جبر الفضاء المادي

في نظام APS، يتم تمثيل موضع الزمكان كمتجه موازي $${\displaystyle x=x^{\mu }\mathbf {e} _{\mu }=x^{0}+x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3},}$$ حيث يُعطى الزمن بالجزء القياسي x₀ = ct ^، و e₀ = ₁ ، و { e₁ , e₂ , e₃ _} هي الأساس المتعامد القياسي لفضاء الموضع. في بقية هذه المقالة، وما لم يُذكر خلاف ذلك، تُستخدم وحدات بحيث _c = 1، وتُسمى الوحدات الطبيعية . في تمثيل مصفوفة باولي ، تُستبدل متجهات أساس الوحدة بمصفوفات باولي _، ويُستبدل الجزء القياسي بمصفوفة الوحدة. هذا يعني أن تمثيل مصفوفة باولي لموضع الزمكان هو $${\displaystyle x\rightarrow {\begin{pmatrix}x^{0}+x^{3}&&x^{1}-ix^{2}\\x^{1}+ix^{2}&&x^{0}-x^{3}\end{pmatrix}}}$$

يمكن إجراء تحويلات لورنتز المقيدة التي تحافظ على اتجاه الزمن وتتضمن الدورانات والتعزيزات عن طريق رفع متجه الدوران ثنائي الاتجاه W إلى أس$${\displaystyle L=e^{W/2}.}$$

في التمثيل المصفوفي، يُلاحظ أن دوار لورنتز يُشكّل حالةً من زمرة SL(2, C ) ( زمرة خطية خاصة من الدرجة 2 على الأعداد المركبة )، وهي الغطاء المزدوج لزمرة لورنتز . وتُترجم خاصية أحادية دوار لورنتز في الشرط التالي بدلالة حاصل ضرب دوار لورنتز في مرافقه كليفورد. $${\displaystyle \Lambda {\widetilde {\Lambda }}={\widetilde {\Lambda }}\Lambda =1.}$$

يمكن دائمًا تحليل هذا الدوار اللورنتزي إلى عاملين، أحدهما هيرميتي L = L ^† ( تعزيز لورنتز )، والآخر وحدوي R ^† = R ⁻¹ ( دوران ثلاثي الأبعاد )، بحيث $${\displaystyle \Lambda =LR.}$$

يُطلق على العنصر الوحدوي R اسم الدوار لأنه يرمز إلى الدورانات، بينما يرمز العنصر الهرميتي L إلى التعزيزات . الكائن الكلي${\displaystyle \Lambda }$يُطلق عليه اسم دوار لورنتز .

تُعرَّف السرعة الرباعية ( وتُعرف أيضًا بالسرعة الذاتية أو سرعة الزمكان ) بأنها مشتقة متجه موضع الزمكان بالنسبة للزمن الذاتي τ : $${\displaystyle u={\frac {dx}{d\tau }}={\frac {dx^{0}}{d\tau }}+{\frac {d}{d\tau }}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3})={\frac {dx^{0}}{d\tau }}\left[1+{\frac {d}{dx^{0}}}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3})\right].}$$

يمكن تبسيط هذا التعبير بتعريف السرعة العادية على النحو التالي: $${\displaystyle \mathbf {v} ={\frac {d}{dx^{0}}}(x^{1}\mathbf {e} _{1}+x^{2}\mathbf {e} _{2}+x^{3}\mathbf {e} _{3}),}$$ وبالعودة إلى تعريف عامل جاما : $${\displaystyle \gamma (\mathbf {v} )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {|\mathbf {v} |^{2}}{c^{2}}}}}},}$$ بحيث تكون السرعة المناسبة أكثر إحكامًا: $${\displaystyle u=\gamma (\mathbf {v} )(1+\mathbf {v} ).}$$

السرعة الذاتية هي متجه موازٍ أحادي المعامل موجب ، مما يستلزم الشرط التالي بدلالة اقتران كليفورد.$${\displaystyle u{\widetilde {u}}=1.}$$

تتحول السرعة الذاتية تحت تأثير دوار لورنتز${\displaystyle \Lambda }$مثل $${\displaystyle u\rightarrow u^{\prime }=\Lambda u\Lambda ^{\dagger }.}$$ يمكن استنتاج قانون التحويل هذا بسهولة من التشاكل بين APS والجبر الفرعي الزوجي لـ STA.

يمكن الحصول على الزخم الرباعي (أو زخم الزمكان ) في نظام APS بضرب السرعة الذاتية في الكتلة كما يلي: $${\displaystyle p=mu,}$$ مع ترجمة شرط غلاف الكتلة إلى $${\displaystyle {\widetilde {p}}p=p{\widetilde {p}}=pp^{-}=p^{-}p=m^{2}.}$$

يمكن تمثيل السرعة الذاتية u بتحويل لورنتز للسرعة الساكنة 1:$${\displaystyle u=\Lambda \Lambda ^{\dagger }.}$$وهذا يعني أن زخم الزمكان يمكن كتابته أيضاً على أنه تحويل لورنتز لزخم السكون m ،$${\displaystyle p=\Lambda m\Lambda ^{\dagger }.}$$تربط هذه الصياغة البسيطة أيضًا نظام الفيزياء التطبيقية (APS) بمجالات أخرى في الفيزياء ؛ وتحديدًا طرق الحلزونية الدورانية لسعات التشتت والنموذج القياسي البنائي (CSM). ^{[ 3 ] [ 4 ]}

يتم تمثيل المجال الكهرومغناطيسي كمتجه ثنائي F : $${\displaystyle F=\mathbf {E} +i\mathbf {B} ,}$$ حيث يُعطي الجزء الهرميتي المجال الكهربائي E ، ويُعطي الجزء المضاد للهرميتي المجال المغناطيسي B ، و${\displaystyle i=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}}$هو الكمية شبه القياسية للوحدة. في تمثيل مصفوفة باولي القياسي، يكون المجال الكهرومغناطيسي كما يلي: $${\displaystyle F\rightarrow {\begin{pmatrix}E_{3}&E_{1}-iE_{2}\\E_{1}+iE_{2}&-E_{3}\end{pmatrix}}+i{\begin{pmatrix}B_{3}&B_{1}-iB_{2}\\B_{1}+iB_{2}&-B_{3}\end{pmatrix}}\,.}$$

مصدر المجال F هو التيار الكهرومغناطيسي الرباعي : $${\displaystyle J=\rho +\mathbf {J} \,,}$$ حيث يساوي الجزء القياسي كثافة الشحنة الكهربائية ρ ، ويساوي الجزء المتجه كثافة التيار الكهربائي J. وبتقديم متجه الجهد الكهرومغناطيسي المعرف على النحو التالي: $${\displaystyle A=\phi +\mathbf {A} \,,}$$ حيث يساوي الجزء القياسي الجهد الكهربائي ϕ ، ويساوي الجزء المتجه الجهد المغناطيسي A. ويكون المجال الكهرومغناطيسي عندئذٍ أيضًا: $${\displaystyle F=\partial {\widetilde {A}}.}$$ يمكن تقسيم المجال إلى كهربائي $${\displaystyle E=\langle \partial {\widetilde {A}}\rangle _{1}}$$ ومغناطيسي $${\displaystyle B=i\langle \partial {\widetilde {A}}\rangle _{2}}$$ المكونات. هنا، $${\displaystyle \partial =\partial _{t}+\mathbf {e} _{1}\,\partial _{x}+\mathbf {e} _{2}\,\partial _{y}+\mathbf {e} _{3}\,\partial _{z}}$$ ويكون F ثابتًا تحت تحويل قياسي من الشكل $${\displaystyle A\rightarrow A+\partial \chi \,,}$$ أين${\displaystyle \chi }$هو حقل قياسي .

يكون المجال الكهرومغناطيسي متغيراً تحت تحويلات لورنتز وفقاً للقانون $${\displaystyle F\rightarrow F^{\prime }=\Lambda F{\widetilde {\Lambda }}\,.}$$ يمكن استنتاج قانون التحويل هذا بسهولة من التشاكل بين APS والجبر الفرعي الزوجي لـ STA.

يمكن التعبير عن معادلات ماكسويل في معادلة واحدة:$${\displaystyle {\widetilde {\partial }}F={\frac {1}{\varepsilon _{0}}}{\widetilde {J}}\,.}$$تأخذ معادلة قوة لورنتز الشكل التالي: $${\displaystyle {\frac {dp}{d\tau }}=e\langle Fu\rangle _{0\oplus 1}=e\langle Fu\rangle _{0}+e\langle Fu\rangle _{1}\,.}$$

لاغرانجيان الكهرومغناطيسي هو $${\displaystyle L={\frac {1}{2}}\langle FF\rangle _{0\oplus 3}-\langle A{\widetilde {J}}\rangle _{0\oplus 3}\,,}$$ وهو ثابت قياسي حقيقي. ^{[ 5 ]}

• sudgylacmoe (اسم القناة). "مقدمة سريعة في الجبر الهندسي" . يوتيوب .

• بايليس، ويليام (2002). الديناميكا الكهربائية: منهج هندسي حديث (  الطبعة الثانية). سبرينغر. ISBN 0-8176-4025-8.
• بايليس، ويليام، محرر. (1999) [1996]. جبر كليفورد (الهندسي): مع تطبيقات في الفيزياء والرياضيات والهندسة . سبرينغر. ISBN 978-0-8176-3868-9.
• دورن، كريس؛ لاسنبي، أنتوني (2007) [2003]. الجبر الهندسي للفيزيائيين . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-1-139-64314-6.
• هيستينس، ديفيد (1999). أسس جديدة للميكانيكا الكلاسيكية (  الطبعة الثانية). كلوير. رقم ISBN 0-7923-5514-8.

• بايليس، دبليو إي (2004). "النسبية في الفيزياء التمهيدية". المجلة الكندية للفيزياء . 82 (11): 853-873 . arXiv : physics/0406158 . Bibcode : 2004CaJPh..82..853B . doi : 10.1139/p04-058 . S2CID 35027499 . 
• بايليس، دبليو إي؛ جونز، جي (7 يناير 1989). "مقاربة جبر باولي للنسبية الخاصة". مجلة الفيزياء أ: الرياضية والعامة . 22 (1): 1-15 . رمز Bibcode : 1989JPhA...22....1B . doi : 10.1088/0305-4470/22/1/008 .
• بايليس، دبليو إي (1 مارس 1992). "المتجهات الذاتية الكلاسيكية ومعادلة ديراك". مجلة Physical Review A. 45 ( 7): 4293-4302 . Bibcode : 1992PhRvA..45.4293B . doi : 10.1103/physreva.45.4293 . PMID 9907503 . 
• بايليس، دبليو إي؛ ياو، واي. (1 يوليو 1999). "الديناميكا النسبية للشحنات في المجالات الكهرومغناطيسية: منهج المغزل الذاتي". مجلة Physical Review A. 60 ( 2): 785-795 . Bibcode : 1999PhRvA..60..785B . doi : 10.1103/physreva.60.785 .