تماثل الحلقات

في الرياضيات ، يُعرف التشاكل الحلقي بأنه دالة تحافظ على بنية حلقتين . بتعبير أدق، إذا كانت R و S حلقتين، فإن التشاكل الحلقي هو دالة f  : R → S تحافظ على الجمع والضرب والعنصر المحايد الضربي ؛ أي ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}f(a+b)&=f(a)+f(b),\\f(ab)&=f(a)f(b),\\f(1)&=1,\end{aligned}}}$

لكل a و b في R . ^{[ a ]}

تشير هذه الشروط إلى أن المعكوسات الجمعية والهوية الجمعية محفوظة أيضًا (انظر تماثل المجموعة ).

إذا كانت f ، بالإضافة إلى ذلك، تقابلًا ^، فإن معكوسها f⁻¹ يكون أيضًا تشاكلًا حلقيًا. في هذه الحالة، تُسمى f تشاكلًا حلقيًا ، ويُقال إن الحلقتين R و S متماثلتان . من وجهة نظر نظرية الحلقات، تتمتع الحلقات المتماثلة بنفس الخصائص تمامًا.

إذا كانت R و S حلقات عشوائية ، فإن المفهوم المقابل هو مفهوم التماثل الحلقي ، ^{[ ب ]} المعرف كما سبق باستثناء الشرط الثالث f (1 _R ) = 1 _S. ولا يشترط أن يكون التماثل الحلقي بين الحلقات (الوحدوية) تماثلاً حلقياً .

تركيب تماثلين حلقيين هو تماثل حلقي. ويترتب على ذلك أن الحلقات تُشكل فئةً يكون فيها التماثل الحلقي بمثابة مورفيزم (انظر فئة الحلقات ). وعلى وجه الخصوص، نحصل على مفاهيم التماثل الداخلي الحلقي، والتماثل الحلقي، والتماثل الذاتي الحلقي.

ليكن f  : R → S تشاكلاً حلقياً. عندئذٍ، يمكن استنتاج ما يلي مباشرةً من هذه التعريفات:

• f (0 _R ) = 0 _S .
• f (− a ) = − f ( a ) لجميع a في R .
• لكل عنصر a في R ، ^فإن f ( a ) هو عنصر محايد بحيث يكون f ( a ) ^⁻¹ = f ( a⁻¹ ) . وبالتحديد، يُنشئ f تشاكلًا زمرًا من زمرة العناصر (الضربية) في R إلى زمرة العناصر (الضربية) في S (أو إلى صورة f ).
• صورة f ، التي يرمز لها بـ im( f ) ، هي حلقة فرعية من S.
• نواة الدالة f ، المعرفة على النحو التالي: ker ( f ) = { a in R | f ( a ) = 0 _S } ، هي مثالي ثنائي الجانب في R. كل مثالي ثنائي الجانب في حلقة R هو نواة لبعض التشاكلات الحلقية.
• يكون التشاكل أحاديًا إذا وفقط إذا كانت نواته هي المثالي الصفري .
• خاصية S تقسم خاصية R. ويمكن استخدام هذا أحيانًا لإثبات أنه بين حلقتين معينتين R و S ، لا يوجد تشاكل حلقي R → S.
• إذا كانت R _p هي أصغر حلقة فرعية موجودة في R و S _p هي أصغر حلقة فرعية موجودة في S ، فإن كل تشاكل حلقي f  : R → S يؤدي إلى تشاكل حلقي f _p  : R _p → S _p .
• إذا كانت R حلقة قسمة و S ليست الحلقة الصفرية ، فإن f تكون أحادية.
• إذا كان كل من R و S حقلين ، فإن im ( f ) هو حقل فرعي من S ، لذلك يمكن اعتبار S امتدادًا للحقل R.
• إذا كان I مثاليًا لـ S فإن f ⁻¹ ( I ) مثالي لـ R.
• إذا كانت R و S تبديلية و P مثالي أولي لـ S فإن f ⁻¹ ( P ) مثالي أولي لـ R.
• إذا كانت R و S تبديلية، و M هو مثال أعظمي لـ S ، و f شاملة، فإن f ⁻¹ ( M ) هو مثال أعظمي لـ R.
• إذا كانت R و S تبديلية و S مجال تكاملي ، فإن ker( f ) هو مثالي أولي لـ R.
• إذا كانت R و S تبديلية، و S حقل، و f شاملة، فإن ker( f ) هو مثالي أقصى لـ R.
• إذا كانت f شاملة، فإن P هو مثالي أولي (أقصى) في R و ker( f ) ⊆ P ، فإن f ( P ) هو مثالي أولي (أقصى) في S.

علاوة على ذلك،

• تركيب التماثلات الحلقية S → T و R → S هو تماثل حلقي R → T.
• لكل حلقة R ، فإن تطبيق التطابق R → R هو تماثل حلقي.
• لذلك، فإن فئة جميع الحلقات بالإضافة إلى تماثلات الحلقات تشكل فئة، وهي فئة الحلقات .
• إن التطبيق الصفري R → S الذي يرسل كل عنصر من R إلى 0 هو تشاكل حلقي فقط إذا كانت S هي الحلقة الصفرية (الحلقة التي يكون عنصرها الوحيد هو الصفر).
• لكل حلقة R ، يوجد تشاكل حلقي وحيد Z → R. وهذا يعني أن حلقة الأعداد الصحيحة هي كائن أولي في فئة الحلقات.
• لكل حلقة R ، يوجد تشاكل حلقي وحيد من R إلى الحلقة الصفرية. وهذا يعني أن الحلقة الصفرية هي عنصر نهائي في فئة الحلقات.
• بما أن الكائن الأولي ليس متماثلاً مع الكائن النهائي، فلا يوجد كائن صفري في فئة الحلقات؛ وعلى وجه الخصوص، فإن الحلقة الصفرية ليست كائنًا صفريًا في فئة الحلقات.

• الدالة f  : Z → Z / n Z ، المعرفة بواسطة f ( a ) = [ a ] _​​n = a mod n هي تماثل حلقي شامل مع نواة n Z (انظر الحساب النمطي ).
• الاقتران المعقد C → C هو تماثل حلقي (هذا مثال على التماثل الذاتي الحلقي).
• بالنسبة لحلقة R ذات خاصية أولية p ، فإن R → R ، x → x ^p هو تشاكل داخلي للحلقة يسمى تشاكل فروبينيوس الداخلي .
• إذا كانت R و S حلقتين، فإن الدالة الصفرية من R إلى S تكون تشاكلاً حلقياً إذا وفقط إذا كانت S هي الحلقة الصفرية (وإلا فلن تتمكن من تحويل 1/ _R إلى 1 _/S ). من ناحية أخرى، فإن الدالة الصفرية تكون دائماً تشاكلاً حلقياً .
• إذا كانت R [ X ] تُمثل حلقة جميع كثيرات الحدود في المتغير X بمعاملات تنتمي إلى الأعداد الحقيقية R ، و C تُمثل الأعداد المركبة ، فإن الدالة f  : R [ X ] → C المعرفة بـ f ( p ) = p ( i ) (باستبدال الوحدة التخيلية i بالمتغير X في كثيرة الحدود p ) هي تشاكل حلقي شامل. تتكون نواة f من جميع كثيرات الحدود في R [ X ] التي تقبل القسمة على X² ⁺ 1 .
• إذا كان f  : R → S هو تماثل حلقي بين الحلقتين R و S ، فإن f يحفز تماثلًا حلقيًا بين حلقات المصفوفة M _n ( R ) → M _n ( S ) .
• ليكن V فضاءً متجهيًا على حقل k . عندئذٍ، يكون التطبيق ρ  : k → End( V ) المعطى بالعلاقة ρ ( a ) v = av تشاكلًا حلقيًا. وبشكل أعم، إذا كانت لدينا زمرة أبيلية M ، فإن بنية نمطية على M فوق حلقة R تُكافئ إعطاء تشاكل حلقي R → End( M ) .
• إن التماثل الجبري الأحادي بين الجبر الترابطي الأحادي على حلقة تبديلية R هو تماثل حلقي يكون أيضًا خطيًا R.

• الدالة f  : Z /6 Z → Z /6 Z المعرفة بواسطة f ([ a ] _​​6 ) = [4 a ] ₆ ليست تماثلًا حلقيًا، ولكنها تماثل rng (و rng داخلي)، مع نواة 3 Z /6 Z وصورة 2 Z /6 Z (وهي متماثلة مع Z /3 Z ).
• لا يوجد تماثل حلقي Z / n Z → Z لأي n ≥ 1 .
• إذا كانت R و S حلقتين، فإن التضمين R → R × S الذي يرسل كل r إلى ( r ,0) هو تشاكل rng، ولكنه ليس تشاكل حلقة (إذا لم تكن S هي الحلقة الصفرية)، لأنه لا يرسم العنصر المحايد الضربي 1 لـ R إلى العنصر المحايد الضربي (1,1) لـ R × S.

• تغيير الخواتم