عنصر الهوية

في الرياضيات ، يُعرف العنصر المحايد أو العنصر المحايد في عملية ثنائية بأنه العنصر الذي لا يُغير أي عنصر آخر عند تطبيق العملية. ^{[ 1 ] [ 2 ]} على سبيل المثال، الصفر هو العنصر المحايد في عملية جمع الأعداد الحقيقية . يُستخدم هذا المفهوم في البنى الجبرية مثل الزمر والحلقات . غالبًا ما يُختصر مصطلح " العنصر المحايد" إلى "المحايد" (كما في حالة المحايد الجمعي للصفر والمحايد الضربي للواحد) ^{[ 3 ]} عندما لا يكون هناك مجال للالتباس، ولكن المحايد يعتمد ضمنيًا على العملية الثنائية المرتبطة به.

ليكن ( S , *) مجموعة S مزودة بعملية ثنائية *. عندئذٍ يُسمى العنصر e من S    الهوية اليسرى إذا كانe∗s=sلجميعsفيS، و a  العنصر المحايد الأيمن هو إذاكان s∗e=sلجميعقيم sفيS. ^{[ 4 ]} إذاeعنصرًا محايدًا أيسرًا وعنصرًا محايدًا أيمنًا في نفس الوقت، فإنه يُسمى عنصرًا محايدًا أيمنًا.  هوية ذات وجهين ، أو ببساطةالهوية . ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

يُطلق على العنصر المحايد فيما يتعلق بالجمع اسم عنصر محايد.العنصر المحايد الجمعي (الذي يُرمز إليه غالبًا بالرمز 0) والعنصر المحايد بالنسبة للضرب يُطلق عليهما اسمالعنصر المحايد الضربي (يُرمز إليه غالبًا بالرقم 1). ^{[ 3 ]} لا يشترط أن تكون هذه عمليات جمع وضرب عادية، إذ يمكن أن تكون العملية الأساسية عشوائية إلى حد ما. في حالةالمجموعة، على سبيل المثال، يُرمز أحيانًا للعنصر المحايد ببساطة بالرمز 1.${\displaystyle e}$يُستخدم التمييز بين العنصر المحايد الجمعي والعنصر المحايد الضربي في أغلب الأحيان للمجموعات التي تدعم العمليات الثنائية، مثل الحلقات والمجالات التكاملية والحقول . ويُطلق على العنصر المحايد الضربي غالبًا اسمالوحدة في السياق الأخير (حلقة تحتوي على عنصر الوحدة). ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]} يجب عدم الخلط بين هذا المفهوموالوحدةفي نظرية الحلقات، وهي أي عنصر له معكوسضربي. وبحسب تعريفها، فإن الوحدة نفسها هي بالضرورة وحدة. ^{[ 13 ] [ 14 ]} تم اختيار الرمزeلأنه الحرف الأول فيكلمة Einheit، وهي الكلمة الألمانية التي تعني "وحدة". ^{[ 15 ]}

في المثال S = { e,f } مع المتساويات المعطاة، S هي شبه زمرة . يوضح هذا إمكانية وجود عدة عناصر محايدة يسارية للمجموعة ( S , ∗) . في الواقع، يمكن أن يكون كل عنصر عنصرًا محايدًا يساريًا. وبالمثل، يمكن أن يكون هناك عدة عناصر محايدة يمينية. ولكن إذا وُجد عنصر محايد يميني وآخر يساري، فلا بد أن يكونا متساويين، مما ينتج عنه عنصر محايد ثنائي الجانب واحد.

لتوضيح ذلك، لاحظ أنه إذا كانت l عنصرًا محايدًا من اليسار و r عنصرًا محايدًا من اليمين، فإن l = l ∗ r = r . وبالتحديد، لا يمكن أن يوجد أكثر من عنصر محايد ثنائي الجانب واحد: فإذا كان هناك عنصران محايدان، ولنقل e و f ، فإن e ∗ f يجب أن يساوي كلاً من e و f .

من الممكن أيضًا ألا يحتوي ( S , ∗) على عنصر محايد، ^{[ 16 ]} كما هو الحال مع الأعداد الزوجية عند الضرب. ^{[ 3 ]} مثال شائع آخر هو الضرب الاتجاهي للمتجهات ، حيث يرتبط غياب العنصر المحايد بحقيقة أن اتجاه أي ناتج ضرب اتجاهي غير صفري يكون دائمًا متعامدًا مع أي عنصر مضروب فيه. أي أنه لا يمكن الحصول على متجه غير صفري في نفس اتجاه المتجه الأصلي. مثال آخر على بنية بدون عنصر محايد هو شبه المجموعة الجمعية للأعداد الطبيعية الموجبة .

• عنصر امتصاص
• المعكوس الجمعي
• المعكوس المعمم
• الهوية (المعادلة)
• دالة التطابق
• العنصر العكسي
• أحادي
• حلقة زائفة
• شبه المجموعة
• الوحدة (توضيح)

• بوريجارد، ريموند أ.؛ فرالي، جون ب. (1973)، دورة تمهيدية في الجبر الخطي: مع مقدمة اختيارية للمجموعات والحلقات والحقول ، بوسطن: شركة هوتون ميفلين ، رقم ISBN 0-395-14017-X
• فرالي، جون ب. (1976)، مدخل إلى الجبر المجرد (  الطبعة الثانية)، ريدينغ: أديسون-ويسلي ، رقم ISBN 0-201-01984-1
• هيرستين، إنديانا (1964)، مواضيع في الجبر ، والتهام: شركة بلايسديل للنشر ، رقم ISBN 978-1114541016{{citation}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• مكوي، نيل هـ. (1973)، مقدمة في الجبر الحديث، طبعة منقحة ، بوسطن: ألين وبيكون ، رقم مكتبة الكونغرس 68015225 
• ماير ، فيلهلم فرانز (1904)، Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften ، لايبزيغ: BG Teubner

• M. Kilp، U. Knauer، AV Mikhalev، Monoids، Acts and Categories مع تطبيقات على منتجات الإكليل والرسوم البيانية ، De Gruyter Expositions in Mathematics vol.  29، والتر دي جرويتر، 2000، ISBN 3-11-015248-7، ص  14-15