ {0} × W و W. (انظر المجموع المباشر الداخلي أدناه). مع هذا التعريف، يمكن كتابة كل عنصر من V ⊕ W بطريقة واحدة فقط كمجموع عنصر من V وعنصر من W. بُعد V ⊕ W يساوي مجموع بُعدي V و W. أحد الاستخدامات الأساسية هو إعادة بناء فضاء متجهي منتهٍ من أي فضاء جزئي W ومتممه المتعامد. Rن=دبليو⊕دبليو⊥{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=W\oplus W^{\perp }}

يمكن تعميم هذا البناء بسهولة على أي عدد محدود من الفضاءات المتجهة.

بناء مجموعتين أبيليتيتين

بالنسبة للمجموعات الأبيلية G و H المكتوبة بطريقة الجمع، يُطلق على حاصل الضرب المباشر لـ G و H أيضًا اسم المجموع المباشر ( ماك لين وبيركوف 1999 ، §V.6) . وبالتالي، فإن حاصل الضرب الديكارتي G × H مزود ببنية مجموعة أبيلية من خلال تعريف العمليات عنصرًا عنصرًا.

( g1 , h1 ) + ( g2 , h2 ) = ( g1 + g2 , h1 + h2 )​​​​

بالنسبة لـ g 1 و g 2 في G ، و h 1 و h 2 في H.

تُعرَّف المضاعفات الصحيحة بشكل مماثل على أساس كل عنصر على حدة.

n ( g , h ) = ( ng , nh )

لكل g في G و h في H و n عدد صحيح . هذا يوازي امتداد الضرب القياسي للفضاءات المتجهة إلى المجموع المباشر أعلاه.

تُسمى المجموعة الأبيلية الناتجة بالمجموع المباشر لـ G و H ، وعادة ما يُرمز لها بعلامة زائد داخل دائرة: جي⊕ح{\displaystyle G\oplus H}

من المعتاد كتابة عناصر المجموع المرتب ليس كأزواج مرتبة ( g ، h )، ولكن كمجموع g + h .

الزمرة الجزئية G × {0} من G ⊕ H متماثلة مع G ، وغالبًا ما تُعرَّف بـ G ؛ وكذلك الحال بالنسبة لـ {0} × H و H. (انظر المجموع المباشر الداخلي أدناه). مع هذا التعريف ، يصح أن كل عنصر من G ⊕ H يمكن كتابته بطريقة واحدة فقط كمجموع عنصر من G وعنصر من H. رتبة G ⊕ H تساوي مجموع رتبتي G و H.

يمكن تعميم هذا البناء بسهولة على أي عدد محدود من المجموعات الأبيلية.

بناء مجموعة وحدات عشوائية

ينبغي ملاحظة تشابه واضح بين تعريفَي المجموع المباشر لفضاءين متجهيين ومجموعتين أبيليتيتين. في الواقع، يُعدّ كلٌّ منهما حالةً خاصةً من بناء المجموع المباشر لوحدتين نمطيتين . إضافةً إلى ذلك، يُمكن، بتعديل التعريف، استيعاب المجموع المباشر لعائلة لانهائية من الوحدات النمطية. التعريف الدقيق هو كما يلي ( بورباكي 1989 ، §II.1.6) .

ليكن R حلقة، و { M i  : i ∈ I } عائلة من وحدات R اليسارية المفهرسة بالمجموعة I. يُعرَّف المجموع المباشر لـ { M i } بأنه مجموعة جميع المتتاليات   (αأنا){\displaystyle (\alpha _{i})}أينαأنا∈مأنا{\displaystyle \alpha _{i}\in M_{i}}وαأنا=0{\displaystyle \alpha _{i}=0}لعدد محدود من المؤشرات i . ( الضرب المباشر مماثل ولكن المؤشرات لا تحتاج إلى أن تتلاشى بشكل محدود.)

يمكن تعريفها أيضًا على أنها دوال α من I إلى الاتحاد المنفصل للوحدات Mi بحيث يكون α( i ) ∈ Mi لجميع i ∈ I و α( i ) = 0 لعدد محدود من المؤشرات i . ويمكن اعتبار هذه الدوال، بشكل مكافئ، مقاطع ذات دعم محدود لحزمة الألياف على مجموعة المؤشرات I ، مع وجود الألياف على  أنا∈أنا{\displaystyle i\in I}كونمأنا{\displaystyle M_{i}}.

ترث هذه المجموعة بنية الوحدة النمطية عبر الجمع العنصري والضرب القياسي. وبشكل صريح، يمكن جمع سلسلتين (أو دالتين) من هذا النوع، α و β، بكتابة(α+β)أنا=αأنا+βأنا{\displaystyle (\alpha +\beta )_{i}=\alpha _{i}+\beta _{i}}لكل i (لاحظ أن هذا يساوي صفرًا مرة أخرى لجميع المؤشرات باستثناء عدد محدود منها)، ويمكن ضرب هذه الدالة بعنصر r من R عن طريق تعريفر(α)أنا=(رα)أنا{\displaystyle r(\alpha )_{i}=(r\alpha )_{i}}لكل i . وبهذه الطريقة، يصبح المجموع المباشر وحدة نمطية يسارية R ، ويُرمز إليه بـ ⨁أنا∈أنامأنا.{\displaystyle \bigoplus _{i\in I}M_{i}.}

من المعتاد كتابة التسلسل(αأنا){\displaystyle (\alpha _{i})}كمجموع∑αأنا{\displaystyle \sum \alpha _{i}}أحيانًا يكون المجموع الأولي∑′αأنا{\displaystyle \sum '\alpha _{i}}يُستخدم للإشارة إلى أن عددًا لا نهائيًا من الحدود يساوي صفرًا.

ملكيات

  • المجموع المباشر هو وحدة فرعية من حاصل الضرب المباشر للوحدات Mi ( بورباكي 1989 ، §II.1.7) . حاصل الضرب المباشر هو مجموعة جميع الدوال α من I إلى الاتحاد المنفصل للوحدات Mi حيث α ( i ) ∈ Mi ، ولكنها لا تتلاشى بالضرورة لجميع قيم i باستثناء عدد محدود منها . إذا كانت مجموعة المؤشرات I منتهية، فإن المجموع المباشر وحاصل الضرب المباشر متساويان.
  • يمكن تعريف كل وحدة من الوحدات M i بالوحدة الفرعية للمجموع المباشر التي تتكون من تلك الدوال التي تتلاشى عند جميع المؤشرات المختلفة عن i . وبهذه التعريفات، يمكن كتابة كل عنصر x من المجموع المباشر بطريقة واحدة فقط كمجموع عدد محدود من العناصر من الوحدات M i .
  • إذا كانت M i فضاءات متجهة بالفعل، فإن بُعد المجموع المباشر يساوي مجموع أبعاد M i . وينطبق الأمر نفسه على رتبة الزمر الأبيلية وطول الوحدات النمطية .
  • كل فضاء متجهي على الحقل K متماثل مع مجموع مباشر لعدد كافٍ من نسخ K ، لذا بمعنى ما، لا يلزم النظر إلا في هذه المجاميع المباشرة. هذا لا ينطبق على الوحدات النمطية على الحلقات العشوائية.
  • يتوزع حاصل الضرب الموتري على المجاميع المباشرة بالمعنى التالي: إذا كان N هو وحدة R- يمينية ، فإن المجموع المباشر لحاصل الضرب الموتري لـ N مع Mi ( وهي مجموعات أبيلية) متماثل بشكل طبيعي مع حاصل الضرب الموتري لـ N مع المجموع المباشر لـ Mi.
  • المجاميع المباشرة تبادلية وتجميعية (حتى التشاكل)، مما يعني أنه لا يهم الترتيب الذي يتم به تكوين المجموع المباشر .
  • إن المجموعة الأبيلية للتشاكلات الخطية R من المجموع المباشر إلى بعض الوحدات النمطية اليسرى R L متماثلة بشكل طبيعي مع الضرب المباشر للمجموعات الأبيلية للتشاكلات الخطية R من Mi إلى L :هومR⁡(⨁أنا∈أنامأنا،ل)≅∏أنا∈أناهومR⁡(مأنا،ل).{\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}{\biggl (}\bigoplus _{i\in I}M_{i},L{\biggr )}\cong \prod _{i\in I}\operatorname {Hom} _{R}\left(M_{i},L\right).}في الواقع، يوجد بوضوح تشاكل τ من الطرف الأيسر إلى الطرف الأيمن، حيث τ ( θ )( i ) هو التشاكل الخطي R الذي يُرسل x ∈ Mi إلى θ ( x ) (باستخدام التضمين الطبيعي لـ Mi في المجموع المباشر ) . ويُعرَّف معكوس التشاكل τ كما يلي :τ-1(β)(α)=∑أنا∈أناβ(أنا)(α(أنا)){\displaystyle \tau ^{-1}(\beta )(\alpha )=\sum _{i\in I}\beta (i)(\alpha (i))}لأي قيمة α في المجموع المباشر للوحدات M i . النقطة الأساسية هي أن تعريف τ −1 منطقي لأن α ( i ) يساوي صفرًا لجميع قيم i باستثناء عدد محدود منها ، وبالتالي فإن المجموع محدود.
    على وجه الخصوص، فإن الفضاء المتجهي الثنائي للمجموع المباشر للفضاءات المتجهة متماثل مع الناتج المباشر للفضاءات الثنائية لتلك الفضاءات.
  • المجموع المباشر المحدود للوحدات هو ناتج ثنائي : إذاصك:أ1⊕⋯⊕أن→أك{\displaystyle p_{k}:A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}\to A_{k}}هي عمليات الإسقاط المتعارف عليها وأناك:أك↦أ1⊕⋯⊕أن{\displaystyle i_{k}:A_{k}\mapsto A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}}هي عمليات التعيين المضمنة، إذنأنا1∘ص1+⋯+أنان∘صن{\displaystyle i_{1}\circ p_{1}+\cdots +i_{n}\circ p_{n}}يساوي تشاكل الهوية لـ A 1 ⊕ ⋯ ⊕ An ، وصك∘أنال{\displaystyle p_{k}\circ i_{l}}هو التشكل المتطابق لـ A k في حالة l = k ، وهو الخريطة الصفرية بخلاف ذلك.

المجموع المباشر الداخلي

لنفترض أن M وحدة نمطية على R، وأن Mi وحدة نمطية فرعية من M لكل i في I. إذا أمكن كتابة كل x في M بطريقة واحدة فقط كمجموع عدد محدود من عناصر Mi ، فإننا نقول إن M هو المجموع المباشر الداخلي للوحدات النمطية الفرعية Mi ( هالموس 1974 ، §18) . في هذه الحالة، يكون M متماثلًا طبيعيًا مع المجموع المباشر (الخارجي) لـ Mi كما هو مُعرَّف أعلاه ( آدمسون 1972 ، ص 61 ) .

تُعتبر الوحدة الفرعية N من M مجموعًا مباشرًا لـ M إذا وُجدت وحدة فرعية أخرى N′ من M بحيث تكون M هي المجموع المباشر الداخلي لـ N و N′ . في هذه الحالة، تُسمى N و N′ وحدات فرعية متكاملة .

الملكية العالمية

في لغة نظرية الفئات ، يُعد المجموع المباشر ضربًا مشتركًا ، وبالتالي نهاية مشتركة في فئة الوحدات النمطية اليسرى R ، مما يعني أنه يتميز بالخاصية العامة التالية : لكل i في I ، ضع في اعتبارك التضمين الطبيعي

جأنا:مأنا→⨁أنا∈أنامأنا{\displaystyle j_{i}:M_{i}\rightarrow \bigoplus _{i\in I}M_{i}}

والتي تُرسل عناصر M i إلى تلك الدوال التي تساوي صفرًا لجميع الوسائط باستثناء i . الآن، ليكن M وحدة نمطية عشوائية على R ، و f i  : M i → M دوال خطية عشوائية على R لكل i ، عندئذٍ يوجد دالة خطية واحدة فقط على R

و:⨁أنا∈أنامأنا→م{\displaystyle f:\bigoplus _{i\in I}M_{i}\rightarrow M}

بحيث يكون f o j i = f i لجميع قيم i .

مجموعة غروتينديك

يُضفي المجموع المباشر على مجموعة من العناصر بنية الزمرة التبادلية الأحادية ، حيث تُعرَّف عملية جمع العناصر، بينما لا تُعرَّف عملية الطرح. في الواقع، يُمكن تعريف الطرح، ويمكن توسيع كل زمرة تبادلية أحادية إلى زمرة أبيلية . يُعرف هذا التوسيع بزمرة غروتينديك . ويتم التوسيع بتعريف فئات التكافؤ لأزواج العناصر، مما يسمح بمعاملة أزواج معينة كمعكوسات. يُعدّ هذا البناء، المُفصَّل في مقال زمرة غروتينديك، "شاملاً"، إذ يتمتع بخاصية التفرد ، وهو متماثل مع أي تضمين آخر لزمرة تبادلية أحادية في زمرة أبيلية.

المجموع المباشر للوحدات ذات البنية الإضافية

إذا كانت الوحدات التي ندرسها تحمل بنية إضافية (مثل معيار أو جداء داخلي )، فغالبًا ما يمكن جعل المجموع المباشر لهذه الوحدات يحمل هذه البنية الإضافية أيضًا. في هذه الحالة، نحصل على الجداء المشترك في الفئة المناسبة لجميع العناصر التي تحمل البنية الإضافية. ومن الأمثلة البارزة على ذلك فضاءات باناخ وفضاءات هيلبرت .

ما يسمى في بعض النصوص الكلاسيكية [ 1 ] "المجموع المباشر" للجبر على حقل ما يسمى الآن بالضرب المباشر للجبر؛ انظر المقالة حول الضرب المباشر للحصول على معلومات حول هذه.

المجموع المباشر لفضاءات باناخ

المجموع المباشر لفضاءين من فضاءات باناخX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}هو المجموع المباشر لـX{\displaystyle X}وY{\displaystyle Y}تُعتبر فضاءات متجهة، مع المعيار‖(x،y)‖=‖x‖X+‖y‖Y{\displaystyle \|(x,y)\|=\|x\|_{X}+\|y\|_{Y}}للجميعx∈X{\displaystyle x\in X}وy∈Y.{\displaystyle y\in Y.}

عموماً، إذاXأنا{\displaystyle X_{i}}هي مجموعة من فضاءات باناش، حيثأنا{\displaystyle i}يجتاز مجموعة الفهرسأنا،{\displaystyle I,}ثم المجموع المباشر⨁أنا∈أناXأنا{\displaystyle \bigoplus _{i\in I}X_{i}}هي وحدة تتكون من جميع الوظائفx{\displaystyle x}تم تعريفها علىأنا{\displaystyle I}بحيثx(أنا)∈Xأنا{\displaystyle x(i)\in X_{i}}للجميعأنا∈أنا{\displaystyle i\in I}و ∑أنا∈أنا‖x(أنا)‖Xأنا<∞.{\displaystyle \sum _{i\in I}\|x(i)\|_{X_{i}}<\infty .}

المعيار يُعطى بالمجموع أعلاه. والمجموع المباشر مع هذا المعيار هو أيضاً فضاء باناخ.

على سبيل المثال، إذا أخذنا مجموعة الفهرسأنا=شمال{\displaystyle I=\mathbb {N} }وXأنا=R،{\displaystyle X_{i}=\mathbb {R} ,}ثم المجموع المباشر⨁أنا∈شمالXأنا{\displaystyle \bigoplus _{i\in \mathbb {N} }X_{i}}هل المساحةℓ1،{\displaystyle \ell _{1},}والتي تتكون من جميع التسلسلات(أأنا){\displaystyle \left(a_{i}\right)}من الأعداد الحقيقية ذات المعيار المحدود‖أ‖=∑أنا|أأنا|.{\textstyle \|a\|=\sum _{i}\left|a_{i}\right|.}

فضاء فرعي مغلقأ{\displaystyle A}من فضاء باناخX{\displaystyle X}تُستكمل إذا كان هناك فضاء فرعي مغلق آخرب{\displaystyle B}لX{\displaystyle X}بحيثX{\displaystyle X}يساوي المجموع المباشر الداخليأ⊕ب.{\displaystyle A\oplus B.}لاحظ أنه ليس كل فضاء جزئي مغلق مكملاً؛ على سبيل المثالج0{\displaystyle c_{0}}لا يتم استكمالها فيℓ∞.{\displaystyle \ell ^{\infty }.}

المجموع المباشر للوحدات ذات الأشكال الثنائية الخطية

يترك{(مأنا،بأنا):أنا∈أنا}{\displaystyle \left\{\left(M_{i},b_{i}\right):i\in I\right\}}كن عائلة مفهرسة بواسطةأنا{\displaystyle I}من الوحدات المجهزة بأشكال ثنائية الخطية . المجموع المباشر المتعامد هو المجموع المباشر للوحدة مع شكل ثنائي الخطيةب{\displaystyle B}محدد بواسطة [ 2 ]ب((xأنا)،(yأنا))=∑أنا∈أنابأنا(xأنا،yأنا){\displaystyle B\left({\left({x_{i}}\right),\left({y_{i}}\right)}\right)=\sum _{i\in I}b_{i}\left({x_{i},y_{i}}\right)} حيث يكون الجمع منطقيًا حتى بالنسبة لمجموعات الفهارس اللانهائيةأنا{\displaystyle I}لأن عددًا محدودًا فقط من الحدود لا يساوي الصفر.

المجموع المباشر لفضاءات هيلبرت

إذا كان عدد فضاءات هيلبرت محدودًاح1،...،حن{\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{n}}إذا كانت معطى، فيمكن للمرء إنشاء مجموعها المباشر المتعامد كما هو مذكور أعلاه (لأنها فضاءات متجهة)، مع تعريف الضرب الداخلي على النحو التالي: ⟨(x1،...،xن)،(y1،...،yن)⟩=⟨x1،y1⟩+⋯+⟨xن،yن⟩.{\displaystyle \left\langle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right),\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)\right\rangle =\langle x_{1},y_{1}\rangle +\cdots +\langle x_{n},y_{n}\rangle .}

المجموع المباشر الناتج هو فضاء هيلبرت يحتوي على فضاءات هيلبرت المعطاة كفضاءات فرعية متعامدة بشكل متبادل .

إذا كان عدد فضاءات هيلبرت لا نهائيًاحأنا{\displaystyle H_{i}}لأنا∈أنا{\displaystyle i\in I}إذا كانت لدينا المعطيات، يمكننا إجراء نفس البناء؛ لاحظ أنه عند تعريف الضرب الداخلي، سيكون عدد محدود فقط من الحدود غير الصفرية. ومع ذلك، ستكون النتيجة فضاء ضرب داخلي فقط ، ولن تكون بالضرورة كاملة . ثم نُعرّف المجموع المباشر لفضاءات هيلبرت.حأنا{\displaystyle H_{i}}ليكون ذلك بمثابة استكمال لمساحة المنتج الداخلية هذه.

أو بصورة مكافئة، يمكن تعريف المجموع المباشر لفضاءات هيلبرتحأنا{\displaystyle H_{i}}باعتبارها فضاء جميع الدوال α ذات المجالأنا،{\displaystyle I,}بحيثα(أنا){\displaystyle \alpha (i)}هو عنصر منحأنا{\displaystyle H_{i}}لكلأنا∈أنا{\displaystyle i\in I}و: ∑أنا‖α(أنا)‖2<∞.{\displaystyle \sum _{i}\left\|\alpha _{(i)}\right\|^{2}<\infty .}

يُعرَّف حاصل الضرب الداخلي لدالتين من هذا النوع α و β على النحو التالي: ⟨α،β⟩=∑أنا⟨αأنا،βأنا⟩.{\displaystyle \langle \alpha ,\beta \rangle =\sum _{i}\langle \alpha _{i},\beta _{i}\rangle .}

هذا الفضاء مكتمل، ونحصل على فضاء هيلبرت.

على سبيل المثال، إذا أخذنا مجموعة الفهرسأنا=شمال{\displaystyle I=\mathbb {N} }وXأنا=R،{\displaystyle X_{i}=\mathbb {R} ,}ثم المجموع المباشر⊕أنا∈شمالXأنا{\displaystyle \oplus _{i\in \mathbb {N} }X_{i}}هل المساحةℓ2،{\displaystyle \ell _{2},}والتي تتكون من جميع التسلسلات(أأنا){\displaystyle \left(a_{i}\right)}من الأعداد الحقيقية ذات المعيار المحدود‖أ‖=∑أنا‖أأنا‖2.{\textstyle \|a\|={\sqrt {\sum _{i}\left\|a_{i}\right\|^{2}}}.}بمقارنة هذا مع مثال فضاءات باناخ ، نلاحظ أن المجموع المباشر في فضاء باناخ والمجموع المباشر في فضاء هيلبرت ليسا بالضرورة متطابقين. ولكن إذا كان عدد الحدود المضافة محدودًا، فإن المجموع المباشر في فضاء باناخ يكون متماثلًا مع المجموع المباشر في فضاء هيلبرت، مع اختلاف المعيار.

كل فضاء هيلبرت متماثل مع مجموع مباشر لعدد كافٍ من نسخ الحقل الأساسي، والذي يكون إماR أو ج.{\displaystyle \mathbb {R} {\text{ or }}\mathbb {C} .} هذا يُعادل القول بأن لكل فضاء هيلبرت أساسًا متعامدًا. وبشكل أعم، فإن كل فضاء جزئي مغلق من فضاء هيلبرت يكون مُكمِّلًا لأنه يقبل مُكمِّلًا متعامدًا . وعلى العكس، تنص نظرية ليندنشتراوس-تزافريري على أنه إذا كان كل فضاء جزئي مغلق من فضاء باناخ مُكمِّلًا، فإن فضاء باناخ يكون متماثلًا (طوبولوجيًا) مع فضاء هيلبرت.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ ويدربورن ، جيه إتش إم (1934). محاضرات في المصفوفات . الجمعية الرياضية الأمريكية. ص  151.
  2. ^ ميلنور، ج . هوسمولر، د. (1973). أشكال ثنائية الخطية متناظرة . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . المجلد. 73. سبرينغر-فيرلاغ . ص 4 – 5. رقم ISBN   3-540-06009-X. Zbl 0292.10016 . 
  • آدمسون، إيان ت. (1972)، الحلقات والوحدات الأولية ، نصوص الرياضيات الجامعية، أوليفر وبويد، ISBN 0-05-002192-3.
  • بورباكي، نيكولاس (1989)، عناصر الرياضيات، الجبر 1 ، سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 3-540-64243-9.
  • دوميت، ديفيد س.؛ فوت، ريتشارد م. (1991)، الجبر المجرد ، إنجلوود كليفس، نيوجيرسي: برنتيس هول، رقم ISBN 0-13-004771-6.
  • هالموس ، بول (1974)، مساحات متجهة محدودة الأبعاد ، سبرينغر، ISBN 0-387-90093-4
  • ماك لين، إس.؛ بيركوف ، جي. (1999)، الجبر ، جمعية الرياضيات الأمريكية تشيلسي، رقم ISBN 0-8218-1646-2.