شركة كايلي-ديكسون للإنشاءات

في الرياضيات ، تُنتج عملية كايلي-ديكسون ، المعروفة أيضًا باسم عملية كايلي-ديكسون أو إجراء كايلي-ديكسون، سلسلة من الجبر على حقل الأعداد الحقيقية ، كل منها ذو بُعد مضاعف عن سابقه. سُميت هذه العملية نسبةً إلى آرثر كايلي وليونارد يوجين ديكسون . تُعرف الجبر الناتجة عن هذه العملية باسم جبر كايلي-ديكسون ، ومن أمثلتها الأعداد المركبة ، والرباعيات ، والأوكتونيات . تُعد هذه الأمثلة من جبر التركيب المفيد الذي يُستخدم بكثرة في الفيزياء الرياضية .

يُعرّف بناء كايلي-ديكسون جبرًا جديدًا بأنه حاصل ضرب ديكارتي لجبر مع نفسه، مع تعريف الضرب بطريقة محددة (تختلف عن الضرب العنصري ) وانعكاس يُعرف باسم الاقتران . يُسمى حاصل ضرب عنصر في مرافقه ( أو أحيانًا الجذر التربيعي لهذا الناتج) بالمعيار .

تختفي تناظرات الحقل الحقيقي مع تطبيق بناء كايلي-ديكسون بشكل متكرر: أولاً فقدان الترتيب ، ثم تبادلية الضرب، ثم تجميعية الضرب، وأخيراً التناوبية .

وبشكل أعم، فإن بناء كايلي-ديكسون يحول أي جبر ذي خاصية الالتفاف إلى جبر آخر ذي خاصية الالتفاف بضعف البعد. ^{[ 1 ]}^{: 45}

تنص نظرية هورويتز على أن الأعداد الحقيقية والأعداد المركبة والأعداد الرباعية والأعداد الثمانية هي جبر القسمة المعياري الوحيد ذو الأبعاد المحدودة على الأعداد الحقيقية، بينما تنص نظرية فروبينيوس على أن الأعداد الثلاثة الأولى هي جبر القسمة الترابطي الوحيد ذو الأبعاد المحدودة على الأعداد الحقيقية.

ملخص

خصائص جبر كايلي-ديكسون
الجبر	الأبعاد	تم الطلب	خصائص الضرب				قواسم الصفر غير التافهة
الجبر	الأبعاد	تم الطلب	التبادلية	جمعية	بديل	جمعية القوة	قواسم الصفر غير التافهة
الأعداد الحقيقية	1	نعم	نعم	نعم	نعم	نعم	لا
الأعداد المركبة	2	لا	نعم	نعم	نعم	نعم	لا
الرباعيات	4	لا	لا	نعم	نعم	نعم	لا
الأوكتونيونات	8	لا	لا	لا	نعم	نعم	لا
السدينيون	16	لا	لا	لا	لا	نعم	نعم
Trigintaduonions وما فوق	≥ 32	لا	لا	لا	لا	نعم	نعم

يعود الفضل في بناء كايلي -ديكسون إلى ليونارد ديكسون عام 1919، حيث بيّن كيفية بناء الأوكتونيونات كجبر ثنائي الأبعاد على الكواترنيونات . في الواقع، بدءًا من حقل F ، ينتج عن هذا البناء سلسلة من جبر F- البعد 2n ^. بالنسبة لـ n = 2، يكون هذا الجبر جبرًا ترابطيًا يُسمى جبر الكواترنيونات ، وبالنسبة لـ n = 3، يكون جبرًا بديلًا يُسمى جبر الأوكتونيونات . تُنتج الحالات n = 1 و2 و3 جبرًا تركيبيًا كما هو موضح أدناه.

تبدأ الحالة n = 1 بالعنصرين ( a , b ) في F × F، وتُعرّف المرافق ( a , b )* على أنه ( a *, –b ) حيث a * = a في الحالة n = 1، ويتم تحديده لاحقًا بالصيغة. يكمن جوهر جبر F في تعريف حاصل ضرب عنصرين ( a , b ) و( c , d ).

(a,b)\times (c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*}).

الاقتراح الأول: لـ $z=(a,b)$ و $w=(c,d),$ المرافق الناتج هو $w^{*}z^{*}=(zw)^{*}.$

دليل:

(c^{*},-d)(a^{*},-b)=(c^{*}a^{*}+b^{*}(-d),-bc^{*}-da)=(zw)^{*}.

الفرضية الثانية: إذا كانت جبر F تجميعية و $N(z)=zz^{*}$ ،ثم $N(zw)=N(z)N(w).$

دليل:

N(zw)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*})(c^{*}a^{*}-b^{*}d,-da-bc^{*})=(aa^{*}+bb^{*})(cc^{*}+dd^{*})

+ الحدود التي تلغي بعضها البعض بواسطة خاصية التجميع.

مراحل بناء الجبر الحقيقي

تفاصيل بناء الجبر الحقيقي الكلاسيكي هي كما يلي:

الأعداد المركبة كأزواج مرتبة

يمكن كتابة الأعداد المركبة على شكل أزواج مرتبة ( $a, b) من$ الأعداد الحقيقية $a$ و $b$ ، حيث يكون عامل الجمع عنصرًا عنصرًا، ويتم تعريف الضرب بواسطة

(a,b)(c,d)=(ac-bd,ad+bc).\,

يرتبط العدد المركب الذي يكون مكونه الثاني صفرًا بعدد حقيقي: يرتبط العدد المركب $(a, 0)$ بالعدد الحقيقي $a$ .

المرافق المركب $(a, b)*$ للمتغير $(a, b)$ يُعطى بالصيغة التالية:

(a,b)^{*}=(a^{*},-b)=(a,-b)

بما أن $a$ عدد حقيقي وهو مرافق نفسه.

يتمتع المرافق بالخاصية التي

(a,b)^{*}(a,b)=(aa+bb,ab-ba)=\left(a^{2}+b^{2},0\right),\,

وهو عدد حقيقي غير سالب. وبهذه الطريقة، يُعرّف الاقتران معيارًا ، مما يجعل الأعداد المركبة فضاءً متجهيًا معياريًا على الأعداد الحقيقية: معيار العدد المركب $z$ هو

|z|=\left(z^{*}z\right)^{\frac {1}{2}}.\,

علاوة على ذلك، بالنسبة لأي عدد مركب غير صفري $z$ ، فإن المرافق يعطي معكوسًا ضربيًا .

z^{-1}={\frac {z^{*}}{|z|^{2}}}.

بما أن العدد المركب يتكون من عددين حقيقيين مستقلين، فإنهما يشكلان فضاءً متجهيًا ثنائي الأبعاد فوق الأعداد الحقيقية.

إلى جانب كونها ذات أبعاد أعلى، يمكن القول إن الأعداد المركبة تفتقر إلى خاصية جبرية واحدة للأعداد الحقيقية: العدد الحقيقي هو مرافقه.

الرباعيات

تتمثل الخطوة التالية في عملية البناء في تعميم عمليات الضرب والاقتران.

كوّن أزواجًا مرتبة $(أ ، ب)$ من الأعداد المركبة $أ$ و $ب$ ، مع تعريف عملية الضرب بواسطة

(a,b)(c,d)=(ac-d^{*}b,da+bc^{*}).\,

من الممكن وجود اختلافات طفيفة في هذه الصيغة؛ وستؤدي التركيبات الناتجة إلى هياكل متطابقة حتى علامات القواعد.

يبدو ترتيب العوامل غريباً الآن، ولكنه سيكون مهماً في الخطوة التالية.

عرّف المرافق $(أ ، ب)*$ للمتجه $(أ ، ب)$ كما يلي:

(a,b)^{*}=(a^{*},-b).\,

هذه العوامل هي امتدادات مباشرة لنظائرها المركبة: إذا تم أخذ $a$ و $b$ من المجموعة الفرعية الحقيقية للأعداد المركبة، فإن ظهور المرافق في الصيغ ليس له أي تأثير، وبالتالي فإن العوامل هي نفسها تلك الخاصة بالأعداد المركبة.

حاصل ضرب عنصر غير صفري في مرافقه هو عدد حقيقي غير سالب:

{\begin{aligned}(a,b)^{*}(a,b)&=(a^{*},-b)(a,b)\\&=(a^{*}a+b^{*}b,ba^{*}-ba^{*})\\&=\left(|a|^{2}+|b|^{2},0\right).\,\end{aligned}}

كما في السابق، يُعطي المرافق معيارًا ومعكوسًا لأي زوج مرتب من هذا النوع. لذا، بالمعنى الذي شرحناه أعلاه، تُشكّل هذه الأزواج جبرًا يُشبه الأعداد الحقيقية. وهي الكواترنيونات ، التي سمّاها هاميلتون بهذا الاسم عام 1843.

بما أن الكواتيرنيون يتكون من عددين مركبين مستقلين، فإنهما يشكلان فضاء متجه رباعي الأبعاد على الأعداد الحقيقية.

إن ضرب الأعداد الرباعية ليس تمامًا مثل ضرب الأعداد الحقيقية، فهو ليس تبادليًا - أي إذا كان $p$ و $q$ أعدادًا رباعية، فليس من الصحيح دائمًا أن $pq = qp$ .

الأوكتونيونات

جميع خطوات إنشاء المزيد من الجبر هي نفسها بدءًا من الأوكتونيونات فصاعدًا.

هذه المرة، قم بتكوين أزواج مرتبة $(p, q)$ من الأعداد الرباعية $p$ و $q$ ، مع تعريف الضرب والمرافق تمامًا كما هو الحال بالنسبة للأعداد الرباعية:

(p,q)(r,s)=(pr-s^{*}q,sp+qr^{*}).\,

لاحظ، مع ذلك، أنه نظرًا لأن الأعداد الرباعية ليست تبادلية، فإن ترتيب العوامل في صيغة الضرب يصبح مهمًا - إذا كان العامل الأخير في صيغة الضرب هو $r * q$ بدلاً من $qr *$ ، فإن صيغة ضرب عنصر بمرافقه لن تعطي عددًا حقيقيًا.

وللأسباب نفسها التي كانت موجودة من قبل، فإن عامل الاقتران ينتج معيارًا ومعكوسًا ضربيًا لأي عنصر غير صفري.

اكتشف جون تي. غريفز هذا النوع من الجبر عام 1843، ويُطلق عليه اسم الأوكتونيونات أو " أعداد كايلي ". ^{[ 2 ]}

بما أن الأوكتونيون يتكون من اثنين من الكواترنيونات المستقلة، فإنها تشكل فضاء متجهي ثماني الأبعاد على الأعداد الحقيقية.

إن ضرب الأوكتونيونات أغرب من ضرب الكواترنيونات؛ فإلى جانب كونه غير تبادلي، فهو ليس تجميعيًا - أي إذا كانت $p$ و $q$ و $r$ أوكتونيونات، فليس من الصحيح دائمًا أن $(pq) r = p (qr)$ .

بسبب عدم التجميعية هذه، فإن الأوكتونيونات ليس لها تمثيل مصفوفي .

السدينيون

يُطلق على الجبر الذي يلي الأوكتونيونات مباشرةً اسم السدينيونات . [ ^{3 ] وهو} يحتفظ بالخاصية الجبرية لتجميع القوى ، بمعنى أنه إذا كان $s$ سيدينيونًا، فإن s $n$ $s m = s n + m$ ، ولكنه يفقد خاصية كونه جبرًا بديلًا ، وبالتالي لا يمكن أن يكون جبرًا تركيبيًا . عند هذه النقطة أيضًا، تبدأ الجبريات المُشكَّلة بواسطة بناء كايلي-ديكسون في امتلاك قواسم صفرية غير تافهة ، حيث أن هذا الجبر وكل جبر لاحق يتم إنشاؤه بواسطة هذا البناء سيحتوي على أزواج من القيم غير الصفرية (على سبيل المثال ، $(e_{3}+e_{10})$ و $(e_{6}-e_{15})$ ) والتي عند ضربها تعطي $0$ .

تريجينتادويونيون

الجبر الذي يلي مباشرةً مجموعات الأعداد الحقيقية هو مجموعات الأعداد الحقيقية الثلاثية ، ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} والتي تُشكّل جبرًا ذا 32 بُعدًا على الأعداد الحقيقية ^[⁷^] ويمكن تمثيلها باستخدام الخط العريض على السبورة. $\mathbb {T}$ [ ⁸^]

الجبر الإضافي

يمكن مواصلة بناء كايلي-ديكسون إلى ما لا نهاية ، حيث ينتج في كل خطوة جبرًا ترابطيًا أسيًا يكون بُعده ضعف بُعد جبر الخطوة السابقة. وتشمل هذه الجبريات الـ 64 بُعدًا من نوع سداسي عشر رباعي الأيونات (أو 64-نيون)، والـ 128 بُعدًا من نوع مئة وعشرة وثلاثة عشر سداسي عشر الأيونات (أو 128-نيون)، والـ 256 بُعدًا من نوع مئة وخمسة عشر سداسي عشر الأيونات (أو 256-نيون)، وهكذا إلى ما لا نهاية . ^{[ 9 ]} جميع الجبريات المولدة بهذه الطريقة على حقل ما هي جبريات تربيعية : أي أن كل عنصر يحقق معادلة تربيعية بمعاملات من الحقل. ^{[ 1 ]}^{: 50}

في عام 1954، أثبت آر دي شيفر أن الجبر الناتج عن عملية كايلي-ديكسون على حقل $F$ يحقق المتطابقة المرنة . كما أثبت أن أي جبر اشتقاق لجبر كايلي-ديكسون متماثل مع جبر اشتقاق أعداد كايلي، وهو جبر لي ^ذو 14 بُعدًا على $F.$ ^[¹⁰ ]

بناء كايلي-ديكسون المعدل

بناء كايلي-ديكسون، بدءًا من الأعداد الحقيقية $\mathbb {R}$ ، يُولّد جبر التركيب $\mathbb {C}$ ( الأعداد المركبة )، $\mathbb {H}$ ( الأعداد الرباعية )، و $\mathbb {O}$ ( الأوكتونيونات ). هناك أيضًا جبر تركيبي يكون معياره شكلًا تربيعيًا متساوي الخواص ، والذي يتم الحصول عليه من خلال تعديل طفيف، عن طريق استبدال الإشارة السالبة في تعريف حاصل ضرب الأزواج المرتبة بإشارة موجبة، كما يلي: $(a,b)(c,d)=(ac+d^{*}b,da+bc^{*}).$

عند تطبيق هذا التصميم المعدل على $\mathbb {R}$ وبذلك نحصل على الأعداد المركبة المنقسمة ، وهي متماثلة حلقيًا مع الضرب المباشر. $\mathbb {R} \times \mathbb {R$ نحصل على الكواترنيونات المنقسمة ، وهي جبر ترابطي متماثل مع جبر المصفوفات الحقيقية 2 × 2؛ والأوكتونيونات المنقسمة ، وهي متماثلة مع $Zorn($ $R$ $)$ . كما أن تطبيق بناء كايلي-ديكسون الأصلي على المركبات المنقسمة ينتج عنه الكواترنيونات المنقسمة، ثم الأوكتونيونات المنقسمة.^[¹¹^]

شركة جنرال كايلي-ديكسون للإنشاءات

قدّم ألبرت (1942 ، ص 171) تعميمًا طفيفًا، حيث عرّف الضرب والالتفاف على $B$ $=$ $A$ $\oplus$ $A$ لجبر $A$ مع التفاف (حيث $($ $xy$ $)* =$ $y$ $*$ $x$ $*$ ) على النحو التالي:

{\begin{aligned}(p,q)(r,s)&=(pr-\gamma s^{*}q,sp+qr^{*})\,\\(p,q)^{*}&=(p^{*},-q)\,\end{aligned}}

بالنسبة لـ $γ،$ دالة جمعية تتبادل مع $*$ والضرب من اليسار واليمين بأي عنصر. (على الأعداد الحقيقية، جميع خيارات $γ$ مكافئة لـ −1 أو 0 أو 1). في هذا البناء، $A$ عبارة عن جبر مع انعكاس، أي:

$A$ هي زمرة تبديلية تحت $+$
$A لها ناتج$ توزيعي يساري ويميني على $+$
$A$ لها عملية انعكاس $*$ ، مع $(x *)* = x$ ، $(x + y)* = x * + y *$ ، $(xy)* = y * x *$ .

الجبر $B = A \oplus A$ الناتج عن بناء Cayley–Dickson هو أيضًا جبر مع انعكاس.

$يرث B$ خصائص من $A$ دون تغيير على النحو التالي.

إذا كان لـ $A$ عنصر محايد $1 A$ ، فإن لـ $B$ عنصر محايد $(1 A ، 0)$ .
إذا كانت $المجموعة A$ تتمتع بالخاصية التي تجعل $x + x *$ و $xx *$ تترافق وتتبادل مع جميع العناصر، فإن المجموعة $B$ تتمتع بها أيضاً . هذه الخاصية تعني أن أي عنصر يولد جبرًا *-تجميعيًا تبديليًا، وبالتالي فإن الجبر يكون تجميعيًا قوىً على وجه الخصوص.

الخصائص الأخرى لـ $A$ تؤدي فقط إلى خصائص أضعف لـ $B$ :

إذا كانت $A$ تبديلية ولها انعكاس تافه، فإن $B$ تبديلية.
إذا كانت $المجموعة A$ تبديلية وتجميعية، فإن $المجموعة B$ تكون تجميعية.
إذا كانت $A$ تجميعية و $x + x *$ ، $xx *$ تترافق وتتبادل مع كل شيء، فإن $B$ عبارة عن جبر بديل .

ملحوظات

1 2 شيفر، ريتشارد د. (1995) [1966]، مقدمة في الجبر غير الترابطي ، منشورات دوفر ، ISBN 0-486-68813-5، Zbl 0145.25601
↑ بايز، جون سي. (2002). "الأوكتونيونات" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . سلسلة جديدة. 39 ( 2): 145-205 . arXiv : math/0105155 . doi : 10.1090/S0273-0979-01-00934-X . MR 1886087. S2CID 586512 .
↑ إيميدا، ك.؛ إيميدا، م. (2000). "سيدينيون: الجبر والتحليل". الرياضيات التطبيقية والحساب . 115 (2): 77-88 . doi : 10.1016/S0096-3003(99)00140-X . MR 1786945 .
↑ "Trigintaduonion" . جامعة واترلو . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2024-10-08 .
^ كاواجاس ، راؤول إي. كاراسكال، الكسندر S.؛ باوتيستا، لينكولن أ؛ ماريا، جون P. ستا. أوروتيا، جاكي د.؛ النبلاء ، برناديث (2009). “بنية الجبر الفرعي لجبر كايلي ديكسون للبعد 32 (trigintaduonion)”. أرخايف : 0907.2047v3 [ math.RA ].
↑ كاريو، أ.؛ كاريوا، ج. (2014). "خوارزمية لضرب الأعداد الثلاثية" . مجلة علوم الحاسوب النظرية والتطبيقية . 8 (1): 50-75 . ISSN 2299-2634 . تاريخ الاسترجاع : 10-10-2024 .
^ سايني، كافيتا. راج ، كولديب (2021). “حول التعميم لـ Tribonacci Trigintaduonions”. المجلة الهندية للرياضيات البحتة والتطبيقية . 52 (2). Springer Science and Business Media LLC: 420– 428. دوى : 10.1007/s13226-021-00067-y . ISSN 0019-5588 .
^ كاواجاس ، راؤول إي. كاراسكال، الكسندر S.؛ باوتيستا، لينكولن أ؛ ماريا، جون P. ستا. أوروتيا، جاكي د.؛ النبلاء ، برناديث (2009/07/12). “بنية الجبر الفرعي لجبر كايلي ديكسون للبعد 32 (trigintaduonion)”. أرخايف : 0907.2047 [ math.RA ].
^ كاريو ، ألكسندر (2015). “نهج موحد لتطوير خوارزميات منطقية لمضاعفة الأعداد المفرطة التعقيد”. تقنية كهربائية . 1 (2). Wydawnictwo SIGMA-NOT: 38– 41. دوى : 10.15199/48.2015.02.09 . ISSN 0033-2097 .
↑ ريتشارد د. شيفر (1954) "حول الجبر المتكون بواسطة عملية كايلي-ديكسون"، المجلة الأمريكية للرياضيات 76: 435-446 doi : 10.2307/2372583
↑ كيفن مكريمون (2004) لمحة عن جبر جوردان ، ص 64، سلسلة Universitext، سبرينغر، رقم ISBN 0-387-95447-3MR 2014924

مراجع

ألبرت، أ.أ. (1942)، "الأشكال التربيعية التي تسمح بالتركيب"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 43 (1): 161-177 ، doi : 10.2307/1968887 ، JSTOR 1968887 ، MR 0006140 (انظر الصفحة 171)
بايز، جون (2002)، "الأوكتونيونات" ، نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية ، 39 (2): 145-205 ، arXiv : math/0105155 ، doi : 10.1090/S0273-0979-01-00934-X ، S2CID 586512 (انظر " القسم 2.2، بناء كايلي-ديكسون ") .
ديكسون، ل. إي. (1919)، "حول الأعداد الرباعية وتعميمها وتاريخ نظرية المربعات الثمانية"، حوليات الرياضيات ، السلسلة الثانية، 20 (3)، حوليات الرياضيات: 155-171 ، doi : 10.2307/1967865 ، JSTOR 1967865
بيس، دانييل ك. كريستنسن، ج. دانيال. داجر، دانيال؛ إيزاكسين، دانيال سي. (2007). “المدمرات الكبيرة في جبر كايلي-ديكسون الثاني”. Boletin de la Sociedad Matematica Mexicana . 3 : 269 – 292. أرخايف : الرياضيات/0702075 . بيب كود : 2007math......2075B .
هاميلتون، ويليام روان (1847)، "حول الرباعيات" ، وقائع الأكاديمية الملكية الأيرلندية ، 3 : 1-16 ، ISSN 1393-7197
كانتور، إلينوي؛ Solodownikow, AS (1978)، Hyperkomplexe Zahlen ، لايبزيغ: BG Teubner(يقدم المرجع التالي الترجمة الإنجليزية لهذا الكتاب)
كانتور، آي إل؛ سولودوفنيكوف، إيه إس (1989)، الأعداد فائقة التعقيد ، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، رقم ISBN 978-0-387-96980-0، MR 0996029
روس، جاي (2008). "المجالات المتناظرة الاستثنائية §1: جبر كايلي". في: جيليجان، بروس؛ روس، جاي (محرران). التناظرات في التحليل المركب . الرياضيات المعاصرة. المجلد 468. الجمعية الرياضية الأمريكية . ISBN 978-0-8218-4459-5.

للمزيد من القراءة

دابول، جميل؛ ديلبورغو، روبرت (1999). "التمثيلات المصفوفية للأوكتونيونات وتعميماتها". مجلة الفيزياء الرياضية . 40 (8): 4134-4150 . arXiv : hep-th/9906065 . Bibcode : 1999JMP....40.4134D . doi : 10.1063/1.532950 . S2CID 16932871 .

[Sch66-1] 1 2 شيفر، ريتشارد د. (1995) [1966]، مقدمة في الجبر غير الترابطي ، منشورات دوفر ، ISBN 0-486-68813-5، Zbl 0145.25601

[2] بايز، جون سي. (2002). "الأوكتونيونات" . نشرة الجمعية الرياضية الأمريكية . سلسلة جديدة. 39 ( 2): 145-205 . arXiv : math/0105155 . doi : 10.1090/S0273-0979-01-00934-X . MR 1886087. S2CID 586512 .

[3] إيميدا، ك.؛ إيميدا، م. (2000). "سيدينيون: الجبر والتحليل". الرياضيات التطبيقية والحساب . 115 (2): 77-88 . doi : 10.1016/S0096-3003(99)00140-X . MR 1786945 .

[4] "Trigintaduonion" . جامعة واترلو . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2024-10-08 .

[5] كاواجاس ، راؤول إي. كاراسكال، الكسندر S.؛ باوتيستا، لينكولن أ؛ ماريا، جون P. ستا. أوروتيا، جاكي د.؛ النبلاء ، برناديث (2009). “بنية الجبر الفرعي لجبر كايلي ديكسون للبعد 32 (trigintaduonion)”. أرخايف : 0907.2047v3 [ math.RA ].

[6] كاريو، أ.؛ كاريوا، ج. (2014). "خوارزمية لضرب الأعداد الثلاثية" . مجلة علوم الحاسوب النظرية والتطبيقية . 8 (1): 50-75 . ISSN 2299-2634 . تاريخ الاسترجاع : 10-10-2024 .

[7] سايني، كافيتا. راج ، كولديب (2021). “حول التعميم لـ Tribonacci Trigintaduonions”. المجلة الهندية للرياضيات البحتة والتطبيقية . 52 (2). Springer Science and Business Media LLC: 420– 428. دوى : 10.1007/s13226-021-00067-y . ISSN 0019-5588 .

[8] كاواجاس ، راؤول إي. كاراسكال، الكسندر S.؛ باوتيستا، لينكولن أ؛ ماريا، جون P. ستا. أوروتيا، جاكي د.؛ النبلاء ، برناديث (2009/07/12). “بنية الجبر الفرعي لجبر كايلي ديكسون للبعد 32 (trigintaduonion)”. أرخايف : 0907.2047 [ math.RA ].

[9] كاريو ، ألكسندر (2015). “نهج موحد لتطوير خوارزميات منطقية لمضاعفة الأعداد المفرطة التعقيد”. تقنية كهربائية . 1 (2). Wydawnictwo SIGMA-NOT: 38– 41. دوى : 10.15199/48.2015.02.09 . ISSN 0033-2097 .

[10] ريتشارد د. شيفر (1954) "حول الجبر المتكون بواسطة عملية كايلي-ديكسون"، المجلة الأمريكية للرياضيات 76: 435-446 doi : 10.2307/2372583

[11] كيفن مكريمون (2004) لمحة عن جبر جوردان ، ص 64، سلسلة Universitext، سبرينغر، رقم ISBN 0-387-95447-3MR 2014924

[ 1 ]

[ 2 ]

3 ] وهو

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[

8

[ 9 ]

ذو

[